2025屆吉林省吉林市三校聯(lián)考高二上數(shù)學(xué)期末質(zhì)量檢測模擬試題含解析

2025屆吉林省吉林市三校聯(lián)考高二上數(shù)學(xué)期末質(zhì)量檢測模擬試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．阿波羅尼斯約公元前年證明過這樣一個命題：平面內(nèi)到兩定點距離之比為常數(shù)且的點的軌跡是圓．后人將這個圓稱為阿氏圓．若平面內(nèi)兩定點A，B間的距離為2，動點P與A，B距離之比滿足：，當(dāng)P、A、B三點不共線時，面積的最大值是（）A. B.2C. D.2．在平面直角坐標(biāo)系中，已知的頂點，，其內(nèi)切圓圓心在直線上，則頂點C的軌跡方程為（）A. B.C. D.3．設(shè)正方體的棱長為，則點到平面的距離是（）A. B.C. D.4．的二項展開式中，二項式系數(shù)最大的項是第（）項.A.6 B.5C.4和6 D.5和75．直線被圓截得的弦長為（）A.1 B.C.2 D.36．已知向量，且，則（）A. B.C. D.7．由直線上的點向圓引切線，則切線長的最小值為（）A. B.C.4 D.28．某校開展研學(xué)活動時進(jìn)行勞動技能比賽，通過初選，選出共6名同學(xué)進(jìn)行決賽，決出第1名到第6名的名次（沒有并列名次），和去詢問成績，回答者對說“很遺?，你和都末拿到冠軍；對說“你當(dāng)然不是最差的”.試從這個回答中分析這6人的名次排列順序可能出現(xiàn)的結(jié)果有（）A.720種 B.600種C.480種 D.384種9．某班進(jìn)行了一次數(shù)學(xué)測試，全班學(xué)生的成績都落在區(qū)間內(nèi)，其成績的頻率分布直方圖如圖所示，若該班學(xué)生這次數(shù)學(xué)測試成績的中位數(shù)的估計值為，則的值為（）A. B.C. D.10．驚艷全世界的南非雙曲線大教堂是由倫敦著名的建筑事務(wù)所完成的，建筑師的設(shè)計靈感源于想法：“你永無止境的愛是多么的珍貴，人們在你雄偉的翅膀下庇護(hù)”.若將如圖所示的雙曲線大教堂外形弧線的一段近似看成雙曲線（）下支的一部分，且此雙曲線的一條漸近線方程為，則此雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.11．2021年6月17日9時22分，搭載神舟十二號載人飛船的長征二號F遙十二運載火箭，在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心點火發(fā)射．此后，神舟十二號載人飛船與火箭成功分離，進(jìn)入預(yù)定軌道，并快速完成與“天和”核心艙的對接，聶海勝、劉伯明、湯洪波3名宇航員成為核心艙首批“入住人員”，并在軌駐留3個月，開展艙外維修維護(hù)，設(shè)備更換，科學(xué)應(yīng)用載荷等一系列操作．已知神舟十二號飛船的運行軌道是以地心為焦點的橢圓，設(shè)地球半徑為R，其近地點與地面的距離大約是，遠(yuǎn)地點與地面的距離大約是，則該運行軌道（橢圓）的離心率大約是（）A. B.C. D.12．已知雙曲線漸近線方程為，則該雙曲線的離心率等于（）A. B.C.2 D.4二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．雙曲線的左頂點為，虛軸的一個端點為，右焦點到直線的距離為，則雙曲線的離心率為__________.14．設(shè)，滿足約束條件，則的最大值是_________.15．已知p：“”為真命題，則實數(shù)a的取值范圍是_________.16．已知等比數(shù)列的前項和為，若，，則______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓的左右焦點分別為，，經(jīng)過左焦點的直線與橢圓交于A，B兩點（異于左右頂點）（1）求△的周長；（2）求橢圓E上的點到直線距離的最大值18．（12分）已知正三棱柱底面邊長為，是上一點，是以為直角頂點的等腰直角三角形（1）證明：是中點；（2）求點到平面的距離19．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點在橢圓上，其中為橢圓E的離心率（1）求b的值；（2）A，B分別為橢圓E的左右頂點，過點的直線l與橢圓E相交于M，N兩點，直線與交于點T，求證：20．（12分）設(shè)等差數(shù)列的前項和為（1）求的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和21．（12分）某牧場今年初牛的存欄數(shù)為1200，預(yù)計以后每年存欄數(shù)的增長率為8%，且每年年底賣出100頭牛，設(shè)牧場從今年起每年年初的計劃存欄數(shù)依次為，，….（參考數(shù)據(jù)：，，.）（1）寫出一個遞推公式，表示與之間的關(guān)系；（2）將（1）中的遞推關(guān)系表示成的形式，其中k，r為常數(shù)；（3）求的值（精確到1）.22．（10分）如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是等邊三角形，D是AC的中點.（1）證明：AB1//面BC1D；（2）若AA1=AB，求二面角B1-AC-C1的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】根據(jù)給定條件建立平面直角坐標(biāo)系，求出點P的軌跡方程，探求點P與直線AB的最大距離即可計算作答.【詳解】依題意，以線段AB的中點為原點，直線AB為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，則，，設(shè)，因，則，化簡整理得：，因此，點P的軌跡是以點為圓心，為半徑的圓，點P不在x軸上時，與點A，B可構(gòu)成三角形，當(dāng)點P到直線(軸)的距離最大時，的面積最大，顯然，點P到軸的最大距離為，此時，，所以面積的最大值是故選：C2、A【解析】根據(jù)圖可得：為定值，利用根據(jù)雙曲線定義，所求軌跡是以、為焦點，實軸長為6的雙曲線的右支，從而寫出其方程即得【詳解】解：如圖設(shè)與圓切點分別為、、，則有，，，所以根據(jù)雙曲線定義，所求軌跡是以、為焦點，實軸長為4的雙曲線的右支（右頂點除外），即、，又，所以，所以方程為故選：A3、D【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)空間向量所學(xué)點到面的距離公式求解即可.【詳解】建立如下圖所示空間直角坐標(biāo)系，以為坐標(biāo)原點，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸.因為正方體的邊長為4，所以，，，，，所以，，，設(shè)平面的法向量，所以，，即，設(shè)，所以，，即，設(shè)點到平面的距離為，所以，故選：D.4、A【解析】由二項展開的中間項或中間兩項二項式系數(shù)最大可得解.【詳解】因為二項式展開式一共11項，其中中間項的二項式系數(shù)最大，易知當(dāng)r＝5時，最大，即二項展開式中，二項式系數(shù)最大的為第6項.故選：A5、C【解析】利用直線和圓相交所得的弦長公式直接計算即可.【詳解】由題意可得圓的圓心為，半徑，則圓心到直線的距離，所以由直線和圓相交所得的弦長公式可得弦長為：.故選：C.6、A【解析】利用空間向量共線的坐標(biāo)表示即可求解.【詳解】由題意可得，解得，所以.故選：A7、D【解析】切點與圓心的連線垂直于切線，切線長轉(zhuǎn)化為直線上點與圓心連線和半徑的關(guān)系，利用點到直線的距離公式求出圓心與直線上點距離的最小值，結(jié)合勾股定理即可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)為直線上任意一點，，切線長的最小值為：，故選：D.8、D【解析】不是第一名且不是最后一名，的限制最多，先排有4種情況，再排，也有4種情況，余下的問題是4個元素在4個位置全排列，根據(jù)分步計數(shù)原理求解即可【詳解】由題意，不是第一名且不是最后一名，的限制最多，故先排，有4種情況，再排，也有4種情況，余下4人有種情況，利用分步相乘計數(shù)原理知有種情況故選：D.9、A【解析】根據(jù)已知條件可得出關(guān)于、的方程組，解出這兩個量的值，即可求得結(jié)果.【詳解】由題意有，得，又由，得，解得，，有故選：A.10、B【解析】首先根據(jù)雙曲線的漸近線方程得到，從而得到，，，再求離心率即可.【詳解】雙曲線，，，因為雙曲線的一條漸近線方程為，即，所以，解得，所以，，，.故選：B11、A【解析】以運行軌道長軸所在直線為x軸，地心F為右焦點建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)橢圓方程為，根據(jù)題意列出方程組，解方程組即可.【詳解】以運行軌道長軸所在直線為x軸，地心F為右焦點建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)橢圓方程為，其中，根據(jù)題意有，，所以，，所以橢圓的離心率故選：A12、A【解析】由雙曲線的漸近線方程，可得，再由的關(guān)系和離心率公式，計算即可得到所求值【詳解】解：雙曲線的漸近線方程為，由題意可得即，可得由可得，故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)雙曲線左頂點和虛軸端點的定義，結(jié)合點到直線距離公式、雙曲線的離心率公式進(jìn)行求解即可.【詳解】不妨設(shè)在縱軸的正半軸上，由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可知：，右焦點的坐標(biāo)為，直線的方程為：，因為右焦點到直線的距離為，所以有，即雙曲線的離心率為，故答案為：14、5【解析】由題可知表示點與點連線的斜率，再畫出可行域結(jié)合圖像知知.【詳解】x，y滿足約束條件，滿足的可行域如圖：則的幾何意義是可行域內(nèi)的點與（﹣3，﹣2）連線的斜率，通過分析圖像得到當(dāng)經(jīng)過A時，目標(biāo)函數(shù)取得最大值由可得A（﹣2，3），則的最大值是：故答案為5【點睛】(1)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出可行域(2)考慮目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，將目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行變形．常見的類型有截距型（型）、斜率型（型）和距離型（型）(3)確定最優(yōu)解：根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的類型，并結(jié)合可行域確定最優(yōu)解(4)求最值：將最優(yōu)解代入目標(biāo)函數(shù)即可求出最大值或最小值15、【解析】根據(jù)條件將問題轉(zhuǎn)化不等式在上有解，則，由此求解出的取值范圍.【詳解】因為“”為真命題，所以不等式在上有解，所以，所以，故答案為：.16、【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，根據(jù)已知條件求出的值，由此可得出的值.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，整理可得，，解得，因此，.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）利用橢圓的定義求△的周長；（2）設(shè)直線與橢圓相切，聯(lián)立方程求參數(shù)m，與之間的距離的最大值，即為橢圓E上的點到直線l距離的最大值.【小問1詳解】已知橢圓E方程為，所以，△的周長為，其中，所以△的周長為.【小問2詳解】設(shè)直線與直線l平行且與橢圓相切，則，得，即，令，解得，所以，與之間的距離，即橢圓E上的點到直線l距離的最大值為18、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）證明出平面，可得出，再利用等腰三角形的幾何性質(zhì)可證得結(jié)論成立；（2）計算出三棱錐的體積以及的面積，利用等體積法可求得點到平面的距離.【小問1詳解】證明：在正三棱柱，平面，平面，則，因為是以為直角頂點的等腰直角三角形，則，，則平面，平面，所以，，因為為等邊三角形，故點為的中點.【小問2詳解】解：因為是邊長為的等邊三角形，則，平面，平面，則，即，所以，，，，設(shè)點到平面的距離為，，，解得.因此，點到平面距離為.19、（1）1（2）證明見解析【解析】（1）根據(jù)點在橢圓E上建立方程，結(jié)合，然后解出方程即可；（2）聯(lián)立直線與橢圓的方程，表示出直線與，求得交點的坐標(biāo)，再分別表示出直線和的斜率并作差，通過韋達(dá)定理證明直線和的斜率相等即可.【小問1詳解】由點在橢圓E上，得：又，即解得：【小問2詳解】依題意，得，且直線l與x軸不會平行設(shè)直線l的方程為，，由方程組消去x可得：則有：，且直線的方程為，直線的方程為由方程組可得：設(shè)直線的斜率分別是，則有：可得：又可得：故【點睛】（1）解答直線與橢圓的題目時，時常把兩個曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系（2）涉及到直線方程時，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為或不存在等特殊情形請考生在第22-23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分20、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)等差數(shù)列前n項和求和公式求出首項和公差，進(jìn)而求出通項公式；（2）結(jié)合（1）求出，再令得出數(shù)列的正數(shù)項和負(fù)數(shù)項，進(jìn)而結(jié)合等差數(shù)列求和公式求得答案.【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列的首項和公差分別為和，∴，解得：所以.【小問2詳解】，所以.當(dāng)；當(dāng)，當(dāng)，時，，當(dāng)時，.綜上：.21、（1）（2）（3）10626【解析】（1）根據(jù)題意，建立遞推關(guān)系即可；（2）利用待定系數(shù)法求解得.（3）利用等比數(shù)列求和公式，結(jié)合已知數(shù)據(jù)求解即可.【小問1詳解】解：因為某牧場今年初牛的存欄數(shù)為1200，預(yù)計以后每年存欄數(shù)的增長率為8%，且每年年底賣出100頭牛，所以，且.【小問2詳解】解：將化成，因為所以比較的系數(shù)，可得，解得.所以（1）中的遞推公式可以化為.【小問3詳解】解：由（2）可知，數(shù)列是以為首項，1.08為公比的等比數(shù)列，則.所以.22、（1）證明見解析（2）【解析】（1），連接，證明，再根據(jù)線面平行的判定定理即可得證；（2）說明平面，取的中點F，連接，以D為原點，分別以的方向為x，y，z軸的正方