專項15-分式方程-十大題型

分式方程-十大題型【知識點1分式方程】（1）分式方程：分母中含有未知數(shù)的方程（2）分式方程的解法思路：去分母（乘分母最小公倍數(shù)）將分式方程先轉(zhuǎn)化為整式方程，再按照整式方程的技巧求解方程。（3）分式方程解方程的步驟：=1\*GB3①利用等式的性質(zhì)去分母，將分式方程轉(zhuǎn)換為整式方程=2\*GB3②解整式方程=3\*GB3③驗根--檢驗整式方程解得的根是否符合分式方程=4\*GB3④作答【題型1解分式方程的一般方法】【例1】（廣東·平洲一中八年級階段練習(xí)）分式方程：1x【變式1-1】（廣西貴港·八年級期中）解下列分式方程：(1)2xx+2(2)1x+3【變式1-2】（山東省泰安第十五中學(xué)八年級階段練習(xí)）當(dāng)x=________時，分式x?8x【變式1-3】（上海·上外附中七年級期末）解方程：x+5【知識點2換元法解分式方程】換元法：引進(jìn)新的變量，把一個較復(fù)雜的關(guān)系轉(zhuǎn)化為簡單數(shù)量關(guān)系例解方程：另（x－y）=u，則原方程轉(zhuǎn)換為：方程轉(zhuǎn)換為了一個比較簡潔的形式，再按照二元一次方程組的求法進(jìn)行求解，以簡化計算。注：當(dāng)熟練應(yīng)用換算法后，可以直接將某個整體式子看成一個未知數(shù)，在計算中，不必將這個整體換元為某個字母，而是直接整體求解?！绢}型2換元法解分式方程】【例2】（河南·南陽市第十三中學(xué)校八年級階段練習(xí)）閱讀下面材料，解答后面的問題：解方程：x?1x解：設(shè)y=x?1x，則原方程化為：y?4y=0，方程兩邊同時乘以y得：y2﹣4＝0，解得：y＝±2，經(jīng)檢驗：∴當(dāng)y＝2時，x?1x=2，解得x＝﹣1；當(dāng)y＝﹣2時，x?1x=?經(jīng)檢驗：x＝﹣1或x=1∴原分式方程的解為x＝﹣1或x=1上述這種解分式方程的方法稱為換元法．問題：(1)若在方程x?1x+xx?1=52中，設(shè)(2)模仿上述換元法解方程：x?1x+2【變式2-1】（上海復(fù)旦五浦匯實驗學(xué)校八年級期末）用換元法解分式方程x2+1x?x3xA．3y2+3y?1=0C．3y2?y+1=0【變式2-2】（上海·八年級課時練習(xí)）如果16x2?8xA．1 B．-1 C．±1 D．4【變式2-3】（上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習(xí)）解方程組：1x【知識點3分式的運算技巧-裂項法】解題技巧：裂項相消法：【題型3裂項法解分式方程】【例3】（山東煙臺·八年級期中）觀察下面的變形規(guī)律：11×2=11–12；12×3=12–13；解答下面的問題：(1)已知n為正整數(shù)，結(jié)合你的發(fā)現(xiàn)，請將1n(n+1)(2)說明你（1）中式子的正確性；(3)直接寫出11×2+12×3+13×4(4)類比你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，解關(guān)于n（n為正整數(shù)）的分式方程：11×3【變式3-1】（山東·濟(jì)南市天橋區(qū)濼口實驗學(xué)校八年級階段練習(xí)）觀察下面的變形規(guī)律：11×2=1?12,12×3=12?13【變式3-2】（江蘇·鎮(zhèn)江市江南學(xué)校八年級階段練習(xí)）觀察下列算式：1(1)由此可推斷：142(2)請用含字母m(m為正整數(shù))的等式表示(1)中的一般規(guī)律___；(3)仿照以上方法解方程：3【變式3-3】（湖南·岳陽市第十九中學(xué)八年級階段練習(xí)）閱讀理解并回答問題．觀察下列算式：111……(1)填空：142＝＝(2)請用含有m（m表示整數(shù)）的代數(shù)式表示上述式子特點的一般規(guī)律：．(3)請用（2）中的規(guī)律解方程：1x(x+1)【知識點4根據(jù)分式方程解的情況求待定系數(shù)值或取值范圍】（1）方程無解，即方程的根為增根；（2）方程的解為正值，先求解出含有字母的方程根，令這個根＞0，求解出字母取值范圍；（3）方程的解為負(fù)值，先求解出含有字母的方程根，令這個根＜0，求解出字母取值范圍【題型4根據(jù)分式方程的解求值】【例4】（河北·南皮縣桂和中學(xué)八年級階段練習(xí)）若關(guān)于x的方程2axa?x=83的解為x=1，則A．?1 B．1 C．4 D．8【變式4-1】（湖南·溆浦縣圣達(dá)學(xué)校八年級期中）已知關(guān)于x的方程3x?1=x+axx?1的增根是x=1A．1 B．?1 C．2 D．?2【變式4-2】（北京市第九中學(xué)八年級期中）若x=4是關(guān)于x的方程2x?mx?3=3的解，則【變式4-3】（全國·八年級專題練習(xí)）若關(guān)于x的方程axx+1+3x+1+3xA．2 B．3 C．4 D．6【題型5已知分式方程有解或無解求參數(shù)】【例5】（黑龍江黑龍江·三模）關(guān)于x的分式方程1?axx?2+2=1【變式5-1】（湖南·八年級單元測試）若關(guān)于x的分式方程1x?2+x+mA．-6 B．-10 C．0或-6 D．-6或-10【變式5-2】（河北·邢臺市第六中學(xué)八年級階段練習(xí)）已知關(guān)于x的分式方程xx?2+2m2?x=3mA．1或13 B．1或3 C．13【變式5-3】（重慶·二模）若關(guān)于x的不等式組2x?m≥?132(x+23)+12≤9A．7 B．10 C．13 D．21【知識點5增根的討論】方程有增根，則這個根使得分式的分母為0.利用這個條件，我們可以先求解出增根的情況，在根據(jù)題意求解出其他字母的值?！绢}型6已知分式方程有增根求參數(shù)】【例6】（湖南·永州市冷水灘區(qū)京華中學(xué)八年級期中）如果方程5x?42x?4=2x+k【變式6-1】（浙江寧波·七年級期末）用去分母的方法解關(guān)于x的分式方程2?xx?3=a【變式6-2】（江西省石城二中九年級階段練習(xí)）解關(guān)于x的方程xx-1?A．2 B．1 C．k≠2且k≠?2【變式6-3】（全國·八年級）若關(guān)于x的方程mx2?9【題型7已知分式方程有整數(shù)解求參數(shù)】【例7】（重慶·四川外國語大學(xué)附屬外國語學(xué)校九年級期中）若關(guān)于x的不等式組x3?4＜?2x+332x+a?2≥51?2x，有且僅有四個整數(shù)解，且使關(guān)于y的分成方程A．?2 B．3 C．5 D．10【變式7-1】（安徽·九年級專題練習(xí)）若整數(shù)a使關(guān)于x的分式方程8?ax2?x﹣2＝xx?2有整數(shù)解，則符合條件的所有A．7 B．11 C．12 D．13【變式7-2】（重慶一中八年級階段練習(xí)）關(guān)于x的不等式組a+x3≥x+131?3(x?1)＜14+2x有解且至多有4個整數(shù)解，關(guān)于yA．4 B．8 C．11 D．15【變式7-3】（全國·八年級專題練習(xí)）若關(guān)于x的不等式組{x?3(x?2)>?2a+x2<x有解，關(guān)于y的分式方程ay?14?yA．0 B．1 C．2 D．5【題型8根據(jù)分式方程解的取值范圍求參數(shù)的范圍】【例8】（重慶一中九年級階段練習(xí)）若關(guān)于x的不等式組x?a2>03x+15≥x?1有解，且關(guān)于yA．﹣8 B．﹣4 C．﹣3 D．﹣1【變式8-1】（山東·龍口市教學(xué)研究室八年級期中）若關(guān)于x的分式方程2x+m=3【變式8-2】（江蘇宿遷·八年級階段練習(xí)）關(guān)于x的方程x?1x?3=2+k【變式8-3】（山東濟(jì)南·八年級期中）若關(guān)于x的分式方程x+ax?2+2a2?x=5的解是非負(fù)整數(shù)解，且a滿足不等式a+2>1A．18 B．16 C．12 D．6【題型9解分式方程的運用（規(guī)律問題）】【例9】（山東聊城·八年級期末）已知：①x+2x＝3可轉(zhuǎn)化為x+1×2x＝1+2，解得x1＝1，x②x+6x＝5可轉(zhuǎn)化為x+2×3x＝2+3，解得x1＝2，x③x+12x＝7可轉(zhuǎn)化為x+3×4x＝3+4，解得x1＝3，x根據(jù)以上規(guī)律，關(guān)于x的方程x+n2+nx?3【變式9-1】（湖南·岳陽市第十九中學(xué)八年級階段練習(xí)）解方程①1x+1=2②2x+1=4③3x+1=6x+1④4x+1=8x+1（1）請完成上面的填空；（2）根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律直接寫出第⑤個方程和它的解；（3）請你用一個含正整數(shù)n的式子表述上述規(guī)律，并寫出它的解．【變式9-2】（江蘇無錫·八年級期中）閱讀下列材料：方程1x+1?1方程1x?1方程1x?1?1(1)請直接寫出方程1x?4(2)觀察上述方程與解的特征，寫出一個解為?5的分式方程：________；(3)觀察上述議程與解的特征，寫出能反映上述方程一般規(guī)律的方程，并直接寫出這個方程的解：________；________．【變式9-3】（四川遂寧·八年級期末）先閱讀下面的材料，然后解答問題．通過計算，發(fā)現(xiàn)：方程x+1x=2+12方程x+1x=3+13方程x+1x=4+14(1)觀察猜想：關(guān)于x的方程x+1x=n+1n(2)利用你猜想的結(jié)論，解關(guān)于x的方程x+1(3)實踐運用：對關(guān)于x的方程x?1x=m?1m的解，小明觀察得“x1=m”是該方程的一個解，則方程的另一個解x【題型10解分式方程的運用（新定義問題）】【例10】（遼寧大連·八年級期末）當(dāng)a≠b時，定義一種新運算：F(a,b)=2a?b,a>b2bb?a（1）直接寫出F(a+1,a)=_______________；（2）若F(m,2)?F(2,m)=1，求出m的值．【變式10-1】（廣西·北海市實驗學(xué)校八年級期中）對于非零的兩個有理數(shù)a，b，規(guī)定a⊕b＝1b?1A．56 B．54 C．32【變式10-2】（全國·七年級專題練習(xí)）定義新運算：對于任意實數(shù)a，b(其中a≠0)，都有a*b＝1a?a?b(1)求5*4的值；(2)若x*2＝1(其中x≠0)，求x的值．【變式10-3】（江蘇揚州·八年級期中）“程，課程也，二物者二程，三物者三程，皆如物數(shù)程之，并列為行，故謂之方程．”這是我國古代著名數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)》對方程一詞給出的注釋．對于一些特殊的方程，我們給出兩個定義：①若兩個方程有相同的一個解，則稱這兩個方程為“相似方程”，②若兩個方程有相同的整數(shù)解，則稱這兩個方程為“相伴方程”．（1）判斷一元一次方程3?21?x=4x（2）已知關(guān)于x，y的二元一次方程y=mx+6與y

分式方程-十大題型（解析版）【知識點1分式方程】（1）分式方程：分母中含有未知數(shù)的方程（2）分式方程的解法思路：去分母（乘分母最小公倍數(shù)）將分式方程先轉(zhuǎn)化為整式方程，再按照整式方程的技巧求解方程。（3）分式方程解方程的步驟：=1\*GB3①利用等式的性質(zhì)去分母，將分式方程轉(zhuǎn)換為整式方程=2\*GB3②解整式方程=3\*GB3③驗根--檢驗整式方程解得的根是否符合分式方程=4\*GB3④作答【題型1解分式方程的一般方法】【例1】（廣東·平洲一中八年級階段練習(xí)）分式方程：1x【答案】3【分析】根據(jù)解分式方程的步驟解答即可．【詳解】解：11+3（x-2）=41+3x-6=43x=4+6-13x=9x=3檢驗，當(dāng)x=3時，x-2=1≠0，故x=3是分式方程的解．故答案為3．【點睛】本題主要考查了解分式方程，解分式方程的一般步驟為將分式方程化成整式方程、解整式方程、檢驗．【變式1-1】（廣西貴港·八年級期中）解下列分式方程：(1)2xx+2(2)1x+3【答案】(1)x=(2)分式方程無解【分析】（1）通過去分母，去括號，移項，合并同類項，系數(shù)化1和檢驗解分式方程即可；（2）通過去分母，去括號，移項，合并同類項，系數(shù)化1和檢驗解分式方程即可．【詳解】（1）解：方程兩邊同時乘以最簡公分母(x+2)(x?1)得∶2x(x?1)?x(x+2)=(x+2)(x?1)25x=2x=檢驗：當(dāng)x=25時，∴x=2（2）解：方程兩邊同時乘以最簡公分母(x+3)(x?3)得x?3+2(x+3)=12，x?3+2x+6=12，3x=9，x=3．檢驗：當(dāng)x=3時，x+3x?3∴x=3是原方程的增根，∴分式方程無解．【點睛】本題考查解分式方程．熟練掌握解分式方程的步驟是解題的關(guān)鍵．注意驗根．【變式1-2】（山東省泰安第十五中學(xué)八年級階段練習(xí)）當(dāng)x=________時，分式x?8x【答案】9【分析】根據(jù)相反數(shù)的性質(zhì)可得x?8【詳解】解：∵分式x?8x?7∴x?8整理得：x?8去分母得：x?8?1=0解得：x=9經(jīng)檢驗x=9是x∴x=9時，分式x?8x故答案為：9．【點睛】本題考查了相反數(shù)的性質(zhì)以及解分式方程，根據(jù)互為相反數(shù)的兩個數(shù)相加得0列出分式方程是解本題的關(guān)鍵，注意分式方程需要檢驗．【變式1-3】（上?！ど贤飧街衅吣昙壠谀┙夥匠蹋簒+5【答案】x=?5【分析】先將原方程變形1+1【詳解】解:原方程可變形為，1+1化簡得，1x+4即2x+5(x+4)(x+1)∴2x+5=0，解得，x=?5檢驗，把x=?52代入(x+4)(x+1)∴原方程的解為x=?5【點睛】此題主要考查了解分式方程，正確地將原方程變形是解決問題的關(guān)鍵.【知識點2換元法解分式方程】換元法：引進(jìn)新的變量，把一個較復(fù)雜的關(guān)系轉(zhuǎn)化為簡單數(shù)量關(guān)系例解方程：另（x－y）=u，則原方程轉(zhuǎn)換為：方程轉(zhuǎn)換為了一個比較簡潔的形式，再按照二元一次方程組的求法進(jìn)行求解，以簡化計算。注：當(dāng)熟練應(yīng)用換算法后，可以直接將某個整體式子看成一個未知數(shù)，在計算中，不必將這個整體換元為某個字母，而是直接整體求解?！绢}型2換元法解分式方程】【例2】（河南·南陽市第十三中學(xué)校八年級階段練習(xí)）閱讀下面材料，解答后面的問題：解方程：x?1x解：設(shè)y=x?1x，則原方程化為：y?4y=0，方程兩邊同時乘以y得：y2﹣4＝0，解得：y＝±2，經(jīng)檢驗：∴當(dāng)y＝2時，x?1x=2，解得x＝﹣1；當(dāng)y＝﹣2時，x?1x=?經(jīng)檢驗：x＝﹣1或x=1∴原分式方程的解為x＝﹣1或x=1上述這種解分式方程的方法稱為換元法．問題：(1)若在方程x?1x+xx?1=52中，設(shè)(2)模仿上述換元法解方程：x?1x+2【答案】(1)x?1x，y+1y=52(2)x=?【分析】（1）根據(jù)換元法設(shè)x?1x=y，可得關(guān)于（2）根據(jù)分式的加減，可得：x?1x+2(1)解：設(shè)x?1x=y，則原方程化為：y方程兩邊同時乘以2y得：2y2﹣5y+2＝0，解得：y=1經(jīng)檢驗：y=12和2都是方程y當(dāng)y=12時，x?1x當(dāng)y＝2時，x?1x=2，解得：經(jīng)檢驗：x=12和故答案為:x?1x，y+1y=52(2)解：原方程化為：x?1x+2設(shè)y=x?1x+2，則原方程化為：y方程兩邊同時乘以y得：y2﹣1＝0，解得：y＝±1，經(jīng)檢驗：y＝±1都是方程y?1當(dāng)y＝1時，x?1x+2當(dāng)y＝﹣1時，x?1x+2=?1，解得：x經(jīng)檢驗：x=?1∴原分式方程的解為x=?1【點睛】本題考查了用換元法解一類特殊的分式方程，關(guān)鍵是根據(jù)方程特點正確換元，注意兩次解分式方程都要檢驗．【變式2-1】（上海復(fù)旦五浦匯實驗學(xué)校八年級期末）用換元法解分式方程x2+1x?x3xA．3y2+3y?1=0C．3y2?y+1=0【答案】A【分析】由x2+1x【詳解】解：設(shè)x2∴分式方程x2+1x化為整式方程：3y故選：A．【點睛】本題考查了換元法解分式方程，掌握換元法及正確把分式方程化成整式方程是解決問題的關(guān)鍵．【變式2-2】（上?！ぐ四昙壵n時練習(xí)）如果16x2?8xA．1 B．-1 C．±1 D．4【答案】A【分析】先將方程16x2?8x+1=0變形為【詳解】解：方程16x2∴(∴4故選A.【點睛】本題考查了解分式方程中整體思想的運用，對方程進(jìn)行變形然后利用完全平方公式解題是關(guān)鍵.【變式2-3】（上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習(xí)）解方程組：1x【答案】x=1【分析】將原方程組轉(zhuǎn)換成整式方程組，設(shè)1x=u，12x?y=v【詳解】解：設(shè)1x=u，1解這個方程組，得

u=1v=2于是，得1x=112x?y解方程組得x=1y=3經(jīng)檢驗x=1y=3所以，原方程組的解是x=1y=【點睛】本題主要考查解分式方程，解分式方程的基本思想是“轉(zhuǎn)化思想”，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解是解決本題的關(guān)鍵．【知識點3分式的運算技巧-裂項法】解題技巧：裂項相消法：【題型3裂項法解分式方程】【例3】（山東煙臺·八年級期中）觀察下面的變形規(guī)律：11×2=11–12；12×3=12–13；解答下面的問題：(1)已知n為正整數(shù)，結(jié)合你的發(fā)現(xiàn)，請將1n(n+1)(2)說明你（1）中式子的正確性；(3)直接寫出11×2+12×3+13×4(4)類比你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，解關(guān)于n（n為正整數(shù)）的分式方程：11×3【答案】(1)1(2)見解析(3)2021(4)n=100【分析】（1）根據(jù)題干信息是探究提示，總結(jié)出規(guī)律即可；（2）把等式的右邊通分，再進(jìn)行計算即可證明規(guī)律；（3）利用規(guī)律把原式化為1?1（4）利用規(guī)律把原方程化為12（1）解：∵11×2=11–12；12×3=12–13；∴1（2）右邊=1∴（1）中式子正確．（3）11×2+12×3+1=1?1=1?（4）方程變形為：12即：12∴n2n+1去分母得：2n解得：n=100．檢驗：因為n為正整數(shù)，原方程分母不會為零．所以原方程的根是n=100．【點睛】本題考查的是數(shù)的運算規(guī)律的探究，掌握探究的方法并總結(jié)運用規(guī)律是解本題的關(guān)鍵，同時考查了分式的加減運算，分式方程的解法．【變式3-1】（山東·濟(jì)南市天橋區(qū)濼口實驗學(xué)校八年級階段練習(xí)）觀察下面的變形規(guī)律：11×2=1?12,12×3=12?13【答案】98【分析】根據(jù)題目中給出的等式可以找到規(guī)律，找出規(guī)律，即第n個等式為1n(n+1)【詳解】解：分式方程變形得：1x+1?1化簡得：1x+1?1去分母得：x+100＝2x+2，解得：x＝98，檢驗：把x＝98代入得：（x+1）（x+2）（x+3）．．．（x+100）≠0，∴分式方程的解為x＝98．故答案為：98．【點睛】本題考查了規(guī)律題—數(shù)字的變化類，解分式方程，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，發(fā)現(xiàn)題目中數(shù)字的變化特點，寫出相應(yīng)的等式．【變式3-2】（江蘇·鎮(zhèn)江市江南學(xué)校八年級階段練習(xí)）觀察下列算式：1(1)由此可推斷：142(2)請用含字母m(m為正整數(shù))的等式表示(1)中的一般規(guī)律___；(3)仿照以上方法解方程：3【答案】（1）16-1【分析】1）根據(jù)題意將42分解為6×7得出答案；（2）利用（1）中數(shù)據(jù)變化規(guī)律得出答案；（3）利用（2）中規(guī)律化簡方程，進(jìn)而求出即可．【詳解】(1)142=1故答案為16(2)用含字母m的等式表示(1)中一般規(guī)律為：1(m?1)(m?2)故答案為1(m?1)(m?2)（3）方程整理得：1x?4?1去分母得：x?1=2x?8，解得：x=7，經(jīng)檢驗x=7是分式方程的解.【點睛】此題考查規(guī)律型：數(shù)字的變化類，解分式方程，解題關(guān)鍵在于找到規(guī)律.【變式3-3】（湖南·岳陽市第十九中學(xué)八年級階段練習(xí)）閱讀理解并回答問題．觀察下列算式：111……(1)填空：142＝＝(2)請用含有m（m表示整數(shù)）的代數(shù)式表示上述式子特點的一般規(guī)律：．(3)請用（2）中的規(guī)律解方程：1x(x+1)【答案】(1)1(2)1(3)x＝10【分析】（1）觀察已知算式計算格式，計算即可得結(jié)果；（2）觀察給出的算式，可得規(guī)律：1m(m+1)（3）由（2）中的規(guī)律，可將原方程化為1x?1（1）解：142故答案為：16×7（2）解：由題中給出的算式可得：1m(m+1)故答案為：1m(m+1)（3）解：原方程變形為：1即1x∴x+10＝2x，解得：x＝10，檢驗：左邊＝110，右邊＝110，即∴原分式方程的解為：x＝10．【點睛】此題考查了分式的加減運算與分式方程的解法．此題難度適中，解題的關(guān)鍵是得到規(guī)律：1m(m+1)【知識點4根據(jù)分式方程解的情況求待定系數(shù)值或取值范圍】（1）方程無解，即方程的根為增根；（2）方程的解為正值，先求解出含有字母的方程根，令這個根＞0，求解出字母取值范圍；（3）方程的解為負(fù)值，先求解出含有字母的方程根，令這個根＜0，求解出字母取值范圍【題型4根據(jù)分式方程的解求值】【例4】（河北·南皮縣桂和中學(xué)八年級階段練習(xí)）若關(guān)于x的方程2axa?x=83的解為x=1，則A．?1 B．1 C．4 D．8【答案】C【分析】將x=1代入方程可得一個關(guān)于a的分式方程，解方程即可得．【詳解】解：∵x=1是方程2axa?x∴2a6a=8a?16a=8a?8，解得a=4，經(jīng)檢驗，a=4是方程的解，故選：C．【點睛】本題考查了分式方程的解、解分式方程，熟練掌握分式方程的解法是解題的關(guān)鍵．【變式4-1】（湖南·溆浦縣圣達(dá)學(xué)校八年級期中）已知關(guān)于x的方程3x?1=x+axx?1的增根是x=1A．1 B．?1 C．2 D．?2【答案】C【分析】把分式方程化為整式方程后，把x=1代入，即可求得結(jié)果．【詳解】方程兩邊同時乘以xx?1得：3x=x+a把x=1代入得：3×1=1+a，解得：a=2故選：C．【點睛】本題考查了分式方程的增根，理解分式方程增根的定義是解決問題的關(guān)鍵．【變式4-2】（北京市第九中學(xué)八年級期中）若x=4是關(guān)于x的方程2x?mx?3=3的解，則【答案】5【分析】把x=4代入方程2x?mx?3=3，得到關(guān)于【詳解】解：∵x=4是關(guān)于x的方程2x?mx?3∴2×4?m∴8?m=3，解得：m=5，故答案為：5．【點睛】本題考查了分式方程的解的定義，理解分式方程的解的定義是解題的關(guān)鍵．使方程左右兩邊的值相等的未知數(shù)的值是該方程的解．【變式4-3】（全國·八年級專題練習(xí)）若關(guān)于x的方程axx+1+3x+1+3xA．2 B．3 C．4 D．6【答案】B【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，把增根x=-1代入整式方程計算求出a的值，代入原式計算即可求出值．【詳解】解：分式方程去分母得：ax2+3x+3（x+1）=2x（x+1），把x=-1代入整式方程得：a=3，則2a-3=6-3=3．故選：B．【點睛】此題考查了分式方程的增根，增根確定后可按如下步驟進(jìn)行：①化分式方程為整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相關(guān)字母的值．【題型5已知分式方程有解或無解求參數(shù)】【例5】（黑龍江黑龍江·三模）關(guān)于x的分式方程1?axx?2+2=1【答案】a≠1且a≠2【分析】先求出使分式方程無意義時，a的取值范圍，再用逆向思維求出當(dāng)分式方程有解時a的取值范圍．【詳解】解：∵1?axx?2∴a=2x?2∵1?axx?2則x?2≠0或2?x≠0，∴x≠2，當(dāng)x=2時，a=2x?2故a的取值是1，當(dāng)x≠2時，1?axx?2兩邊同乘(x?2)，1?ax+2(x?2)=?1，∴x=2當(dāng)2-a=0時，方程無解，此時a=2，故答案為：a≠1且a≠2．【點睛】本題考查分式方程的解，以及分式方程無意義的解，能夠熟練掌握解分式方程的方法是解決本題的關(guān)鍵．【變式5-1】（湖南·八年級單元測試）若關(guān)于x的分式方程1x?2+x+mA．-6 B．-10 C．0或-6 D．-6或-10【答案】D【分析】先把方程化成整式方程，再確定分式無解的x的值，把值代入整式方程確定待求字母的值即可．【詳解】∵1x?2∴1方程兩邊同時乘以（x-2）（x+2），得x+2+x+m=3(x-2)，整理，得x=m+8，∵當(dāng)x+2=0或x-2=0時，分式是無意義的，故當(dāng)x=-2時，-2=m+8，解得m=-10；當(dāng)x=2時，2=m+8，解得m=-6；故m=-6或-10，故選D．【點睛】本題考查了分式方程的無解問題，靈活計算求解是解題的關(guān)鍵．【變式5-2】（河北·邢臺市第六中學(xué)八年級階段練習(xí)）已知關(guān)于x的分式方程xx?2+2m2?x=3mA．1或13 B．1或3 C．13【答案】A【分析】根據(jù)分式方程無解，需要對化簡之后的整式進(jìn)行討論，可能是整式方程無解，也可能是整式方程的解是原分式方程的增根，即可求解．【詳解】解：去分母得，x?2m=3m(x?2)，去括號得，x?2m=3mx?6m，移項得，x?3mx=2m?6m，合并同類項得，(1?3m)x=?4m，∵分式方程xx?2∴1-3m=0或x=2，∴m=1將x=2代入(1?3m)x=?4m，得2(1?3m)=?4m，解得m=1，綜上，m的值是1或13故選A．【點睛】本題主要考查的是利用分式方程無解求參數(shù)的值，理解分式方程無解的解題方法是解題關(guān)鍵．【變式5-3】（重慶·二模）若關(guān)于x的不等式組2x?m≥?132(x+23)+12≤9A．7 B．10 C．13 D．21【答案】C【分析】先求解不等式組，根據(jù)不等式組有且只有兩個奇數(shù)解，求出m的一個取值范圍；再根據(jù)分式方程有解的條件，即分母不為零，求出m的第二個取值范圍，最后根據(jù)兩個取值范圍確定出正確的m值并求和．【詳解】解不等式組：2x?m≥?1由①得：x≥由②得：32x+1+12∴不等式組的解集為m?1∵不等式組有且只有兩個奇數(shù)解∴1<解得：3<m≤7∵分式方程有解，則分母不為零∴y≠2解分式方程：my?4my?4my?4?2(y?2)?(3y?2)y=?2m?5，∴?解得：m≠4∴滿足條件的m值為6，7∴所有滿足條件的整數(shù)m的和是6+7=13故選C．【點睛】本題考查求含參一元一次不等式組的解及根據(jù)條件求參數(shù)取值范圍，根據(jù)分式方程有解求含參分式方程參數(shù)取值范圍，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)條件求出正確的m的范圍．【知識點5增根的討論】方程有增根，則這個根使得分式的分母為0.利用這個條件，我們可以先求解出增根的情況，在根據(jù)題意求解出其他字母的值?！绢}型6已知分式方程有增根求參數(shù)】【例6】（湖南·永州市冷水灘區(qū)京華中學(xué)八年級期中）如果方程5x?42x?4=2x+k【答案】5【分析】先將分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的根，然后再由分式方程有增根，列出關(guān)于k的方程求解即可．【詳解】解：5x?45x?4左右同乘最簡公分母6（x-2）得：3（5x-4）=2（2x+k）11x=2k+12x=2k+1211由分式方程有增根，則6（x-2）=0，即x-2=0，有2k+1211-2=0，解得k故答案為5．【點睛】本題考查了分式方程的增根，解此類題的基本步驟：①化分式方程為整式方程求出增根；②把增根代入最簡公分母求出相關(guān)字母的值．【變式6-1】（浙江寧波·七年級期末）用去分母的方法解關(guān)于x的分式方程2?xx?3=a【答案】1【分析】根據(jù)分式方程產(chǎn)生增根，即可得出x=3，將分式方程化為整式方程，將x=3代入整式方程，即可求出a的值．【詳解】解：將2?xx?3=a3?x?2∵關(guān)于x的分式方程2?xx?3∴x=3，將x=3代入2?x=?a?2x?3∴2?3=?a?23?3∴a=1，故答案為：1．【點睛】本題考查了分式方程的增根問題，熟練掌握分式方程增根的含義是本題的關(guān)鍵．【變式6-2】（江西省石城二中九年級階段練習(xí)）解關(guān)于x的方程xx-1?A．2 B．1 C．k≠2且k≠?2【答案】C【分析】先將分式方程化為整式方程，解得x=12k，根據(jù)題意可得【詳解】解：去分母得，x(解得x=∵方程xx∴x≠±1∴12即k≠±2故選：C．【點睛】本題考查了分式方程的增根，增根確定后可按如下步驟進(jìn)行：①化分式方程為整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相關(guān)字母的值．【變式6-3】（全國·八年級）若關(guān)于x的方程mx2?9【答案】x＝3或－3是原方程的增根；m＝6或12.【詳解】試題分析：先根據(jù)方程有增根，可讓最簡公分母為0，且把分式方程化為整式方程，分別代入求解即可.試題解析：因為原方程有增根，且增根必定使最簡公分母(x＋3)(x－3)＝0，所以x＝3或x＝－3是原方程的增根．原方程兩邊同乘(x＋3)(x－3)，得m＋2(x－3)＝x＋3.當(dāng)x＝3時，m＋2×(3－3)＝3＋3，解得m＝6；當(dāng)x＝－3時，m＋2×(－3－3)＝－3＋3，解得m＝12.綜上所述，原方程的增根是x＝3或x＝－3.當(dāng)x＝3時，m＝6；當(dāng)x＝－3時，m＝12.點睛：只要令最簡公分母等于零，就可以求出分式方程的增根，再將增根代入分式方程化成的整式方程，就能求出相應(yīng)的m的值．【題型7已知分式方程有整數(shù)解求參數(shù)】【例7】（重慶·四川外國語大學(xué)附屬外國語學(xué)校九年級期中）若關(guān)于x的不等式組x3?4＜?2x+332x+a?2≥51?2x，有且僅有四個整數(shù)解，且使關(guān)于y的分成方程A．?2 B．3 C．5 D．10【答案】B【分析】先求出每個不等式的解集，根據(jù)不等式組只有四個整數(shù)解求出?5≤a<7，再解分式方程，根據(jù)分式方程有整數(shù)解求出a?1是3的整倍數(shù)，a≠?5，據(jù)此求解即可．【詳解】解：x解不等式①得：x<5，解不等式②得：x≥7?a∵不等式組有且僅有四個整數(shù)解，∴0<7?a∴?5≤a<7；a去分母得：a=2y?1+y+2，解得y=a?1∵分式方程有整數(shù)解，∴a?1是3的整倍數(shù)，且a?13≠?2，即∴a?1=?3或0或3，∴a=?2或1或4，∵?2+1+4=3，∴所有滿足條件的整數(shù)a的值之和是3，故選B．【點睛】本題主要考查了根據(jù)一元一次不等式組的解集情況求參數(shù)，根據(jù)分式方程解得情況求參數(shù)，熟知解一元一次不等式組和解分式方程的方法是解題的關(guān)鍵．【變式7-1】（安徽·九年級專題練習(xí)）若整數(shù)a使關(guān)于x的分式方程8?ax2?x﹣2＝xx?2有整數(shù)解，則符合條件的所有A．7 B．11 C．12 D．13【答案】D【分析】根據(jù)分式方程的解為整數(shù)解，即可得出a=-1，1，2，4，7，據(jù)此計算即可．【詳解】解分式方程8?ax2?x﹣2＝xx?2，得：∵分式方程的解為整數(shù)，且x≠2，∴a=-1，1，2，4，7．故符合條件的所有a之和為：-1+1+2+4+7=13．故選：D．【點睛】本題考查了分式方程的解，注意分式方程中的解要滿足分母不為0的情況．【變式7-2】（重慶一中八年級階段練習(xí)）關(guān)于x的不等式組a+x3≥x+131?3(x?1)＜14+2x有解且至多有4個整數(shù)解，關(guān)于yA．4 B．8 C．11 D．15【答案】A【分析】求出不等式組的解集，根據(jù)解集的限制條件確定a的取值范圍，再解關(guān)于y的分式方程，根據(jù)分式方程的解為整數(shù)，進(jìn)而確定a的取值，再進(jìn)行計算即可．【詳解】解：解關(guān)于x的不等式組a+x3≥x+1所以﹣2≤x≤a?12由于這個關(guān)于x的不等式組有解且至多有4個整數(shù)解，∴﹣2≤a?12∴﹣3≤a＜5，解關(guān)于y的分式方程3y+153?y+2ayy?3=2由于這個分式方程的解是整數(shù)，且y≠3，∴2a﹣5＝±1或2a﹣5＝﹣3或2a﹣5＝±9，當(dāng)2a﹣5＝±1時，a＝3或a＝2，當(dāng)2a﹣5＝﹣3時，a＝1，當(dāng)2a﹣5＝±9時，a＝7或a＝﹣2，又∵a為整數(shù)，且﹣3≤a＜5，∴a＝3或a＝2或a＝1或a＝﹣2，∴所有滿足條件的整數(shù)a的和為3+2+1﹣2＝4，故選：A．【點睛】本題考查一元一次不等式組、分式方程，理解一元一次不等式組的解集、分式方程的解，掌握一元一次不等式組和分式方程的解法是解決問題的前提．【變式7-3】（全國·八年級專題練習(xí)）若關(guān)于x的不等式組{x?3(x?2)>?2a+x2<x有解，關(guān)于y的分式方程ay?14?yA．0 B．1 C．2 D．5【答案】B【分析】先解不等式組，由不等式組有解，可得a＜4，再解分式方程，當(dāng)a≠2且a≠1時，分式方程的解為：y=?4a?2,【詳解】解：{由①得：x?3x+6＞?2,∴?2x＞?8,∴x＜4,由②得：a+x＜2x,∴x＞a,∵關(guān)于x的不等式組{x?3(x?2)>?2∴a＜4，∵ay?1∴ay?1?3=?2(4?y),∴ay?2y=?4,∴(a?2)y=?4,當(dāng)a=2時，方程無解，則a≠2,∴y=?4檢驗：y?4≠0,∴?4∴4∴a?2≠?1,∴a≠1,∵y,a為整數(shù)，∴a?2=±1或a?2=±2或a?2=±4,∴a=3或a=1或a=4或a=0或a=6或a=?2,∴a＜4，a≠2,a≠1,∴a=3或a=0或a=?2.經(jīng)檢驗：a=3或a=0或a=?2符合題意，∴3+0+(?2)=1.故選：B.【點睛】本題考查的是一元一次不等式組的解法，分式方程的解法，分類討論數(shù)學(xué)思想，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．【題型8根據(jù)分式方程解的取值范圍求參數(shù)的范圍】【例8】（重慶一中九年級階段練習(xí)）若關(guān)于x的不等式組x?a2>03x+15≥x?1有解，且關(guān)于yA．﹣8 B．﹣4 C．﹣3 D．﹣1【答案】B【分析】先解不等式組，根據(jù)關(guān)于x的不等式組x?a2>03x+15≥x?1有解，可得a的取值范圍，再解分式方程，關(guān)于y【詳解】解：x?a2解不等式①得，x＞解不等式②得，x≤3，∵關(guān)于x的不等式組x?a2∴a＜解分式方程2ay?3去分母得，2a=4(y?3)+y?a，解得：y=3a+12∵關(guān)于y的方程2ay?3∴y＞0且∴3a+125>0解得a＞?4，且∴?4＜a＜∴滿足條件的整數(shù)a的值：?3、?2、?1、0、2；∵?3+(?2)+(?1)+0+2=?4，故選：B．【點睛】本題考查了分式方程的解，和解一元一次不等式組，熟練掌握解不等式組的方法以及解分式方程的步驟是解題的關(guān)鍵．【變式8-1】（山東·龍口市教學(xué)研究室八年級期中）若關(guān)于x的分式方程2x+m=3【答案】m>2且m≠3【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，表示出x，根據(jù)方程有負(fù)數(shù)解列出關(guān)于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的范圍．【詳解】解：去分母得：2(x+3)=3(x+m)，去括號得：2x+6=3x+3m，移項合并得：?x=3m?6，解得：x=6?3m，根據(jù)題意得：6?3m<0，且6?3m≠?3，6?3m≠?m，解得：m>2且m≠3．故答案為：m>2且m≠3．【點睛】此題考查了分式方程的解，解題的關(guān)鍵是用m的代數(shù)式表示x．【變式8-2】（江蘇宿遷·八年級階段練習(xí)）關(guān)于x的方程x?1x?3=2+k【答案】k<4且k≠2【分析】根據(jù)題意解分式方程，用k表示出x的值，然后根據(jù)x的取值范圍求解即可．【詳解】∵x?1x?1=2x?3解得：x=5?k．∵方程x?1x?3∴x>1，且x≠3，∴5?k>1且5?k≠3，解得：k<4且k≠2．故答案為：k<4且k≠2．【點睛】此題考查了分式方程含參數(shù)問題的解法，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意得出關(guān)于參數(shù)k的不等式．【變式8-3】（山東濟(jì)南·八年級期中）若關(guān)于x的分式方程x+ax?2+2a2?x=5的解是非負(fù)整數(shù)解，且a滿足不等式a+2>1A．18 B．16 C．12 D．6【答案】B【分析】先求出分式方程的解，再利用分式方程的解為非負(fù)整數(shù)解，以及a滿足不等式a+2>1，求出?1＜a≤10，再利用x=10?a【詳解】解：由題意可知：x+a?2ax?2x?a=5x?2x=10?a∵分式方程的解是非負(fù)整數(shù)解，且a滿足不等式a+2>1，∴10?a4≥0a+2∵x=10?a當(dāng)10?a=0時，a=10，此時x=0，經(jīng)檢驗，當(dāng)10?a=4時，a=6，此時x=1，經(jīng)檢驗，當(dāng)10?a=8時，a=2，此時x=2，經(jīng)檢驗，∴滿足條件的整數(shù)a的值之和是16．故選：B【點睛】本題考查解分式方程，不等式組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是求出?1＜a≤10，再利用x=10?a【題型9解分式方程的運用（規(guī)律問題）】【例9】（山東聊城·八年級期末）已知：①x+2x＝3可轉(zhuǎn)化為x+1×2x＝1+2，解得x1＝1，x②x+6x＝5可轉(zhuǎn)化為x+2×3x＝2+3，解得x1＝2，x③x+12x＝7可轉(zhuǎn)化為x+3×4x＝3+4，解得x1＝3，x根據(jù)以上規(guī)律，關(guān)于x的方程x+n2+nx?3【答案】x1＝n+3，x2＝n+4【分析】仿照已知方程與解的特征，歸納總結(jié)得到一般性規(guī)律，確定出所求方程的解即可．【詳解】根據(jù)題意將方程變形得：x﹣3+nn+1x?3＝n+可得x﹣3＝n或x﹣3＝n+1，則方程的解為x1＝n+3，x2＝n+4，故答案為x1＝n+3，x2＝n+4【點睛】此題考查了解分式方程，利用了轉(zhuǎn)化的思想，解分式方程注意要檢驗．【變式9-1】（湖南·岳陽市第十九中學(xué)八年級階段練習(xí)）解方程①1x+1=2②2x+1=4③3x+1=6x+1④4x+1=8x+1（1）請完成上面的填空；（2）根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律直接寫出第⑤個方程和它的解；（3）請你用一個含正整數(shù)n的式子表述上述規(guī)律，并寫出它的解．【答案】（1）③2；④3；（2）5x+1=10x+1?1，【分析】（1）由題意把方程兩邊都乘以（x+1）把分式方程化為整式方程，然后求解即可；（2）由題意先觀察①②③④中的方程的解；根據(jù)前四個方程的規(guī)律可得第⑤個方程及其解；（3）根據(jù)題干中各個方程的規(guī)律，可寫出含正整數(shù)n的方程，求解即可．【詳解】解：（1）③方程兩邊都乘以（x+1）得，3=6-x-1，解得x=2，經(jīng)檢驗x=2是原分式方程的解；④方程兩邊都乘以（x+1）得，4=8-x-1，解得x=3，經(jīng)檢驗x=3是原分式方程的解；故答案為：2，3；（2）⑤方程為5x+1=10（3）含正整數(shù)n的式子表示為nx+1=2n【點睛】本題考查分式方程的解以及規(guī)律的探索，熟練掌握分式方程的解的求法并觀察出方程的解與分子的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式9-2】（江蘇無錫·八年級期中）閱讀下列材料：方程1x+1?1方程1x?1方程1x?1?1(1)請直接寫出方程1x?4(2)觀察上述方程與解的特征，寫出一個解為?5的分式方程：________；(3)觀察上述議程與解的特征，寫出能反映上述方程一般規(guī)律的方程，并直接寫出這個方程的解：________；________．【答案】(1)x=6(2)1(3)1x?n+2?1x?n+1【分析】（1）根據(jù)材料可知，方程的解是方程的最簡公分母為零時x值的平均數(shù)，即可得解；（2）根據(jù)材料信息，寫出一個解為-5的分式方程即可；（3）觀察所給的材料，從特殊形式到一般形式總結(jié)出規(guī)律，可得方程．（1）解：根據(jù)材料發(fā)現(xiàn)規(guī)律：方程的解是方程的最簡公分母為零時x值的平均數(shù)，∴方程1x?4?1x?5=（2）由題意可得：解是x=-5的方程可以是：1x+7（3）由題意可得：1x?n+2解是x=n．【點睛】本題考查學(xué)生閱讀分析理解能力，解答本題的關(guān)鍵是通過對所給材料的理解得出方程以及方程解的一般形式．【變式9-3】（四川遂寧·八年級期末）先閱讀下面的材料，然后解答問題．通過計算，發(fā)現(xiàn)：方程x+1x=2+12方程x+1x=3+13方程x+1x=4+14(1)觀察猜想：關(guān)于x的方程x+1x=n+1n(2)利用你猜想的結(jié)論，解關(guān)于x的方程x+1(3)實踐運用：對關(guān)于x的方程x?1x=m?1m的解，小明觀察得“x1=m”是該方程的一個解，則方程的另一個解x【答案】(1)x1=n(2