2022秋北京市東城區(qū)九年級數(shù)學(xué)上冊期末試卷（及答案）

北京市東城區(qū)九年級數(shù)學(xué)上冊期末試卷

（含答案）

（時間：120分鐘滿分：100分）

一、選擇題（本題共16分，每小題2分）下列各題均有四個選項，

符合題意的選項？有一個

1.如圖，。。是△/比1的外接圓，N力=50。，則N6%的大小為

A.40°B.30°C.80°D.100°

2.已知如果它們的相似比為2：3,那么它們的

面積比是

A.3:2B.2:3C.4:9D.9:4

3.已知N2為銳角，且sim4=L,那么N4等于

2

A.15°B,30°C.45°D.60°

4.下面是一個反比例函數(shù)的圖象，它的表達(dá)式可能是

A.y=x2B.y=-C.y=~—D.y=-x

xx2

5.正方形ABCD內(nèi)接于。0,若。。的半徑是夜，則正方形的邊長是

A.1B.2C.41D.272

6.如圖，線段初，位相交于點小DE//BC.若比=3,比'=1.5,AD=

2,則力8的長為

第6題圖第8題圖

7.若要得到函數(shù)y=(x-爐+2的圖象，只需將函數(shù)y=V的圖象

A.先向右平移1個單位長度，再向上平移2個單位長度

B.先向左平移1個單位長度，再向上平移2個單位長度

C.先向左平移1個單位長度，再向下平移2個單位長度

D.先向右平移1個單位長度，再向下平移2個單位長度

8.如圖，一條拋物線與x軸相交于M,N兩點(點M在點N的左側(cè)),

其頂點P在線段AB上移動，點A,B的坐標(biāo)分別為(-2,-3),(1,

-3),點N的橫坐標(biāo)的最大值為4,則點M的橫坐標(biāo)的最小值為

A.-lB.-3C.-5D.-7

二、填空題(本題共16分，每小題2分)

9.二次函數(shù)＞=-2尤2+以+1圖象的開口方向是.

10.RtZiABC中，ZC=90°,AC=4,BC=3,則tanA的值為.

11.如圖，為了測量某棵樹的高度，小穎用長為2陽的竹竿做測量工具,

移動竹竿，使竹竿、樹的頂端的影子恰好落在地面的同一點.此時竹

竿與這一點距離相距6加，與樹相距15〃?，那么這棵樹的高度為.

11題圖

12.已知一個扇形的半徑是1,圓心角是E超題圖個扇形的弧長是.

13.如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，則sinN胡。與sinN物后的大小

關(guān)系是.

14.寫出拋物線y=2（xT）2圖象上一對對稱點的坐標(biāo)，這對對稱點的坐

15.如圖，為測量河內(nèi)小島B到河邊公路/的距離，在/上順次取A,C,

D三點，在A點測得NBAD=30°,在C點測得NBCD=60°,又測得AC=50

米，則小島B到公路/的距離為米.

16.在平面直角坐標(biāo)系x勿內(nèi)有三點：（0,-2）,（LT）,（2.17,0.37）.

則過這三個點（填“能”或“不能”）畫一個圓，理由是.

三、解答題（本題共68分）解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明

過程

17.（5分）計算：（五+收°+〃-2sin600-（1）-2.

18.（5分）如圖，在AABC中，AB=AC,BD=CD,CE_LAB于E.求證：

△ABD^ACBE.

19.(5分)已知二次函數(shù)y=x2+2x-3.

(1)將y=x，2x-3用配方法化成y=a(x-h)?+k的形式；

(2)求該二次函數(shù)的圖象的頂點坐標(biāo).

20.(5分)先化簡，再求值：(m+型?)+岑，其中m是方程x?+x

mm

-3=0的根.

21.(5分)在平面直角坐標(biāo)xOy中的第一象限內(nèi)，直線YFkx(kWO)

與雙曲丫2=史(mWO)的一個交點為A(2,2).

X

(1)求k、m的值；

(2)過點P(x,0)且垂直于x軸的直線與％=kx、丫2=：的圖象分

別相交于點MN,點M、N的距離為d”點M、N中的某一點與點P

的距離為d2,如果&=d2,在下圖中畫出示意圖并且直接寫出點P的

坐標(biāo).

22.(5分)如圖，小明想知道湖中兩個小亭A、B之間的距離，他在

與小亭A、B位于同一水平面且東西走向的湖邊小道上某一觀測點M

處，測得亭A在點M的北偏東60°,亭B在點M的北偏東30°,當(dāng)

小明由點M沿小道向東走60米時，到達(dá)點N處，此時測得亭A恰好

位于點N的正北方向，繼續(xù)向東走30米時到達(dá)點Q處，此時亭B恰

好位于點Q的正北方向.根據(jù)以上數(shù)據(jù)，請你幫助小明寫出湖中兩個

小亭A、B之間距離的思路.

23.(5分)已知二次函數(shù)y=kx?+(k+1)x+1(kWO).

(1)求證：無論k取任何實數(shù)時，該函數(shù)圖象與x軸總有交點；

(2)如果該函數(shù)的圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)均為整數(shù)，且k為整數(shù)，

求k值.

24.(5分)如圖，在Rtz^ABC中，ZACB=90°，點D是AB邊上一點，

以BD為直徑的。。與邊AC相切于點E,連接DE并延長DE交BC的

延長線于點F.

(1)求證：BD=BF；

(2)若CF=2,tanB=|,求。。的半徑.

25.(6分)如圖1,點C是。0中直徑AB上的一個動點，過點C作

CD±AB交。0于點D,點M是直徑AB上一固定點，作射線DM交。0

于點N.已知AB=6cm,AM=2cm,設(shè)線段AC的長度為xcm,線段MN的

長度為ycm.

鄴

小東根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗，對函數(shù)y隨自變量的變化而變化的規(guī)律進(jìn)

行了探索.

下面是小東的探究過程，請補(bǔ)充完整：

(1)通過取點、畫圖、測量，得到了與y的兒組值，如下表:

x/cm0123456

y/cm43.32.82.5—2.12

(說明：補(bǔ)全表格時相關(guān)數(shù)值保留一位小數(shù))

(2)在圖2中建立平面直角坐標(biāo)系，描出以補(bǔ)全后的表中各對對應(yīng)

值為坐標(biāo)的點，畫出該函數(shù)的圖象;

(3)結(jié)合畫出的函數(shù)圖象，解決問題：當(dāng)AC=MN時，x的取值約為

cm.

26.(7分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象

如圖所示.

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）函數(shù)圖象上有兩點P（Xi,y）,Q（X2,y）,且滿足x1<X2,結(jié)合

函數(shù)圖象回答問題；

①當(dāng)y=3時一，直接寫出X2-Xi的值；

②當(dāng)2WX2-X1W3,求y的取值范圍.

27.（7分）如圖1有兩條長度相等的相交線段AB、CD,它們相交的

銳角中有一個角為60°,為了探究AD、CB與CD（或AB）之間的關(guān)

系，小亮進(jìn)行了如下嘗試：

（1）在其他條件不變的情況下使得AD/7BC,如圖2,將線段AB沿

AD方向平移AD的長度，得到線段DE,然后聯(lián)結(jié)BE,進(jìn)而利用所學(xué)

知識得到AD、CB與CD（或AB）之間的關(guān)系：；（直接寫出結(jié)

果）

（2）根據(jù)小亮的經(jīng)驗，請對圖1的情況（AD與CB不平行）進(jìn)行嘗

試，寫出AD、CB與CD（或AB）之間的關(guān)系，并進(jìn)行證明；

（3）綜合（1）、（2）的證明結(jié)果，請寫出完整的結(jié)論：.

28.(8分)以點P為端點豎直向下的一條射線PN,以它為對稱軸向

左右對稱擺動形成了射線PNi,PM,我們規(guī)定:NNFN2為點P的“搖

擺角”，射線PN搖擺掃過的區(qū)域叫作點P的“搖擺區(qū)域”(含PN”

PN2).

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點P(2,3).

(1)當(dāng)點P的搖擺角為60。時，請判斷0(0,0)、A(1,2)、B(2,

1)、C(2+?,0)屬于點P的搖擺區(qū)域內(nèi)的點是(填寫字母

即可)；

(2)如果過點D(1,0),點E(5,0)的線段完全在點P的搖擺區(qū)

域內(nèi)，那么點P的搖擺角至少為°；

(3)OW的圓心坐標(biāo)為(a,0),半徑為1,如果。W上的所有點都

在點P的搖擺角為60°時的搖擺區(qū)域內(nèi)，求a的取值范圍.

答案

一、選擇題（本題共16分，每小題2分）

下列各題均有四個選項，符合題意的選項足有一個

題號12345678

答案DCBBBCAC

二、填空題（本題共16分，每小題2分）

9.下10.211.7m12.至13.sinN&GsinN加月

43

14.（2,2）,（0,2）（答案不唯一）15.25616.能，因為這三點不在一

條直線上.

三、解答題（本題共68分）解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明

過程

17.（5分）計算：（1+5）°+/-2sin600-（1）-2.

【分析I原式利用零指數(shù)幕、負(fù)整數(shù)指數(shù)嘉法則，以及特殊角的三角

函數(shù)值計算即可求出值.

【解答】解：原式=1+2遮-2義亨-4=遮-3.

【點評】此題考查了實數(shù)的運算，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵.

18.（5分）如圖，在aABC中，AB=AC,BD=CD,CE_LAB于E.求證：

△ABD^ACBE.

【分析】根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得AD±BC,然后求出N

ADB=ZCEB=90°,再根據(jù)兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似證明.

【解答】證明：在AABC中，AB=AC,BD=CD,

/.AD±BC,

VCE±AB,

ZADB=ZCEB=90°,

又?.?NBmNB,

...AABD^ACBE.

【點評】本題考查了相似三角形的判定，等腰三角形三線合一的性質(zhì),

比較簡單，確定出兩組對應(yīng)相等的角是解題的關(guān)鍵.

19.(5分)已知二次函數(shù)y=x2+2x-3.

(1)將y=x?+2x-3用配方法化成y=a(x-h)?+k的形式；

(2)求該二次函數(shù)的圖象的頂點坐標(biāo).

【分析】(1)利用配方法先加上一次項系數(shù)的一半的平方來湊完全平

方式，再把一般式轉(zhuǎn)化為頂點式即可；

(2)根據(jù)頂點坐標(biāo)的求法，得出頂點坐標(biāo)即可；

【解答】解：(1)y=x2+2x-3

=X2+2X+1-4

=(x+1)--4.

(2)Vy=(x+1)2-4,

...該二次函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)是(-1,-4).

【點評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)以及二次函數(shù)的三種形式.二次

函數(shù)的解析式有三種形式：

(1)一般式：y=ax2+bx+c(aWO,a、b、c為常數(shù))；(2)頂點式：

2

y=a(x-h)+k；(3)交點式(與x軸)：y=a(x-xD(x-x2).

20.(5分)先化簡，再求值：(m+觸)+嗎，其中m是方程x?+x

mm

-3=0的根.

【分析】根據(jù)分式的混合運算法則，化簡后利用整體的思想代入計算

即可.

【解答】解：原式=3吐L?衛(wèi)不

innri-1

_(nrbl產(chǎn).ID2

mnrl-1

=m(m+1)

=m2+.m,

??丁是方程x?+x-3=0的根，

m2+m-3=0,即m2+ni=3,

則原式=3.

【點評】本題考查分式的混合運算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握分式混合

運算的法則，需要注意最后結(jié)果化成最簡分式或整式.

21.(5分)在平面直角坐標(biāo)xOy中的第一象限內(nèi)，直線y,=kx(k^O)

與雙曲y2=：(mWO)的一個交點為A(2,2).

(1)求k、m的值；

(2)過點P(x,0)且垂直于x軸的直線與y產(chǎn)kx、y2=^的圖象分

別相交于點M、N,點M、N的距離為由，點M、N中的某一點與點P

的距離為d2,如果d,=d2,在下圖中畫出示意圖并且直接寫出點P的

坐標(biāo).

【分析】(1)利用待定系數(shù)法即可解決問題；

(2)構(gòu)建方程即可解決問題；

【解答】解：(1)\?直線w=kx(kHO)與雙曲丫2=?(mH0)的一個

交點為A(2,2),

k=l,m=4,

(2);,直線yi=x,y2=p

由題意：--x=xx--,

XXX

解得x=±a或士2亞，

Vx>0,

x=V^或2?,

，P(加,0)或(2加，0).

【點評】本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，解題的關(guān)鍵是

學(xué)會利用構(gòu)建方程的思想思考問題，屬于中考常考題型.

22.（5分）如圖，小明想知道湖中兩個小亭A、B之間的距離，他在

與小亭A、B位于同一水平面且東西走向的湖邊小道上某一觀測點M

處，測得亭A在點M的北偏東60°,亭B在點M的北偏東30°,當(dāng)

小明由點M沿小道向東走60米時，到達(dá)點N處，此時測得亭A恰好

位于點N的正北方向，繼續(xù)向東走30米時到達(dá)點Q處，此時亭B恰

好位于點Q的正北方向.

根據(jù)以上數(shù)據(jù)，請你幫助小明寫出湖中兩個小亭A、B之間距離的思

路.

【分析】如圖，由題意4AMN,△BMQ都是直角三角形，作AH_LBQ于

H,只要求出AH、BH即可利用勾股定理求出AB的長.

【解答】解：如圖，由題意4AMN,△BMQ都是直角三角形，作AHJ_

BQ于H,

只要求出AH、BH即可利用勾股定理求出AB的長.

易知四邊形ANQH是矩形，可得AH=NQ=30米，

在RtZ\AMN中，根據(jù)AN=QH=MN?tan30。=20b米，

在R3MBQ中，BQ=MQ?tan60。=90E，

可得BH=BQ-QH=70蟲米，由此即可解決問題.

十

乂》1H月y

二2W」

.VNQI

【點評】本題考查勾股定理、解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)

會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題.

23.(5分)已知二次函數(shù)y=kx?+(k+1)x+1(kWO).

(1)求證：無論k取任何實數(shù)時，該函數(shù)圖象與x軸總有交點；

(2)如果該函數(shù)的圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)均為整數(shù)，且k為整數(shù)，

求k值.

【分析】(1)根據(jù)根的判別式可得結(jié)論；

(2)利用求根公式表示兩個根，因為該函數(shù)的圖象與x軸交點的橫

坐標(biāo)均為整數(shù)，且k為整數(shù)，可得k=±l.

【解答】(1)證明：△=(k+1)2-4kXl=(k-1)>0

，無論k取任何實數(shù)時，該函數(shù)圖象與x軸總有交點；

(2)解：當(dāng)y=0時，kx2+(k+1)x+l=0,

-k-l±V(k-l)2

???該函數(shù)的圖象與X軸交點的橫坐標(biāo)均為整數(shù)，且k為整數(shù)，

k=±l.

【點評】本題考查了拋物線與x軸的交點，二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a,

b,c是常數(shù)，aWO）的交點與一元二次方程ax?+bx+c=O根之間的關(guān)

系：4q2-4ac決定拋物線與x軸的交點個數(shù).△=b2-4ac>0時，

拋物線與x軸有2個交點；-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交

點；△=b2-4ac<0時，拋物線與x軸沒有交點.也考查了二次函數(shù)

與一元二次方程的關(guān)系.

24.（5分）如圖，在RtaABC中，ZACB=90°，點D是AB邊上一點，

以BD為直徑的。0與邊AC相切于點E,連接DE并延長DE交BC的

延長線于點F.

(1)求證：BD=BF；

(2)若CF=2,tanB=-|-,求。0的半徑.

【分析】（1）連接0E,由AC為圓。的切線，利用切線的性質(zhì)得到0E

垂直于AC,再由BC垂直于AC,得到0E與BC平行，根據(jù)。為DB的

中點，得到E為DF的中點，即0E為三角形DBF的中位線，利用中位

線定理得到0E為BF的一半，再由0E為DB的一半，等量代換即可得

證；

（2）設(shè)BC=3x,根據(jù)題意得：AC=4x,AB=5x,根據(jù)cosZAOE=cosB,

3x+2

可得梟去即熹4解方程即可；

2

【解答】（1）證明：連接0E,

???AC與圓0相切，

.*.OE±AC,

VBC±AC,

.,.0E/7BC,

又TO為DB的中點，

.?.E為DF的中點，即OE為△DBF的中位線，

.,.OE=1BF,

XVOE=|BD,

則BF=BD；

（2）解：設(shè)BC=3x,根據(jù)題意得：AC=4x,AB=5x

又：CF=2,

BF=3x+2,

由（1）得：BD=BF,

:*BD=3x+l,

.,.OE=OB=^^,AO=AB-OB=5x-

VOE/7BF,

，ZAOE=ZB,

3x+2

.,.cosZAOE=cosB,即饕=1，即

OA57x-25

2

解得：x="|,

則圓0的半徑為空2=5.

【點評】此題考查了切線的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，以及圓周角定

理，熟練掌握切線的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.

25.（6分）如圖1,點C是。0中直徑AB上的一個動點，過點C作

CDLAB交。0于點D,點M是直徑AB上一固定點，作射線DM交。0

于點N.已知AB=6cm,AM=2cm,設(shè)線段AC的長度為xcm,線段MN的

小東根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗，對函數(shù)y隨自變量的變化而變化的規(guī)律進(jìn)

行了探索.

下面是小東的探究過程，請補(bǔ)充完整：

（說明：補(bǔ)全表格時相關(guān)數(shù)值保留一位小數(shù)）

（2）在圖2中建立平面直角坐標(biāo)系，描出以補(bǔ)全后的表中各對對應(yīng)

值為坐標(biāo)的點，畫出該函數(shù)的圖象；

(3)結(jié)合畫出的函數(shù)圖象，解決問題：當(dāng)AC=MN時，x的取值約為

2.7cm.

【分析】(1)如圖1-1中，連接OD,BD、AN.利用勾股定理求出DM,

致力于相似三角形的性質(zhì)求出MN即可；

(2)利用描點法畫出函數(shù)圖象即可；

(3)利用圖象尋找圖象與直線y=x的交點的坐標(biāo)即可解決問題；

【解答】解：(1)如圖1-1中，連接OD,BD、AN.

VAC=4,0A=3,

.*.oc=i,

在Rt^OCD中，CD=VOD2-OC2=V3?

22=

在RSCDM中，DM=VDC+CMV7?

由△AMNSADMB,可得DM?MN=AM?BM,

AMN=-^^3,

故答案為3.

(2)函數(shù)圖象如圖所示,

(3)觀察圖象可知，當(dāng)AC=MN上，x的取值約為2.7.

故答案為2.7.

【點評】本題考查圓綜合題、勾股定理、相似三角形的判定和性質(zhì)、

描點法畫函數(shù)圖象等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造

直角三角形或相似三角形解決問題，屬于中考壓軸題.

26.(7分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象

如圖所示.

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)函數(shù)圖象上有兩點P(xi,y),Q(X2,y),且滿足x1〈X2,結(jié)合

函數(shù)圖象回答問題；

①當(dāng)y=3時，直接寫出X2-X1的值；

②當(dāng)2WX2-XIW3,求y的取值范圍.

【分析】(1)利用圖中信息，根據(jù)待定系數(shù)法即可解決問題；

(2)求出y=3時的自變量x的值即可解決問題；

(3)當(dāng)X2-Xi=3時，易知Xi=-1-＞此時y=1-2+3=彳，可得點P坐標(biāo)，

由此即可解決問題；

【解答】解：(1)由圖象知拋物線與x軸交于點(1,0)、(3,0),

與y軸的交點為(0,3),

設(shè)拋物線解析式為y=a(x-1)(x-3),

將(0,3)代入，得：3a=3,

解得:a=l,

???拋物線解析式為y=(x-1)(x-3)=xL，-4x+3；

(2)①當(dāng)y=3時，x2-4x+3=3,

解得：Xi=0,X2=4,

x2-Xi=4；

②當(dāng)X2-Xi=3時,易知Xi=',此時丫=1-2+3=-|-

觀察圖象可知當(dāng)2WX2-XW3,求y的取值范圍OWyW/

【點評】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、待定系數(shù)法等知識，解題的關(guān)鍵

是靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于中考常考題型.

27.（7分）如圖1有兩條長度相等的相交線段AB、CD,它們相交的

銳角中有一個角為60°,為了探究AD、CB與CD（或AB）之間的關(guān)

系，小亮進(jìn)行了如下嘗試：

（1）在其他條件不變的情況下使得AD/7BC,如圖2,將線段AB沿

AD方向平移AD的長度，得到線段DE,然后聯(lián)結(jié)BE,進(jìn)而利用所學(xué)

知識得到AD、CB與CD（或AB）之間的關(guān)系：AD+BC=AB；（直接

寫出結(jié)果）

（2）根據(jù)小亮的經(jīng)驗，請對圖1的情況（AD與CB不平行）進(jìn)行嘗

試，寫出AD、CB與CD（或AB）之間的關(guān)系，并進(jìn)行證明；

（3）綜合（1）、（2）的證明結(jié)果，請寫出完整的結(jié)論：A明BC2AB.

【分析】（1）先判斷出BE=AD,DE=AB,利用過直線外一點作已知直

線的平行線只有一條判斷出點C,B,E在同一條直線上，再判斷出

CE=AB,即可得出結(jié)論；

（2）先判斷出BE=AD,DE=AB,進(jìn)而判斷出點C,B,E在同一條直線

上，再判斷出CE=AB,即可得出結(jié)論；

（3）結(jié)合（1）（2）得出的結(jié)論即可.

【解答】解：（1）如圖2,

平移AB到DE的位置，連接BE,

...四邊形ABED是平行四邊形，

.\AD=BE,AD〃BD,

VAD//BC,

.?.點C,B,E在同一條直線上，

.\CE=BC+BE,

VDE/7AB,

.,.ZCDE=Z1=6O°,

VAB=DE,AB=CD,

.*.CD=DE,

...△CDE是等邊三角形，

.*.CE=AB,

.,.BC+AD=AB；

故答案為：AD+BC=AB；

(2)如圖1,平移AB到DE的位置，連接BE,

...四邊形ABED是平行四邊形，

.\AD=BE,AD〃BD,

VAD不平行BC,

.?.點E不在直線BC上，連接CE,

.*.BC+BE>CE,

VDE//AB,

.,.ZCDE=Z2=60°，

VAB=DE,AB=CD,

.\CD=DE,

...△CDE是等邊三角形，

.*.CE=AB,

.,.BC+AD>AB；

(3)由(1)(2)直接得出，BC+AD^AB.

故答案為：BC+AD2AB.

【點評】此題是三角形綜合題，主要考查了等邊三角形的判定和性質(zhì),

平行四邊形的判定和性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，解本題的關(guān)鍵是

判定點C,B,E是共線.

28.(8分)以點P為端點豎直向下的一條射線PN,以它為對稱軸向

左右對稱擺動形成了射線PM,PM,我們規(guī)定:NNFN2為點P的“搖

擺角”，射線PN搖擺掃過的區(qū)域叫作點P的“搖擺區(qū)域”(含PN”

PN2).

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點P(2,3).

(1)當(dāng)點P的搖擺角為60。時，請判斷0(0,0)、A(1,2)、B(2,

1)、C(2+?,