2.4線(xiàn)段、角的對(duì)稱(chēng)性（三~四）（解析版）

2.4線(xiàn)段、角的對(duì)稱(chēng)性（三~四）【推本溯源】1.如圖，OC是∠AOB的角平分線(xiàn)，如果把∠1沿OC翻折，因?yàn)椤?=∠2，所以射線(xiàn)OA與射線(xiàn)OB重合。因此，角是軸對(duì)稱(chēng)圖形，角的平分線(xiàn)所在的直線(xiàn)是它的對(duì)稱(chēng)軸.2.如圖，在∠AOB的角平分線(xiàn)OC任意取一點(diǎn)P，PD⊥OA，PE⊥OB，證：PD=PE。證：∵OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB ∴∠DOP=∠EOP，∠PDO=∠PEO=90°在▲PDO與▲PEO中， ∴▲PDO≌▲PEO（AAS）∴PD=PE因此，角平分線(xiàn)的性質(zhì)定理：角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等． 幾何語(yǔ)言：∵點(diǎn)P在∠AOB的平分線(xiàn)上，PD⊥OA,PE⊥OB∴PD＝PE3.如圖，若點(diǎn)Q在∠AOB內(nèi)部，QD⊥OA，QE⊥OB，且QD＝QE，點(diǎn)Q在∠AOB的角平分線(xiàn)上嗎？為什么？點(diǎn)Q在∠AOB的角平分線(xiàn)上；連接OQ，∵QD⊥OA，QE⊥OB∴∠QDO=QEO=90°在Rt▲QDO和Rt▲QEO中，∠QDO=QEO=90°， ∴Rt▲QDO≌Rt▲QEO（HL）∴∠DOQ=∠EOQ∴點(diǎn)Q在∠AOB的角平分線(xiàn)上因此，角平分線(xiàn)的判定定理：角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線(xiàn)上。幾何語(yǔ)言：∵點(diǎn)Q在∠AOB的內(nèi)部，QD⊥OA,QE⊥OB，且QD＝QE∴點(diǎn)Q在∠AOB的平分線(xiàn)上已知∠AOB（如圖），求作：用尺規(guī)作圖作出∠AOB的平分線(xiàn)OM．（1）以O(shè)為圓心，任意長(zhǎng)為半徑作弧，分別交射線(xiàn)OA、OB于點(diǎn)C、D．（2）分別以點(diǎn)C、D為圓心，大于CD的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在∠AOB的內(nèi)部交于點(diǎn)M（3）作射線(xiàn)OM。5.在直線(xiàn)AB外任取一點(diǎn)C，用該方法作出線(xiàn)段∠A、∠B的角平分線(xiàn)，你會(huì)發(fā)現(xiàn)什么？三角形三個(gè)頂角的角平分線(xiàn)交于一點(diǎn).這一點(diǎn)到三角形三條邊的距離相等6.設(shè)三角形角平分線(xiàn)的交點(diǎn)到三邊的距離為h，三角形的周長(zhǎng)為C，面積為S，三者之間的關(guān)系是？【解惑】例1：如圖，交延長(zhǎng)線(xiàn)于，于，，．(1)求證：平分；(2)直接寫(xiě)出與之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）求出，根據(jù)全等三角形的判定定理得出，推出，根據(jù)角平分線(xiàn)性質(zhì)得出即可；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出，再根據(jù)，即可求出答案．【詳解】（1）解：證明：，，，在和中，，，，，，平分；（2）解：．理由如下：由（1）知平分，，在和中，，，，∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，角平分線(xiàn)的判定，注意：全等三角形的判定定理有，，，，，全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等．例2：如圖，在中，，以點(diǎn)為圓心，任意長(zhǎng)為半徑作弧，分別交邊，于點(diǎn)，，分別以點(diǎn)，為圓心，以大于為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)，射線(xiàn)交于點(diǎn)，若，，則的面積為_(kāi)_________．

【答案】5【分析】過(guò)D作于E，根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)和三角形的面積即可得到結(jié)論．【詳解】過(guò)D作于E，

由題可知平分，∵，∴，∵，∴，故答案為：5．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖-基本作圖：作已知角的角平分線(xiàn)，角平分線(xiàn)的性質(zhì)，三角形的面積公式等，熟練掌握作圖是解題的關(guān)鍵．例3：如圖中，平分，則的面積為（）

A．2 B．3 C．4 D．6【答案】B【分析】過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)F，根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)可得，然后根據(jù)三角形的面積公式求解即可．【詳解】過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)F，如圖所示：∵平分，∴，∵，∴的面積，故選：B．

【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線(xiàn)的性質(zhì)定理，屬于基礎(chǔ)題目，正確添加輔助線(xiàn)、得出是解題關(guān)鍵．例4：小明同學(xué)在學(xué)習(xí)了全等三角形的相關(guān)知識(shí)后發(fā)現(xiàn)，只用兩把完全相同的長(zhǎng)方形直尺就可以作出一個(gè)角的平分線(xiàn)．如圖：一把直尺壓住射線(xiàn)，另一把直尺壓住射線(xiàn)并且與第一把直尺交于點(diǎn)P，小明說(shuō)：“射線(xiàn)就是的角平分線(xiàn)．”他這樣做的依據(jù)是（

）A．角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線(xiàn)上．B．角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等．C．三角形三個(gè)內(nèi)角的平分線(xiàn)交于同一個(gè)點(diǎn)．D．三角形三個(gè)內(nèi)角的平分線(xiàn)的交點(diǎn)到三條邊的距離相等．【答案】A【分析】如圖，過(guò)點(diǎn)P作于E點(diǎn)，于F點(diǎn)，則，然后根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)定理的逆定理可判斷平分，從而可對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)P作于E點(diǎn)，于F點(diǎn)，∵兩把長(zhǎng)方形直尺完全相同，∴，∴平分（角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線(xiàn)上），故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖-基本作圖：熟練掌握5種基本作圖是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．也考查了全等三角形的性質(zhì)、角平分線(xiàn)的性質(zhì)和線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)．例5：如圖，是內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)到三邊的距離相等，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由條件可知平分和，利用三角形內(nèi)角和可求得解．【詳解】解：∵點(diǎn)P到三邊的距離相等，∴平分，平分，∴，，∵，∴．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查角平分線(xiàn)的性質(zhì)與判定，掌握角平分線(xiàn)的交點(diǎn)到三角形三邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．【摩拳擦掌】1.點(diǎn)在內(nèi)，且到三邊的距離相等．若，則等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)三角形的角平分線(xiàn)的判定定理得到都是角平分線(xiàn)，故可求解．【詳解】解：∵O到三角形三邊距離相等，∴O三角形三條角平分線(xiàn)的交點(diǎn)，

∴都是角平分線(xiàn)，∴，，∵，∴，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】此題主要考查三角形角平分線(xiàn)的判定定理，與角平分線(xiàn)有關(guān)的三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是熟知角平分線(xiàn)的判定定理．2.如圖，在中，，用直尺和圓規(guī)在邊上確定一點(diǎn)，使點(diǎn)到邊、的距離相等，則符合要求的作圖痕跡是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】點(diǎn)P到、的距離相等，說(shuō)明點(diǎn)P在的角平分線(xiàn)上，作出角平分線(xiàn)即可得到答案．【詳解】解：∵需要在邊上確定一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到、的距離相等，∴點(diǎn)P是的平分線(xiàn)與的交點(diǎn)，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查尺規(guī)作角的平分線(xiàn)，懂得把問(wèn)題轉(zhuǎn)化成角平分線(xiàn)的問(wèn)題是解題關(guān)鍵．3.如圖，P是內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)P到三邊，，的距離，，則的度數(shù)為（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】先根據(jù)角平分線(xiàn)的判定得出，是，的角平分線(xiàn)，進(jìn)而得出，，求出，進(jìn)而得出，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得出答案．【詳解】∵點(diǎn)P到三邊，，的距離，∴，是，的角平分線(xiàn)，∴，，∵，∴，∴，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查三角形內(nèi)角和定理，角平分線(xiàn)的判定，掌握角平分線(xiàn)的判定定理是解題的4.如圖，在中，是的平分線(xiàn)，過(guò)點(diǎn)分別作，的垂線(xiàn)，垂足分別為點(diǎn)，，若，則的長(zhǎng)為_(kāi)_______．

【答案】5【分析】根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)定理求解即可．【詳解】∵是的平分線(xiàn)，，，∴．故答案為：5．【點(diǎn)睛】此題考查了角平分線(xiàn)的性質(zhì)定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握角平分線(xiàn)的性質(zhì)定理．5.如圖，在中，是邊上的高，平分，交于點(diǎn)，已知，，，則的面積等于_______．

【答案】【分析】過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，然后根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)可得的長(zhǎng)度，然后根據(jù)三角形面積進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，

∵平分，，，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線(xiàn)的性質(zhì)，熟知角平分線(xiàn)上的任意一點(diǎn)到角兩邊的距離相等是解本題的關(guān)鍵．6.如圖，在中，，，的面積為24，依據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡判斷，的長(zhǎng)為_(kāi)_____．

【答案】6【分析】作交于，根據(jù)題意可得：平分，，從而得到，由的面積為24可得，即，進(jìn)行計(jì)算即可得到答案．【詳解】解：作交于，

，根據(jù)題意可得：平分，，，的面積為24，，即，，故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線(xiàn)的性質(zhì)，熟練掌握角平分線(xiàn)段的性質(zhì)，添加適當(dāng)?shù)妮o助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵．7.如圖，已知．

(1)求作邊上高，交于點(diǎn)；(2)求作的平分線(xiàn)，交于點(diǎn)；(3)若，，求的度數(shù)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)【分析】（1）以點(diǎn)A為圓心，大于點(diǎn)A到的距離為半徑畫(huà)弧，與交于兩點(diǎn)，再以這兩個(gè)點(diǎn)為圓心，以大于這兩個(gè)點(diǎn)之間的線(xiàn)段長(zhǎng)一半為半徑畫(huà)弧，兩弧交于一點(diǎn)，連接A與該點(diǎn)，交于點(diǎn)D，即可得出邊上高；（2）以點(diǎn)A為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交、于兩點(diǎn)，以這兩個(gè)點(diǎn)為圓心，大于這兩個(gè)點(diǎn)之間的線(xiàn)段長(zhǎng)一半為半徑畫(huà)弧，兩弧交于一點(diǎn)，連接A與該點(diǎn)的射線(xiàn)，交于點(diǎn)E，即可得出的平分線(xiàn)；（3）根據(jù)，計(jì)算即可．【詳解】（1）解：如圖，即為邊上高；（2）解：如圖：即為的平分線(xiàn)；

（3）解：∵，，∴，∵平分，∴，∵，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，作垂線(xiàn)、作角平分線(xiàn)，三角形內(nèi)角和定理，三角形的高，角平分線(xiàn)的定義等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握五種基本作圖．8.使用直尺與圓規(guī)完成下面作圖，（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）(1)在上找一點(diǎn)，使得到和的距離相等；(2)在射線(xiàn)上找一點(diǎn)，使得．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】（1）作出的角平分線(xiàn)，交于點(diǎn)，點(diǎn)到和的距離相等；（2）作出的垂直平分線(xiàn)，交于點(diǎn)，．【詳解】（1）解：如圖，作出的角平分線(xiàn)，交于點(diǎn)，點(diǎn)到和的距離相等；（2）如圖，作出的垂直平分線(xiàn)，交于點(diǎn)，標(biāo)出點(diǎn)，即．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖——基本作圖，掌握五種基本作圖的方法，熟悉角平分線(xiàn)和線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．9.在如圖所示的方格紙中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)A、B、C在小正方形的頂點(diǎn)上．

(1)畫(huà)出中邊上的高線(xiàn)．(2)用直尺和圓規(guī)，作出的角平分線(xiàn)（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）．(3)求的面積．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)8【分析】（1）根據(jù)三角形的高的定義，結(jié)合格點(diǎn)的特點(diǎn)作圖即可；（2）根據(jù)角平分線(xiàn)的作圖方法作圖即可；（3）根據(jù)格點(diǎn)得出三角形的底和高，即可求出的面積．【詳解】（1）解：如圖，即為中邊上的高線(xiàn)．

（2）解：如圖，即為所求．

（3）解：如圖可知，，，故．【點(diǎn)睛】本題考查作三角線(xiàn)的高、角平分線(xiàn)，解題的關(guān)鍵是掌握用直尺和圓規(guī)作角平分線(xiàn)的方法．【知不足】1.如圖，在中，為上一點(diǎn)，，垂足為，，垂足為，，連接，為邊上的點(diǎn)，連接且．下列結(jié)論：①；②；③．其中結(jié)論正確的序號(hào)是（

）A．①② B．②③ C．①③ D．①②③【答案】A【分析】利用角平分線(xiàn)定理的逆定理可證平分，通過(guò)等量代換得出，即可證明，推出②正確；利用證明，可得，推出①正確；僅一組對(duì)邊相等，一組對(duì)角相等不足以證明，推出③錯(cuò)誤．【詳解】解：∵，，，∴平分，∴，∵，∴，∴，故②正確；在和中，，∴，∴，故①正確；∵和中，僅一組對(duì)邊相等，一組對(duì)角相等，∴現(xiàn)有條件不能夠證明，故③錯(cuò)誤；綜上，正確的是①②．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線(xiàn)定理的逆定理，平行線(xiàn)的判定等知識(shí)點(diǎn)，難度不大，能夠綜合運(yùn)用上述知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．2.如圖，點(diǎn)P是內(nèi)部的一點(diǎn)，點(diǎn)P到三邊的距離，，則的度數(shù)為（

）A．65° B．80° C．100° D．70°【答案】B【分析】先根據(jù)點(diǎn)P到三邊的距離得到、是、的角平分線(xiàn)，利用三角形內(nèi)角和定理可得，然后利用角平分線(xiàn)性質(zhì)從而利用角平分線(xiàn)的定義可得，最后利用三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】解：點(diǎn)P到三邊的距離，、是、的角平分線(xiàn)，，，，,，．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線(xiàn)的判定、三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握角平分線(xiàn)判定定理是解題的關(guān)鍵．3.如圖，在中，，平分交于于點(diǎn)D．

（1）若，，則點(diǎn)D到的距離是_______．（2）若，點(diǎn)D到的距離為6，則的長(zhǎng)為_(kāi)_______．【答案】315【分析】（1）過(guò)點(diǎn)D作于E，先求出，再根據(jù)角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可得，從而得解；（2）根據(jù)角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可得，再求出，然后根據(jù)計(jì)算即可得解．【詳解】解：（1）過(guò)點(diǎn)D作于E，

∵，，∴，∵，平分，∴，即點(diǎn)D到的距離是3；（2）∵，平分，∴，∵，∴，∴．故答案為：3；15．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并作出輔助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵．4.如圖，已知的周長(zhǎng)是32，，分別平分和，于點(diǎn)，且，則的面積是____________.

【答案】96【分析】作于E，于F，連接，根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)分別求出，最后根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算即可．【詳解】解：作于E，于F，連接，∵分別平分和，，∴，同理：，∴的面積=．故答案為：96．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線(xiàn)的性質(zhì)，掌握角的平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．5.如圖，在中，平分交于點(diǎn)D，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，連接，若，則的面積為_(kāi)_______．【答案】36【分析】過(guò)D作于F，由角平分線(xiàn)的性質(zhì)求出，根據(jù)三角形的面積公式即可求出的面積．【詳解】解：過(guò)D作于F，∵，∴，∵平分，∴，∵點(diǎn)E為的中點(diǎn)，，∴，∴的面積．故答案為：36．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線(xiàn)的性質(zhì)，三角形的面積公式，掌握角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．6.如圖，在中，，平分，，如果，，求的長(zhǎng)度及的度數(shù)．

【答案】，【分析】根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)可得，，再根據(jù)直角三角形的兩個(gè)銳角互余即可求出的度數(shù)．【詳解】解：∵中，，平分，，∴，，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線(xiàn)的性質(zhì)定理和直角三角形的兩個(gè)銳角互余，屬于基礎(chǔ)題型，熟練掌握角平分線(xiàn)的點(diǎn)到一個(gè)角的兩邊距離相等是解題關(guān)鍵．7.如圖，是的中線(xiàn)，請(qǐng)用尺規(guī)作圖法在上找一點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到線(xiàn)段、的距離相等．（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）

【答案】見(jiàn)解析【分析】根據(jù)題意可知點(diǎn)P到線(xiàn)段、的距離相等，故點(diǎn)在的角平分線(xiàn)上，依此作圖即可．【詳解】解：如圖，點(diǎn)P即為所求．

作法：以點(diǎn)為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)度為半徑，在，上畫(huà)弧，與，交于兩點(diǎn)，分別以這兩個(gè)交點(diǎn)為圓心，大于兩點(diǎn)間距離為半徑畫(huà)弧，兩弧交于一點(diǎn)，連接該點(diǎn)與點(diǎn)，與相交于點(diǎn)．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線(xiàn)的性質(zhì)，尺規(guī)作圖——角平分線(xiàn)，根據(jù)題意作的角平分線(xiàn)是解題的關(guān)鍵．8.如圖，已知線(xiàn)段MN和，求作一點(diǎn)P，使P到點(diǎn)M、N的距離相等，且到的兩邊的距離相等．（不寫(xiě)作法，只保留作圖痕跡）【答案】見(jiàn)解析【分析】使P到點(diǎn)M、N的距離相等，就要畫(huà)的線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)，且到的兩邊的距離相等，就要畫(huà)角的平分線(xiàn)，兩線(xiàn)的交點(diǎn)就是點(diǎn)P．【詳解】如圖所示：P點(diǎn)即為所求【點(diǎn)睛】本題主要考查了尺規(guī)作圖的一般作法．熟練掌握角平分線(xiàn)以及線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的作法是解題關(guān)鍵．9.如圖，在四邊形中，，，求作一點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到C、D兩點(diǎn)距離相等且滿(mǎn)足．(要求：尺規(guī)作圖，不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡)

結(jié)論：【答案】見(jiàn)解析【分析】由，可知點(diǎn)到和的距離相等，從而得知點(diǎn)P在的平分線(xiàn)上，由點(diǎn)P到C、D兩點(diǎn)距離相等可知點(diǎn)P在的垂直平分線(xiàn)上，因此只需分別作的平分線(xiàn)和線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)，交點(diǎn)即為所求作點(diǎn)P．【詳解】解：如圖，點(diǎn)為所作的點(diǎn)．

【點(diǎn)睛】本題考查了作圖——復(fù)雜作圖，可拆解成作角平分線(xiàn)和垂直平分線(xiàn)，推斷出作的平分線(xiàn)和線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)是解題的關(guān)鍵．復(fù)雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進(jìn)行作圖，一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法．解決此類(lèi)題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．10.作圖題：保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法

(1)如圖，校園有兩條路，在交叉口附近有兩塊宣傳牌C、D，學(xué)校準(zhǔn)備在這里安裝一盞路燈，要求燈柱的位置P離兩塊宣傳牌一樣遠(yuǎn)，并且到兩條路的距離也一樣遠(yuǎn)，請(qǐng)你用尺規(guī)作出燈柱的位置點(diǎn)P．(2)如圖，網(wǎng)格中的與為軸對(duì)稱(chēng)圖形．①利用網(wǎng)格線(xiàn)作出與的對(duì)稱(chēng)軸；②在對(duì)稱(chēng)軸上找到一點(diǎn)P，使最短③如果每一個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，請(qǐng)直接寫(xiě)出的面積為_(kāi)__________．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)①見(jiàn)解析，②見(jiàn)解析，③3【分析】（1）直接作出線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)，再作出的平分線(xiàn)，進(jìn)而得出其交點(diǎn)即可；（2）①利用網(wǎng)格特點(diǎn)作的垂直平分線(xiàn)即可；②根據(jù)最短路徑，連接，與直線(xiàn)交點(diǎn)即為所求；③用一個(gè)矩形的面積減去三個(gè)直角三角形的面積計(jì)算的面積即可．【詳解】（1）解：如圖：即為所求．

作法：分別以，為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑，畫(huà)弧，兩弧分別交于兩點(diǎn)，連接這兩點(diǎn)，以為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)度為半徑，在，上畫(huà)弧，分別與，交于兩點(diǎn)，分別以這兩點(diǎn)為圓心，大于兩點(diǎn)間距離為半徑，畫(huà)弧，交于一點(diǎn)，連接該點(diǎn)與點(diǎn)，兩條直線(xiàn)交于點(diǎn)，即為所求．（2）①如圖：直線(xiàn)即為所求；

理由：連接，則為網(wǎng)格內(nèi)小正方形的對(duì)角線(xiàn)，故的垂直平分線(xiàn)也是網(wǎng)格內(nèi)小正方形的對(duì)角線(xiàn)，即可得到．②如圖，連接，與直線(xiàn)交點(diǎn)為，即為所求；

理由：∵與為軸對(duì)稱(chēng)圖形，直線(xiàn)是對(duì)稱(chēng)軸；∴直線(xiàn)上任意一點(diǎn)到，和到的距離相等，∴，當(dāng)，，三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，又最小值，即，∴點(diǎn)為所求．③的面積．故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查了畫(huà)垂直平分線(xiàn)，畫(huà)角平分線(xiàn)，軸對(duì)稱(chēng)圖形，兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短，垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)等，熟練掌握垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【一覽眾山小】1．（2023·北京順義·統(tǒng)考二模）已知：線(xiàn)段及射線(xiàn)．求作：等腰，使得點(diǎn)C在射線(xiàn)上．

作法一：如圖1，以點(diǎn)B為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧，交射線(xiàn)于點(diǎn)C（不與點(diǎn)A重合），連接．作法二：如圖2．①在上取一點(diǎn)D，以點(diǎn)A為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧，交射線(xiàn)于點(diǎn)E，連接；②以點(diǎn)B為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧，交線(xiàn)段于點(diǎn)F；③以點(diǎn)F為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧，交前弧于點(diǎn)G；④作射線(xiàn)交射線(xiàn)于點(diǎn)C．作法三：如圖3，①分別以點(diǎn)A，B為圓心，大于的同樣長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧分別交于點(diǎn)P，Q；②作直線(xiàn)，交射線(xiàn)于點(diǎn)C，連接．根據(jù)以上三種作法，填空：由作法一可知：______，∴是等腰三角形．由作法二可知：______，∴（__________________）（填推理依據(jù)）．∴是等腰三角形．由作法三可知；是線(xiàn)段的______．∴（__________________）（填推理依據(jù)）．∴是等腰三角形．【答案】；；等角對(duì)等邊；垂直平分線(xiàn)；線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)與線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等【分析】由作法一可知，由作法二可知：，由作法三可知；是線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)．根據(jù)作圖結(jié)合垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，即可求解．【詳解】由作法一可知：，∴是等腰三角形．由作法二可知：，∴（等邊對(duì)等角）∴是等腰三角形．由作法三可知；是線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)．∴（線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)與線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等）【點(diǎn)睛】本題考查了作線(xiàn)段，作一個(gè)角等于已知角，作垂直平分線(xiàn)，熟練掌握基本作圖是解題的關(guān)鍵．2．（2022秋·福建泉州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，以的邊、為邊向外作等腰和等腰，．與交于．求證：是的平分線(xiàn)．【答案】見(jiàn)解析【分析】過(guò)點(diǎn)分別作，，垂足分別為，，證明，得到，進(jìn)而得到，即可得證．【詳解】證明：過(guò)點(diǎn)分別作，，垂足分別為，，∵和為等腰直角三角形，，∴，，，∴，∴，，∴，∴，∴平分．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，以及角平分線(xiàn)的判定．熟練掌握全等三角形的面積相等，以及到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角平分線(xiàn)上，是解題的關(guān)鍵．本題是手拉手全等模型，平時(shí)善于總結(jié)歸納，可以快速解題．3．（2022秋·河北唐山·八年級(jí)統(tǒng)考期中）已知，如圖，在中，，在中，，且，連接BD，CE交于點(diǎn)，連接．(1)求證：；(2)求證：．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)證明結(jié)論即可；（2）作于，作于．由（1）可得，，然后根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)即可解決問(wèn)題．【詳解】（1）解：證明：，，即，在和中，，；（2）如圖，作于，作于．由，，，，，點(diǎn)在平分線(xiàn)上，平分，即．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形的面積，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)，學(xué)會(huì)轉(zhuǎn)化的思想，求高想到求面積，屬于中考常考題型．4．（2023·安徽蚌埠·統(tǒng)考一模）在中，，，點(diǎn)是射線(xiàn)上一點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，直線(xiàn)、相交于點(diǎn)．(1)如圖所示，當(dāng)點(diǎn)在線(xiàn)段延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，求證：≌；(2)如圖所示，當(dāng)點(diǎn)在線(xiàn)段上時(shí)，連接，過(guò)點(diǎn)作于，于，求證：平分．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）證出，根據(jù)可證明；（2）證明，由全等三角形的性質(zhì)得出，由角平分線(xiàn)的性質(zhì)得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：，，，，，，在和中，，（2）證明：，，，，，在和中，，，，，，，平分【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形全等的判定和性質(zhì)，角平分線(xiàn)的判定，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．5．（2022秋·七年級(jí)單元測(cè)試）已知：如圖，、分別是的外角平分線(xiàn)，于點(diǎn)，于點(diǎn)，．求的度數(shù)．【答案】，見(jiàn)解析【分析】作于點(diǎn)D，根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)得到，得到，根據(jù)角平分線(xiàn)的判定定理證明即可．【詳解】解：作于點(diǎn)D，如圖所示，∵是的外角平分線(xiàn)，，，∴，同理，∴，又，，∴平分，∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查的是角平分線(xiàn)的判定和性質(zhì)，掌握角的平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．6．（2023秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，和都是等腰直角三角形，．(1)求證：；(2)試判斷和的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)，證明見(jiàn)解析【分析】（1）先說(shuō)明，根據(jù)推出兩三角形全等即可；（2）過(guò)點(diǎn)分別作于點(diǎn)，于點(diǎn)，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出兩三角形面積相等和，根據(jù)面積公式求出，根據(jù)角平分線(xiàn)性質(zhì)得出即可．【詳解】（1）證明：∵和都是等腰直角三角形，∴，，，∴，在和中，，∴；（2）解：．證明：過(guò)點(diǎn)分別作于點(diǎn)，于點(diǎn)，∵，∴，，∴，∴，∵于點(diǎn)，于點(diǎn)，∴平分，∴．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的性質(zhì)和判定，角平分線(xiàn)的判定定理：到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線(xiàn)上．證明三角形的全等是解題的關(guān)鍵．7．（2023·廣東惠州·校聯(lián)考二模）如圖，，，于．

(1)求證：平分；(2)若，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)6【分析】（1）過(guò)C點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F．由證明，可得，結(jié)論得證；（2）證明，可得，可求出．【詳解】（1）證明：過(guò)C點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F．

∵，∴，∵，，∴，又∵，∴，∴，∴平分；（2）解：由（1）可得，在和中，，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線(xiàn)的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是作出輔助線(xiàn)構(gòu)造全等三角形．8．（2023·湖南永州·校考三模）如圖，已知：四邊形中，對(duì)角線(xiàn)平分，，，并且，那么的度數(shù)為多少度．

【答案】【分析】過(guò)點(diǎn)D分別作、、的三條垂線(xiàn)、、，利用角平分線(xiàn)的性質(zhì)，然后再證明，，推出，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，即可作答．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)D作，交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，，交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，于點(diǎn)G，如圖，

對(duì)角線(xiàn)平分，，，，即，，，，即平分，，，，，，，，=，，，，即，，，，．【點(diǎn)睛】此題考查了角平分線(xiàn)的性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，熟練運(yùn)用各個(gè)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行綜合推理是解題的關(guān)鍵．9．（2023春·廣東深圳·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，平分．

(1)求證：是的平分線(xiàn)；