【《數(shù)學(xué)歸納法在中學(xué)解題中的應(yīng)用探究》9000字（論文）】

數(shù)學(xué)歸納法在中學(xué)解題中的應(yīng)用研究想要在命題中進(jìn)行合理論證，必須了解和掌握數(shù)學(xué)歸納法且通曉其基本原理。數(shù)學(xué)歸納法可以解決比較復(fù)雜的問題，貫穿著整個(gè)數(shù)學(xué)體系，為了更好的讓中學(xué)生了解并應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法，我從數(shù)學(xué)歸納法的概念、分類著手，然后給出數(shù)學(xué)歸納法在解決問題時(shí)的具體步驟，最后再列出數(shù)學(xué)歸納法在數(shù)學(xué)解題中的一些列子，在各種題型中的應(yīng)用。讓學(xué)生意識(shí)到數(shù)學(xué)歸納法的重要性并且讓他們運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法去解決數(shù)學(xué)題中一些復(fù)雜的問題。通過對歸納法的了解及其在數(shù)學(xué)解題中的一些應(yīng)用的研究，讓更多的人認(rèn)識(shí)并了解數(shù)學(xué)歸納法思想，并能運(yùn)用它解決一些難以直接解決的數(shù)學(xué)問題。隨著對數(shù)學(xué)歸納法深入，不僅有利于鍛煉邏輯思維能力，還可以提升學(xué)生的觀察力、分析力、 21.1研究背景 31.2研究目的及意義 31.3研究方法 42數(shù)學(xué)歸納法的基本概述 42.1數(shù)學(xué)歸納法的概念 43數(shù)學(xué)歸納法在中學(xué)解題中的具體應(yīng)用 5 5 6 73.2數(shù)學(xué)歸納法在等式上的具體應(yīng)用 7 7 8 83.3數(shù)學(xué)歸納法在不等式中的應(yīng)用 9 9 3.4數(shù)學(xué)歸納法在整除問題中的應(yīng)用 3.5數(shù)學(xué)歸納法在幾何問題中的應(yīng)用 4數(shù)學(xué)歸納法在中學(xué)解題應(yīng)用中的優(yōu)化模式 4.1聯(lián)系生活實(shí)際 4.2重視對問題的分類歸納 4.4創(chuàng)設(shè)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法的興趣 參考文獻(xiàn) 2吳勇.數(shù)學(xué)“三種語言”轉(zhuǎn)換能力的考查及啟示——以2020年幾道數(shù)學(xué)高考題為例南),2020(34):22-24.2數(shù)學(xué)歸納法的基本概述3數(shù)學(xué)歸納法在中學(xué)解題中的具體應(yīng)用倒下的時(shí)候配第一塊骨牌碰撞，從而倒下，多米諾骨牌無論是排列多少塊，都是一個(gè)循環(huán)往復(fù)的過程，只要第一塊倒下，便會(huì)引起連鎖反應(yīng)。運(yùn)用在數(shù)學(xué)歸納法中，可以理解為，只要(1)(2)這兩項(xiàng)是成立，那么式子可以推導(dǎo)出來，所以要保障兩個(gè)數(shù)字之間具有一定的傳遞性4。當(dāng)我們?nèi)サ舳嗝字Z骨牌的第三塊，是無法推到多米諾骨牌的第四塊的，因?yàn)閮蓧K骨牌之間失去了連續(xù)性，同樣在整數(shù)的式子中，如果想要數(shù)學(xué)歸納法推導(dǎo)出來，需要保障兩個(gè)數(shù)字之間有連續(xù)性，可以都是加上1,但是不能第一個(gè)數(shù)字加上1,第二個(gè)數(shù)字加上8.兩者之間的連續(xù)性是為了保障假設(shè)成立。想要了解數(shù)學(xué)歸納法，必須要學(xué)習(xí)基礎(chǔ)的推導(dǎo)方式，在此基礎(chǔ)上，使用在不同的數(shù)學(xué)題型當(dāng)中，才能得出最后的答案。但是總結(jié)來說，數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用和“拆、添、并、放”有關(guān)。不同的題型5,使用不同一般的，常用的步驟為綜合(1)(2),對一切自然數(shù)n(≥nO),命題P(n)都成立。在推導(dǎo)的過程中，需要對于式子左邊的步驟進(jìn)行化簡，達(dá)到最終運(yùn)算的目的，在這這里為了講述清楚，特別用左右進(jìn)行標(biāo)注初學(xué)者在進(jìn)行數(shù)學(xué)歸納法的具體應(yīng)用中，經(jīng)常好出現(xiàn)的易錯(cuò)點(diǎn)為以下幾步，這對于研究學(xué)生如何更好的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法有著重要的作用。數(shù)學(xué)問題的探索，雖然是為了尋求一般的規(guī)律。但是存在一些特例，對于最終的結(jié)果也會(huì)產(chǎn)生一定影響。所以需要先考察一些特例，進(jìn)行歸納，才能形成進(jìn)一步的猜想6,最終證明自己的猜想是否正確，也就是歸納特例規(guī)矩，進(jìn)行猜想，最后論證的一個(gè)過程。數(shù)學(xué)歸納法可以證明一些等式，但是等式并不一定的直接給出的。弄不清n=k到n=k+1式子之間的變化。在上述的例子中，雖然是為了證明數(shù)學(xué)題的變化，但是大部分的學(xué)生知識(shí)簡單的看后面的因式變化，并未將左邊的因式的變化放入到學(xué)習(xí)當(dāng)中。學(xué)生在使用數(shù)學(xué)歸納法的時(shí)候，容易忽略假設(shè)條件，沒有使用到3.2數(shù)學(xué)歸納法在等式上的具體應(yīng)用在數(shù)學(xué)上，無論變量如何取值，算式永遠(yuǎn)是可以成立的等式。這是兩個(gè)解析是之間的一種關(guān)系，假設(shè)已經(jīng)給定了兩個(gè)解析式，如果對于他們的定義區(qū)域內(nèi)的任一一組數(shù)或者數(shù)組，都是相等的值，這兩個(gè)解析式就是恒等式。數(shù)學(xué)歸納法在恒等式中應(yīng)用較多，其主要的目的是為了證明等式左右兩邊是相等的。證明過程(1)當(dāng)n=1時(shí)，左邊=1=(2×1-1)2=右邊，等式成立那么,當(dāng)n=k+1時(shí)有(k+1)+(k+2)+...+(3k-2)+(3數(shù)學(xué)恒等式應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法的過程中，需要注意以下兩點(diǎn)：命題的關(guān)鍵在于“先看項(xiàng)”,需要了解清楚兩邊之間的構(gòu)成規(guī)律，在進(jìn)行數(shù)學(xué)的題目解析。等式兩邊“項(xiàng)”的多少，這是決定了“n”的取值的一個(gè)重點(diǎn)項(xiàng)目。在n=k到n=k+1式子之間。可以發(fā)生多少的變化，增加的多少項(xiàng)，減少多少項(xiàng)。在進(jìn)行遞推過程中，也就是在第二步進(jìn)行n=k到n=k+1的推導(dǎo)過在第二步驟中，需要突出假設(shè)和結(jié)論，明確目標(biāo)，充分考慮到命數(shù)學(xué)的基本思維是歸納和推理，因此在不等式證明中，數(shù)學(xué)證明法可以充分的利用這一思維，進(jìn)行不等式的證明。在中學(xué)生時(shí)期，學(xué)生解答不等式的問題可以說是不可或缺的，不等式的解答能夠讓學(xué)生新課改的實(shí)施為不等式的學(xué)習(xí)打開了新的路徑，數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)途徑更多，對于不等式這類較為復(fù)雜的學(xué)習(xí)模式，教師開始潛移默化的將數(shù)學(xué)歸納法的解題步驟應(yīng)用在不等式當(dāng)中。雖然數(shù)學(xué)不等式通常會(huì)以隱形的模式進(jìn)入到數(shù)學(xué)歸納法的詳細(xì)解析當(dāng)中。在解答不等式的過程中，數(shù)學(xué)歸納法是不可缺少的方法之一，他可以通過無限次的假設(shè)和驗(yàn)證替代無限次的驗(yàn)證，以此來證明不等式命題之間的合理性，從理論上正式不等式的規(guī)律性，總結(jié)特定條件下，食物的規(guī)律，用這一方法也可以證明和不等式有關(guān)的大部分的問題。通過數(shù)學(xué)歸納法在解析不等式的過程中，可以通過分析不等式兩邊的形式，尤其是左邊算式的形式構(gòu)成等，找到兩者之間的差異，為了弄清這一方式，通?？梢?程曉亮，曾琬婷.師范生培養(yǎng)模式的探索與實(shí)踐——以數(shù)學(xué)學(xué)科為例[J].吉林師范大學(xué)學(xué)報(bào)：人文社會(huì)科學(xué)數(shù)學(xué)歸納法應(yīng)用在不等式的解析中，相較于其他的算是，不等式的證明較為復(fù)雜，(2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，(k≥2,k∈N)不等式成立由(1)(2)數(shù)學(xué)歸納法中可以得知，即當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式也成立，故對于任意正整數(shù)n,不等式都成立歸納假設(shè)的利用可以嘗試尋找不同的方式，在證明不等式的過程中，有時(shí)候需要使用不等式中的某些項(xiàng)，從而形成一個(gè)替代，使得問題可以成立例3:求證3n>3n+1(n≥4,n∈N)證明：(1)當(dāng)n=4時(shí)，34>3*4+1,原不等式成立由(1)(2)數(shù)學(xué)歸納法中可以得知，綜上所述，當(dāng)(n≥4,n∈N),原不數(shù)學(xué)不等式運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行解題，其核心是為了理解，幫助學(xué)生并不能很好的理解3n>3n+1兩者之間的聯(lián)系，不理解數(shù)學(xué)歸納法的具于中學(xué)階段的學(xué)生已經(jīng)開始初步建立自己的思維，在這一過程中，學(xué)其中的關(guān)鍵核心，進(jìn)而影響了最終的使用效果。3.4數(shù)學(xué)歸納法在整除問題中的應(yīng)用整數(shù)性問題的運(yùn)用上有一定的局限性，只能證明命題是正確的。在使例4:證明f(n)=5n+2·3n+1能被8整除。(2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，原命題成立，即f(k)=5k-1+2·3k+1能被8整除，=5·5k+6·3k+1+4·3k-1由(1)(2)數(shù)學(xué)歸納法中可以得知，整除性問題成立。3.5數(shù)學(xué)歸納法在幾何問題中的應(yīng)用例5:證明凸n邊形的對角線的條數(shù)f(n)=n(n-3).(n≥3)(2)假設(shè)：當(dāng)n=k(n≥3)時(shí)命題成立，即凸k邊形的對角線條數(shù)為f(k)=k(k-3)。那么當(dāng)n=k+1,凸k邊形的k個(gè)頂點(diǎn)增加一個(gè)頂點(diǎn)Ak-1成為凸k+1邊形時(shí)，由頂點(diǎn)Ak-1與它不相鄰的另外k-2個(gè)頂點(diǎn)A2,A3,A4,.,Ak—1可畫出k-2條對角線，同時(shí)原來凸k邊形的一條邊A1Ak變成一條對角線。這樣從凸k邊形到凸k+1邊形一共增加了k-1條對角線。由此凸邊形的對角線條由(1)(2)數(shù)學(xué)歸納法中可以得知，當(dāng)n=k+1時(shí)，命題也成立。雖然數(shù)學(xué)歸納法是一種論證與自然數(shù)有關(guān)命題的重要方法，但是由于使用數(shù)學(xué)歸納法證明過程中，過程較為繁瑣，且難以操作。因此中學(xué)生在使用數(shù)學(xué)歸納法分析正整數(shù)問題的過程中能夠，需很難避開數(shù)學(xué)的思維定式，無法參透命題個(gè)本身的特點(diǎn)。步驟的繁多性容易導(dǎo)4數(shù)學(xué)歸納法在中學(xué)解題應(yīng)用中的優(yōu)化模式大部分學(xué)生認(rèn)為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)起來比較困難，其中最根本的原因是因?yàn)閿?shù)學(xué)課程的教授比較抽象。特別是在講授數(shù)學(xué)歸納法的學(xué)習(xí)中，大部分的學(xué)生一開始是完全聽不懂的，并不能理解其中的內(nèi)在含義，因通過多米諾骨牌在學(xué)生的思維中建立一個(gè)具體的形象，進(jìn)而幫助學(xué)生學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，不應(yīng)陷入抽象的困境中，將生搬硬套作為自己的學(xué)習(xí)中心，這樣做的問題一是對于學(xué)習(xí)中等的學(xué)生而言，難以真正理解數(shù)學(xué)歸納法的內(nèi)在含義。所以需要做大量的習(xí)題，不但浪費(fèi)了時(shí)間，降低了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的效率，還可能導(dǎo)致學(xué)生產(chǎn)生畏難的心甚至開始便不能理解，即使后期認(rèn)真學(xué)習(xí)了，學(xué)生對于數(shù)學(xué)歸納法的印象也僅僅停留在抽象的學(xué)習(xí)當(dāng)中，對于數(shù)學(xué)歸納法的學(xué)習(xí)無法得到學(xué)生需要理解數(shù)學(xué)歸納法中的具體知識(shí)，進(jìn)而進(jìn)行具體的應(yīng)用。10黃東鋒，姚頑強(qiáng)，史經(jīng)檢，張靜，阮青山.序貫平差迭代公式再探討[J].測繪地理信息，2018,43(4):88-91解題之間個(gè)步驟之間的聯(lián)系運(yùn)用，幫助學(xué)生更好的運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法解4.3構(gòu)建數(shù)學(xué)歸納法的學(xué)習(xí)網(wǎng)絡(luò)想要學(xué)習(xí)好數(shù)學(xué)歸納法，最重要是構(gòu)建出數(shù)學(xué)歸納法的詳細(xì)學(xué)習(xí)網(wǎng)絡(luò)，中學(xué)生在利用數(shù)學(xué)歸納法解題的過程中，初期可能運(yùn)用的不夠熟練，認(rèn)為數(shù)學(xué)歸納法學(xué)習(xí)起來較為困難，因此可以采用構(gòu)建自己學(xué)習(xí)網(wǎng)絡(luò)的方式，正確的幫助自己學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法的使用。一是詳細(xì)的了解數(shù)學(xué)歸納法的具體含義，對于其中涉及到的基礎(chǔ)知識(shí)牢記于心，這需要學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中打好基礎(chǔ)；二是參透基礎(chǔ)題型的含義，在學(xué)好數(shù)學(xué)歸納法之后，學(xué)生需要從簡單的習(xí)題運(yùn)算開始學(xué)生，如屬于較為簡單的例子，學(xué)生可以嘗試推導(dǎo)此項(xiàng)題目，反復(fù)的將基礎(chǔ)題型中的問題進(jìn)行仔細(xì)的琢磨，探索每一步驟之間的聯(lián)系，構(gòu)建出自己的數(shù)學(xué)歸納法的學(xué)習(xí)網(wǎng)絡(luò)，并非需要從一開始就主動(dòng)的使用高考題進(jìn)行練習(xí)，高考題目可能是學(xué)生學(xué)習(xí)的終極目標(biāo)，但是高考題目大多設(shè)計(jì)比較復(fù)雜，需要大量的步驟推算，學(xué)生在推算的過程中及其容易混亂，最終難以掌控學(xué)習(xí)歸納法中每一個(gè)步驟的具體含義，因此學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中，需要根據(jù)自己的水平結(jié)合教師的建議，從基礎(chǔ)的題型進(jìn)行學(xué)習(xí)12。只有探索知識(shí)間的聯(lián)系，并且構(gòu)建出屬于自己的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，才能使得學(xué)生在使用數(shù)學(xué)歸納法在證明不同的題型時(shí)，能清楚的考慮到其中的考點(diǎn)，選擇合適的方法幫助自己解答題目。中學(xué)生在進(jìn)行數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行解題的過程中，由于數(shù)學(xué)歸納法學(xué)習(xí)較為困難，因此在初期的練習(xí)中，因?yàn)槁?lián)系較為困難，所以學(xué)生常會(huì)有思路錯(cuò)誤或者沒有思路的困擾。因此除了解題之外，學(xué)生的興趣也是學(xué)習(xí)的關(guān)鍵內(nèi)容之一，學(xué)生將數(shù)學(xué)歸納法和自己感興趣的事物聯(lián)如在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法在整除問題中的應(yīng)用是，因?yàn)樵O(shè)計(jì)到整除性的知識(shí)，所以學(xué)習(xí)起來較為困難，對于學(xué)生而言，如果想要更有興趣的將數(shù)學(xué)歸納法運(yùn)用到整除數(shù)中，可以為自己設(shè)立一個(gè)目的，即自己如果能夠正確的運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法完成數(shù)學(xué)題目的詳細(xì)解答之后，學(xué)生可以通過給自己獎(jiǎng)勵(lì)的方式，更好提升自身對于數(shù)學(xué)歸納法的興趣，5結(jié)語綜上所述，數(shù)學(xué)歸納法的學(xué)習(xí)并非一個(gè)生搬硬套的學(xué)習(xí)過程，需要仔細(xì)的探索其中的詳細(xì)解題步驟，進(jìn)而找出在不同題型中的解題方式。以上為數(shù)學(xué)歸納法的基本形式，并且就數(shù)學(xué)歸納法的學(xué)習(xí)進(jìn)行了一個(gè)簡單的整理，使得中學(xué)生能在學(xué)習(xí)過程中，有了更為仔細(xì)的了解到數(shù)學(xué)歸納法的方式和方法。隨著隨帶的發(fā)展，數(shù)學(xué)歸納法的學(xué)習(xí)正在不斷的優(yōu)化當(dāng)中，但是其中的學(xué)習(xí)核心還是