數(shù)學(xué)歸納法教學(xué)設(shè)計 高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第二冊

4.4數(shù)學(xué)歸納法教學(xué)設(shè)計

課程基本信息學(xué)科數(shù)學(xué)年級高二學(xué)期秋季課題4.4數(shù)學(xué)歸納法教學(xué)目標1.了解數(shù)學(xué)歸納法原理，會用數(shù)學(xué)歸納法原理證明一些簡單的與正整數(shù)有關(guān)的命題；2．通過對多米諾骨牌全部倒下的條件的類比和遷移，歸納得到數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)歸納法的兩個步驟，提高學(xué)生數(shù)學(xué)表達能力和推理論證能力；3.體會從特殊到一般、無窮到有限的辯證思維過程，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)．教學(xué)重難點教學(xué)重點：數(shù)學(xué)歸納法原理的理解及簡單應(yīng)用．教學(xué)難點：理解數(shù)學(xué)歸納法中兩個步驟的作用．教學(xué)過程一、創(chuàng)設(shè)情境，問題導(dǎo)入問題1(1)對于一切n∈N*，n2＋n＋11是質(zhì)數(shù)嗎?(2)對于數(shù)列{an}，已知a1＝1，an＋1＝eq\f(an,1＋an)(n∈N*)，它的通項公式是an＝eq\f(1,n)嗎?給n賦值計算，寫出你的猜想，并試著證明你的猜想．師生活動對于(1)，學(xué)生一般會令n＝1，2，3，4，5…，得12＋1＋11＝13，22＋2＋11＝17，32＋3＋11＝23，42＋4＋11＝31，52＋5＋11＝41…，于是猜想對于一切n∈N*，n2＋n＋11是質(zhì)數(shù)成立．對于(2)令n＝1，2，3…，由a1＝1a2＝eq\f(1,2)a3＝eq\f(1,3)a4＝eq\f(1,4)…，于是猜想an＝eq\f(1,n)成立．追問1這兩個猜想一定成立嗎?師生活動教師引導(dǎo)學(xué)生認識到，題(1)中，若令n＝10，得102＋10＋11＝121＝112，所以猜想不成立．對于(2)，即使舉不出反例，但是通過不完全歸納得到的結(jié)論，也不能說明對于任意n∈N*，都成立．追問2如果(2)的結(jié)論是成立的，如何證明它呢?設(shè)計意圖通過設(shè)置具體問題，發(fā)現(xiàn)運用現(xiàn)有的方法不能證明涉及一切自然數(shù)都成立的命題，從而需要研究新的證明方法，引發(fā)學(xué)習(xí)新知識的必要性．同時讓學(xué)生看到，用不完全歸納得到的結(jié)論不一定成立．二、經(jīng)驗提煉，探究規(guī)律問題2題(2)中，由a1＝1a2＝eq\f(1,2)a3＝eq\f(1,3)a4＝eq\f(1,4)…，這是一個無窮步驟的問題，我們能否通過有限的步驟來解決這一無窮的問題呢?師生活動教師引導(dǎo)學(xué)生思考，因為n∈N*，，我們要達到證明的目的，必須用有限的步驟完成．這就需要我們思考，怎樣將“無限”轉(zhuǎn)化為“有限”，通過有限步驟，證明n∈N*，時，命題成立．追問你在學(xué)過的知識里，有將“無限”轉(zhuǎn)化為“有限”的實例嗎?你認為什么能夠?qū)崿F(xiàn)這樣的轉(zhuǎn)化?師生活動學(xué)生回顧，教師適時引導(dǎo)，立體幾何中，直線與平面的垂直的定義為：如果一條直線垂直于平面內(nèi)的任意一條直線，則這條直線與這個平面垂直．直線與平面垂直的判定定理為：一條直線與平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與這個平面垂直．其定義是“無限”，判定則是“有限”．之所以能夠?qū)崿F(xiàn)轉(zhuǎn)化，是因為一個平面可以由兩條相交直線確定，所以一條直線與兩條相交直線垂直就能保證直線與平面垂直．設(shè)計意圖類比無限到有限的轉(zhuǎn)化，實現(xiàn)知識的遷移．情景觀看多米諾骨牌游戲視頻，思考以下問題：問題3要想保證骨牌全部倒下去，需要具備哪些條件呢?師生活動教師組織學(xué)生重復(fù)觀看視頻，引導(dǎo)學(xué)生討論交流歸納，得到骨牌要全部倒下去，需要具備兩個條件：①第一塊骨牌要倒下；②如果某一張骨牌倒下，要能保證它的后一張骨牌也倒下(用數(shù)學(xué)語言表述：如果第k張倒下，則要使第k＋1張也倒下)．設(shè)計意圖通過“多米諾骨牌”視頻游戲，引導(dǎo)學(xué)生理解從有限遞推到到無窮所需滿足的兩個條件，逐漸實現(xiàn)問題情景數(shù)學(xué)化的過渡；同時體會方法的探究過程是來源于生活實踐，并接受實踐的經(jīng)驗．三、類比分析，形成原理問題4你認為上述題（2）猜想，與多米諾骨牌有相似性嗎?請你完成下表．師生活動學(xué)生合作完成下表：多米諾骨牌題（2）解答條件一：第一塊牌倒下；步驟一：證明n＝1時，a1＝1，結(jié)論成立；條件二：任意一塊牌倒下，它的后一塊牌也倒下(如果第k張倒下，則要使第k＋1張也倒下)．步驟二：如果n＝k時結(jié)論成立，即ak＝eq\f(1,k)，那么有ak＋1＝eq\f(1,k＋1)，即n＝k＋1時結(jié)論也成立．結(jié)果：所有骨牌都倒下．結(jié)果：結(jié)論對一切正整數(shù)n都成立．設(shè)計意圖通過對多米諾骨牌全部倒下的兩個條件的類比分析，得到完成題（2）解答過程應(yīng)有的兩個主要步驟，實現(xiàn)了知識的遷移．追問1你能完成上述ak＝eq\f(1,k)ak＋1＝eq\f(1,k＋1)的證明嗎?師生活動學(xué)生獨立完成．如果n＝k，即ak＝eq\f(1,k)成立，那么有ak＋1＝eq\f(ak,1＋ak)＝eq\f(eq\f(1,k),1＋eq\f(1,k))＝eq\f(1,k＋1)，即n＝k＋1時ak＋1＝eq\f(1,k＋1)也成立．追問2如何解釋題（2）猜想的合理性?師生活動由學(xué)生解釋，由n＝1時，a1＝1成立，根據(jù)步驟二的證明過程知道，就可以得到n＝2時，a2＝eq\f(1,2)成立；由n＝2時，a2＝eq\f(1,2)成立，就可以得到n＝3時，a3＝eq\f(1,3)成立；……所以，對于任意的n∈N*，an＝eq\f(1,n)成立．設(shè)計意圖由多米諾骨牌全部倒下的條件分析，遷移到對數(shù)學(xué)命題的證明過程探究，得到了證明方法．既體現(xiàn)了知識來源于實踐，又通過由猜想到理性分析，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力．設(shè)計問題追問，也為原理歸納作好鋪墊．問題5從題（2）猜想的解答過程中，你能歸納出證明一個與正整數(shù)n有關(guān)的命題的一般步驟嗎?師生活動師生共同歸納，證明與一個與正整數(shù)有關(guān)的命題，可按下列步驟進行：結(jié)論結(jié)論：對一切正整數(shù)n，命題都成立．兩者缺一不可!歸納遞推歸納奠基（1）驗證：當(dāng)n＝1時，命題成立；(2)證明：假設(shè)當(dāng)n＝k時命題成立，那么當(dāng)n＝k＋1時命題也成立；這種證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法．師生活動師生共同理解數(shù)學(xué)歸納法原理：對于一個與正整數(shù)有關(guān)的命題，如果①當(dāng)n取第一個值n0(例如n0＝1，2等)時結(jié)論正確；②假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*，且k≥n0)時結(jié)論正確，證明當(dāng)n＝k＋1時結(jié)論也正確，那么，命題對于從n0開始的所有正整數(shù)n都成立．追問1數(shù)學(xué)歸納法的適用范圍是什么?追問2如果n取的第一個數(shù)是5，那么結(jié)論又是什么?追問3第二步證明過程中的條件和結(jié)論分別是什么?追問4兩個步驟中是否可以省略一個?為什么?設(shè)計意圖：教師引導(dǎo)學(xué)生歸納數(shù)學(xué)歸納法的一般步驟及其數(shù)學(xué)歸納法原理的形式化表達．然后設(shè)置問題串，抓住學(xué)生思維的起點，逐層剖析，讓學(xué)生真正理解數(shù)學(xué)歸納法的第一步是證明奠基性，第二步是證明遞推性，這樣既突破了難點，又突出了重點．四、數(shù)學(xué)應(yīng)用，評析強化例題用數(shù)學(xué)歸納法證明12＋22＋32＋…＋n2＝eq\f(n(n＋1)(2n＋1),6)(n∈N*)師生活動教師引導(dǎo)學(xué)生規(guī)范表達，運用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)n有關(guān)的命題．證明：(1)當(dāng)n＝1時，12＝eq\f(1×2×3,6)，等式成立．(2)假設(shè)n＝k時等式成立，即12＋22＋32＋…＋k2＝eq\f(k(k＋1)(2k＋1),6)，那么，當(dāng)n＝k＋1時，有12＋22＋32＋…＋k2＋(k＋1)2＝eq\f(k(k＋1)(2k＋1),6)＋(k＋1)2＝eq\f((k＋1)(2k2＋k＋6k＋6),6)＝eq\f((k＋1)(2k2＋7k＋6),6)＝eq\f((k＋1)(k＋2)(2k＋3),6)＝eq\f((k＋1)[(k＋1)＋1][2(k＋1)＋1],6)所以當(dāng)n＝k＋1時，等式成立．根據(jù)(1)(2)可知，對任何n∈N*，等式都成立．鞏固練習(xí)觀察下列命題及運用數(shù)學(xué)歸納法的證明過程，談?wù)勀愕睦斫猓?1)設(shè)n∈N*，求證：2＋4＋6＋…＋2n＝n2＋n＋1．證明假設(shè)當(dāng)n＝k時等式成立，即2＋4＋6＋…＋2k＝k2＋k＋1，那么，當(dāng)n＝k＋1時，有2＋4＋6＋…＋2k＋2(k＋1)＝k2＋k＋1＋2(k＋1)＝(k＋1)2＋(k＋1)＋1，即當(dāng)n＝k＋1時，等式成立．因此，當(dāng)n∈N*時，等式2＋4＋6＋…＋2n＝n2＋n＋1成立．(2)證明：當(dāng)n∈N*時，1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2．證明①當(dāng)n＝1時，左邊＝1，右邊＝1，等式成立．②假設(shè)當(dāng)n＝k時等式成立，即1＋3＋5＋…＋(2k－1)＝k2，那么，當(dāng)n＝k＋1時，有1＋3＋5＋…＋(2k－1)＋[2(k＋1)－1]＝eq\f((1＋2k＋1)(k＋1),2)＝(k＋1)2，即當(dāng)n＝k＋1時，等式成立．因此，對于當(dāng)n∈N*時，1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2．設(shè)計意圖：通過例題展示對數(shù)學(xué)歸納法的理解應(yīng)用及規(guī)范書寫，既強調(diào)了學(xué)生的主體地位，又突出了教學(xué)的針對性．通過鞏固練習(xí)辨析，強化理解兩個主要步驟缺一不可：(1)證明奠基性，(2)證明遞推性．幫助學(xué)生進一步深刻理解數(shù)學(xué)歸納法的本質(zhì)．五、課堂鞏固，總結(jié)提升本節(jié)課我們發(fā)現(xiàn)、歸納、運用了一種新的方法－數(shù)學(xué)歸納法，通過以下問題談?wù)勀愕氖斋@與體會．（1）數(shù)學(xué)歸納法能夠解決哪一類問題?（2）數(shù)學(xué)歸納法證明命題的步驟有哪些?（3）我們是怎么發(fā)現(xiàn)和歸納出這種方法的?設(shè)計意圖通過以問題形式進行總結(jié)，既梳理數(shù)學(xué)歸納法的內(nèi)容，又提煉了數(shù)學(xué)歸納法的發(fā)生發(fā)展過程及其蘊含的思想方法．附：數(shù)學(xué)歸納法的發(fā)展歷程數(shù)學(xué)歸納法從萌芽到應(yīng)用，有著悠久的歷史，凝聚了眾多中外數(shù)學(xué)家的精力和智慧。一般認為歸納推理可以追溯到公元前6世紀畢達哥拉斯時代，完整的歸納推理，即數(shù)學(xué)歸納法的早期例證是公元前3世紀歐幾里得在《幾何原本》中對素數(shù)無限的證明。19世紀意大利數(shù)學(xué)家皮亞諾建立的序數(shù)理論，為數(shù)學(xué)歸納法提供了理論基礎(chǔ)。在中國，李善蘭和偉烈亞力合譯的《代數(shù)學(xué)》中，對數(shù)學(xué)歸