2024八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第15章軸對(duì)稱圖形和等腰三角形15.4角的平分線第2課時(shí)上課課件新版滬科版

15.4角的平分線第2課時(shí)

1.掌握角平分線定理及其判定.2.能利用角平分線定理及其判定解決幾何圖形中的問題.3.知道三角形的三個(gè)內(nèi)角的平分線相交于一點(diǎn).4.知道三角形角平分線的交點(diǎn)到三角形三邊的距離相等.◎重點(diǎn):1.角平分線的性質(zhì)定理及其逆定理.2.三角形三個(gè)內(nèi)角平分線交點(diǎn)的性質(zhì).◎難點(diǎn):角平分線性質(zhì)定理及其判定的綜合應(yīng)用.

如圖，要在兩條公路的中間修建一座加油站，要求選的位置到兩條公路的距離相等，請(qǐng)你設(shè)計(jì)出加油站的位置，并說明你的理由.

角平分線性質(zhì)定理

閱讀教材本課時(shí)相關(guān)的內(nèi)容，回答下列問題.1.揭示概念:角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離

相等

.

2.歸納:角平分線的判定定理:

角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點(diǎn)

在這個(gè)角的平分線上.

相等

角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點(diǎn)

1.已知AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB于

E，且DE＝3cm，則點(diǎn)D到AC的距離是(

B

)A.2cmB.3cmC.4cmD.6cmB2.已知P為∠AOB內(nèi)一點(diǎn)，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別是D、E，且PD＝PE，∠AOB＝50°，則∠POE的度數(shù)是(

A

)A.25°B.50°C.75°D.100°學(xué)法指導(dǎo):若題中已知角平分線，則過角平分線上的點(diǎn)作兩邊的垂線是常用的輔助線之一.A

角平分線的性質(zhì)1.

我們把兩組鄰邊相等的四邊形叫做“箏形”.如圖，四邊形ABCD是一個(gè)箏形，其中AB＝CB，AD＝CD.對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，OE⊥AB，OF⊥CB，垂足分別是E，F(xiàn).求證:OE＝OF.

用角平分線性質(zhì)計(jì)算2.如圖，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝13cm，AB＝26cm，BE平分∠ABC，那么CE∶EA＝

1∶2

.

1∶2

利用角平分線性質(zhì)定理解決幾何問題3.如圖，在△ABC中，∠B＝2∠C，AD平分∠BAC，求證:AB＋BD＝AC.

證明:如圖，延長(zhǎng)AB到點(diǎn)E，使BE＝BD，連接DE，則∠BDE＝∠BED，∴AE＝AB＋BD.∵∠ABD＝2∠BED，∠ABD＝2∠C，∴∠BED＝∠C.∵∠1＝∠2，∴△ADC≌△ADE，AC＝AE，∴AB＋BD＝AC.【變式訓(xùn)練】如上題圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，AB＋BD＝AC，求∠B∶∠C的值.解:輔助線同上，得AE＝AB＋BD.∵AB＋BD＝AC，∴AE＝AC.易證△ADC≌△ADE，∠ACD＝∠BED，∴∠ABD＝2∠ACD，即∠ABD∶∠ACD＝2∶1.

如圖，上節(jié)課我們知道如何在兩條公路的中間修建一座加油站，使得加油站到兩條公路的距離相等.現(xiàn)在我們將問題進(jìn)行升級(jí)，如何在三條公路的中間，選擇一個(gè)地點(diǎn)建造加油站，使得加油站到三條公路的距離都相等.

三角形內(nèi)角平分線交點(diǎn)的性質(zhì)

揭示概念:三角形三條角平分線相交于

一

點(diǎn)，這一點(diǎn)到三角形三邊的距離

相等

.

學(xué)法指導(dǎo):用分割與組合的方式求三角形面積的方法是常見的求面積的途徑之一.一

相等

1.如圖，D為∠ABC的平分線上一點(diǎn)，P為平分線上異于D的一點(diǎn)，PA⊥BA，PC⊥BC，垂足分別為A，C，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是(

C

)A.AD＝CDB.∠DAP＝∠DCPC.PD＝BDD.∠ADB＝∠BDCC2.

如圖，某市高新開發(fā)區(qū)有一塊由三條馬路圍成的三角形綠地，現(xiàn)準(zhǔn)備在其中新安置一景觀照明燈，要求燈到三條馬路的距離相等，請(qǐng)你幫助確定燈的位置.解:圖略(提示:做三條馬路所形成的夾角中任意兩個(gè)角的平分線的交點(diǎn)即為燈應(yīng)安置的地方).

平分線的應(yīng)用1.

如圖，直線l1、l2、l3表示三條相互交叉的公路，現(xiàn)要建一個(gè)貨物中轉(zhuǎn)站，要求它到三條公路的距離相等，則供選擇的地址有(

D

)A.1處B.2處C.3處D.4處D2.

如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD是∠CAB的平分線，求證:AC＋CD＝AB.

證明:在AB上截取AE，使AE＝AC，連接DE.∵AD是∠CAB的平分線，∴∠1＝∠2.∴△ACD≌△AED(SAS)，∴CD＝DE，∠AED＝∠C＝90°.又∵AC＝BC，∴∠B＝∠BAC＝45°，∴DE＝EB，∴AC＋CD＝AE＋DE＝AE＋EB＝AB，即AC＋CD＝AB.【方法歸納交流】證明一條線段等于兩條相等的長(zhǎng)，可以從“長(zhǎng)”線段中截取一段等于其中一條線段，再證明剩余“部分”與另一條線段相等；也可將兩條線段“拼”接在一條線段上，然后證明相等.3.在△ABC中，AD是∠BAC的平分線，DE、DF分別垂直于AB、AC，垂足為E、F，且BD＝CD.求證:BE＝CF.證明:∵AD是∠A的平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，又∵BD＝CD，∴△BDE≌△CDF(HL).∴BE＝CF.【變式訓(xùn)練】對(duì)于第3題，其他條件不變，若已知BE＝CF，求證:BD＝CD.證明:∵AD是∠A的平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF.又∵BE＝CF，∴△BDE≌△CDF(SAS)，∴BD＝CD.

用角平分線性質(zhì)解決實(shí)際問題4.如圖，有一塊三角形的空地，其三邊長(zhǎng)分別為20m、30m、40m，現(xiàn)在要把它分成面積比為2∶3∶4的三部分，分別種植不同的花.請(qǐng)你設(shè)計(jì)出一個(gè)方案，并說明你的理由.解:方案:如圖，分別作∠C和∠B的角平分線，它們相交于點(diǎn)P，連接PA.則△PAB、△PAC、△PBC的面積之比就是2∶3∶4.理由:經(jīng)過點(diǎn)P作PE⊥AB于點(diǎn)E，PF⊥AC于點(diǎn)F，PH⊥BC于點(diǎn)H.

【方法歸納交流】涉及角平分線的問題時(shí)，常用的輔助線有:(1)如圖1，自角平分線上一點(diǎn)向角的兩邊作垂線段，利用角平分線的性質(zhì)解題.(2)在長(zhǎng)的角邊上截取等于短的角邊——截長(zhǎng)(如圖2)，或延長(zhǎng)短的角邊使其等于長(zhǎng)的角邊——補(bǔ)短(如圖3)，從而構(gòu)造兩個(gè)全等的三角形，利用全等三角形的性質(zhì)解題.

1.

已知△ABC的周長(zhǎng)為20cm，角平分線AD、BE相交于點(diǎn)O，OP⊥AB交AB于點(diǎn)P，OP＝2cm，則△ABC的面積為

20

cm2

.

20

cm2

2.如圖，在△ABC中，∠ABC＝100°，∠ACB＝20°，CE平分∠ACB，D是AC上一點(diǎn)，若∠CBD＝20°，求∠ADE的度數(shù).

解:如圖，作EN⊥CA，EM⊥BD，EP⊥CB，垂足分別是N、M、P.∵∠ABD＝∠ABC－∠CBD＝100°－20°＝80°，∠PBA＝180°－100°＝80°，∴∠PBA＝∠ABD.

【方法歸納交流】遇到角的平分線，要考慮“角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等”和利用角平分線構(gòu)造全等三角形.要證明“一條線段(或角)是另外兩條線段(或角)的和”可以考慮用“截補(bǔ)法”.

1.△ABC的三邊AB，BC，CA的長(zhǎng)分別為6cm，4cm，4cm，P為△ABC三條角平分線的交點(diǎn)，則△ABP，△BCP，△ACP的面積比等于(

D

)