《三垂線定理》說(shuō)課稿

《三垂線定理》說(shuō)課稿各位老師：大家好！今天我要說(shuō)課的內(nèi)容是滬教版（2020）高中必修第三冊(cè)第10章空間直線與平面中10.3直線與平面間的位置關(guān)系的4三垂線定理。下面我將從教材分析、學(xué)情分析、教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)重難點(diǎn)、教學(xué)方法、教學(xué)過(guò)程、教學(xué)資源、教學(xué)特色以及教學(xué)反思等方面來(lái)進(jìn)行說(shuō)課。一、教材分析三垂線定理是在學(xué)習(xí)了直線與平面間的位置關(guān)系之后的重要內(nèi)容。它是空間中直線與直線、直線與平面垂直關(guān)系的一個(gè)重要的紐帶。這一定理有助于學(xué)生更深入地理解空間幾何元素之間的位置關(guān)系，為后續(xù)學(xué)習(xí)立體幾何中的各種證明和計(jì)算奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，在整個(gè)立體幾何知識(shí)體系中起著承上啟下的作用。二、學(xué)情分析高中學(xué)生已經(jīng)具備了一定的平面幾何知識(shí)基礎(chǔ)，對(duì)空間圖形有了初步的認(rèn)識(shí)。然而，他們?cè)诳臻g想象能力和邏輯推理能力方面還存在一定的不足。在學(xué)習(xí)本定理時(shí)，可能會(huì)對(duì)定理中的三條垂線的關(guān)系理解困難，尤其是如何準(zhǔn)確找出對(duì)應(yīng)的垂線以及運(yùn)用定理進(jìn)行證明和計(jì)算。三、教學(xué)目標(biāo)1、知識(shí)與技能目標(biāo)學(xué)生能夠理解三垂線定理的內(nèi)容和證明過(guò)程。能夠熟練運(yùn)用三垂線定理解決相關(guān)的證明和簡(jiǎn)單的計(jì)算問題。2、過(guò)程與方法目標(biāo)通過(guò)觀察模型、動(dòng)手操作和小組討論等活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力。經(jīng)歷三垂線定理的探究過(guò)程，提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力。3、情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)立體幾何的興趣，培養(yǎng)學(xué)生勇于探索、敢于創(chuàng)新的精神。讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)在實(shí)際生活中的廣泛應(yīng)用，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心。四、教學(xué)重難點(diǎn)1、重點(diǎn)三垂線定理的內(nèi)容及證明。三垂線定理的應(yīng)用，特別是在證明線線垂直、線面垂直問題中的應(yīng)用。2、難點(diǎn)準(zhǔn)確理解三垂線定理中的“三垂線”的含義及其關(guān)系。在復(fù)雜的幾何圖形中，靈活運(yùn)用三垂線定理進(jìn)行證明和計(jì)算。五、教學(xué)方法1、教法采用啟發(fā)式教學(xué)法。通過(guò)設(shè)置問題情境，引導(dǎo)學(xué)生思考、探究，逐步揭示三垂線定理的本質(zhì)。在教學(xué)過(guò)程中，結(jié)合實(shí)例和模型進(jìn)行演示講解，幫助學(xué)生更好地理解抽象的幾何概念。運(yùn)用多媒體輔助教學(xué)。利用動(dòng)畫演示三垂線定理中的直線與平面、直線與直線之間的關(guān)系，增強(qiáng)教學(xué)的直觀性。2、學(xué)法學(xué)生采用自主探究與合作學(xué)習(xí)相結(jié)合的方法。在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生通過(guò)自主觀察、分析、歸納，探究三垂線定理。同時(shí)，通過(guò)小組合作討論，共同解決學(xué)習(xí)過(guò)程中遇到的問題，提高學(xué)生的團(tuán)隊(duì)協(xié)作能力和交流能力。六、教學(xué)過(guò)程1、創(chuàng)設(shè)情境，引入新課教師展示一些日常生活中的立體圖形，如墻角、書架等，引導(dǎo)學(xué)生觀察其中直線與平面的垂直關(guān)系。然后提出問題：在這些圖形中，有沒有一種普遍存在的垂直關(guān)系規(guī)律呢？設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)生活實(shí)例激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)與生活的緊密聯(lián)系，同時(shí)為引出三垂線定理做鋪墊。預(yù)期效果：學(xué)生能夠積極思考，對(duì)即將學(xué)習(xí)的內(nèi)容產(chǎn)生好奇心。2、探索新知教師利用教具（如三棱柱模型），在模型上指出一條斜線、斜線在平面內(nèi)的射影以及平面內(nèi)的一條直線，然后改變斜線和平面內(nèi)直線的位置，引導(dǎo)學(xué)生觀察這三條線之間的垂直關(guān)系。教師給出三垂線定理的內(nèi)容：在平面內(nèi)的一條直線，如果它和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)定理進(jìn)行證明。首先，將定理中的直線、平面等用數(shù)學(xué)符號(hào)表示出來(lái)，然后利用線面垂直的性質(zhì)和判定定理進(jìn)行證明。在證明過(guò)程中，教師要詳細(xì)講解每一步的依據(jù)，引導(dǎo)學(xué)生理解證明思路。設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)教具演示，讓學(xué)生直觀地感受三垂線定理中的三條線的關(guān)系，降低學(xué)生理解定理的難度。引導(dǎo)學(xué)生參與定理的證明過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力。預(yù)期效果：學(xué)生能夠理解三垂線定理的內(nèi)容，掌握定理的證明方法。3、定理剖析教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)三垂線定理進(jìn)行深入剖析，明確“三垂線”分別指的是平面內(nèi)的直線、斜線在平面內(nèi)的射影以及斜線。強(qiáng)調(diào)定理中的條件和結(jié)論之間的邏輯關(guān)系，讓學(xué)生理解只要滿足定理中的條件，就一定能得出結(jié)論。教師通過(guò)舉例，讓學(xué)生找出其中的三垂線，加深學(xué)生對(duì)定理的理解。例如，在一個(gè)正方體中，給定一條棱為斜線，找出它在某個(gè)平面內(nèi)的射影以及平面內(nèi)與射影垂直的直線，然后運(yùn)用三垂線定理判斷這兩條直線是否垂直。設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)對(duì)定理的剖析，讓學(xué)生深入理解定理的本質(zhì)，提高學(xué)生運(yùn)用定理的能力。預(yù)期效果：學(xué)生能夠準(zhǔn)確找出三垂線，熟練運(yùn)用定理進(jìn)行簡(jiǎn)單的判斷。4、應(yīng)用舉例教師給出一些典型的例題，如證明線線垂直、線面垂直的問題，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用三垂線定理進(jìn)行解答。在解答過(guò)程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生分析題目中的條件，找出對(duì)應(yīng)的三垂線，然后按照定理的要求進(jìn)行證明。例如：在三棱錐PABC中，PA垂直于底面ABC，AB垂直于BC，求證：PC垂直于AB。教師引導(dǎo)學(xué)生思考：在這個(gè)題目中，PA是底面ABC的斜線，AB是底面ABC內(nèi)的直線，BC是PA在底面ABC內(nèi)的射影，因?yàn)锳B垂直于BC，根據(jù)三垂線定理，所以PC垂直于AB。教師示范解題過(guò)程，強(qiáng)調(diào)書寫規(guī)范和邏輯嚴(yán)謹(jǐn)性。然后讓學(xué)生進(jìn)行模仿練習(xí)。設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)例題講解和練習(xí)，讓學(xué)生掌握三垂線定理在證明題中的應(yīng)用，提高學(xué)生的解題能力。預(yù)期效果：學(xué)生能夠運(yùn)用三垂線定理解決類似的證明題，解題過(guò)程規(guī)范、邏輯清晰。5、課堂練習(xí)教師布置一些課堂練習(xí)題目，讓學(xué)生獨(dú)立完成。練習(xí)題目：在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，AB＝3，AD＝4，AA1＝5，E為CC1的中點(diǎn)，求證：A1E垂直于BD。在四棱錐PABCD中，底面ABCD是正方形，PD垂直于底面ABCD，PD＝DC，E為PC的中點(diǎn)，求證：PA垂直于DE。教師巡視學(xué)生的練習(xí)情況，及時(shí)發(fā)現(xiàn)學(xué)生存在的問題并給予指導(dǎo)。設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)課堂練習(xí)，鞏固學(xué)生所學(xué)知識(shí)，及時(shí)反饋學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，讓教師了解學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握程度。預(yù)期效果：大部分學(xué)生能夠正確運(yùn)用三垂線定理完成練習(xí)題目。6、課堂小結(jié)教師引導(dǎo)學(xué)生回顧本節(jié)課所學(xué)的內(nèi)容，包括三垂線定理的內(nèi)容、證明過(guò)程、應(yīng)用方法等。讓學(xué)生分享自己在本節(jié)課中的收獲和疑問，教師對(duì)學(xué)生的疑問進(jìn)行解答。設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)課堂小結(jié)，幫助學(xué)生梳理本節(jié)課的知識(shí)，加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的記憶和理解，同時(shí)解決學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中存在的疑惑。預(yù)期效果：學(xué)生能夠?qū)Ρ竟?jié)課的知識(shí)有一個(gè)系統(tǒng)的回顧，對(duì)三垂線定理有更深入的理解。7、布置作業(yè)布置課后作業(yè)，包括書面作業(yè)和拓展作業(yè)。書面作業(yè)：課本上的相關(guān)習(xí)題，如習(xí)題10.3中的第5、6題。已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，M為BB1的中點(diǎn)，求證：D1M垂直于平面AD1C。拓展作業(yè)：探究三垂線定理的逆定理，并嘗試證明。設(shè)計(jì)意圖：書面作業(yè)用于鞏固學(xué)生所學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)，拓展作業(yè)則是為了滿足學(xué)有余力的學(xué)生的需求，培養(yǎng)學(xué)生的探究能力。七、教學(xué)資源1、三棱柱、長(zhǎng)方體、正方體等幾何模型，用于直觀演示三垂線定理中的幾何關(guān)系。2、多媒體設(shè)備，用于展示動(dòng)畫演示、PPT課件等教學(xué)內(nèi)容，增強(qiáng)教學(xué)的直觀性和趣味性。八、教學(xué)特色1、注重直觀教學(xué)。通過(guò)幾何模型和多媒體動(dòng)畫演示，將抽象的三垂線定理直觀地展示給學(xué)生，幫助學(xué)生更好地理解定理中的幾何關(guān)系，降低學(xué)生的學(xué)習(xí)難度。2、強(qiáng)調(diào)學(xué)生的主體地位。在教學(xué)過(guò)程中，通過(guò)設(shè)置問題情境、小組討論、課堂練習(xí)等環(huán)節(jié)，讓學(xué)生積極參與到教學(xué)活動(dòng)中來(lái)，充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性，培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力和合作學(xué)習(xí)能力。九、教學(xué)反思1、在教學(xué)過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)部分學(xué)生對(duì)三垂線定理中的“三垂線”的理解還存在困難，在今后的教學(xué)中，可以增加更多的實(shí)例和練習(xí)，幫助學(xué)生加深理解。2、在課堂練習(xí)環(huán)節(jié)，有些學(xué)生解題速度較慢，解題思路不清晰。這可能是因?yàn)閷W(xué)生對(duì)定理的應(yīng)用不夠熟練，在今后的教學(xué)中，可以增加一些專項(xiàng)練習(xí)，提高學(xué)生的解題能力。3、在教學(xué)方法上，可以嘗試更多的探究式教學(xué)方法，讓學(xué)生在探究過(guò)程中發(fā)現(xiàn)問題、解決問題，提高學(xué)生的創(chuàng)新思維能力。答案：1、課堂練習(xí)答案：在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中：連接AC，因?yàn)殚L(zhǎng)方體底面ABCD是矩形，所以AC垂直于BD。又因?yàn)镃C1垂直于底面ABCD，所以CC1垂直于BD，根據(jù)三垂線定理，A1C1是AC在平面A1B1C1D1上的射影，A1E在平面A1B1C1D1內(nèi)，且A1E垂直于A1C1，所以A1E垂直于BD。在四棱錐PABCD中：因?yàn)镻D垂直于底面ABCD，所以PD垂直于DC，又因?yàn)榈酌鍭BCD是正方形，所以DC垂直于AD，根據(jù)三垂線定理，PA是PD在平面PAD上的射影，DE在平面PAD內(nèi)，且DC垂直于AD，E為PC中點(diǎn)，根據(jù)等腰三角形三線合一可得DE垂直于PC，所以PA垂直于DE。2、書面作業(yè)答案：課本習(xí)題答案參考課本后的參考答案。在正方體ABCDA1B1C1D1中：連接B1D1，因?yàn)檎襟w棱長(zhǎng)為1，M為BB1中點(diǎn)，所以B1M＝1/2。在直角三角形B1D1M中，根據(jù)勾股定理可得D1M＝根號(hào)下（D1B12＋B1M2）＝根號(hào)下（2＋1/4）＝3/2。同理可得MC＝根號(hào)下（BC2＋BM2）＝根號(hào)下（1＋1/4）＝根號(hào)5/2，D1C＝根號(hào)2。因?yàn)镈1M2＋MC2＝D1C2，所以D1M垂直于MC。又因?yàn)锳D1垂直于平面A1B1C1D1，D1M在平面A1B1C1D1內(nèi)，所以AD1垂直于D1M。AD1與MC相交于點(diǎn)D1，根據(jù)直線與平面垂直的判定定理，D1M垂直于平面AD1