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文檔簡介
四川省成都市郫都區(qū)2025屆數(shù)學高二上期末檢測試題請考生注意:1.請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上,請用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2.答題前,認真閱讀答題紙上的《注意事項》,按規(guī)定答題。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知雙曲線C:(,)的一條漸近線被圓所截得的弦長為2,的C的離心率為()A. B.C.2 D.2.把紅、黑、藍、白4張紙牌隨機地分發(fā)給甲、乙、丙、丁4人,每人分得1張,事件“甲分得紅牌”與事件“乙分得紅牌”的關(guān)系是()A.既不互斥也不對立 B.互斥又對立C.互斥但不對立 D.對立3.在直角坐標系中,直線的傾斜角是A.30° B.60°C.120° D.150°4.定義運算:.已知,都是銳角,且,,則()A. B.C. D.5.若直線經(jīng)過,,兩點,則直線的傾斜角的取值范圍是()A. B.C. D.6.已知集合,,若,則=()A.{1,2,3} B.{1,2,3,4}C.{0,1,2} D.{0,1,2,3}7.已知點到直線的距離為1,則m的值為()A.或 B.或15C.5或 D.5或158.直線(t為參數(shù))被圓所截得的弦長為()A. B.C. D.9.已知某班有學生48人,為了解該班學生視力情況,現(xiàn)將所有學生隨機編號,用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個容量為4的樣本已知3號,15號,39號學生在樣本中,則樣本中另外一個學生的編號是()A.26 B.27C.28 D.2910.已知,則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.充要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件11.閱讀如圖所示的程序框圖,運行相應的程序,輸出S的結(jié)果是()A.128 B.64C.16 D.3212.已知A(3,2),點F為拋物線的焦點,點P在拋物線上移動,為使取得最小值,則點P的坐標為()A.(0,0) B.(2,2)C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.設函數(shù)f(x)在R上滿足f(x)+xf′(x)>0,若a=(30.3)f(30.3),b=(logπ3)·f(logπ3),則a與b的大小關(guān)系為________14.正方體,點分別是的中點,則異面直線與所成角的余弦值為___________.15.已知函數(shù),則______16.已知橢圓方程為,左、右焦點分別為、,P為橢圓上的動點,若的最大值為,則橢圓的離心率為___________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知橢圓的離心率為,長軸長為,F(xiàn)為橢圓的右焦點(1)求橢圓C的方程;(2)經(jīng)過點的直線與橢圓C交于兩點,,且以為直徑的圓經(jīng)過原點,求直線的斜率;(3)點是以長軸為直徑的圓上一點,圓在點處的切線交直線于點,求證:過點且垂直于的直線過定點18.(12分)設點是拋物線上異于原點O的一點,過點P作斜率為、的兩條直線分別交于、兩點(P、A、B三點互不相同)(1)已知點,求的最小值;(2)若,直線AB的斜率是,求的值;(3)若,當時,B點的縱坐標的取值范圍19.(12分)已知(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;(2)若函數(shù)在上有1個零點,求實數(shù)a的取值范圍20.(12分)已知橢圓經(jīng)過點,橢圓E的一個焦點為.(1)求橢圓E的方程;(2)若直線l過點且與橢圓E交于兩點.求的最大值.21.(12分)已知,,函數(shù),直線是函數(shù)圖象的一條對稱軸(1)求函數(shù)的解析式及單調(diào)遞增區(qū)間;(2)若,,的面積為,求的周長22.(10分)已知是公差不為0的等差數(shù)列,其前項和為,,且,,成等比數(shù)列.(1)求和;(2)若,數(shù)列的前項和為,且對任意的恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】由雙曲線的方程可得漸近線的直線方程,根據(jù)直線和圓相交弦長可得圓心到直線的距離,進而可得,結(jié)合,可得離心率.【詳解】雙曲線的一條漸近線方程為,即,被圓所截得的弦長為2,所以圓心到直線的距離為,,解得,故選:C【點睛】本題考查了雙曲線的漸近線和離心率、直線和圓的相交弦、點到直線距離等基本知識,考查了運算求解能力和邏輯推理能力,轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想,屬于一般題目.2、C【解析】根據(jù)互斥事件、對立事件的定義可得答案.【詳解】把紅、黑、藍、白4張紙牌隨機地分發(fā)給甲、乙、丙、丁4人,每人分得1張,事件“甲分得紅牌”與事件“乙分得紅牌”不能同時發(fā)生,但能同時不發(fā)生,所以它們的關(guān)系是互斥但不對立.故選:C.3、D【解析】根據(jù)直線方程得到直線的斜率后可得直線的傾斜角.【詳解】設直線的傾斜角為,則,因,故,故選D.【點睛】直線的斜率與傾斜角的關(guān)系是:,當時,直線的斜率不存在,注意傾斜角的范圍.4、B【解析】,只需求出與的正、余弦值即可,用平方關(guān)系時注意角的范圍.【詳解】解:因為,都是銳角,所以,,因為,所以,即,,所以,,因為,所有,故選:B.【點睛】信息給予題,已知三角函數(shù)值求三角函數(shù)值,考查根據(jù)三角函數(shù)的恒等變換求值,基礎(chǔ)題.5、D【解析】應用兩點式求直線斜率得,結(jié)合及,即可求的范圍.【詳解】根據(jù)題意,直線經(jīng)過,,,∴直線的斜率,又,∴,即,又,∴;故選:D6、D【解析】根據(jù)題意,解不等式求出集合,由,得,進而求出,從而可求出集合,最后根據(jù)并集的運算即可得出答案.【詳解】解:由題可知,,而,即,解得:,又由于,得,因為,則,所以,解得:,所以,所以.故選:D.【點睛】本題考查集合的交集的定義和并集運算,屬于基礎(chǔ)題.7、D【解析】利用點到直線距離公式即可得出.【詳解】解:點到直線的距離為1,解得:m=15或5故選:D.8、C【解析】求得直線普通方程以及圓的直角坐標方程,利用弦長公式即可求得結(jié)果.【詳解】因為直線的參數(shù)方程為:(t為參數(shù)),故其普通方程為,又,根據(jù),故可得,其表示圓心為,半徑的圓,則圓心到直線的距離,則該直線截圓所得弦長為.故選:C.9、B【解析】由系統(tǒng)抽樣可知抽取一個容量為4的樣本時,將48人按順序平均分為4組,由已知編號可得所求的學生來自第三組,設其編號為,則,進而求解即可【詳解】由系統(tǒng)抽樣可知,抽取一個容量為4的樣本時,將48人分為4組,第一組編號為1號至12號;第二組編號為13號至24號;第三組編號為25號至36號;第四組編號為37號至48號,故所求的學生來自第三組,設其編號為,則,所以,故選:B【點睛】本題考查系統(tǒng)抽樣的編號,屬于基礎(chǔ)題10、B【解析】求得中的取值范圍,由此確定充分、必要條件.【詳解】,,所以“”是“”的充要條件.故選:B11、C【解析】根據(jù)程序框圖的循環(huán)邏輯寫出執(zhí)行步驟,即可確定輸出結(jié)果.【詳解】根據(jù)流程圖的執(zhí)行邏輯,其執(zhí)行步驟如下:1、成立,則;2、成立,則;3、成立,則;4、成立,則;5、不成立,輸出;故選:C12、B【解析】設點P到準線的距離為,根據(jù)拋物線的定義可知,即可根據(jù)點到直線的距離最短求出【詳解】如圖所示:設點P到準線的距離為,準線方程為,所以,當且僅當點為與拋物線的交點時,取得最小值,此時點P的坐標為故選:B二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、a>b【解析】構(gòu)造函數(shù)F(x)=xf(x),利用F(x)的單調(diào)性求解即可.【詳解】設函數(shù)F(x)=xf(x),∴F′(x)=f(x)+xf′(x)>0,∴F(x)=xf(x)在R上為增函數(shù),又∵30.3>1,logπ3<1,∴30.3>logπ3,∴F(30.3)>F(logπ3),∴(30.3)f(30.3)>(logπ3)f(logπ3),∴a>b.故答案為:a>b.14、【解析】以為坐標原點建立空間直角坐標系,根據(jù)異面直線所成角的向量求法可求得結(jié)果.【詳解】以為坐標原點,為軸可建立如圖所示空間直角坐標系,設正方體棱長為,則,,,,,,,即異面直線與所成角的余弦值為.故答案為:.15、【解析】根據(jù)導數(shù)的定義求解即可【詳解】由,得,所以,故答案為:16、【解析】利用橢圓的定義結(jié)合余弦定理可求得,再利用公式可求得該橢圓的離心率的值.【詳解】由橢圓的定義可得,由余弦定理可得,因為的最大值為,則,可得,因此,該橢圓的離心率為.故答案為:.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2);(3).【解析】(1)由題意中離心率和長軸長可求出,即可求出橢圓方程.(2)設出與的坐標即直線的方程,把直線與橢圓方程進行聯(lián)立寫出韋達定理,由題意以為直徑圓經(jīng)過原點可得,化簡即可求出直線的斜率.(3)由題意可得圓的方程,設,由和直線的方程化簡,即可得到答案.【小問1詳解】,,橢圓C的方程為.【小問2詳解】由題意知直線的斜率存在且不為0,設直線的方程為.設.把直線的方程與橢圓的方程進行聯(lián)立得:..由以為直徑圓經(jīng)過原點知,..經(jīng)檢驗,滿足,所以.【小問3詳解】由題意可得圓的方程為,設,由得.①.當時,,直線的方程為.直線過橢圓的右焦點.當時,直線的斜率為且過,②把①代入②中得.故直線過橢圓的右焦點.綜上所述,直線過橢圓的右焦點.18、(1);(2)3;(3);【解析】(1)根據(jù)兩點之間的距離公式,結(jié)合點坐標滿足拋物線,構(gòu)造關(guān)于的函數(shù)關(guān)系,求其最值即可;(2)根據(jù)題意,求得點的坐標,設出的直線方程,聯(lián)立拋物線方程,利用韋達定理求得點坐標,同理求得點坐標,再利用斜率計算公式求得即可;(3)根據(jù)題意,求得點的坐標,利用坐標轉(zhuǎn)化,求得關(guān)于的一元二次方程,利用其有兩個不相等的實數(shù)根,即可求得的取值范圍.【小問1詳解】因為點在拋物線上,故可得,又,當且僅當時,取得最小值.故的最小值為.【小問2詳解】當時,故可得,即點的坐標為;則的直線方程為:,聯(lián)立拋物線方程:,可得:,故可得,解得:,又故可得同理可得:,又的斜率,即.故為定值.【小問3詳解】當時,可得,此時,因為兩點在拋物線上,故可得,,因為,故可得,整理得:,,因為三點不同,故可得,則,即,,此方程可以理解為關(guān)于的一元二次方程,因為,故該方程有兩個不相等的實數(shù)根,,即,故,則,解得或.故點縱坐標的取值范圍為.【點睛】本題考察直線與拋物線相交時范圍問題,定值問題,解決問題的關(guān)鍵是合理且充分的利用韋達定理,本題計算量較大,屬綜合困難題.19、(1)答案見解析;(2).【解析】(1)對函數(shù)求導,按a值的正負分析討論導數(shù)值的符號計算作答.(2)求出函數(shù)的解析式并求導,再按在值的正負分段討論推理作答.【小問1詳解】函數(shù)的定義域為R,求導得:當時,當時,,當時,,則在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,當時,令,得,若,即時,,則有在R上單調(diào)遞增,若,即時,當或時,,當時,,則有在,上都單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,若,即時,當或時,,當時,,則有在,上都單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,所以,當時,上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,當時,在,上都單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,當時,在R上單調(diào)遞增,當時,在,上都單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.【小問2詳解】依題意,,,當時,,當時,,,則函數(shù)在上單調(diào)遞增,有,無零點,當時,,,函數(shù)在上單調(diào)遞減,,無零點,當時,,使得,而在上單調(diào)遞增,當時,,當時,,因此,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,又,若,即時,無零點,若,即時,有一個零點,綜上可知,當時,在有1個零點,所以實數(shù)a的取值范圍.【點睛】思路點睛:涉及含參的函數(shù)零點問題,利用導數(shù)分類討論,研究函數(shù)的單調(diào)性、最值等,結(jié)合零點存在性定理,借助數(shù)形結(jié)合思想分析解決問題.20、(1)(2)【解析】(1)設橢圓的左,右焦點分別為,.利用橢圓的定義求出,然后求解,得到橢圓方程;(2)當直線的斜率存在時,設,,,,,聯(lián)立直線與橢圓方程,利用韋達定理以及弦長公式得到弦長的表達式,再通過換元利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解最值即可【小問1詳解】依題意,設橢圓的左,右焦點分別為,則,,,,橢圓的方程為【小問2詳解】當直線的斜率存在時,設,,,,由得由得由,得設,則,當直線的斜率不存在時,,的最大值為21、(1),單調(diào)遞增區(qū)間為.(2)【解析】(1)先利用向量數(shù)量積運算、二倍角公式、輔助角公式求出,再求單增區(qū)間;(2)利用面積公式求出,再利用余弦定理求出,即可求出周長.小問1詳解】已知,,函數(shù),所以.因為直線是函數(shù)圖象的一條對稱軸,所以,所以,又,所以當k=0時,符合題意,此時要
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