2025屆甘肅省徽縣三中數(shù)學(xué)高三上期末經(jīng)典試題含解析

2025屆甘肅省徽縣三中數(shù)學(xué)高三上期末經(jīng)典試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．雙曲線(xiàn)：（），左焦點(diǎn)到漸近線(xiàn)的距離為2，則雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為（）A． B． C． D．2．一場(chǎng)考試需要2小時(shí)，在這場(chǎng)考試中鐘表的時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)的弧度數(shù)為（）A． B． C． D．3．設(shè)是兩條不同的直線(xiàn),是兩個(gè)不同的平面,下列命題中正確的是（）A．若,,則 B．若，,則C．若,,則 D．若,,則4．已知是過(guò)拋物線(xiàn)焦點(diǎn)的弦，是原點(diǎn)，則（）A．－2 B．－4 C．3 D．－35．已知復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則（）A． B． C． D．6．已知直線(xiàn)y＝k（x﹣1）與拋物線(xiàn)C：y2＝4x交于A，B兩點(diǎn)，直線(xiàn)y＝2k（x﹣2）與拋物線(xiàn)D：y2＝8x交于M，N兩點(diǎn)，設(shè)λ＝|AB|﹣2|MN|，則（）A．λ＜﹣16 B．λ＝﹣16 C．﹣12＜λ＜0 D．λ＝﹣127．已知，則下列說(shuō)法中正確的是（）A．是假命題 B．是真命題C．是真命題 D．是假命題8．已知函數(shù)，集合，，則（）A． B．C． D．9．已知a，b∈R，，則（）A．b＝3a B．b＝6a C．b＝9a D．b＝12a10．已知雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)為，若雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)的傾斜角為，且點(diǎn)到該漸近線(xiàn)的距離為，則雙曲線(xiàn)的實(shí)軸的長(zhǎng)為A． B．C． D．11．的展開(kāi)式中的一次項(xiàng)系數(shù)為（）A． B． C． D．12．已知圓：，圓：，點(diǎn)、分別是圓、圓上的動(dòng)點(diǎn)，為軸上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值是（）A． B．9 C．7 D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若關(guān)于的不等式在上恒成立，則的最大值為_(kāi)_________．14．執(zhí)行如圖所示的偽代碼，若輸出的y的值為13，則輸入的x的值是_______.15．若向量滿(mǎn)足，則實(shí)數(shù)的取值范圍是____________.16．已知向量，，且，則________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）過(guò)點(diǎn)作傾斜角為的直線(xiàn)與曲線(xiàn)（為參數(shù)）相交于M、N兩點(diǎn)．（1）寫(xiě)出曲線(xiàn)C的一般方程；（2）求的最小值．18．（12分）一酒企為擴(kuò)大生產(chǎn)規(guī)模，決定新建一個(gè)底面為長(zhǎng)方形的室內(nèi)發(fā)酵館，發(fā)酵館內(nèi)有一個(gè)無(wú)蓋長(zhǎng)方體發(fā)酵池，其底面為長(zhǎng)方形(如圖所示)，其中.結(jié)合現(xiàn)有的生產(chǎn)規(guī)模，設(shè)定修建的發(fā)酵池容積為450米，深2米.若池底和池壁每平方米的造價(jià)分別為200元和150元，發(fā)酵池造價(jià)總費(fèi)用不超過(guò)65400元（1）求發(fā)酵池邊長(zhǎng)的范圍；（2）在建發(fā)酵館時(shí)，發(fā)酵池的四周要分別留出兩條寬為4米和米的走道（為常數(shù)）.問(wèn):發(fā)酵池的邊長(zhǎng)如何設(shè)計(jì)，可使得發(fā)酵館占地面積最小.19．（12分）已知，，求證：（1）；（2）.20．（12分）如圖，設(shè)橢圓：，長(zhǎng)軸的右端點(diǎn)與拋物線(xiàn)：的焦點(diǎn)重合，且橢圓的離心率是．（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）過(guò)作直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于，兩點(diǎn)，過(guò)且與直線(xiàn)垂直的直線(xiàn)交橢圓于另一點(diǎn)，求面積的最小值，以及取到最小值時(shí)直線(xiàn)的方程．21．（12分）設(shè)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線(xiàn)為，為拋物線(xiàn)過(guò)焦點(diǎn)的弦，已知以為直徑的圓與相切于點(diǎn).（1）求的值及圓的方程；（2）設(shè)為上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的切線(xiàn)，切點(diǎn)為，證明：.22．（10分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，且曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為.（1）寫(xiě)出直線(xiàn)的普通方程與曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)直線(xiàn)上的定點(diǎn)在曲線(xiàn)外且其到上的點(diǎn)的最短距離為，試求點(diǎn)的坐標(biāo).

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

首先求得雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)方程，再利用左焦點(diǎn)到漸近線(xiàn)的距離為2，列方程即可求出，進(jìn)而求出漸近線(xiàn)的方程.【詳解】設(shè)左焦點(diǎn)為，一條漸近線(xiàn)的方程為，由左焦點(diǎn)到漸近線(xiàn)的距離為2，可得，所以漸近線(xiàn)方程為，即為,故選：B【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)的方程，考查了點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，屬于中檔題.2、B【解析】

因?yàn)闀r(shí)針經(jīng)過(guò)2小時(shí)相當(dāng)于轉(zhuǎn)了一圈的，且按順時(shí)針轉(zhuǎn)所形成的角為負(fù)角，綜合以上即可得到本題答案.【詳解】因?yàn)闀r(shí)針旋轉(zhuǎn)一周為12小時(shí)，轉(zhuǎn)過(guò)的角度為，按順時(shí)針轉(zhuǎn)所形成的角為負(fù)角，所以經(jīng)過(guò)2小時(shí)，時(shí)針?biāo)D(zhuǎn)過(guò)的弧度數(shù)為.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查正負(fù)角的定義以及弧度制，屬于基礎(chǔ)題.3、C【解析】

在A中，與相交或平行；在B中，或；在C中，由線(xiàn)面垂直的判定定理得；在D中，與平行或．【詳解】設(shè)是兩條不同的直線(xiàn)，是兩個(gè)不同的平面，則：在A中，若，，則與相交或平行，故A錯(cuò)誤；在B中，若，，則或，故B錯(cuò)誤；在C中，若，，則由線(xiàn)面垂直的判定定理得，故C正確；在D中，若，，則與平行或，故D錯(cuò)誤．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查命題真假的判斷，考查空間中線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，是中檔題．4、D【解析】

設(shè)，，設(shè)：，聯(lián)立方程得到，計(jì)算得到答案.【詳解】設(shè)，，故.易知直線(xiàn)斜率不為，設(shè)：，聯(lián)立方程，得到，故，故.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線(xiàn)中的向量的數(shù)量積，設(shè)直線(xiàn)為可以簡(jiǎn)化運(yùn)算，是解題的關(guān)鍵.5、A【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，可得，然后利用復(fù)數(shù)模的概念，可得結(jié)果.【詳解】由題可知：由，所以所以故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，考驗(yàn)計(jì)算，屬基礎(chǔ)題.6、D【解析】

分別聯(lián)立直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的方程，利用韋達(dá)定理，可得，，然后計(jì)算，可得結(jié)果.【詳解】設(shè)，聯(lián)立則，因?yàn)橹本€(xiàn)經(jīng)過(guò)C的焦點(diǎn)，所以.同理可得，所以故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查的是直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)問(wèn)題，運(yùn)用拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)弦求參數(shù)，屬基礎(chǔ)題。7、D【解析】

舉例判斷命題p與q的真假，再由復(fù)合命題的真假判斷得答案．【詳解】當(dāng)時(shí)，故命題為假命題；記f（x）＝ex﹣x的導(dǎo)數(shù)為f′（x）＝ex，易知f（x）＝ex﹣x（﹣∞，0）上遞減，在（0，＋∞）上遞增，∴f（x）＞f（0）＝１＞0，即，故命題為真命題；∴是假命題故選D【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)合命題的真假判斷，考查全稱(chēng)命題與特稱(chēng)命題的真假，考查指對(duì)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，是基礎(chǔ)題．8、C【解析】

分別求解不等式得到集合,再利用集合的交集定義求解即可.【詳解】,，∴．故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合的基本運(yùn)算,難度容易.9、C【解析】

兩復(fù)數(shù)相等，實(shí)部與虛部對(duì)應(yīng)相等.【詳解】由，得，即a，b＝1．∴b＝9a．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的概念，屬于基礎(chǔ)題.10、B【解析】

雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為，由題可知．設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，解得，所以，解得，所以雙曲線(xiàn)的實(shí)軸的長(zhǎng)為，故選B．11、B【解析】

根據(jù)多項(xiàng)式乘法法則得出的一次項(xiàng)系數(shù)，然后由等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式和組合數(shù)公式得出結(jié)論．【詳解】由題意展開(kāi)式中的一次項(xiàng)系數(shù)為．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，應(yīng)用多項(xiàng)式乘法法則可得展開(kāi)式中某項(xiàng)系數(shù)．同時(shí)本題考查了組合數(shù)公式．12、B【解析】試題分析：圓的圓心，半徑為，圓的圓心，半徑是．要使最大，需最大，且最小，最大值為的最小值為，故最大值是;關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，，故的最大值為，故選B．考點(diǎn)：圓與圓的位置關(guān)系及其判定．【思路點(diǎn)睛】先根據(jù)兩圓的方程求出圓心和半徑，要使最大，需最大，且最小，最大值為的最小值為，故最大值是，再利用對(duì)稱(chēng)性，求出所求式子的最大值．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

分類(lèi)討論，時(shí)不合題意；時(shí)求導(dǎo)，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，得到在上的最小值，利用不等式恒成立轉(zhuǎn)化為函數(shù)最小值，化簡(jiǎn)得，構(gòu)造放縮函數(shù)對(duì)自變量再研究，可解,【詳解】令；當(dāng)時(shí)，，不合題意；當(dāng)時(shí)，，令，得或，所以在區(qū)間和上單調(diào)遞減.因?yàn)?，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在處取極小值，即最小值為.若，，則，即.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，則.設(shè)，則.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，所以，即，所以的最大值為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查不等式恒成立問(wèn)題.不等式恒成立問(wèn)題的求解思路：已知不等式(為實(shí)參數(shù))對(duì)任意的恒成立，求參數(shù)的取值范圍．利用導(dǎo)數(shù)解決此類(lèi)問(wèn)題可以運(yùn)用分離參數(shù)法;如果無(wú)法分離參數(shù)，可以考慮對(duì)參數(shù)或自變量進(jìn)行分類(lèi)討論求解，如果是二次不等式恒成立的問(wèn)題，可以考慮二次項(xiàng)系數(shù)與判別式的方法(,或，)求解．14、8【解析】

根據(jù)偽代碼逆向運(yùn)算求得結(jié)果.【詳解】輸入，若，則，不合題意若，則，滿(mǎn)足題意本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題考查算法中的語(yǔ)言，屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】

根據(jù)題意計(jì)算，解得答案.【詳解】，故，解得.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了向量的數(shù)量積，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.16、【解析】

根據(jù)垂直向量的坐標(biāo)表示可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的等式，即可求得實(shí)數(shù)的值.【詳解】，且，則，解得.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查利用向量垂直求參數(shù)，涉及垂直向量的坐標(biāo)表示，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）．【解析】

（1）將曲線(xiàn)的參數(shù)方程消參得到普通方程；（2）寫(xiě)出直線(xiàn)MN的參數(shù)方程，將參數(shù)方程代入曲線(xiàn)方程，并將其化為一個(gè)關(guān)于的一元二次方程，根據(jù)，結(jié)合韋達(dá)定理和余弦函數(shù)的性質(zhì)，即可求出的最小值.【詳解】（1）由曲線(xiàn)C的參數(shù)方程（是參數(shù)），可得，即曲線(xiàn)C的一般方程為．（2）直線(xiàn)MN的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），將直線(xiàn)MN的參數(shù)方程代入曲線(xiàn)，得，整理得，設(shè)M，N對(duì)應(yīng)的對(duì)數(shù)分別為，，則，當(dāng)時(shí)，取得最小值為．【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)參數(shù)方程的問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有參數(shù)方程向普通方程的轉(zhuǎn)化，直線(xiàn)的參數(shù)方程的應(yīng)用，屬于簡(jiǎn)單題目.18、（1）（2）當(dāng)時(shí)，，米時(shí)，發(fā)酵館的占地面積最小；當(dāng)時(shí)，時(shí)，發(fā)酵館的占地面積最?。划?dāng)時(shí)，米時(shí)，發(fā)酵館的占地面積最小.【解析】

（1）設(shè)米，總費(fèi)用為，解即可得解；（2）結(jié)合（1）可得占地面積結(jié)合導(dǎo)函數(shù)分類(lèi)討論即可求得最值.【詳解】（1）由題意知:矩形面積米，設(shè)米，則米，由題意知:，得，設(shè)總費(fèi)用為，則，解得:，又，故，所以發(fā)酵池邊長(zhǎng)的范圍是不小于15米，且不超過(guò)25米；（2）設(shè)發(fā)酵館的占地面積為由（1）知:，①時(shí)，，在上遞增，則，即米時(shí)，發(fā)酵館的占地面積最??；②時(shí)，，在上遞減，則，即米時(shí)，發(fā)酵館的占地面積最??；③時(shí)，時(shí)，，遞減；時(shí)，遞增，因此，即時(shí)，發(fā)酵館的占地面積最小；綜上所述：當(dāng)時(shí)，，米時(shí)，發(fā)酵館的占地面積最小；當(dāng)時(shí)，時(shí)，發(fā)酵館的占地面積最小；當(dāng)時(shí)，米時(shí)，發(fā)酵館的占地面積最小.【點(diǎn)睛】此題考查函數(shù)模型的應(yīng)用，關(guān)鍵在于根據(jù)題意恰當(dāng)?shù)亟⒛Ｐ?，利用函?shù)性質(zhì)討論最值取得的情況.19、（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析．【解析】

（1）結(jié)合基本不等式可證明；（2）利用基本不等式得，即，同理得其他兩個(gè)式子，三式相加可證結(jié)論．【詳解】（1）∵，∴，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c等號(hào)成立，∴；（2）由基本不等式，∴，同理，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c等號(hào)成立∴．【點(diǎn)睛】本題考查不等式的證明，考查用基本不等式證明不等式成立．解題關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)基本不等式的形式，方法是綜合法．20、（Ⅰ）；（Ⅱ）面積的最小值為9，.【解析】

（Ⅰ）由已知求出拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)即得橢圓中的，再由離心率可求得，從而得值，得標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）設(shè)直線(xiàn)方程為，設(shè)，把直線(xiàn)方程代入拋物線(xiàn)方程，化為的一元二次方程，由韋達(dá)定理得，由弦長(zhǎng)公式得，同理求得點(diǎn)的橫坐標(biāo)，于是可得，將面積表示為參數(shù)的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可求得最大值.【詳解】（Ⅰ）∵橢圓：，長(zhǎng)軸的右端點(diǎn)與拋物線(xiàn)：的焦點(diǎn)重合，∴，又∵橢圓的離心率是，∴，，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)的方程設(shè)為，設(shè)，，聯(lián)立得，∴，，∴．過(guò)且與直線(xiàn)垂直的直線(xiàn)設(shè)為，聯(lián)立得，∴，故，∴，面積．令，則，，令，則，即時(shí)，面積最小，即當(dāng)時(shí)，面積的最小值為9，此時(shí)直線(xiàn)的方程為．【點(diǎn)睛】本題考查橢圓方程的求解，拋物線(xiàn)中弦長(zhǎng)的求解，涉及三角形面積范圍問(wèn)題，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值問(wèn)題，屬綜合困難題.21、（1）2，；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】

（1）由題意得的方程為，根據(jù)為拋物線(xiàn)過(guò)焦點(diǎn)的弦，以為直徑的圓與相切于點(diǎn)..利用拋物線(xiàn)和圓的對(duì)稱(chēng)性，可得，圓心為，半徑為2.（2）設(shè)，的方程為，代入的方程，得，根據(jù)直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相切，令，得，代入，解得.將代入的方程，得，得到點(diǎn)N的坐標(biāo)為，然后求解.【詳解】（1）解：由題意得的方程為，所以，解得.又由拋物線(xiàn)和圓的對(duì)稱(chēng)性可知，所求圓的圓心為，半徑為2.所以圓的方程為.（2）證明：易知直線(xiàn)的斜率存在且不為0，設(shè)，的方程為，代入的方程，得.令，得，所以，解得.將代入的方程，得，即點(diǎn)N的坐標(biāo)為，所以，，故.【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線(xiàn)的定義幾何性質(zhì)以及直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.22、（1）的普通方程為．的直角坐標(biāo)方程為（2）（-1，0）或（2，3）【解析】

（1）對(duì)直線(xiàn)的參數(shù)方程消參數(shù)即可求得直線(xiàn)的普通