中考數(shù)學(xué)沖刺專題-幾何動態(tài)及最值問題

中考數(shù)學(xué)沖刺專題…幾何動態(tài)及最值問題

一、單選題

1.(2020.江陰模擬)如圖，在邊長為6的等邊三角形ABC中，E是對稱軸AD上的一個動點，連接

CE,將線段CE繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到FC,連接DF.則在點E運動過程中，DF的最小值是

2.(2020.無錫模擬)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC的頂點坐標(biāo)分別為O(0,0),A

(12,0),B(8,6),C(0,6).動點P從點O出發(fā)，以每秒3個單位長度的速度沿邊OA向終點

A運動；動點Q從點B同時出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿邊BC向終點C運動?設(shè)運動的時間

為t秒，作AG_LPQ于點G,則AG的最大值為()

A.V73B.C.爭D.6

55

3.(2020?無錫模擬)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知A(10,0),點P為線段OA上任意一點.在

直線y=上取點E,使PO=PE,延長PE到點F,使PA=PF,分別取OE、AF中點M、N,連

結(jié)MN,則MN的最小值是()

A.4.8C.5.4

4.（2020?宜興模擬）如圖，等邊4ABC的邊長為1,D,E兩點分別在邊AB,AC上，CE=DE,則

線段CE的最小值為（）

A.2—V3B.2V3—3D.店二1

5.（2020.南通模擬）如圖，在矩形紙片ABCD中，AB=8,AD=17,折疊紙片使點B落在邊AD上

的E處，折痕為PQ.當(dāng)E在AD邊上移動時，折痕的端點P,Q也隨著移動.若限定P,Q分別在邊

BA,BC上移動，則點E在邊AD上移動的最大距離為（）

BQC

A.6B.7C.8D.9

6.（2020.無錫模擬）如圖，正方形ABCD中，AB=4,E,F分別是邊AB,AD上的動點，

AE=DF,連接DE,CF交于點P,過點P作PK//BC，且PK=2,若乙CBK的度數(shù)最大

時，則BK長為（）

c.2V10D.472

7.（2020?鎮(zhèn)江模擬）如圖，已知P是半徑為3的。A上一點，延長AP到點C,使AC=4,以AC為

對角線作。ABCD,AB=4V3,G）A交邊AD于點E,當(dāng)。ABCD面積為最大值時，吩的長為

)

D

A.iitB.兀C.得兀D.3兀

8.（2020.泰興模擬）如圖，直線I與。。相切于點A,M是。。上的一個動點，MH±1,垂足為H.若

?0的半徑為1,則MA-MH的最大值為（）

ABC

-1-J-I口.

9.（2020.如皋模擬）如圖，矩形ABCD中，AB=2,AD=3.E,F分別是AD,CD上的動點，EF=2.Q

是EF的中點，P為BC上的動點，連接AP,PQ.則AP+PQ的最小值等于（）

A.2B.3C.4D.5

10.（2019?丹陽模擬）如圖，已知。C的半徑為3,圓外一點。滿足OC=5,點P為。C上

一動點，經(jīng)過點。的直線I上有兩點A，B,且OA=OB,ZAPB=90°,I不經(jīng)過點C,則

AB的最小值（）

A.2B.4C.5D.6

11.（2020.鼓樓模擬）如圖，^ABC中，ZBAC=45°,ZABC=60°,AB=4,D是邊BC上的一個

動點，以AD為直徑畫。O分別交AB、AC于點E、F,則弦EF長度的最小值為（）

A.V3B.V6C.2V2D.2V3

12.（2020.張家港模擬）如圖，已知A,B兩點的坐標(biāo)分別為（8,0）,（0,8）,點C,F分別是直線x=

-5和x軸上的動點，CF=10，點D是線段CF的中點，連接AD交y軸于點E,當(dāng)AABE

面積取得最小值時，tan/BAD的值是（）

13.（2020.蘇州模擬）如圖，正方形ABCD的邊長為1,點P為BC上任意一點（可與點B或C重

合），分別過B、C、D作射線AP的垂線，垂足分別是B，、C\D\則BB—CC+DD，的最小值是

)

14.（2020?無錫模擬）如圖，正方形ABCD中，AB=2,E是中點，CD上有一動點

M,連接EM、BM,將4BEM沿著BM翻折得到4BFM.連接DF、CF,則DF+^FC

的最小值為（）

12

A.1B.|C.1D.

T

二、填空題

15.（2020.蘇州模擬）如圖，AB是半。O的直徑，點C在半。O上，AB=5cm,AC=4cm.D是BC

上的一個動點，連接AD,過點C作CELAD于E,連接BE.在點D移動的過程中，BE的最小值

16.（2020.揚州模擬）已知點A、B是半徑為2的。0上兩點，且/.BOA=120。，點M是

O0上一個動點，點P是AM的中點，連接BP,則BP的最小值是.

17.（2020?昆山模擬）如圖，已知在4ABC中，AB=AC=13,BC=I0,點M是AC邊上任意一點，連

接MB,以MB、MC為鄰邊作平行四邊形MCNB,連接MN,則MN的最小值是

18.（2020?南京模擬）如圖，矩形ABCD中，AB=3,BC=4,點E是A邊上一點，且AE=遍,

點F是邊BC上的任意一點，把4BEF沿EF翻折，點B的對應(yīng)點為G,連接AG,CG,則四邊形

19.（2020?徐州模擬）如圖，在矩形ABCD中，AB=6,AD=8，點E在AD邊上，且4E:E0=

1：3,動點P從點A出發(fā)，沿AB運動到點B停止，過點E作EF，PE,交射線BC于點F,設(shè)

M是線段EF的中點，則在點P運動的整個過程中，點M運動路線的長為.

20.（2020.蘇州模擬）如圖，折線4B—BC中，AB=3,BC=5,將折線AB-BC繞點A按

逆時針方向旋轉(zhuǎn)，得到折線AD-DE，點B的對應(yīng)點落在線段BC上的點D處，點C的對應(yīng)點落

在點E處，連接CE,若CE上BC,貝tan^EDC=

B

21.（2020.揚州模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（1,V3）,B（2,0）,C點在x軸上運動，

過點O作直線AC的垂線，垂足為D.當(dāng)點C在x軸上運動時，點D也隨之運動.則線段BD長的最大

值為.

22.（2020?鎮(zhèn)江模擬）如圖,在RtAABC中，乙4cB=90。,4。=10,BC=5，將直角三角板的直角頂

點與AC邊的中點P重合，直角三角板繞著點P旋轉(zhuǎn)，兩條直角邊分別交AB邊于M,N，則

MN的最小值是.

23.（2020?宜興模擬）如圖，已知。O的半徑是2,點A,B在。O上，且NAOB=90。，動點C在。

O上運動（不與A,B重合），點D為線段BC的中點，連接AD,則線段AD的長度最大值

是?

24.（2020.太倉模擬）如圖所示，等邊△ABC的邊長為4,點D是BC邊上一動點，且CE=BD,連

接AD,BE,AD與BE相交于點P,連接PC.則線段PC的最小值等于.

25.（2020?惠山模擬）在RtZ\ABC中，ZABC=90°,AB=8,BC=4.如圖,將直角頂點B放在原點,

點A放在y軸正半軸上，當(dāng)點B在x軸上向右移動時，點A也隨之在y軸上向下移動，當(dāng)點A到

達原點時，點B停止移動，在移動過程中，點C到原點的最大距離為.

26.（2020?淮安模擬）如圖，正方形ABCD的邊長為2,E為BC上一點，且BE=1,F為AB邊上的

一個動點，連接EF,以EF為底向右側(cè)作等腰直角&EFG,連接CG,則CG的最小值

27.（2020.江陰模擬）如圖，等邊aAOB,點C是邊A。所在直線上的動點，點D是x軸上的動點,

在矩形CDEF中，CD=6,DE=V3,則OF的最小值為.

28.（2020?灌南模擬）如圖，在AABC中，715=10,AC=8,BC=6,經(jīng)過點C且與邊AB

相切的動圓與CA,CB分別相交于點P,Q,則線段PQ長度的最小值是.

29.在等邊aABC中，AB=4,點P是BC邊上的動點，點P關(guān)于直線AB,

則線段MN長的取值范圍是

三、綜合題

30.（2021.泰州模擬）如圖,在。ABCD中，AB=5,BC=10,sinB=1，點P以每秒2個單位長度

的速度從點B出發(fā)，沿著B-C-D-A的方向運動到點A時停止，設(shè)點P運動的時間為ts.

⑴連接AC,判斷aABC是否是直角三角形，試說明理由;

⑵在點P運動的過程中，若以點C為圓心、PC長為半徑的。C與AD邊相切，求t的值;

⑶在點P出發(fā)的同時，點Q以每秒1個單位長度的速度從點C出發(fā)，沿著C-D-A的方向

運動，當(dāng)P、Q中的一點到達終點A時，另一點也停止運動.求當(dāng)BPJ_CQ時t的值.

31.（2021.揚州模擬）如圖，在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,點E是AD邊上的動點，將矩形

(1)如圖1,求證：ZDEAr=2ZABE;

(2)如圖2,若:點4恰好落在BD上，求tan/ABE的值；

(3)若AE=2,求S”，CB.

(4)點E在AD邊上運動的過程中，Z4CB的度數(shù)是否存在最大值，若存在，求出此時線段

AE的長；若不存在，請說明理由.

32.(2020.無錫模擬)在綜合與實踐課上，老師組織同學(xué)們以“三角形紙片的旋轉(zhuǎn)”為主題開展數(shù)學(xué)活

動.如圖1,現(xiàn)有矩形紙片ABCD,AB=8cm,AD=6cm.連接BD,將矩形ABCD沿BD剪開，得到

△ABD和4BCE.保持4ABD位置不變，將4BCE從圖1的位置開始，繞點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，

旋轉(zhuǎn)角為a(0*a<360。).在4BCE旋轉(zhuǎn)過程中，邊CE與邊AB交于點F.

(1)如圖2,將圖1中的4BCE旋轉(zhuǎn)到點C落在邊BD上時，CF=;

(2)繼續(xù)旋轉(zhuǎn)aBCE,當(dāng)點E落在DA延長線上時，求出CF的長；

(3)在4BCE旋轉(zhuǎn)過程中，連接AE,AC,當(dāng)AC=AE時，直接寫出此時a的度數(shù)及AAEC的

面積.

33.(2020.常州模擬)如圖，XABC中，乙4cB=90。,BC=6,ZC=8.點E與點B在AC的同

側(cè)，且4E_L力C.

(1)如圖1,點E不與點A重合，連結(jié)CE交AB于點P.設(shè)AE=x,AP=y，求y關(guān)于x的函

數(shù)解析式，寫出自變量x的取值范圍；

(2)是否存在點E,使APAE與AABC相似，若存在，求AE的長；若不存在，請說明理

由；

(3)如圖2,過點B作BD1AE,垂足為。.將以點E為圓心，ED為半徑的圓記為。E.

若點C到0E上點的距離的最小值為8,求。E的半徑.

34.(2020?無錫模擬)如圖1,已知：在矩形ABCD中，AB=3百cm,AD=9cm,點O從A點出

發(fā)沿AD以acm/s的速度移向點D移動，以。為圓心，2cm長為半徑作圓，交射線AD于M(點M

在點O右側(cè)).同時點E從C點出發(fā)沿CD以6cm/s的速度移向點D移動，過E作直線EF〃BD

交BC于F,再把4CEF沿著動直線EF對折，點C的對應(yīng)點為點G.若在整過移動過程中4EFG

的直角頂點G能與點M重合.設(shè)運動時間為t(0<K3)秒.

(1)求a的值；

(2)在運動過程中,

①當(dāng)直線FG與。。相切時，求t的值;

②是否存在某一時刻t,使點G恰好落在。0上（異于點M）?若存在，請寫出t的值；若不存

在，請說明理由.

35.（2020.無錫模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)為（6,0）,點B的坐標(biāo)為（0,2）,

點M從點A出發(fā)沿x軸負(fù)方向以每秒3cm的速度移動，同時點N從原點出發(fā)沿y軸正方向以每秒

1cm的速度移動?設(shè)移動的時間為t秒.

備用圖

（1）若點M在線段OA上，試問當(dāng)t為何值時，^ABO與以點0、M、N為頂點的三角形相

似？

（2）若直線y=x與AOMN外接圓的另一個交點是點C.

①試說明：當(dāng)0<t<2時，OM、ON、OC在移動過程滿足OM+ON=V2OC;

②試探究：當(dāng)t>2時，OM、ON、OC之間的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化，并說明理由.

36.（2020?南通模擬）

（1）如圖，已知aABC中，D、E分別是AB、AC的中點，求證：DE〃BC,DE=|BC.

（2）利用第（1）題的結(jié)論，解決下列問題：

①如圖，在四邊形ABCD中，AD〃BC,E、F分別是AB、CD的中點，求證：EF〃BC,FE=1

(AD+BC)

AD

EF

BC

②如圖，在四邊形ABCD中，ZA=90°,AB=3V3,AD=3,點M,N分別在邊AB,BC

上，點E,F分別為MN,DN的中點，連接EF,求EF長度的最大值.

37.（2020?南京模擬）如圖①，在△ABC中，ZC=90°,AC=15,BC=20,經(jīng)過點C的。。與△

ABC的每條邊都相交.（DO與AC邊的另一個公共點為D,與BC邊的另一個公共點為E,與AB邊

的兩個公共點分別為F、G.設(shè)。O的半徑為r.

根據(jù)題意，僅用圓規(guī)在圖①中作出一個滿足條件的OO,并標(biāo)明相關(guān)字母；

（2）（初步探究）

求證：CD2+CE2=4r2;

（3）當(dāng)r=8時，貝IJCD2+CE2+FG2的最大值為;

（4）（深入研究）

直接寫出滿足題意的r的取值范圍；對于范圍內(nèi)每一個確定的r的值，CD2+CE2+FG2都有最大

值，每一個最大值對應(yīng)的圓心。所形成的路徑長為.

38.（操作體驗）

如圖①，已知線段AB和直線1,用直尺和圓規(guī)在1上作出所有的點P,使得/APB=30。，如圖

②，小明的作圖方法如下:

B

①

第一步：分別以點A,B為圓心，AB長為半徑作弧，兩弧在AB上方交于點0;

第二步：連接0A,0B;

第三步：以。為圓心，OA長為半徑作。O,交1于P1,P2;

所以圖中Pm即為所求的點.（1）在圖②中，連接P遇,PiB,說明NAPS=30°

（方法遷移）

（1）如圖③，用直尺和圓規(guī)在矩形ABCD內(nèi)作出所有的點P,使得NBPC=45。，（不寫做法，保

留作圖痕跡）.

⑵已知矩形ABCD,BC=2.AB=m,P為AD邊上的點，若滿足NBPC=45。的點P恰有兩個，

則m的取值范圍為.

（3）已知矩形ABCD,AB=3,BC=2,P為矩形ABCD內(nèi)一點，且NBPC=135。，若點P繞點A

逆時針旋轉(zhuǎn)90。到點Q,則PQ的最小值為.

39.

（1）如圖1,點A在。0上，請在圖中用直尺（不含刻度）和圓規(guī)作等邊三角形ABC,使

得點B、C都在。。上.

(2)已知矩形4BCC中，AB=4,BC=m.

①如圖2,當(dāng)m=4時，請在圖中用直尺（不含刻度）和圓規(guī)作等邊三角形AEF,使得點E

在邊BC上，點F在邊CD±；

②若在該矩形中總能作出符合①中要求的等邊三角形AEF,請直接寫出m的取值范圍.

40.（2020.建鄴模擬）（概念認(rèn)識）

若以三角形某邊上任意一點為圓心，所作的半圓上的所有點都在該三角形的內(nèi)部或邊上，則將符

合條件且半徑最大的半圓稱為該邊關(guān)聯(lián)的極限內(nèi)半圓.

如圖①，點P是銳角^ABC的邊BC上一點，以P為圓心的半圓上的所有點都在aABC的內(nèi)部

或邊上.當(dāng)半徑最大時，半圓P為邊BC關(guān)聯(lián)的極限內(nèi)半圓.

（1）（初步思考）若等邊aABC的邊長為1,則邊BC關(guān)聯(lián)的極限內(nèi)半圓的半徑長為.

（2）如圖②，在鈍角AABC中，用直尺和圓規(guī)作出邊BC關(guān)聯(lián)的極限內(nèi)半圓（保留作圖痕跡，

不寫作法）.

（3）（深入研究）如圖③，ZAOB=30°,點C在射線OB上，OC=6,點Q是射線OA上一動

點.在△QOC中，若邊OC關(guān)聯(lián)的極限內(nèi)半圓的半徑為r,當(dāng)仁工2時，求OQ的長的取值范圍.

圖3

答案解析部分

1.【答案】D

【考點】垂線段最短；全等三角形的判定與性質(zhì)；含30。角的直角三角形

【解析】【解答】解：如圖，取AC的中點G,連接EG,

???旋轉(zhuǎn)角為60。，

.-.ZECD+ZDCF=60°,

又,:ZECD+ZGCE=ZACB=60°,

.\ZDCF=ZGCE,

,/AD是等邊AABC的對稱軸，

1

Bc

-

2

，CD=CG,

XVCE旋轉(zhuǎn)至IJCF,

.\CE=CF,

在ZXDCF和AGCE中，

(CE=CF

Z￡?CF=ZGCE,

(CD=CG

.二△DCF絲△GCE(SAS),

，DF=EG,

根據(jù)垂線段最短，EG_LAD時，EG最短，即DF最短,

此時?；NCAD=1x60°=30°,AG=1AC=1x6=3,

.?.EG=1AG=1x3=1.5,

.,.DF=15

故答案為：D.

【分析】取AC的中點G,連接EG,由等邊三角形和軸對稱的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得CD=CG,

CE=CF,用邊角邊可證△DCFgAGCE,所以DF=EG,根據(jù)垂線段最短，EGLAD時，EG最短，

即DF最短，結(jié)合已知由30度角所對的直角邊等于斜邊的一半可求得EG的值，則DF=EG可求解.

2.【答案】B

【考點】勾股定理；相似三角形的判定與性質(zhì)；解直角三角形

【解析】【解答】解：連接OB,交PQ于點D,連接AD,過點D作DF_LOA于點F,

VOC=6,BC=8,

?,-OB=VOC2+BC2=10.

?.?BQ〃OP,

.".△BDQ^AODP,

.BD_BQ_2t_2

'"0D~OP~3t~3

：.OD=6.

：CB〃OA,

.?.ZDOF=ZOBC.

在RtZ\OBC中，sinZOBC=oc_6_3,cosZOBC=BC_8=i

OB~10~5,OB-TO

OF=OD?cosZOBC=6x1=學(xué),DF=OD?sinZOBC=6x|=18

T

.?.點D的坐標(biāo)為（等,當(dāng)），

：.AF=OA-OF=12-=2^4=^-

??AD=y/AF24-DF2=

VAG1PQ

??AG4AD=-g—

...當(dāng)G與D重合時AG的最大，最大值為萼，

故答案為：B.

【分析】連接0B,交PQ于點D,過點D作DFJ_OA于點F,可求出點D的坐標(biāo)與t無關(guān)，由Rt

△ADG中AG<AD可得AG的最大值為AD,此題得解.

3.【答案】A

【考點】等腰三角形的性質(zhì)；解直角三角形

【解析】【解答】解：?；OP=PE,M為0E的中點，

???PM10E,乙EOP=乙OEP

vPA=PF,N為AF的中點,

???PNLAF,乙FPN=Z.NPA,

vZ.APF=Z.EOP4-乙OEP=乙FPN+乙NPA

乙FPN=乙EOP=4MEP

???（MEP+乙EPM=90°

???乙NPF+匕EPM=90°

連接MN,則AMNP為直角三角形,

3

tanz.EOP=-r

4

□□

設(shè)。P=p,則MP-gp,AP=10—p,tanzWPA=彳

4

PN=衣(10—p)

J

34

.??MN2=PN2+MP2=Qp)2+[-(10-p)]2

25M/V2=25P2-320p+1600

2264576

:.MN，=p"——g-p+64=(p-+-25

當(dāng)「=:時，MN?最小值為密

:.MN的最小值為左=4.8

故答案為：A.

【分析】分別證明PMLOE,PN1AF,ZMPN=90°,易得AMNP為直角三角形，設(shè)OP=

p,則MP=|p,AP=10-p,由勾股定理得MN?=p2一等p+64,從而可得出MN2最

小值為塞，進一步得出結(jié)論.

4.【答案】B

【考點】垂線段最短；等邊三角形的性質(zhì)；解直角三角形

【解析】【解答】如圖所示：當(dāng)EDJ_AB此時DE=EC最短，

設(shè)EC=DE=x,則AE=l-x,

VAABC是等邊三角形，

,,.ZA=60°,

則sin60*曜=膽=/_

AE21-x

解得:x=2解-3.

故答案為：B.

【分析】利用垂線段最短的性質(zhì)結(jié)合銳角三角函數(shù)關(guān)系以及等邊三角形的性質(zhì)求出即可.

5.【答案】A

【考點】勾股定理；矩形的性質(zhì)；翻折變換(折疊問題)

【解析】【解答】解：如圖1,

當(dāng)點P與點A重合時，根據(jù)翻折對稱性可得AE=AB=8,

圖2

當(dāng)點C與點Q重合時，根據(jù)翻折對稱性可得

QE=BC=17,

在RtAECD中，EC2=DE2+CD2,

即172=(17-AE)2+82,

解得:AE=2,

所以點A，在BC上可移動的最大距離為8-2=6.

故答案為：A.

【分析】分別利用當(dāng)點P與點A重合時，以及當(dāng)點C與點Q重合時，求出AE的極值進而得出答案.

6.【答案】A

【考點】平行四邊形的判定與性質(zhì)；菱形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)；切線的性質(zhì)

【解析】【解答】,?,正方形ABCD中，AD=CD,ZA=ZCDA=90°,

VAE=DF,

.,.△ADE^ADCF(SAS),

AZADE=ZDCF,

VZADE+ZCDE=90°,

AZDCF+ZCDE=90°,

AZCPD=90°,

.,?點P在以CD為直徑的半圓上運動，

取CD的中點O,過。作OMLCD,且點M在CD的右側(cè)，MO=2,

連接OP,KM,過M作MNJ_BC,與BC的延長線交于點N,

??，PK〃BC,BC±CD,

APK1CD,

APK//OM,PK=OM=2,

.,?四邊形POMK是平行四邊形，

??'CD=AB=4,

：.OP=JCD=2,

???OP=OM,

???四邊形POMK是菱形，

???點K在以M為圓心、，半徑為2的半圓上運動,

當(dāng)BK與。M相切時，NCBK最大,

.\ZBKM=90°,

?/BM=>JBN2+MN2=V62+22=2V10,

，BK=VFM2-22=6,

故答案為：A.

【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到/ADE=NDCF,求得/CPD=90。，得到點P在以CD為直徑的

半圓上運動，取CD的中點O,過。作OMJ_CD,且點M在CD的右側(cè)，MO=2,連接OP,KM,

推出四邊形POMK是菱形，于是得到點K在以M為圓心，半徑為2的半圓上運動，當(dāng)BK與。M

相切時，/CBK最大，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論.

7.【答案】B

【考點】平行四邊形的性質(zhì)；弧長的計算

【解析】【解答】解：如圖，作CFLAB于F.

S平行四邊形ABCD=AB?CF,

：AB是定值，

ACF值最大時，平行四邊形ABCD的面積最大，

VCF<AC,

.?.當(dāng)ACJ_AB時，平行四邊形ABCD的面積最大,

此時tanNACB==V3,

.?.NACB=60°,

VBC^AD,

.\ZDAC=ZACB=60°,

...肝的長=端第=71,

故答案為：B.

【分析】作CF1.AB于F,因為S平行四娜ABCD=AB?CF,AB是定值，推出CF值最大時，平行四邊

形ABCD的面積最大，因為CFWAC,推出當(dāng)AC_LAB時，平行四邊形ABCD的面積最大，再求出

ZDAC的大小即可解決問題.

8.【答案】A

【考點】圓周角定理；切線的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)

【解析】【解答】解：作直徑AB,連接BM,

.*.ZAMB=90o,

???直線1與。。相切于點A,

.?.BAL,

，BA〃MH,ZMHA=90°,

.\ZBAM=ZAMH,

.AB_AM

???0O的半徑為1,

.\AB=2,

?.MA2=2MH,

1MX2,

11

.\MA=MH=MA-^MA2=一/(M/-l)2+

.?.MA-MH的最大值是1,

故答案為：A.

【分析】作直徑AB,連接BM,得到△ABMsaMAH,利用弱=解得到MA=MH=MA-

\MA2=-l(MX-l)2+1,根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可得到答案.

9.【答案】C

【考點】矩形的性質(zhì)；軸對稱的應(yīng)用-最短距離問題

【解析】【解答】解：如圖所示,

作點A關(guān)于BC的對稱點A\連接AP,DQ,

1

-

則AP=A'P,DQ2

.?.AP+PQ=A'P+PQ,

.?.當(dāng)A，，P,Q,D在同一直線上時，AP+PQ的最小值等于AD-DQ的長，

在RtAAA'D中，A'D=y/AA'2+AD2=V42+32=5,

/.A'D-DQ=5-1=4,

.?.AP+PQ的最小值等于4.

故答案為：C.

【分析】作點A關(guān)于BC的對稱點A，，連接AP,DQ,則AP=AP,DQ=1EF=1,當(dāng)A:P,Q,

D在同一直線上時，AP+PQ的最小值等于AD-DQ的長，求得AD的長，即可得至UAP+PQ的最小

值.

10.【答案】B

【考點】等腰三角形的性質(zhì)；直線與圓的位置關(guān)系

【解析】【解劄解：連接OP,PC,0C,

...當(dāng)點O,P,C三點共線時，0P最小，最小值為2,

V0A=0B,ZAPB=90°,

，AB=20P,

當(dāng)o,P,C三點共線時，AB有最小值為20P=4,

故答案為：B.

【分析】連接OP,PC,0C,由OP+PCNOC可求得OP的最小值，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可

得AB=20P,則AB的最小值可求解。

11.【答案】B

【考點】垂線段最短；含30。角的直角三角形；垂徑定理；圓周角定理

【解析】【解答】解：作AHJ_BC于H,OG1EFTG,連接OE、OF,如圖，

VZEOF=2ZEAF=2x45°=90°,OE=OF,

而OE=OF,

/.EF=V2OE,

當(dāng)OE的值最小時，EF的值最小，

此時AD最小，AD的最小值為AH的長，

在RtaABH中，

VsinZABH=^=sin60°,

.?.AH咚4B=2V3，

,；.OE的最小值為V3,

.?.EF的最小值為V3xV2-V6.

故答案為：B.

【分析】作AH_LBC于H,OG_LEF于G,連接OE、OF,如圖，利用圓周角定理得/EOF=90。，利

用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到EF=2EG=V3OE,所以當(dāng)。。的半徑最小時，EF的值最

小，此時AD最小，AD的最小值為AH的長，然后計算出AH的長就可得到EF的最小值.

12.【答案】D

【考點】勾股定理；切線的性質(zhì)；解直角三角形

【解析】【解答】解：如圖，設(shè)直線x=-5交x軸于K.由題意KD=JCF=5,

.??點D的運動軌跡是以K為圓心，5為半徑的圓,

.??當(dāng)直線AD與。K相切時，4ABE的面積最小,

?.?AD是切線，點D是切點，

AD±KD,

VAK=13,DK=5,

AD=12,

VtanZEAO=OE_DK

OA=AV

.OE_5

,-_8_=T2

：.OE=10

T

???AE=5。產(chǎn)+。屋=華,

作EHJ_AB于H.

SAABE=2?AB*EH=SAAOB-SAAOE,

AEH=這,

3

'AH=y/AE2-EH2=學(xué)，

742

.?.tan/BAD=器=逐,

~T~

故答案為：D.

【分析】如圖，設(shè)直線x=-5交x軸于點K.由題意KD=④CF=5,推出點D的運動軌跡是以K為圓

心，5為半徑的圓，推出當(dāng)直線AD與。K相切時，4ABE的面積最小，作EHLAB于H,求出

EH,AH即可解決|可題.

13.【答案】B

【考點】正方形的性質(zhì)

【解析】【解答】解：連接AC,DP.

???四邊形ABCD是正方形，正方形ABCD的邊長為1,

?**AB=CD,S正方形ABCD=1,

..11

SAABP+SAACP=SAABC=11

VSAADP=2S正方形ABCD=22S正方形ABCD二2

SAADP+SAABP+SAACP=1,

AP?BB，+1AP?CCf+1AP?DD(=|AP?(BB4CC+DD，)=1,

則BB'+CC'+DD'=A,

*/1<AP<V2,

.?.當(dāng)P與C重合時，有最小值V2.

故答案為：B

【分析】連接AC,DP,根據(jù)正方形的性質(zhì)，可得AB=CD,S正方形ABCD=1,SAADP=|S正方形ABCD=

3,SAABP+SAACP=SAABC=:Sjt方形ABCD=g,從而可得SAADP+SAABP+SAACP=1,利用三角形的面積公

式可得BB4CC+DD』卷,當(dāng)AP最大時BB4CC+DD，的值最小，所以當(dāng)P與C重合時，有最小

值，據(jù)此解答即可.

14.【答案】A

【考點】正方形的性質(zhì)；軸對稱的應(yīng)用-最短距離問題；翻折變換(折疊問題)；相似三角形的判定與性質(zhì)

【解析】【解答】解：如圖所示：取BG=1,連接FG.

VBC=2,E是BC的中點,

.\BE=1.

由翻折的性質(zhì)可知BF=BE=1.

VBF=1,BC=2,GB=1,

.?.BF2=BOGB.

.BF_BG

''CB='BF-

又,.?NFBG=NFBC,

.".△BGF^ABFC,

.FG=BF=1

"'TC~BC~2'

，F(xiàn)G=1FC.

22

.?.DF+JFC=DF+FG>DG-DC+CG=亞+了=|.

.?.DF+1FC的最小值為1.

故答案為：A.

【分析】取BG=J,連接FG,首先證明△BGFS/XBFC,從而可得到FG=1FC,然后依據(jù)三

角形的三邊關(guān)系可知DF+1FC=DF+FG>DG,然后依據(jù)勾股定理求得DG的值即可.

15.【答案】V13-2

【考點】勾股定理；垂徑定理；圓周角定理

【解析】【解答】解：如圖，連接BO,BC,

VCE1AD,

.\ZAEC=90°,

.??在點D移動的過程中，點E在以AC為直徑的圓上運動，

VAB是直徑，

.,.ZACB=90o,

在RtZSABC中，VAC=4,AB=5,

22

?*-BC=〃B2_\(72=V5-4=3，

22

在RtZ\BCO'中,JBC'2+CO?=V2+3=V13>

VO,E+BE>O,B,

當(dāng)O，、E.B共線時,BE的值最小，最小值為OB-O，E=Vi?-2.

故答案為：V13-2.

【分析】連接BO，、BC,在點D移動的過程中，點E在以AC為直徑的圓上運動，當(dāng)O'E、B共

線時，BE的值最小，最小值為OB-O，E,利用勾股定理求出BO,即可解決問題.

16.【答案】V7-1

【考點】等腰三角形的判定；勾股定理；圓周角定理；銳角三角函數(shù)的定義

【解析】【解答】解：由題意知弦AM的中點P在以AO為直徑的。C上，連接BC與OC的交點為

P,此時BP的值最小,

作CELAB于E,作ODLAB于D,

的半徑為2,

.\OA=OB=2,OC=CA=OP=1,

VZAOB=120°,

.\ZOAB=ZOBA=30°,

CE=；ca=4,

AE=AC-cos30°=~,

AD=AO-cos30°=V3,

AB=2AD=2V3,

BE=4B-4E=28一呼=呼，

根據(jù)勾股定理：BC=y/CE2+BE2=+（攣^=用，

:,BP=BC-CP=小一\.

故答案為：V7-1.

【分析】由題意知弦AM的中點P在以AO為直徑的。C上，連接BC與。C的交點為P,此時BP

的值最小，利用特殊角的三角函數(shù)以及勾股定理即可求解.

17.【答案】普

【考點】垂線段最短；等腰三角形的性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)

【解析】【解答】解：設(shè)MN與BC交于點O,連接A0,過點O作OHLAC于H點,

???四邊形MCNB是平行四邊形，

，0為BC中點，MN=2MO.

VAB=AC=13,BC=10,

AAOIBC,0C=5,

在RtAAOC中，利用勾股定理可得

AO=V/1C2-CO2=V132-52=12?

利用面積法：AOxCO-ACxOH,

即12x5=13xOH,解得0H=瞿.

當(dāng)MO最小時，則MN就最小，。點到AC的最短距離為0H長，

所以當(dāng)M點與H點重合時，M0最小值為0H長是瑞.

所以此時MN最小值為20H=符.

故答案為：黑.

【分析】設(shè)MN與BC交于點0,連接A0,過點0作OH,AC于H點，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和

勾股定理可求A0和0H長，若MN最小，則M0最小即可，而。點到AC的最短距離為0H長，

所以MN最小值是20H.

18.【答案】嗎心

【考點】三角形的面積；矩形的性質(zhì)；翻折變換（折疊問題）

【解析】【解答】解：如圖，連接AC,

在矩形ABCD中，AB=3,BC=4,

ZB=ZD=90°,

?\AC=5,

VAB=3,AE=V3,

???點F是邊BC上的任意位置時，點G始終在AC的下方,

設(shè)點G到AC的距離為h,

S四邊形AGCD=SAACD+SAACG

11

=3x4+Ax5h,

=6+|h.

要使四邊形AGCD的面積的最小，即h最小.

?.?點G在以點E為圓心，BE為半徑的圓上，且在矩形ABCD的內(nèi)部.

過點E作EHLAC,交圓E于點G,此時h最小.

-4---------------------------D

------

在RtZxABC中，sinZBAC=斐=卷，

在RtaAEH中，AE=V3,

sinZBAC=器=『

解得EH=AE=婆，

EG=BE=AB—AE=3—V3,

，h=EH-EG=等-(3-6)=竽-3.

?'.S四邊形AGCD=6+搟x(2^-3)

=9悟3_9右一3

~~2=~2~

故答案為：見|心.

【分析】根據(jù)矩形ABCD中，AB=3,BC=4,可得AC=5,由AE=b可得點F是邊BC上的任

意位置時，點C始終在AC的下方，設(shè)點G到AC的距離為h,要使四邊形AGCD的面積的最小,

即h最小.所以點G在以點E為圓心，BE為半徑的圓上，且在矩形ABCD的內(nèi)部.過點E作EH_L

AC,交圓E于點G,此時h最小.根據(jù)銳角三角函數(shù)先求得h的值，再分別求得三角形ACD和三角

形ACG的面積即可得結(jié)論.

19.【答案】9

【考點】矩形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)；三角形全等的判定（AAS）

【解析】【解答】解：如圖所示：過點M作GHJ.AD,

*：AD||CB,GH1AD,

：.GH1BC,

在AEGM和〉FHM中，

2MGE=乙MHF=90°

△GME=Z-FMH,

EM=MF

???△EGM三△FHM(A4S),

?,?點M的軌跡是一條平行于BC的線段,

當(dāng)P與A重合時，B&=AE=2,

當(dāng)P與B重合時，

ZF2+乙EBF、=90°,NBEFi+乙EBF、=90°,

ZF2=乙EBF、,

■:(EF、B=(EF'F?,

△EF1BEF1F2,

?"1_E"1即2=6

^~EF\~F\F2，即6-F1F2，

?,尸192=18,

???M1M2是△EFiF2的中位線，

.1

??MiM2=②％々=9-

故答案為:9.

【分析】過點M作GH1AD,證明△EGMBAFHM,得到MG=MH,從而可知：點M的軌跡

是一條平行于BC的線段，然后證明AEF\B?AEg,求得尸1&=18,最后根據(jù)三角形中位

線定理可得答案.

20.【答案】學(xué)

【考點】勾股定理；矩形的判定與性質(zhì)；銳角三角函數(shù)的定義；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

【解析】【解答】解：如圖：連接AC、AE,過點A作AFLBC于F,作AHLEC于H.

VCE1BC,AF1BC,AH1EC

二四邊形AFCH是矩形，

/.AF=CH,

,/將折線AB-BC繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，得到折線AD-DE

...AD=AB=3、BC=DE=5,ZABC=ZADE

.,.△ABC^AADE

.\AC=AE,

VAC=AE,AB=AD,AF1BC,AH1EC,BF=DF,CH=EH

：.AB2=AF2+BF2,DE2=DC2+CE2

：.9=4尸2+BF2,25=(5-2BF)2+^AF2

9

-A12

，BF=5F=5

2497

EC=2CH=24F=g,CD=5-2x］氣

pr24

...tanzEDC=舒=3

故答案為：2

【分析】連接AC、AE,過點A作AFLBC于F,作AH_LEC于H.再證明四邊形AFCH是矩形，可

得AF=CH,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AD=AB=3、BC=DE=5,ZABC=ZADE,則△ABCgZSADE,即

AC=AE;再由等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理可得BF、AF、EC、CD的長，最后根據(jù)正切定義解答

即可.

21.【答案】V3+1

【考點】等邊三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；圓周角定理；特殊角的三角函數(shù)值

【解析】【解答】解：：0E垂直于直線AC,垂足為D,

作AO的中點E,

...點D在以E為圓心，A0長為直徑的圓上（如圖1所示），

連接BE并延長交圓E于點D,此時BD最長(如圖2所示),

VA(1,V3),

0A-Jl2+(V3)2=2且tanz■40B=苧=遮，

：.^AOB=60°,

VB(2,0),

，OB=2,

：.^ABO為等邊三角形，

：E是AO的中點，

；.ED=OE=1AO=1,

，BE=y/BO2-OE2=A/22-12=V3.

.*.BD=BE+ED=V3+1.

故答案為：V3+1.

分析：根據(jù)圓周角定理的推論可得出點D在以AO中點E為圓心，AO為直徑的圓上，連接BE并延

長交圓E于點D,此時BD最長，利用等邊三角形的性質(zhì)即可求出BD的最大值.

22.【答案】2V5

【考點】勾股定理；相似三角形的判定與性質(zhì)；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

【解析】【解答】解：???NC=90。，AC=10,BC=5,

?*.AB=yjAC2+BC2=5V5,

,Z(PM-PN)2>0,當(dāng)PM=PN時，(PM-PN)2值最小為0,

MN2=PM2+PN2N2PM?PN,

當(dāng)PM=PN時，PM?+PN2有最小值為2PM?PN,

，MN為最小值時，PM=PN,

過P點作PDLAB于點D,如圖所示,

貝ljMN=2PD,

VZA=ZA,ZADP=ZACB=90°,

AAAPD^AABC,

.PD_APa.,PD_S

'-BC=AB'即T一麗’

APD=V5,

，MN=2PD=2V5.

故答案是：2V5.

【分析】當(dāng)PM=PN時，MN的值最小，過P點作PDLAB于點D,先證明△APDsaAB