12空間向量基本定理（四大題型）（講義）（原卷版）

1．2空間向量基本定理目錄TOC\o"12"\h\z\u【題型歸納目錄】 2【思維導(dǎo)圖】 2【知識(shí)點(diǎn)梳理】 2【典型例題】 3題型一：基底的判斷 3題型二：基底的運(yùn)用 3題型三：正交分解 5題型四：用空間向量基本定理解決相關(guān)的幾何問(wèn)題 7

【題型歸納目錄】【思維導(dǎo)圖】【知識(shí)點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)01：空間向量基本定理及樣關(guān)概念的理解空間向量基本定理：如果空間中的三個(gè)向量，，不共面，那么對(duì)空間中的任意一個(gè)向量，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使得.其中，空間中不共面的三個(gè)向量，，組成的集合{，，}，常稱(chēng)為空間向量的一組基底.此時(shí)，，，都稱(chēng)為基向量；如果，則稱(chēng)為在基底{，，}下的分解式.知識(shí)點(diǎn)2：空間向量的正交分解單位正交基底：如果空間的一個(gè)基底中的三個(gè)基向量?jī)蓛纱怪?，且長(zhǎng)度都為1，那么這個(gè)基底叫做單位正交基底，常用表示.正交分解：把一個(gè)空間向量分解為三個(gè)兩兩垂直的向量，叫做把空間向量進(jìn)行正交分解.知識(shí)點(diǎn)3：用空間向量基本定理解決相關(guān)的幾何問(wèn)題用已知向量表示某一向量的三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：(1)用已知向量來(lái)表示某一向量，一定要結(jié)合圖形，以圖形為指導(dǎo)是解題的關(guān)鍵．(2)要正確理解向量加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的向量．(3)在立體幾何中三角形法則、平行四邊形法則仍然成立【典型例題】題型一：基底的判斷【典例11】（2024·高一·陜西西安·階段練習(xí)）已知為空間的一個(gè)基底，則下列各組向量中能構(gòu)成空間的一個(gè)基底的是（

）A． B．C． D．【典例12】（2024·高三·江蘇南通·開(kāi)學(xué)考試）若和都為基底，則不可以為（

）A． B． C． D．【方法技巧與總結(jié)】空間向量基底．不共面的三個(gè)向量構(gòu)成空間向量的基底．【變式11】（2024·高二·天津南開(kāi)·期中）已知向量，若不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則實(shí)數(shù)m的值為（

）．A． B．0 C．5 D．【變式12】（2024·高二·江蘇無(wú)錫·階段練習(xí)）若，，構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則下列向量能構(gòu)成空間的一個(gè)基底的是（）A． B．C． D．【變式13】（2024·高二·全國(guó)·課后作業(yè)）設(shè)向量，，不共面，則下列向量組可作為空間的一組基的是（

）A． B．C． D．【變式14】（2024·高二·重慶·期末）正方體中的有向線段，不能作為空間中的基底的是（

）A． B． C． D．題型二：基底的運(yùn)用【典例21】（2024·高二·黑龍江哈爾濱·期中）如圖，空間四邊形中，，，，點(diǎn)M在上，且，點(diǎn)N為中點(diǎn)，則等于（

）A． B．C． D．【典例22】（2024·高二·安徽馬鞍山·階段練習(xí)）在四面體中，，，，為的重心，在上，且，則（

）A． B．C． D．【方法技巧與總結(jié)】1、空間中，任一向量都可以用一組基底表示，且只要基底確定，則表示形式是唯一的．2、用基底表示空間向量時(shí)，一般要結(jié)合圖形，運(yùn)用向量加法、減法的平行四邊形法則、三角形法則，以及數(shù)乘向量的運(yùn)算法則，逐步向基向量過(guò)渡，直至全部用基向量表示．3、在空間幾何體中選擇基底時(shí)，通常選取公共起點(diǎn)最集中的向量或關(guān)系最明確的向量作為基底，例如，在正方體、長(zhǎng)方體、平行六面體、四面體中，一般選用從同一頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱所對(duì)應(yīng)的向量作為基底．【變式21】（2024·高二·山東濰坊·開(kāi)學(xué)考試）如圖所示，在四面體A－BCD中，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，記，，，則等于（

）A． B． C． D．【變式22】（2024·高二·江蘇揚(yáng)州·期中）如圖，三棱柱中，G為棱AD的中點(diǎn)，若，，，則（

）

A． B．C． D．【變式23】（2024·高二·河南鄭州·期中）空間四邊形中，，，，點(diǎn)在上，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．【變式24】（2024·高二·湖北·階段練習(xí)）在平行六面體中，設(shè)，，，，分別是，的中點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．題型三：正交分解【典例31】（2024·高二·河南洛陽(yáng)·階段練習(xí)）已知是空間的一個(gè)單位正交基底，向量，是空間的另一個(gè)基底，向量在基底下的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【典例32】（2024·高二·山東煙臺(tái)·階段練習(xí)）設(shè)是單位正交基底，已知，若向量在基底下的坐標(biāo)為，則向量在基底下的坐標(biāo)是（

）A． B．C． D．【方法技巧與總結(jié)】正交基底的三個(gè)向量共起點(diǎn)【變式31】（2024·高二·河北保定·期中）定義：設(shè)是空間的一個(gè)基底，若向量，則稱(chēng)實(shí)數(shù)組為向量在基底下的坐標(biāo).已知是空間的單位正交基底，是空間的另一個(gè)基底.若向量在基底下的坐標(biāo)為，則向量在基底下的模長(zhǎng)為（

）A．3 B． C．9 D．6【變式32】（2024·高二·湖北武漢·階段練習(xí)）向量是空間的一個(gè)單位正交基底，向量在基底，，下的坐標(biāo)為，則在基底的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【變式33】（2024·高二·湖北武漢·階段練習(xí)）已知是空間的一組單位正交基底，若向量在基底下用有序?qū)崝?shù)組表示為，則與向量同向的單位向量在基底下用有序?qū)崝?shù)組表示為（

）A． B．C． D．【變式34】（2024·高二·全國(guó)·課后作業(yè)）在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCDA1B1C1D1中,AD1的中點(diǎn)為M，B1D1的中點(diǎn)為N，若以{}為單位正交基底,則的坐標(biāo)為()A． B．C． D．題型四：用空間向量基本定理解決相關(guān)的幾何問(wèn)題【典例41】（2024·高二·江蘇宿遷·期中）如圖所示，在空間四邊形中，與成角，與成角，與成角，且，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，試求，間的距離．

【典例42】（2024·高二·上海·課后作業(yè)）四棱柱的六個(gè)面都是平行四邊形，點(diǎn)在對(duì)角線上，且，點(diǎn)在對(duì)角線上，且．(1)設(shè)向量，，，用、、表示向量、；(2)求證：、、三點(diǎn)共線．【方法技巧與總結(jié)】應(yīng)用空間向量基本定理可以證明空間的線線垂直、線線平行，可求兩條異面直線所成的角等．首先根據(jù)幾何體的特點(diǎn)，選擇一個(gè)基底，把題目中涉及的兩條直線所在的向量用基向量表示．（1）若證明線線垂直，只需證明兩向量數(shù)量積為0；（2）若證明線線平行，只需證明兩向量共線；（3）若要求異面直線所成的角，則轉(zhuǎn)化為兩向量的夾角（或其補(bǔ)角）．【變式41】（2024·高二·江蘇常州·階段練習(xí)）如圖所示，平行六面體中，．(1)用向量表示向量，并求；(2)求．【變式42】（2024·高二·安徽·期中）已知正三棱錐如圖所示，其中，，點(diǎn)D在平面內(nèi)的投影為點(diǎn)E，點(diǎn)F為線段上靠近B的三等分點(diǎn)．(1)若，求的值；(2)求的值．【變式43】（2024·高二·江蘇常州·階段練習(xí)）如圖，在底面為菱形的平行六面體中，分別在棱上，且，且.

(1)求證：共面；(2)當(dāng)為何值時(shí)，；(3)若，且，求的長(zhǎng).【變式44】（2024·高二·重慶九龍坡·階段練習(xí)）如圖，已知四棱錐的底面為平行四邊形，平面與直線、、分別交于點(diǎn)、、，且滿(mǎn)足.點(diǎn)在直線上，為棱的中點(diǎn)，且直線平面.(1)設(shè)，，，