北京市十二中2025屆數(shù)學(xué)高二上期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試模擬試題含解析

北京市十二中2025屆數(shù)學(xué)高二上期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試模擬試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．拋物線上的一點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離等于（）A. B.C. D.2．已知圓：，點(diǎn)，則點(diǎn)到圓上點(diǎn)的最小距離為（）A.1 B.2C. D.3．在圓上任取一點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線段PD，D為垂足，當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段PD的中點(diǎn)M的軌跡記為C，則曲線C的離心率為（）A. B.C. D.4．“﹣3＜m＜4”是“方程表示橢圓”的（）條件A.充分不必要 B.必要不充分C.充要 D.既不充分也不必要5．已知圓O的半徑為5，，過(guò)點(diǎn)P的2021條弦的長(zhǎng)度組成一個(gè)等差數(shù)列，最短弦長(zhǎng)為，最長(zhǎng)弦長(zhǎng)為，則其公差為（）A. B.C. D.6．閱讀如圖所示程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，輸出的S的值等于（）A.2 B.6C.14 D.307．過(guò)點(diǎn)且垂直于直線的直線方程為（）A. B.C. D.8．曲線的一個(gè)焦點(diǎn)F到兩條漸近線的垂線段分別為FA，F(xiàn)B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若四邊形OAFB是菱形，則雙曲線C的離心率等于（）A. B.C.2 D.9．已知函數(shù)，，若對(duì)任意的，，都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.10．已知雙曲線（，）的左、右焦點(diǎn)分別為，，.若雙曲線M的右支上存在點(diǎn)P，使，則雙曲線M的離心率的取值范圍為（）A. B.C. D.11．拋物線的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離是（）A.4 B.3C.2 D.112．設(shè)集合或，，則（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知離心率為的橢圓：和離心率為的雙曲線：有公共的焦點(diǎn)，其中為左焦點(diǎn)，P是與在第一象限的公共點(diǎn).線段的垂直平分線經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)____________.14．若球的大圓的面積為，則該球的表面積為_(kāi)__________.15．已知拋物線C：y2＝2px（p＞0）上的點(diǎn)P（1，y0）（y0＞0）到焦點(diǎn)的距離為2，則p＝__16．已知直線與直線平行，則實(shí)數(shù)m的值為_(kāi)_____三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）在四面體ABCD中，CB=CD，，且E，F(xiàn)分別是AB，BD的中點(diǎn)，求證：（I）直線；（II）．18．（12分）已知圓O：與圓C：（1）在①，②這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，填在下面的橫線上，并解答若______，判斷這兩個(gè)圓的位置關(guān)系；（2）若，求直線被圓C截得的弦長(zhǎng)注：若第（1）問(wèn)選擇兩個(gè)條件分別作答，按第一個(gè)作答計(jì)分19．（12分）一個(gè)完美均勻且靈活的平衡鏈被它的兩端懸掛，且只受重力的影響，這個(gè)鏈子形成的曲線形狀被稱為懸鏈線（如圖所示）.選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系后，懸鏈線對(duì)應(yīng)的函數(shù)近似是一個(gè)雙曲余弦函數(shù)，其解析式可以為，其中，是常數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，判斷并證明的奇偶性；（2）當(dāng)時(shí)，若最小值為，求的最小值.20．（12分）已知拋物線：的焦點(diǎn)為，直線與拋物線在第一象限的交點(diǎn)為，且（1）求拋物線的方程；（2）經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)作互相垂直的兩條直線，，與拋物線相交于，兩點(diǎn)，與拋物線相交于，兩點(diǎn)．若，分別是線段，的中點(diǎn)，求的最小值21．（12分）已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若在區(qū)間上有唯一的零點(diǎn).（?。┣蟮娜≈捣秶唬áⅲ┳C明：.22．（10分）已知圓：，直線：．圓與圓關(guān)于直線對(duì)稱（1）求圓的方程；（2）點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)分別為、．求四邊形面積的取值范圍

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】由點(diǎn)的坐標(biāo)求得參數(shù)，再由焦半徑公式得結(jié)論【詳解】由題意，解得，所以，故選：C2、C【解析】寫出圓的圓心和半徑，求出距離的最小值，再結(jié)合圓外一點(diǎn)到圓上點(diǎn)的距離最小值的方法即可求解.【詳解】由圓：，得圓，半徑為，所以，所以點(diǎn)到圓上點(diǎn)的最小距離為.故選：C.3、B【解析】設(shè)，，則由題意可得，代入圓方程中化簡(jiǎn)可得曲線C的方程，從而可求出離心率【詳解】設(shè)，，則，得，所以，因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，所以，即，所以點(diǎn)的軌跡方程為，所以，則所以離心率為，故選：B4、B【解析】求出方程表示橢圓的充要條件是且,由此可得答案.【詳解】因?yàn)榉匠瘫硎緳E圓的充要條件是,解得且,所以“﹣3＜m＜4”是“方程表示橢圓”的必要不充分條件.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了由方程表示橢圓求參數(shù)的范圍,考查了充要條件和必要不充分條件,本題易錯(cuò)點(diǎn)警示:漏掉,本題屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】可得過(guò)點(diǎn)P的最長(zhǎng)弦長(zhǎng)為直徑，最短弦長(zhǎng)為過(guò)點(diǎn)P的與垂直的弦，分別求出即可得出公差.【詳解】可得過(guò)點(diǎn)P的最長(zhǎng)弦長(zhǎng)為直徑，，最短弦長(zhǎng)為過(guò)點(diǎn)P的與垂直的弦，，公差.故選：B.6、C【解析】模擬運(yùn)行程序，直到得出輸出的S的值.【詳解】運(yùn)行程序框圖，，，；，，；，，；，輸出.故選：C7、A【詳解】因?yàn)樗笾本€垂直于直線，又直線的斜率為，所以所求直線的斜率，所以直線方程為，即.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查直線方程的求法，屬基礎(chǔ)題.8、A【解析】依題意可得為正方形，即可得到，從而得到雙曲線的漸近線為，即可求出雙曲線的離心率；【詳解】解：依題意，，且四邊形為菱形，所以為正方形，所以，即雙曲線的漸近線為，即，所以；故選：A9、B【解析】根據(jù)題意，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)任意的，，利用導(dǎo)數(shù)求得的最大值，再分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求其最大值，即可求得參數(shù)的取值范圍.【詳解】由題可知：對(duì)任意的，，都有恒成立，故可得對(duì)任意的，；又，則，故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，又，，則當(dāng)時(shí)，,.對(duì)任意的，，即，恒成立.也即，不妨令，則，故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.故，則只需.故選：B.10、A【解析】利用三角形正弦定理結(jié)合，用a，c表示出，再由點(diǎn)P的位置列出不等式求解即得.【詳解】依題意，點(diǎn)P不與雙曲線頂點(diǎn)重合，在中，由正弦定理得：，因，于是得，而點(diǎn)P在雙曲線M的右支上，即，從而有，點(diǎn)P在雙曲線M的右支上運(yùn)動(dòng)，并且異于頂點(diǎn)，于是有，因此，，而，整理得，即，解得，又，故有，所以雙曲線M的離心率的取值范圍為.故選：A11、C【解析】由拋物線焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為求解即可.【詳解】因?yàn)閽佄锞€焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為,故拋物線的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離是2.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程中的幾何意義,屬于基礎(chǔ)題型.12、B【解析】根據(jù)交集的概念和運(yùn)算直接得出結(jié)果.【詳解】由題意知，.故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、##4.5【解析】設(shè)為右焦點(diǎn)，半焦距為，，由題意，，則，所以，從而有，最后利用均值不等式即可求解.【詳解】解：設(shè)為右焦點(diǎn)，半焦距為，，由題意，，則，所以，即，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，所以，故答案為：.14、【解析】設(shè)球的半徑為，則球的大圓的半徑為，根據(jù)圓的面積公式列方程求出，再由球的表面積公式即可求解.【詳解】設(shè)球的半徑為，則球的大圓的半徑為，所以球的大圓的面積為，可得，所以該球的表面積為.故答案為：.15、2【解析】根據(jù)已知條件，結(jié)合拋物線的定義，即可求解【詳解】解：∵拋物線C：y2＝2px（p＞0）上的點(diǎn)P（1，y0）（y0＞0）到焦點(diǎn)的距離為2，∴由拋物線的定義可得，，解得p＝2故答案為：216、【解析】由兩直線平行的判定可得求解即可，注意驗(yàn)證是否出現(xiàn)直線重合的情況.【詳解】由題設(shè)，，解得，經(jīng)檢驗(yàn)滿足題設(shè).故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（I）證明見(jiàn)解析（II）證明見(jiàn)解析【解析】證明：（I）E，F(xiàn)分別為AB，BD的中點(diǎn)（II），又，所以18、（1）選①:外離；選②：相切;（2）【解析】(1)不論選①還是選②，都要首先算出兩圓的圓心距，然后和兩圓的半徑之和或差進(jìn)行比較即可；(2)根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，先計(jì)算圓心到直線的距離，然后利用圓心距、半徑、弦長(zhǎng)的一半之間的關(guān)系求解.【小問(wèn)1詳解】選①圓O的圓心為，半徑為l；圓C的圓心為，半徑為因?yàn)閮蓤A的圓心距為，且兩圓的半徑之和為，所以兩圓外離選②圓O的圓心為，半徑為1．圓C的圓心為，半徑為2因?yàn)閮蓤A的圓心距為．且兩圓的半徑之和為，所以兩圓外切【小問(wèn)2詳解】因?yàn)辄c(diǎn)C到直線的距離，所以直線被圓C截得的弦長(zhǎng)為19、（1）偶函數(shù)（2）10【解析】(1)根據(jù)偶函數(shù)定義直接判斷可知；(2)由基本不等式求得的最小值，得到a、b的關(guān)系，然后代入目標(biāo)式，分離常數(shù)，然后可得.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)镽，因?yàn)樗詾榕己瘮?shù).【小問(wèn)2詳解】因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào).由題知，即，因?yàn)椋?，即所以令，，則，所以，所以，當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào).所以的最小值為10.20、（1）；（2）8.【解析】(1)寫出拋物線E的準(zhǔn)線，利用拋物線定義求出p即可作答.(2)由(1)求出焦點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)出直線的方程，并與拋物線E的方程聯(lián)立，由此求出C點(diǎn)坐標(biāo)，同理可得D點(diǎn)坐標(biāo)，列式計(jì)算作答.小問(wèn)1詳解】拋物線：的準(zhǔn)線方程為：，由拋物線定義得：，解得，所以拋物線的方程為：.【小問(wèn)2詳解】由(1)知，點(diǎn)，顯然直線，的斜率都存在且不為0，設(shè)直線斜率為，則的斜率為，直線的方程為：，由消去y并整理得，設(shè)，則，于得線段PQ中點(diǎn)，同理得，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“=”，所以的最小值是8.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：拋物線方程中，字母p的幾何意義是拋物線的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離，等于焦點(diǎn)到拋物線頂點(diǎn)的距離21、（1）；（2）（?。?；（ⅱ）證明見(jiàn)解析.【解析】（1）求出，，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求得切線方程；（2）（ⅰ）根據(jù)題意對(duì)參數(shù)分類討論，當(dāng)時(shí)，等價(jià)轉(zhuǎn)化，且構(gòu)造函數(shù)，利用零點(diǎn)存在定理，即可求得參數(shù)的取值范圍；（ⅱ）根據(jù)（?。┲兴蟮玫脚c的等量關(guān)系，求得并構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性和最值，則問(wèn)題得證.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，則，故，，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為.【小問(wèn)2詳解】（ⅰ）因?yàn)?，故可得，因?yàn)?，則當(dāng)時(shí)，，則，無(wú)零點(diǎn)，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，若在有一個(gè)零點(diǎn)，即在有一個(gè)零點(diǎn)，也即在有一個(gè)零點(diǎn)，又，則單調(diào)遞增，則只需，解得.綜上所述，若在區(qū)間上有唯一的零點(diǎn)，則；（ⅱ）由（ⅰ）可知，若在區(qū)間上有唯一的零點(diǎn)，則，也即，則，令，則，又在都是單調(diào)增函數(shù)，故是單調(diào)增函數(shù)，又，故，則在單調(diào)遞增，則，故，即證.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)以及最值；處理問(wèn)題的關(guān)鍵是合理轉(zhuǎn)化函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題，以及充分利用零點(diǎn)存在定理，熟練掌握構(gòu)造函數(shù)法，屬綜合困難題.22、（1）（2）【解析】（1）圓關(guān)于直線對(duì)稱，半徑不變，只需求出圓心對(duì)稱的坐標(biāo)即可.（2）將四邊形面積分成兩個(gè)全等的直角三角形，利用直角三角形的性質(zhì)，一條直角邊不變時(shí)，斜邊與另外一條直角邊的大小成正相關(guān)，從而得到面積的最小值與最大值.【小問(wèn)