上海市華師大三附中2025屆數(shù)學(xué)高二上期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)模擬試題含解析

上海市華師大三附中2025屆數(shù)學(xué)高二上期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知，，，則點(diǎn)C到直線AB的距離為（）A.3 B.C. D.2．已知、是平面直角坐標(biāo)系上的直線，“與的斜率相等”是“與平行”的（）A.充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充要條件 D.既非充分條件也非必要條件3．橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，過(guò)焦點(diǎn)的傾斜角為直線交橢圓于兩點(diǎn)，弦長(zhǎng)，若三角形的內(nèi)切圓的面積為，則橢圓的離心率為（）A. B.C. D.4．設(shè)實(shí)系數(shù)一元二次方程在復(fù)數(shù)集C內(nèi)的根為、，則由，可得.類(lèi)比上述方法：設(shè)實(shí)系數(shù)一元三次方程在復(fù)數(shù)集C內(nèi)的根為，則的值為A.﹣2 B.0C.2 D.45．某手機(jī)上網(wǎng)套餐資費(fèi)：每月流量500M以下（包含500M），按20元計(jì)費(fèi)；超過(guò)500M，但沒(méi)超過(guò)1000M（包含1000M）時(shí)，超出部分按0.15元/M計(jì)費(fèi)；超過(guò)1000M時(shí)，超出部分按0.2元/M計(jì)費(fèi)，流量消費(fèi)累計(jì)的總流量達(dá)到封頂值（15GB）則暫停當(dāng)月上網(wǎng)服務(wù).若小明使用該上網(wǎng)套餐一個(gè)月的費(fèi)用是100元，則他的上網(wǎng)流量是（）A.800M B.900MC.1025M D.1250M6．若數(shù)列滿足，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為（）A. B.C. D.7．已知雙曲線C：（，）的一條漸近線被圓所截得的弦長(zhǎng)為2，的C的離心率為（）A. B.C.2 D.8．若不等式在上有解，則的最小值是（）A.0 B.-2C. D.9．某公司要建造一個(gè)長(zhǎng)方體狀的無(wú)蓋箱子，其容積為48m3，高為3m，如果箱底每1m2的造價(jià)為15元，箱壁每1m2造價(jià)為12元，則箱子的最低總造價(jià)為（）A.72元 B.300元C.512元 D.816元10．過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)作弦，則最短弦的長(zhǎng)為（）A. B.2C. D.411．設(shè)命題，，則為（）A.， B.，C.， D.，12．已知，，則下列結(jié)論一定成立的是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知正三角形邊長(zhǎng)為a，則該三角形內(nèi)任一點(diǎn)到三邊的距離之和為定值.類(lèi)比上述結(jié)論，在棱長(zhǎng)為a的正四面體內(nèi)，任一點(diǎn)到其四個(gè)面的距離之和為定值_____.14．用1，2，3，4排成的無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中，其中1和2不能相鄰的四位數(shù)的個(gè)數(shù)為_(kāi)__________（用數(shù)字作答）.15．若函數(shù)的遞增區(qū)間是，則實(shí)數(shù)______.16．已知、雙曲線的左、右焦點(diǎn)，A、B為雙曲線上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)，且滿足，，則雙曲線的離心率為_(kāi)__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列的首項(xiàng)，前n項(xiàng)和為，且滿足.（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.18．（12分）已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）（1）求的解析式及單調(diào)遞減區(qū)間；（2）若函數(shù)無(wú)零點(diǎn)，求的取值范圍19．（12分）已知橢圓：的四個(gè)頂點(diǎn)組成的四邊形的面積為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）若橢圓的下頂點(diǎn)為，如圖所示，點(diǎn)為直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)的直線垂直于，且與交于，兩點(diǎn)，與交于點(diǎn)，四邊形和的面積分別為，，求的最大值.20．（12分）已知函數(shù)（1）求函數(shù)單調(diào)區(qū)間；（2）函數(shù)在區(qū)間上的最小值小于零，求a的取值范圍21．（12分）在所有棱長(zhǎng)均為2的三棱柱ABC-A1B1C1中，∠B1BC=60°，求證:（1）AB1⊥BC；（2）A1C⊥平面AB1C1.22．（10分）已知集合，，.（1）求；（2）若“”是“”的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】應(yīng)用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求在上投影長(zhǎng)及的模長(zhǎng)，再應(yīng)用勾股定理求點(diǎn)C到直線AB的距離.【詳解】因?yàn)?，，所以設(shè)點(diǎn)C到直線AB的距離為d，則故選：D2、D【解析】根據(jù)直線平行與直線斜率的關(guān)系，即可求解.【詳解】解：與的斜率相等”，“與可能重合，故前者不可以推出后者，若與平行，與的斜率可能都不存在，故后者不可以推出前者，故前者是后者的既非充分條件也非必要條件，故選：D.3、C【解析】由題可得直線AB的方程，從而可表示出三角形面積，又利用焦點(diǎn)三角形及三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)，也可表示出三角形面積，則橢圓的離心率即求.【詳解】由題知直線AB的方程為，即，∴到直線AB距離，又三角形的內(nèi)切圓的面積為，則半徑為1，由等面積可得，.故選：C.4、A【解析】用類(lèi)比推理得到，再用待定系數(shù)法得到，，再根據(jù)求解.【詳解】，由對(duì)應(yīng)系數(shù)相等得：，.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查合情推理以及待定系數(shù)法，還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和邏輯推理的能力，屬于中檔題.5、C【解析】根據(jù)已知條件列方程，化簡(jiǎn)求得小明的上網(wǎng)流量.【詳解】顯然小明上網(wǎng)流量超過(guò)了1000M但遠(yuǎn)遠(yuǎn)沒(méi)達(dá)到封頂值，假設(shè)超出部分為M，由得.故選：C6、D【解析】由，分兩步，當(dāng)求出，當(dāng)時(shí)得到，兩式作差即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；【詳解】解：因?yàn)棰?，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)②，①②得，所以，當(dāng)時(shí)也成立，所以；故選：D7、C【解析】由雙曲線的方程可得漸近線的直線方程，根據(jù)直線和圓相交弦長(zhǎng)可得圓心到直線的距離，進(jìn)而可得，結(jié)合，可得離心率.【詳解】雙曲線的一條漸近線方程為，即，被圓所截得的弦長(zhǎng)為2，所以圓心到直線的距離為，，解得，故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的漸近線和離心率、直線和圓的相交弦、點(diǎn)到直線距離等基本知識(shí)，考查了運(yùn)算求解能力和邏輯推理能力，轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于一般題目.8、D【解析】將題設(shè)條件轉(zhuǎn)化為在上有解,然后求出的最大值即可得解.【詳解】不等式在上有解,即為在上有解,設(shè),則在上單調(diào)遞減,所以,所以,即,故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查二次不等式能成立問(wèn)題,可以選擇分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題,也可以進(jìn)行分情況討論.9、D【解析】設(shè)這個(gè)箱子的箱底的長(zhǎng)為xm，則寬為m，設(shè)箱子總造價(jià)為f（x）元，則f(x)＝72(x)+240，由此利用均值不等式能求出箱子的最低總造價(jià)【詳解】設(shè)這個(gè)箱子的箱底的長(zhǎng)為xm，則寬為m，設(shè)箱子總造價(jià)為f(x)元，∴f(x)＝15×16+12×3(2x)＝72(x)+240≥144240＝816，當(dāng)且僅當(dāng)x，即x＝4時(shí)，f（x）取最小值816元故選：D10、A【解析】求出橢圓的通徑，即可得到結(jié)果【詳解】過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)作弦，則最短弦的長(zhǎng)為橢圓的通徑：故選：A11、B【解析】全稱(chēng)命題的否定時(shí)特稱(chēng)命題，把任意改為存在，把結(jié)論否定.【詳解】命題，，則為“，”.故選：B12、B【解析】根據(jù)不等式的同向可加性求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，又，所?故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】利用正四面體內(nèi)任一點(diǎn)可將正四面體分成四個(gè)小四面體，令它們的高分別為，由體積相等即可求得；【詳解】正三角形邊長(zhǎng)為a，則該三角形內(nèi)任一點(diǎn)到三邊的距離分別為，即有：，解得同理，棱長(zhǎng)為a的正四面體內(nèi)，任一點(diǎn)到其四個(gè)面的距離分別為，即有：，解得故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了利用空間幾何體的等體積法求高的和為定值，屬于簡(jiǎn)單題；14、【解析】利用插空法計(jì)算出正確答案.【詳解】先排，形成個(gè)空位，然后將排入，所以符合題意的四位數(shù)的個(gè)數(shù)為.故答案為：15、【解析】求得二次函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，即可求得參數(shù)的值.【詳解】因?yàn)槎魏瘮?shù)開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為，故其單調(diào)增區(qū)間為，又由題可知：其遞增區(qū)間是，故.故答案為：.16、【解析】可得四邊形為矩形，運(yùn)用三角函數(shù)的定義可得，，由雙曲線的定義和矩形的性質(zhì)，可得，由離心率公式求解即可.【詳解】、為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，可得四邊形為矩形，在中，，∴，在中，，可得，，∴，∴，∵，∴，∴，故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：得出四邊形為矩形，利用雙曲線的定義解決焦點(diǎn)三角形問(wèn)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】（1）當(dāng)時(shí)，由，得，兩式相減化簡(jiǎn)可得，再對(duì)等式兩邊同時(shí)減去1，化簡(jiǎn)可證得結(jié)論，（2）由（1）得，然后利用分組求和可求出【小問(wèn)1詳解】由已知得，.當(dāng)時(shí)，.兩式相減得，.于是，即，又，，，所以滿足上式，所以對(duì)都成立，故數(shù)列是等比數(shù)列.【小問(wèn)2詳解】由（1）得，，.18、（1）單調(diào)減區(qū)間為和；（2）的取值范圍為：或【解析】（1）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，由兩直線垂直的條件，可得，求得的解析式，可得導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)小于0，可得減區(qū)間；（2）先求得，要使函數(shù)無(wú)零點(diǎn)，即要在內(nèi)無(wú)解，亦即要在內(nèi)無(wú)解.構(gòu)造函數(shù)，對(duì)其求導(dǎo)，然后對(duì)進(jìn)行分類(lèi)討論，運(yùn)用單調(diào)性和函數(shù)零點(diǎn)存在性定理，即可得到的取值范圍.【詳解】(1)，又由題意有：，故.此時(shí)，，由或，所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為和.(2)，且定義域?yàn)椋瘮?shù)無(wú)零點(diǎn)，即要在內(nèi)無(wú)解，亦即要在內(nèi)無(wú)解.構(gòu)造函數(shù).①當(dāng)時(shí)，在內(nèi)恒成立，所以函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)也單調(diào)遞減.又，所以在內(nèi)無(wú)零點(diǎn)，在內(nèi)也無(wú)零點(diǎn)，故滿足條件；②當(dāng)時(shí)，⑴若，則函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)也單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增.又，所以在內(nèi)無(wú)零點(diǎn)；易知，而，故在內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)，所以不滿足條件；⑵若，則函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增.又，所以時(shí)，恒成立，故無(wú)零點(diǎn)，滿足條件；⑶若，則函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)也單調(diào)遞增.又，所以在及內(nèi)均無(wú)零點(diǎn).又易知，而，又易證當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在內(nèi)有一零點(diǎn)，故不滿足條件.綜上可得：的取值范圍為：或.【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題、其中分類(lèi)討論思想.本題覆蓋面廣，對(duì)考生計(jì)算能力要求較高，是一道難題，解答本題，準(zhǔn)確求導(dǎo)數(shù)是基礎(chǔ)，恰當(dāng)分類(lèi)討論是關(guān)鍵，易錯(cuò)點(diǎn)是分類(lèi)討論不全面、不徹底、不恰當(dāng)，或因復(fù)雜式子變形能力差，而錯(cuò)漏百出．本題能較好的考查考生的邏輯思維能力、基本計(jì)算能力、分類(lèi)討論思想等19、（1）（2）【解析】（1）因?yàn)樵跈E圓上，所以，又因?yàn)闄E圓四個(gè)頂點(diǎn)組成的四邊形的面積為，所以，解得，所以橢圓的方程為（2）由（1）可知，設(shè)，則當(dāng)時(shí)，，所以，直線的方程為，即，由得，則，，，又，所以，由，得，所以，所以，當(dāng)，直線，，，，，所以當(dāng)時(shí)，.點(diǎn)睛：在圓錐曲線中研究最值或范圍問(wèn)題時(shí)，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值．在利用代數(shù)法解決最值與范圍問(wèn)題時(shí)常從以下方面考慮：①利用判別式來(lái)構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；②利用已知參數(shù)的范圍，求新參數(shù)的范圍，解這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是在兩個(gè)參數(shù)之間建立等量關(guān)系；③利用隱含或已知的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍.20、（1）答案見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）對(duì)求導(dǎo)并求定義域，討論、分別判斷的符號(hào)，進(jìn)而確定單調(diào)區(qū)間.（2）由題設(shè)，結(jié)合（1）所得的單調(diào)性，討論、、分別確定在給定區(qū)間上的最小值，根據(jù)最小值小于零求參數(shù)a的范圍.【小問(wèn)1詳解】由題設(shè)，且定義域?yàn)?，?dāng)，即時(shí)，在上，即在上遞增；當(dāng)，即時(shí)，在上，在上，所以在上遞減，在上遞增；【小問(wèn)2詳解】由（1）知：若，即時(shí)，則在上遞增，故，可得；若，即時(shí)，則在上遞減，在上遞增，故，不合題設(shè)；若，即時(shí)，則在上遞減，故，得；綜上，a的取值范圍.21、（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】（1）通過(guò)計(jì)算·=0來(lái)證得AB1⊥BC.（2）通過(guò)證明A1C⊥AC1、A1C⊥AC1來(lái)證得A1C⊥平面AB1C1.【詳解】證明：（1）易知<>=120°，=+，則·=(+)·=·+·=2×2×+2×2×=0.所以AB1⊥BC.（2）易知四邊形AA1C1C為菱形，所以A1C⊥AC1.因?yàn)椤?(-)·(-)=(-)·(--)=·-·-·-·+·+·=·-·-·+·=2×2×-4-2×2×+4=0，所以AB1⊥A1C，又AC1∩AB1=A，所以A1C