17.2.4 一元二次方程求根公式 同步練習(xí)

17.2.4一元二次方程求根公式（夯實基礎(chǔ)+能力提升）【夯實基礎(chǔ)】一、填空題1．（2020·上海市靜安區(qū)實驗中學(xué)八年級課時練習(xí)）方程的解為________．二、解答題2．（2021·上海市川沙中學(xué)南校八年級期中）解方程：3．（2020·上海市靜安區(qū)實驗中學(xué)八年級課時練習(xí)）4．（2020·上海市靜安區(qū)實驗中學(xué)八年級課時練習(xí)）解方程：5．（2021·上海·八年級期中）解方程：．6．（2021·上?！ぐ四昙壠谥校┙夥匠蹋?．（2019·上海市梅隴中學(xué)八年級期中）解方程：8．（2019·上海市浦東新區(qū)建平中學(xué)南校八年級階段練習(xí)）解方程：(用公式法)9．（2021·上海普陀·八年級期末）解方程：x2﹣12x＝410．（2021·上?！ず缈趯嶒瀸W(xué)校八年級期中）解方程：（x+2）（x﹣3）＝4x+8；11．（2021·上海市蒙山中學(xué)八年級期中）用公式法解方程：x2﹣2x﹣3＝0．12．（2021·上海市金山初級中學(xué)八年級期中）解方程：．13．（2022·上?！ど贤飧街邪四昙壠谀┙夥匠蹋海?4．（2022·上?！ぐ四昙壠谀┙夥匠蹋海?5．（2022·上?！ぐ四昙壠谀┙夥匠蹋海灸芰μ嵘恳?、填空題1．（2019·上海市南洋模范中學(xué)八年級階段練習(xí)）已知等腰三角形的周長為20，腰長是方程的一個根，則這個等腰三角形的腰長為_______.2．（2022·上海·八年級專題練習(xí)）閱讀理解：對于這類特殊的代數(shù)式可以按下面的方法分解因式：理解運用：如果，那么，即有或，因此，方程和的所有解就是方程=0的解．解決問題：求方程的解為___________．二、解答題3．（2019·上海市松江區(qū)新橋中學(xué)八年級階段練習(xí)）解方程：4．（2020·上海市靜安區(qū)實驗中學(xué)八年級課時練習(xí)）5．（2020·上海浦東新·八年級階段練習(xí)）解方程：．6．（2019·上海市民辦嘉一聯(lián)合中學(xué)八年級階段練習(xí)）解方程：（公式法）7．（2019·上海市民辦桃李園實驗學(xué)校八年級階段練習(xí)）解方程：8．（2021·上海市培佳雙語學(xué)校八年級期中）解方程：（x+5）（x﹣2）＝1．9．（2022·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習(xí)）設(shè)m是滿足不等式1≤m≤50的正整數(shù)，關(guān)于x的二次方程（x﹣2）2+（a﹣m）2＝2mx+a2﹣2am的兩根都是正整數(shù)，求m的值．10．（2021·上海·八年級期中）閱讀理解：小明同學(xué)進入初二以后，讀書越發(fā)認真．在學(xué)習(xí)“用因式分解法解方程”時，課后習(xí)題中有這樣一個問題：下列方程的解法對不對？為什么？解：或．解得或．所以，．同學(xué)們都認為不對，原因：有的說該題的因式分解是錯誤的；有的說將答案代入方程，方程左右兩邊不成立，等等．小明同學(xué)除了認為該解法不正確，還給出了一種因式分解的做法，小明同學(xué)的做法如下：取與的平均值，即將與相加再除以2．那么原方程可化為左邊用平方差公式可化為．再移項，開平方可得請你認真閱讀小明同學(xué)的方法，并用這個方法推導(dǎo)：關(guān)于x的方程的求根公式（此時）．

17.2.4一元二次方程求根公式）（解析版）（夯實基礎(chǔ)+能力提升）【夯實基礎(chǔ)】一、填空題1．（2020·上海市靜安區(qū)實驗中學(xué)八年級課時練習(xí)）方程的解為________．【答案】或【分析】首先把方程轉(zhuǎn)化為一般形式，再利用公式法求解．【詳解】（x-1）（x+3）=12x2+3x-x-3-12=0x2+2x-15=0x=，∴x1=3，x2=-5故答案是:3或-5．【點睛】考查了學(xué)生解一元二次方程的能力，解決本題的關(guān)鍵是正確理解運用求根公式．二、解答題2．（2021·上海市川沙中學(xué)南校八年級期中）解方程：【答案】，【分析】方程整理后，找出，，的值，計算出根的判別式的值大于0，代入求根公式即可求出解．【詳解】解：方程整理得：，這里，，，，，即，．【點睛】此題考查了解一元二次方程的方法，本題適合公式法，熟練掌握求根公式是解本題的關(guān)鍵．3．（2020·上海市靜安區(qū)實驗中學(xué)八年級課時練習(xí)）【答案】，．【分析】利用公式法即可求解【詳解】解：∵，，．∴，∴，∴，．【點睛】本題主要考查了用公式法解一元二次方程，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點選擇合適、簡便的方法是解題的關(guān)鍵．4．（2020·上海市靜安區(qū)實驗中學(xué)八年級課時練習(xí)）解方程：【答案】【分析】先計算根的判別式，再利用公式法解方程即可．【詳解】解：由題意得：＞【點睛】本題考查的是一元二次方程的解法，掌握利用公式法解一元二次方程是解題的關(guān)鍵．5．（2021·上?！ぐ四昙壠谥校┙夥匠蹋海敬鸢浮浚痉治觥扛鶕?jù)公式法即可求解．【詳解】解：a=3，b=-4，c=-1，∴方程有兩個不相等的實數(shù)根=即．【點睛】此題主要考查解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟知公式法的應(yīng)用．6．（2021·上?！ぐ四昙壠谥校┙夥匠蹋骸敬鸢浮俊痉治觥扛鶕?jù)公式法即可求解.【詳解】解：其中，得即或所以原方程的根是【點睛】此題主要考查一元二次方程的求解，解題的關(guān)鍵是熟知公式法的運用.7．（2019·上海市梅隴中學(xué)八年級期中）解方程：【答案】【分析】首先將原方程移項，然后利用公式法直接求解即可.【詳解】原方程可化為：【點睛】此題主要考查利用公式法解一元二次方程，熟練掌握，即可解題.8．（2019·上海市浦東新區(qū)建平中學(xué)南校八年級階段練習(xí)）解方程：(用公式法)【答案】x1=，x2=．【分析】先確定出a、b、c的值，然后再求得的值，再代入一元二次方程的求根公式求出即可．【詳解】解：，==28，x=，x1=，x2=．【點睛】本題考查解一元二次方程-公式法：把x=（≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式；用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．9．（2021·上海普陀·八年級期末）解方程：x2﹣12x＝4【答案】x1＝6+2，【分析】利用求根公式求解即可．【詳解】解：，，，，，△，則，，．【點睛】本題主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接開平方法、因式分解法、公式法及配方法，解題的關(guān)鍵是根據(jù)方程的特點選擇簡便的方法．10．（2021·上?！ず缈趯嶒瀸W(xué)校八年級期中）解方程：（x+2）（x﹣3）＝4x+8；【答案】x1=7，x2=-2【分析】方程整理為一般形式，利用公式法求出解即可．【詳解】解：方程整理得：x2-5x-14=0，則a=1，b=-5，c=-14，∵b2-4ac=25+56=81＞0，∴x=，解得：x1=7，x2=-2．【點睛】此題考查了解一元二次方程-公式法，熟練掌握求根公式是解本題的關(guān)鍵．11．（2021·上海市蒙山中學(xué)八年級期中）用公式法解方程：x2﹣2x﹣3＝0．【答案】x1=+，x2=-．【分析】先確定，然后求，代入公式化簡計算即可．【詳解】解：∵x2-2x-3=0，∴，∴，∴，∴x1=+，x2=-．【點睛】本題考查的是解一元二次方程，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握公式法的一般步驟：①一元二次方程化為一般式；②a、b、c的值；③計算△；④代入公式．12．（2021·上海市金山初級中學(xué)八年級期中）解方程：．【答案】，【分析】方程利用求根公式計算即可求出解．【詳解】解：，，，，，即，．【點睛】本題考查了解一元二次方程公式法，解題的關(guān)鍵是熟練掌握求根公式．13．（2022·上?！ど贤飧街邪四昙壠谀┙夥匠蹋海敬鸢浮浚痉治觥繉⒎匠陶頌橐话阈问?，找出a，b及c的值，計算出根的判別式的值大于0，代入求根公式即可求出解．【詳解】解：，，，△，則，即，．【點睛】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點選擇合適、簡便的方法是解題的關(guān)鍵．14．（2022·上?！ぐ四昙壠谀┙夥匠蹋海敬鸢浮?，【分析】用公式法求解即可．【詳解】解：∵，，，∴，∴．所以原方程的解為，．【點睛】本題考查了一元二次方程的解法公式法，先求出?的值，然后根據(jù)求解即可．15．（2022·上?！ぐ四昙壠谀┙夥匠蹋海敬鸢浮浚痉治觥恐苯永霉椒纯汕蟪龇匠痰慕猓驹斀狻坷霉椒ㄇ蠼?，根據(jù)方程可知，∴，∴．【點睛】本題考查用公式法求一元二次方程的解，熟記解一元二次方程的公式法是解題的關(guān)鍵．【能力提升】一、填空題1．（2019·上海市南洋模范中學(xué)八年級階段練習(xí)）已知等腰三角形的周長為20，腰長是方程的一個根，則這個等腰三角形的腰長為_______.【答案】【分析】先求出方程的根，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系分情況討論求解即可.【詳解】公式法解得：（1）當(dāng)腰長為時，由周長可得，底邊為，經(jīng)檢驗，符合三角形的三邊關(guān)系（）；（2）當(dāng)腰長為時，由周長可得，底邊為，經(jīng)檢驗，不符合三角形的三邊關(guān)系（）.故答案為：.【點睛】本題考慮一元二次方程的解法、三角形的三邊關(guān)系.求出方程的解后，結(jié)合周長利用三角形的三邊關(guān)系進行檢驗是解題關(guān)鍵.2．（2022·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習(xí)）閱讀理解：對于這類特殊的代數(shù)式可以按下面的方法分解因式：理解運用：如果，那么，即有或，因此，方程和的所有解就是方程=0的解．解決問題：求方程的解為___________．【答案】【分析】通過因式分解的方法把方程左邊分解因式，這樣把原方程轉(zhuǎn)化為x?3＝0或x2＋3x?1＝0，然后解一次方程和一元二次方程即可．【詳解】解：∵x3?10x＋3＝0，∴x3?9x?x＋3＝0，x（x2?9）?（x?3）＝0，（x?3）（x2＋3x?1）＝0，∴x?3＝0或x2＋3x?1＝0，∴．故答案為：．【點睛】本題考查了高次方程：通過適當(dāng)?shù)姆椒ǎ迅叽畏匠袒癁榇螖?shù)較低的方程求解．所以解高次方程一般要降次，即把它轉(zhuǎn)化成二次方程或一次方程．也有的通過因式分解來解．也考查了公式法解一元二次方程．二、解答題3．（2019·上海市松江區(qū)新橋中學(xué)八年級階段練習(xí)）解方程：【答案】【分析】用公式法解一元二次方程【詳解】解：整理，得：∴方程有兩個不相等的實數(shù)根∴【點睛】本題考查公式法解一元二次方程，掌握公式正確計算是本題的解題關(guān)鍵.4．（2020·上海市靜安區(qū)實驗中學(xué)八年級課時練習(xí)）【答案】【分析】根據(jù)公式法可以解答本題．【詳解】解：∵，∴a=9，b=，c=1，∴△=，∴方程有兩個不相等的實數(shù)根，∴=，∴．【點睛】本題考查了解一元二次方程，解答本題的關(guān)鍵是明確解一元二次方程的方法．5．（2020·上海浦東新·八年級階段練習(xí)）解方程：．【答案】，．【分析】首先通過判別式判斷實數(shù)根的個數(shù)，然后應(yīng)用公式法求解即可．【詳解】由題意可知：，，∴∴原方程有兩個不相等的實數(shù)根∴解得．所以原方程的解為，．故答案為，．【點睛】本題考查解一元二次方程，熟練掌握并靈活應(yīng)用三種解一元二次方程的方法是關(guān)鍵．6．（2019·上海市民辦嘉一聯(lián)合中學(xué)八年級階段練習(xí)）解方程：（公式法）【答案】【分析】先確定a、b、c的值，求出，再代入公式計算即可．【詳解】解：∵a=3，b=-6，c=2，∴，∴∴原方程的解為．【點睛】此題考查公式法解一元二次方程，熟記公式是解題的關(guān)鍵．7．（2019·上海市民辦桃李園實驗學(xué)校八年級階段練習(xí)）解方程：【答案】【分析】先化為一元二次方程一般式，利用求根公式求解即可．【詳解】解：，，則可知，由公式法可知：，原方程的解為．【點睛】本題主要考查一元二次方程公式法，二次根式的除法，分母有理化，熟練掌握一元二次方程公式法，二次根式的除法，分母有理化方法是解題的關(guān)鍵．8．（2021·上海市培佳雙語學(xué)校八年級期中）解方程：（x+5）（x﹣2）＝1．【答案】x1＝，x2＝【分析】先整理為一般式，再根據(jù)公式法解一元二次方程的步驟依次計算即可．【詳解】解：整理為一般式，得：x2+3x﹣11＝0，∵a＝1，b＝3，c＝﹣11，∴Δ＝32﹣4×1×（﹣11）＝53＞0，則x＝＝，∴x1＝，x2＝．【點睛】本題考查解一元二次方程，熟練掌握公式法解一元二次方程的步驟是解答的關(guān)鍵．9．（2022·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習(xí)）設(shè)m是滿足不等式1≤m≤50的正整數(shù)，關(guān)于x的二次方程（x﹣2）2+（a﹣m）2＝2mx+a2﹣2am的兩根都是正整數(shù)，求m的值．【答案】1．4．9．16．25．36．49【分析】首先把方程進行整理，根據(jù)方程有兩個正整數(shù)根，說明根的判別式△＝b2﹣4ac≥0，由此可以求出m的取值范圍，然后根據(jù)方程有兩個正整數(shù)根確定m的值．【詳解】將方程整理得：x2﹣（2m+4）x+m2+4＝0，∴x＝＝2+m±2，∵x，m均是整數(shù)且1≤m≤50，∴m為完全平方數(shù)即可，∴m＝1．4．9．16．25．36．49．【點睛】本題考查了含字母系數(shù)的一元二次方程，解一元二次方程組，根的判別式，熟練公式是解題的關(guān)鍵．10．（2021·上?！ぐ四昙壠谥校╅喿x理解：小明同學(xué)進入初二以后，讀書越發(fā)認真．在學(xué)習(xí)“用因式分解法解方程”時，課后習(xí)題中有這樣一個問題：下列方程的解法對不對？為什么？解：或．解得或．所以，．同學(xué)們都認為不對，原因：有的說該題的因式分解是錯誤的；有的說將答案代入方程，方程左右兩邊不成立，等等．小明同學(xué)除了認為該解法不正確，還給出了一種因式分