云南省鳳慶縣第二中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末統(tǒng)考試題含解析

云南省鳳慶縣第二中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末統(tǒng)考試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．直線：和圓的位置關(guān)系是（）A.相離 B.相切或相交C.相交 D.相切2．內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，若，，，則（）A. B.C. D.3．下列命題是真命題的個(gè)數(shù)為（）①不等式的解集為②不等式的解集為R③設(shè)，則④命題“若，則或”為真命題A1 B.2C.3 D.44．如圖，在四棱錐中，底面ABCD是平行四邊形，已知，，，，則（）A. B.C. D.5．經(jīng)過兩點(diǎn)直線的傾斜角是（）A. B.C. D.6．已知等比數(shù)列的公比為，則“是遞增數(shù)列”的一個(gè)充分條件是（）A. B.C. D.7．如圖在中，，，在內(nèi)作射線與邊交于點(diǎn)，則使得的概率是（）A. B.C. D.8．已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，則（）A.0.1 B.0.2C.0.3 D.0.49．設(shè)雙曲線（）的焦距為12，則（）A.1 B.2C.3 D.410．已知奇函數(shù)是定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)，的導(dǎo)函數(shù)為，當(dāng)時(shí)，有，則不等式的解集為（）A. B.C. D.11．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，＝(1,2,3)，＝(2,1,2)，＝(1,1,2)，點(diǎn)Q在直線OP上運(yùn)動(dòng)，則當(dāng)取得最小值時(shí)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（）A. B.C. D.12．設(shè).若，則＝（）A. B.C. D.e二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．過圓內(nèi)的點(diǎn)作一條直線，使它被該圓截得的線段最長(zhǎng)，則直線的方程是______14．某校對(duì)全校共1800名學(xué)生進(jìn)行健康調(diào)查，選用分層抽樣法抽取一個(gè)容量為200的樣本，已知女生比男生少抽了20人，則該校的女生人數(shù)應(yīng)是__________人.15．若函數(shù)在x=1處的切線與直線y=kx平行，則實(shí)數(shù)k=___________.16．若在數(shù)列的每相鄰兩項(xiàng)之間插入此兩項(xiàng)的和，可形成新的數(shù)列，再把所得數(shù)列按照同樣的方法不斷進(jìn)行構(gòu)造，又可以得到新的數(shù)列．現(xiàn)將數(shù)列1，2進(jìn)行構(gòu)造，第1次得到數(shù)列1，3，2；第2次得到數(shù)列1，4，3，5，2；依次構(gòu)造，第次得到數(shù)列1，，，，…，，2；記則______，設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，底面是矩形的直棱柱中，；（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的大??；18．（12分）在等差數(shù)列{an}中，a3＋a4＝15，a2a5＝54，公差d<0.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn的最大值及相應(yīng)的n值19．（12分）如圖，四棱錐中，，且，（1）求證：平面平面；（2）若是等邊三角形，底面是邊長(zhǎng)為3的正方形，是中點(diǎn)，求直線與平面所成角的正弦值.20．（12分）已知橢圓C對(duì)稱中心在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，且，兩點(diǎn)（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)M、N分別為橢圓與x軸負(fù)半軸、y軸負(fù)半軸的交點(diǎn)，P為橢圓上在第一象限內(nèi)一點(diǎn)，直線PM與y軸交于點(diǎn)S，直線PN與x軸交于點(diǎn)T，求證：四邊形MSTN的面積為定值21．（12分）已知拋物線：上的點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為5.（1）求拋物線的方程；（2）已知為原點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，若的面積為6，求點(diǎn)的坐標(biāo).22．（10分）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，.（1）求數(shù)列{an}通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和，求使不等式成立的最大整數(shù)m的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】直線l：y﹣1＝k（x﹣1）恒過點(diǎn)（1，1），且點(diǎn)（1，1）在圓上，直線的斜率存在，故可知直線l：y﹣1＝k（x﹣1）和圓C：x2+y2﹣2y＝0的關(guān)系【詳解】圓C：x2+y2﹣2y＝0可化為x2+（y﹣1）2＝1∴圓心為（0，1），半徑為1∵直線l：y﹣1＝k（x﹣1）恒過點(diǎn)（1，1），且點(diǎn)（1，1）在圓上且直線的斜率存在∴直線l：y﹣1＝k（x﹣1）和圓C：x2+y2﹣2y＝0的關(guān)系是相交，故選C【點(diǎn)睛】本題考查的重點(diǎn)是直線與圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是確定直線恒過定點(diǎn)，此題易誤選B，忽視直線的斜率存在2、C【解析】利用正弦定理可求得邊的長(zhǎng).【詳解】由正弦定理得.故選：C.3、B【解析】舉反例判斷A，解一元二次不等式確定B，由導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則求導(dǎo)判斷C，利用逆否命題判斷D【詳解】顯然不是的解，A錯(cuò)；，B正確；，，C錯(cuò)；命題“若，則或”的逆否命題是：若且，則，是真命題，原命題也是真命題，D正確真命題個(gè)數(shù)2.故選：B4、A【解析】利用空間向量加法法則直接求解【詳解】連接BD，如圖，則故選：A5、B【解析】求出直線的斜率后可得傾斜角【詳解】經(jīng)過兩點(diǎn)的直線的斜率為，設(shè)該直線的傾斜角為，則，又，所以.故選：B6、D【解析】由等比數(shù)列滿足遞增數(shù)列，可進(jìn)行和兩項(xiàng)關(guān)系的比較，從而確定和的大小關(guān)系.【詳解】由等比數(shù)列是遞增數(shù)列，若，則，得；若，則，得；所以等比數(shù)列是遞增數(shù)列，或，；故等比數(shù)列是遞增數(shù)列是遞增數(shù)列的一個(gè)充分條件為，.故選：D.7、C【解析】由題意可得，根據(jù)三角形中“大邊對(duì)大角，小邊對(duì)小角”的性質(zhì)，將轉(zhuǎn)化為求的概率，又因?yàn)?，，從而可得的概率【詳解】解：在中，，，所以，即，要使得，則，又因?yàn)?，，則的概率是故選：C【點(diǎn)睛】本題考查幾何概型及其計(jì)算方法的知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題8、A【解析】利用正態(tài)分布的對(duì)稱性和概率的性質(zhì)即可【詳解】由，且則有：根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性可知：故選：A9、B【解析】根據(jù)可得關(guān)于的方程，解方程即可得答案.【詳解】因?yàn)榭苫癁?，所以，則.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查已知雙曲線的焦距求參數(shù)的值，考查函數(shù)與方程思想，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.10、B【解析】根據(jù)給定的不等式構(gòu)造函數(shù)，再探討函數(shù)的性質(zhì)，借助性質(zhì)解不等式作答.【詳解】依題意，令，因是R上的奇函數(shù)，則，即是R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則有在單調(diào)遞增，又函數(shù)在R上連續(xù)，因此，函數(shù)在R上單調(diào)遞增，不等式，于是得，解得，所以原不等式的解集是.故選：B11、C【解析】設(shè)，用表示出，求得的表達(dá)式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求得當(dāng)時(shí)，取得最小值，從而求得點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】設(shè)，則＝－＝－λ＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，＝－＝－λ＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，所以＝(1－λ，2－λ，3－2λ)·(2－λ，1－λ，2－2λ)＝2(3λ2－8λ＋5)＝.所以當(dāng)λ＝時(shí)，取得最小值，此時(shí)＝＝，即點(diǎn)Q的坐標(biāo)為.故選：C12、D【解析】由題可得，將代入解方程即可.【詳解】∵，∴,∴，解得.故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】當(dāng)直線l過圓心時(shí)滿足題意，進(jìn)而求出答案.【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，圓心，當(dāng)l過圓心時(shí)滿足題意，，所以l的方程為：.故答案為：.14、810【解析】分析：首先確定抽取的女生人數(shù)，然后由分層抽樣比即可確定女生的人數(shù).詳解：設(shè)抽取的女生人數(shù)為，則：，解得：，則抽取的女生人數(shù)為人，抽取的男生人數(shù)為人，據(jù)此可知該校女生人數(shù)應(yīng)是人.點(diǎn)睛：進(jìn)行分層抽樣的相關(guān)計(jì)算時(shí)，常利用以下關(guān)系式巧解：(1)；(2)總體中某兩層的個(gè)體數(shù)之比＝樣本中這兩層抽取的個(gè)體數(shù)之比15、2【解析】由題可求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即求.【詳解】∵，∴，，又函數(shù)在x=1處的切線與直線y=kx平行，∴.故答案為：2.16、①.81②.【解析】根據(jù)數(shù)列的構(gòu)造寫出前面幾次得到的新數(shù)列，尋找規(guī)律，構(gòu)造等比數(shù)列，求出通項(xiàng)公式，再進(jìn)行求和.【詳解】第1次得到數(shù)列1，3，2，此時(shí)；第2次得到數(shù)列1，4，3，5，2，此時(shí)；第3次得到數(shù)列1，5，4，7，3，8，5，7，2，此時(shí)；第4次得到數(shù)列1，6，5，9，4，11，7，10，3，11，8，13，5，12，7，9，2，此時(shí)，故81，且故，又，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，公比為3的等比數(shù)列，所以，故，所以故答案為：81，三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）【解析】（1）通過證明和可得答案；（2）連接，則為直線與平面所成角的平面角，在直角三角形中計(jì)算即可.【小問1詳解】棱柱為直棱柱，面，又面，又直棱柱的底面是矩形，，又，平面，平面，平面；【小問2詳解】連接，面，則為直線與平面所成角的平面角在直角三角形中，則，，所以直線與平面所成角的大小為.18、（1）；（2）當(dāng)或11時(shí)，最大值為55.【解析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得方程組，解這個(gè)方程組得公差和首項(xiàng)，從而得數(shù)列的通項(xiàng)公式n.（2）等差數(shù)列的前項(xiàng)和是關(guān)于的二次式，將這個(gè)二次式配方即可得最大值.【詳解】（1）由題設(shè)，故（舍，此時(shí)）或.故，故.（2）由（1）可得，因?yàn)?，?duì)稱方程為，故當(dāng)或時(shí)，取最大值，此時(shí)最大值為.19、（1）證明見解析（2）【解析】（1）根據(jù)線面垂直的判定定理，結(jié)合面面垂直的判定定理進(jìn)行證明即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量夾角公式，結(jié)合線面角定義進(jìn)行求解即可.【小問1詳解】∵，∴，，又，∴，∵，面，∴面，平面ABCD,平面平面【小問2詳解】∵平面平面，交AD于點(diǎn)F，平面，平面平面，∴平面，以為原點(diǎn)，，的方向分別為軸，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，求得法向量為，由，所以直線與平面所成角的正弦值為.20、（1）（2）證明見解析【解析】（1）設(shè)橢圓方程為，利用待定系數(shù)法求得的值，即可得出答案；（2）設(shè)，，，易得，分別求出直線PM和直線PN的方程，從而可求出的坐標(biāo)，再根據(jù)即可得出答案.【小問1詳解】解：依題意設(shè)橢圓方程為，將，代入得，解得得，，∴所求橢圓方程為；【小問2詳解】證明：設(shè)，，，，P點(diǎn)坐標(biāo)滿足，即，直線PM：，可得，直線PN：，可得，.21、（1）（2）或【解析】（1）結(jié)合拋物線的定義求得，由此求得拋物線的方程.（2）設(shè)，根據(jù)三角形的面積列方程，求得的值，進(jìn)而求得點(diǎn)的坐標(biāo).【小問1詳解】由拋物線的方程可得其準(zhǔn)線方程，依拋物線的性質(zhì)得，解得.∴拋物線的方程為.【小問2詳解】將代入，得.所以，直線的方程為，即.設(shè)，則點(diǎn)到直線的距離，又，由題意得，解得或.∴點(diǎn)的坐標(biāo)是或.22、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)給定的遞推公式變形，再構(gòu)造常數(shù)列求解作答.（2）利用（1）的結(jié)