數(shù)學自主廣場：倍角公式和半角公式

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精自主廣場我夯基我達標1.若sin2α=，且α∈（,），則cosα-sinα的值是()A。B。C。-D。-思路解析：要求cosα-sinα的值，可以先求(cosα—sinα）2，其展開式中的2sinαcosα就是已知的sin2α，應當注意的是在(，）上，cosα＜sinα，所以開方時應取負號。答案：C2。如果|cosθ｜=，＜θ＜3π,則sin的值為(）A.—B。C。—D.思路解析：根據(jù)＜θ＜3π可知角θ是第二象限角，其余弦值為負，即cosθ=—，而＜＜，是為第三象限角,正弦值為負，于是利用半角公式即得結果.答案：C3。若＜α＜2π，則等于（)A。cosB。-sinC.—cosD。sin思路解析：根據(jù)本題結構特點，連續(xù)兩次使用公式1+cos2α=2cos2α,達到脫去根號的目的，這是解這類問題的常規(guī)思路.答案:C4。（全國高考卷Ⅱ，文10)若f(sinx)=3—cos2x，則f（cosx)等于（）A.3-cos2xB.3—sin2xC。3+cos2xD.3+sin2x思路解析：∵f(sinx）=3—cos2x=3—（1—2sin2x）=2+2sin2x,∴f(x)=2+2x2。∴f（cosx)=2+2cos2x=3+cos2x。答案：C5.(2006湖北高考卷,理3）若△ABC的內角A滿足sin2A=，則sinA+cosA等于（）A。B.-C。D。-思路解析:∵sin2A=2sinAcosA＞0，∴cosA＞0?！鄐inA+cosA＞0.∵1+sin2A=(sinA+cosA）2,∴1+=(sinA+cosA)2?！啵╯inA+cosA)2=?！鄐inA+cosA==。答案:A6。若f（α）=cotα—,那么f()的值為________________。思路解析：將函數(shù)f（α）化簡變形可得簡單形式，即f（α）=cotα+=cotα+tanα==，所以f(）==2。答案:27。(湖南高三百校第二次大聯(lián)考，11）函數(shù)y=sin2x—sin4x的最小正周期是T=___________.思路解析：將函數(shù)解析式化為y=sin2x-sin4x=sin2x（1-sin2x)=sin2xcos2x=sin22x=（1—cos4x)，∴T==.答案:8.已知α為鈍角、β為銳角，且sinα=，sinβ=，則的值為_______________。思路解析:∵α為鈍角、β為銳角，且sinα=，sinβ=，∴cosα=—，cosβ=?！郼os(α—β）=cosα·cosβ+sinα·sinβ=.∵＜α＜π，0＜β＜，又∵0＜α—β＜π，0＜＜，∴＞0。∴==。答案：9.化簡：=___________________。思路解析:==｜sin49°+cos49°｜=sin49°+cos49°=sin（49°+45°)=sin94°=cos4°.答案：cos4°10.化簡:+.思路分析：1±sinα是完全平方的形式。解：原式=+=｜sin5°+cos5°｜+|sin5°—cos5°|=｜sin50°｜+｜sin40°|=sin50°+sin40°=sin95°=2cos5°。我綜合我發(fā)展11.(北京高考卷，理15）已知函數(shù)f（x)=.（1)求f(x)的定義域；(2)設α為第四象限的角,且tanα=-,求f(α）的值.思路分析:（1）即解cosx≠0；(2）化簡f(α),再求值.解：(1)由cosα≠0，得x≠kπ+(k∈Z）.故f(x）的定義域為｛x｜x≠kπ+（k∈Z)｝.(2)因為tanα=-,且α是第四象限的角，所以sinα=-,cosα=,故f（α)=====2（cosα—sinα)=.12。(廣東高考卷，15）已知函數(shù)f（x)=sinx+sin（x+),x∈R.(1)求f(x)的最小正周期；（2)求f（x）的最大值和最小值；(3)若f(α）=，求sin2α的值。思路分析：化為y=Asin（ωx+φ)的形式來討論其性質。解:f（x)=sinx+sin（x+)=sinx+cosx=sin(x+).(1）f（x)的最小正周期為T==2π;（2）f(x）的最大值為，最小值為—；（3）因為f(α）=，即sinα+cosα=。∴(sinα+cosα)2=。∴2sinαcosα=-,即sin2α=—.13。已知cosα=-,cos(α+β)=，且α∈（π,),α+β∈（，2π)，求β。思路分析：利用條件求cosβ，再求β。解：∵α∈(π，），∴sinα=-=-.∵α+β∈（,2π）,∴sin(α+β）=-=-?！郼osβ=cos（α+β—α）=cos（α+β）cosα+sin(α+β）sinα=—×+(-×（—）=-.又∵α∈（π,)，α+β∈(,2π),∴β∈（0，π）?！唳?.14.（2006福建高考卷，理17)已知函數(shù)f（x)=sin2x+sinxcosx+2cos2x,x∈R。(1)求函數(shù)f（x)的最小正周期和單調增區(qū)間；（2)函數(shù)f(x)的圖象可以由函數(shù)y=sin2x(x∈R)的圖象經過怎樣的變換得到？思路分析:將函數(shù)的解析式化為y=Asin（ωx+φ)+b的形式，再討論其性質。解：f(x）=+sin2x+（1+cos2x)=sin2x+cos2x+=sin（2x+)+。(1)f（x）的最小正周期T==π。由題意得2kπ-≤2x+≤2kπ+，k∈Z。即kπ-≤x≤kπ+，k∈Z，