2.3.1向量數(shù)量積的物理背景與定義

2.3.1向量數(shù)量積的物理背景與定義一、教學(xué)內(nèi)容分析從教材體來(lái)看，平面向量的數(shù)量積是繼向量定義、向量的線性運(yùn)算之后的又一重要概念和運(yùn)算，在數(shù)學(xué)、物理等學(xué)科中應(yīng)用十分廣泛。本節(jié)課的主要學(xué)習(xí)任務(wù)是通過(guò)物理中“功”的模型抽象出平面向量數(shù)量積的概念，在此基礎(chǔ)上探究數(shù)量積的性質(zhì)及其應(yīng)用。因而數(shù)量積的概念成為本節(jié)課的核心概念，自然也是本節(jié)課教學(xué)的重點(diǎn)。由于數(shù)量積的性質(zhì)在證垂直、求長(zhǎng)度、求角中經(jīng)常用到，因而數(shù)量積的性質(zhì)是本節(jié)課的又一教學(xué)重點(diǎn)。二、學(xué)生情況分析學(xué)生在學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容之前，已熟知了實(shí)數(shù)的運(yùn)算體，掌握了向量的概念及其線性運(yùn)算，具備了力的分解、矢量、功等物理知識(shí)，這為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)量積做了很好的鋪墊。但也正是這些干擾了學(xué)生對(duì)數(shù)量積概念的理解，一方面，相對(duì)于線性運(yùn)算而言，數(shù)量積的結(jié)果發(fā)生了本質(zhì)的變化，兩個(gè)有形有數(shù)的向量經(jīng)過(guò)數(shù)量積運(yùn)算后，形卻消失了，學(xué)生對(duì)這一點(diǎn)很難接受；另一方面，由于受實(shí)數(shù)乘法運(yùn)算的影響，也會(huì)造成學(xué)生對(duì)數(shù)量積理解上的偏差，因而本節(jié)課教學(xué)的難點(diǎn)是數(shù)量積定義及性質(zhì)的理解和應(yīng)用。三、教學(xué)目標(biāo)分析1、知識(shí)與技能目標(biāo)：（1）理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義（2）知道平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系（3）掌握平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)，了解用平面向量的數(shù)量積的初步應(yīng)用2、過(guò)程與方法目標(biāo)：（1）通過(guò)向量數(shù)量積物理背景的了解，體會(huì)物理學(xué)和數(shù)學(xué)的關(guān)系（2）通過(guò)功的實(shí)際模型抽象出定義，通過(guò)具體問(wèn)題總結(jié)性質(zhì)，滲透由特殊到一般的思維方法3、情感、態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)：通過(guò)探究性學(xué)習(xí)，讓學(xué)生嘗試數(shù)學(xué)研究的過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生探究問(wèn)題、歸納概括的能力四、教學(xué)方法分析1、制作高效實(shí)用的多媒體課件，主要作用是通過(guò)模型以問(wèn)題引領(lǐng)學(xué)生探究。2、設(shè)計(jì)科學(xué)合理的板書(shū)，一方面使學(xué)生加深對(duì)主要知識(shí)的印象，另一方面使學(xué)生清楚本節(jié)內(nèi)容知識(shí)間的邏輯關(guān)系，形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。五、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)(一)創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情景問(wèn)題1：我們已經(jīng)研究了向量的哪些運(yùn)算？這些運(yùn)算的結(jié)果是什么？F問(wèn)題2:在物理課中，我們學(xué)過(guò)功的概念：即一個(gè)物體在力的作用下產(chǎn)生位移，那么如圖Fθθs力所做的功：，s設(shè)計(jì)意圖：?jiǎn)栴}1在于使學(xué)生了解數(shù)量積的數(shù)學(xué)背景，讓學(xué)生明白本節(jié)課所要研究的數(shù)量積與向量的加法、減法及數(shù)乘一樣，都是向量的運(yùn)算問(wèn)題2在于使學(xué)生了解數(shù)量積的物理背景，為抽象數(shù)量積的概念做好鋪墊。(二)探究問(wèn)題，形成定義（1）探究向量夾角問(wèn)題問(wèn)題3：表示一個(gè)什么角？（學(xué)生易答）表示力的方向與位移的方向的夾角．問(wèn)題4：你能指出下列圖中兩向量的夾角嗎？①②③學(xué)生容易得到，④學(xué)生可能會(huì)出現(xiàn)兩種答案，教師給予指導(dǎo)問(wèn)題5：對(duì)于兩個(gè)非零向量a，b，你能給出它們夾角的定義嗎？學(xué)生思考回答，教師予以補(bǔ)充，關(guān)鍵是點(diǎn)出兩向量起點(diǎn)相同，并給出夾角符號(hào)<a,b>（板書(shū)一）問(wèn)題6：思考向量夾角的范圍有了問(wèn)題4的鋪墊，學(xué)生容易得出0<a,b>π，教師強(qiáng)調(diào)同向時(shí)為0，反向時(shí)為π教師補(bǔ)充：（1）當(dāng)<a,b>=時(shí)，向量a與向量b互相垂直，記作a⊥b（2）在討論垂直問(wèn)題時(shí)規(guī)定：零向量與任一向量垂直（2）探究向量b在a方向上的投影問(wèn)題7：表示什么？生答：力F在位移方向上的分量θθsF師補(bǔ)充：我們把稱為力F在位移S方向上的投影問(wèn)題8：對(duì)于兩個(gè)非零向量a、b，向量b在向量a方向上的投影為什么？你能從圖中作出b在a方向上的投影嗎？師生共作向量b在a方向上的投影圖象。|b|就是向量b在a方向上的投影，OB1即投影的幾何表示（板書(shū)二）設(shè)計(jì)意圖：以上兩個(gè)環(huán)節(jié)都是從物理模型中抽象出我們要研究的概念，通過(guò)具體問(wèn)題引領(lǐng)學(xué)生得到精確定義，且由形到數(shù)的研究方法符合認(rèn)知規(guī)律。由于課標(biāo)中明確要求“體會(huì)平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系”，因此我舍棄B版教材中向量在軸上的正射影和向量在軸上的數(shù)量?jī)蓚€(gè)概念，而選用其他版本的投影的概念。（3）探究a與b的數(shù)量積問(wèn)題9：F（力）是量，S（位移）是量，W（功）是量對(duì)上述物理意義下的“功”概念進(jìn)行抽象，將公式中的力與位移推廣到一般向量a與，怎么來(lái)規(guī)定︱a︱︱b︱cos<a,b>的含義?定義：︱a︱︱b︱cos<a,b>叫做a與b的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作：a·b即：a·b=︱a︱︱b︱cos<a,b>。（板書(shū)三）教師強(qiáng)調(diào)記法，a·b中點(diǎn)不可少，不可寫(xiě)成ab。問(wèn)題10：向量的數(shù)量積運(yùn)算與線性運(yùn)算的結(jié)果有什么不同？若a,b是非零向量，設(shè)夾角為θ，完成下表：夾角θ的范圍0θθ=a·b的符號(hào)通過(guò)此問(wèn)題不僅使學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)量積的結(jié)果與線性運(yùn)算的結(jié)果有著本質(zhì)的不同，而且認(rèn)識(shí)到向量的夾角是決定數(shù)量積結(jié)果的重要因素，為下面更好地理解數(shù)量積的性質(zhì)作好鋪墊。問(wèn)題11：根據(jù)投影的概念，數(shù)量積a·b=︱a|︱b︱cosθ的幾何意義如何？（板書(shū)四）通過(guò)此問(wèn)題讓學(xué)生從“形”的角度重新認(rèn)識(shí)數(shù)量積的概念，從中體會(huì)數(shù)量積與向量投影的關(guān)系問(wèn)題12：請(qǐng)同學(xué)們用一句話來(lái)概括功的數(shù)學(xué)本質(zhì)：功是力與位移的數(shù)量積（板書(shū)五）數(shù)量積的概念是由物理中功的概念引出的，學(xué)習(xí)了數(shù)量積的概念后，學(xué)生就會(huì)明白功的數(shù)學(xué)本質(zhì)就是力與位移的數(shù)量積。（三）練習(xí)鞏固，總結(jié)性質(zhì)練習(xí)1：①已知|a|=8,|b|=4,<a,b>=，求a·b②已知|a|=3,|b|=2,<a,b>=0，求a·b③已知|a|=3,|b|=2,<a,b>=，求a·b④已知|a|=4,|b|=2,<a,b>=，求a·b=5\*GB3⑤已知|a|=7,|b|=1,<a,b>=，求a·b⑥已知a·b=5，|a||b|=10，求<a,b>設(shè)計(jì)意圖：①是為了鞏固數(shù)量積定義②③④分別設(shè)置了同向、反向、垂直的兩個(gè)向量，為學(xué)生總結(jié)性質(zhì)做好鋪墊=5\*GB3⑤b為單位向量時(shí)，a·b即為a在b方向上的投影⑥是讓學(xué)生學(xué)會(huì)使用數(shù)量積表示角，體會(huì)數(shù)量積的初步應(yīng)用問(wèn)題13：(1)嘗試將練習(xí)中的②③④=5\*GB3⑤⑥的結(jié)論推廣到一般向量，你能得到哪些結(jié)論？(2)比較|a·b|與|a||b|的大小,你能得到什么結(jié)論？在學(xué)生討論交流的基礎(chǔ)上，教師進(jìn)一步明晰數(shù)量積的性質(zhì)，證明留待課后學(xué)生嘗試加以證明。性質(zhì)：①當(dāng)a與b同向時(shí)，a·b=|a||b|；當(dāng)a與b反向時(shí)，a·b=-|a||b|特別地a·a=|a||a|=|a|2即|a|=--------求長(zhǎng)度②且a·b=0a⊥b--------證垂直③如果e是單位向量，則a·e=|a|cos<a,e>即向量a與單位向量e的數(shù)量積就是向量a在向量e方向上的投影④cos<a,b>=----------求夾角=5\*GB3⑤|a·b||a||b|本環(huán)節(jié)通過(guò)學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐，一是鞏固數(shù)量積定義，二是滲透由特殊到一般的思維方法，培養(yǎng)學(xué)生歸納概括的能力（四）辨析質(zhì)疑，初步應(yīng)用練習(xí)2：(1)判斷正誤，并簡(jiǎn)要說(shuō)明理由.ａ·0＝0；0·ａ＝0；｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜｜ｂ｜；④若ａ≠0，則對(duì)任一非零ｂ有ａ·ｂ≠0；⑤ａ·ｂ＝0，則ａ與ｂ中至少有一個(gè)為0；⑥ａ與ｂ是兩個(gè)單位向量，則ａ２＝ｂ２.⑦若ａ≠0，ａ·ｂ=ａ·c，則b=c(2)已知△ABC中，=a,=b，當(dāng)ａ·ｂ<0或ａ·ｂ＝0時(shí)，試判斷△ABC的形狀。通過(guò)（1）使學(xué)生在與向量的線性運(yùn)算、實(shí)數(shù)乘法運(yùn)算比較的基礎(chǔ)上全面認(rèn)識(shí)數(shù)量積這一重要運(yùn)算通過(guò)（2）使學(xué)生感受數(shù)量積在三角形中的應(yīng)用價(jià)值。（五）小結(jié)提升：1、本節(jié)課我們學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容是什么？2、平面向量數(shù)量積的基本應(yīng)用是什么？3、你收獲了哪些研究問(wèn)題的方法？（六）板書(shū)設(shè)計(jì)向量數(shù)量積的物理背景與定義一、

a與b的