19.4 線段的垂直平分線 同步練習(xí)

19.4線段的垂直平分線【夯實基礎(chǔ)】一、單選題1．（2022·上?！ぐ四昙墕卧獪y試）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，ED是AC的垂直平分線，交AC于點D，交BC于點E．已知∠C＝7∠BAE，則∠C的度數(shù)為（）A．41° B．42° C．43° D．44°2．（2022·上?！ぐ四昙墕卧獪y試）三角形的外心是三角形的（

）A．三條中線的交點 B．三條角平分線的交點C．三邊垂直平分線的交點 D．三條高所在直線的交點3．（2020·上海市澧溪中學(xué)八年級階段練習(xí)）在三角形內(nèi)部，到三角形三邊距離相等的點是（

）A．三條中線的交點 B．三條高線交點 C．三邊垂直平分線交點 D．三個內(nèi)角平分線交點二、填空題4．（2020·上海市靜安區(qū)實驗中學(xué)八年級課時練習(xí)）如果P是線段AB的垂直平分線上一點，且PB=6cm，則PA=__________cm．5．（2020·上海市靜安區(qū)實驗中學(xué)八年級課時練習(xí)）線段垂直平分線上的任意一點到_____________相等；和一條線段兩個端點距離相等的點，在__________上．6．（2020·上海市靜安區(qū)實驗中學(xué)八年級課時練習(xí)）BC是等腰△ABC和等腰△DBC的公共底（A與D不重合），則直線AD必是__________的垂直平分線．7．（2017·上?！ぐ四昙壠谀┤鐖DABC中，ABAC6，AC的垂直平分線DE交于E，如果EBC的周長為10，那么ABC的周長為________．8．（2019·上海松江·八年級期末）如圖，已知中，，，垂直平分，點為垂足，交于點．那么的周長為__________．9．（2019·上海市梅隴中學(xué)八年級期中）如果，等腰△ABC中，AB=5，BC=4，邊AB的垂直平分線交邊AC于點E，那么△BCE的周長等于____10．（2022·上海·八年級專題練習(xí)）如圖，小明畫線段AB的垂直平分線l，垂足為點C，然后以點B為圓心，線段AB為半徑畫弧，與直線l相交于點D，連接BD，那么∠CDB的度數(shù)是_____．11．（2022·上?！ぐ四昙墕卧獪y試）已知：如圖，△ABC中，AB＝AC，DE是AB的中垂線，點D在AB上，點E在AC上，若△ABC的周長為25cm，△EBC的周長為16cm，那么AC的長度為_____cm．12．（2017·上海市廊下中學(xué)八年級期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，邊AB的垂直平分線交AC于點D，垂足為點O，連接BD，則∠DBC的度數(shù)為_____°．13．（2020·上海市松江區(qū)民辦茸一中學(xué)八年級階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠DAE=36°，點D、E分別是AB、AC邊的垂直平分線與BC的交點，那么∠BAC=_____．14．（2020·上海市靜安區(qū)實驗中學(xué)八年級課時練習(xí)）已知線段AB及一點P，PA=PB=3cm，則點P在__________上．15．（2020·上海浦東新·八年級期末）如圖，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂線交BC于點E，交BD于點F，連接CF．若∠A＝60°，∠ACF＝48°，則∠ABC的度數(shù)為＝_____．三、解答題16．（2019·上海市梅隴中學(xué)八年級期中）已知：如圖，在中，，邊的垂直平分線與分別交于點D和點E．（1）作出邊的垂直平分線（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡）；（2）當(dāng)時，求的度數(shù)．17．（2020·上海市澧溪中學(xué)八年級階段練習(xí)）如圖，在△ABE中，AD⊥BE于點D，C是BE上一點，BD＝DC，且點C在AE的垂直平分線上，若△ABC的周長為18cm，求DE的長．18．（2020·上海市靜安區(qū)實驗中學(xué)八年級課時練習(xí)）已知：如圖，在△ABC，AB=AC，BC==8cm，DE垂直平分AB，若△BCD的周長為24cm，求：AB的長．【能力提升】一、單選題1．（2022·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習(xí)）如圖，△ABC中，AB的垂直平分線交BC邊于點E，AC的垂直平分線交BC邊于點N，若∠BAC＝，則∠EAN的度數(shù)為（

）A． B． C． D．2．（2022·上海·八年級期末）下列命題中，是真命題的是（

）A．三角形的外角大于三角形的任何一個內(nèi)角B．線段的垂直平分線上的任一點與該線段兩個端點能構(gòu)成等腰三角形C．三角形一邊的兩個端點到這邊上的中線所在的直線的距離相等D．面積都相等的兩個三角形一定全等3．（2022·上?！ぐ四昙壠谀┤鐖D，在△ABC中，點D在BC邊上，DE垂直平分AC邊，垂足為點E，若∠B＝70°，且AB+BD＝BC，則∠BAC的度數(shù)是（）A．40° B．65° C．70° D．75°4．（2022·上?！ぐ四昙壠谀┤鐖D，在中，的垂直平分線交于點，交于點．的周長為，的周長為，則的長為（

）A． B． C． D．二、填空題5．（2022·上海市南洋模范初級中學(xué)八年級期中）如圖，中，，，的平分線與的垂直平分線交于點，將沿（在上，在上）折疊，點與點恰好重合，則為______度．6．（2022·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習(xí)）如圖，DE垂直平分AB，F(xiàn)G垂直平分AC，若∠BAC＝110°，則∠DAF＝_____度．7．（2022·上?！ぐ四昙壠谀┤鐖D，垂直平分，垂直平分，若，則__________°．8．（2022·上海·八年級專題練習(xí)）如圖，中，已知，DE是AB的垂直平分線，若，那么=_________度.9．（2022·上海市南洋模范初級中學(xué)八年級期中）在△ABC中，∠BAC=θ．邊AB的垂直平分線交邊BC于點D，邊AC的垂直平分線交邊BC于點E，連結(jié)AD，AE，則∠DAE的度數(shù)為_____．（用含θ的代數(shù)式表示）三、解答題10．（2022·上?！ぐ四昙墕卧獪y試）如圖，在△ABC中，AD⊥BC，垂足為D，BE⊥AC，垂足為E，AE＝BE，AD與BE相交于點F．(1)請說明△AEF≌△BEC的理由．(2)如果AF＝2BD，試說明AD平分∠BAC的理由．11．（2022·上?！ぐ四昙壠谀┳鲌D題：在等邊ABC所在平面上找這樣一點P，使PAB、PBC、PAC都是等腰三角形，請用尺規(guī)畫出所有具有這樣性質(zhì)的點P．12．（2022·上海·同濟大學(xué)附屬七一中學(xué)八年級期中）如圖1，在△ABC中，∠ACB=2∠B，∠BAC的平分線AO交BC于點D，點H為AO上一動點，過點H作直線l⊥AO于H，分別交直線AB、AC、BC、于點N、E、M．（1）當(dāng)直線l經(jīng)過點C時（如圖2），求證：BN=CD；（2）當(dāng)M是BC中點時，寫出CE和CD之間的等量關(guān)系，并加以證明；（3）請直接寫出BN、CE、CD之間的等量關(guān)系．

19.4線段的垂直平分線（解析版）【夯實基礎(chǔ)】一、單選題1．（2022·上海·八年級單元測試）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，ED是AC的垂直平分線，交AC于點D，交BC于點E．已知∠C＝7∠BAE，則∠C的度數(shù)為（）A．41° B．42° C．43° D．44°【答案】B【分析】設(shè)∠BAE＝x°，則∠C＝7x°，根據(jù)ED是AC的垂直平分線，有AE＝EC，即有∠EAC＝∠C＝7x°，根據(jù)直角三角形中兩銳角互余建立方程，解方程即可求解．【詳解】設(shè)∠BAE＝x°，則∠C＝7x°，∵ED是AC的垂直平分線，∴AE＝EC，∴∠EAC＝∠C＝7x°，∵∠B＝90°，∴∠C+∠BAC＝90°，∴7x+7x+x＝90，解得：x＝6，∴∠C＝7×6°＝42°，故選：B．【點睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)等知識點，能根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)求出AE＝CE是解此題的關(guān)鍵．2．（2022·上海·八年級單元測試）三角形的外心是三角形的（

）A．三條中線的交點 B．三條角平分線的交點C．三邊垂直平分線的交點 D．三條高所在直線的交點【答案】C【分析】根據(jù)三角形的外心的定義（三角形的外心是三條邊的垂直平分線的交點）即可得．【詳解】解：三角形的外心是三角形的三邊垂直平分線的交點，故選：C．【點睛】本題考查了三角形的外心，熟記定義是解題關(guān)鍵．3．（2020·上海市澧溪中學(xué)八年級階段練習(xí)）在三角形內(nèi)部，到三角形三邊距離相等的點是（

）A．三條中線的交點 B．三條高線交點 C．三邊垂直平分線交點 D．三個內(nèi)角平分線交點【答案】D【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)：角平分線上的點到角的兩邊距離相等，即可求解．【詳解】解：在三角形內(nèi)部，到三角形三邊距離相等的點是三個內(nèi)角平分線交點，故選：D．【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，掌握角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．二、填空題4．（2020·上海市靜安區(qū)實驗中學(xué)八年級課時練習(xí)）如果P是線段AB的垂直平分線上一點，且PB=6cm，則PA=__________cm．【答案】6【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)：垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等解題即可．【詳解】線段AB的垂直平分線上的點P到點A、點B的距離相等，即PA=PB，故答案為：6cm【點睛】本題考查線段垂直平分線的性質(zhì)，是重要考點，難度容易，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．5．（2020·上海市靜安區(qū)實驗中學(xué)八年級課時練習(xí)）線段垂直平分線上的任意一點到_____________相等；和一條線段兩個端點距離相等的點，在__________上．【答案】

線段兩個端點的距離

線段的垂直平分線上【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)解題即可．【詳解】線段垂直平分線上的任意一點到線段兩個端點的距離相等；和一條線段兩個端點距離相等的點，在線段的垂直平分線上．故答案為：線段兩個端點的距離；線段的垂直平分線上．【點睛】本題考查線段垂直平分線的定義及性質(zhì)，是重要考點，難度容易，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．6．（2020·上海市靜安區(qū)實驗中學(xué)八年級課時練習(xí)）BC是等腰△ABC和等腰△DBC的公共底（A與D不重合），則直線AD必是__________的垂直平分線．【答案】BC【分析】根據(jù)題意作圖，再由“到線段兩個端點距離相等的點在線段的垂直平分線上”及“兩點確定一條直線”即可解答．【詳解】如圖，根據(jù)題意得AB＝AC，DB＝DC，∴點A、D都在BC的垂直平分線上．∵兩點確定一條直線，∴直線AD是BC的垂直平分線．故答案為：BC．【點睛】此題考查了線段垂直平分線性質(zhì)的逆定理及直線的公理，屬基礎(chǔ)題．7．（2017·上?！ぐ四昙壠谀┤鐖DABC中，ABAC6，AC的垂直平分線DE交于E，如果EBC的周長為10，那么ABC的周長為________．【答案】16【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得，等量代換可得的長，由可求得ABC的周長.【詳解】解：∵為線段的垂直平分線∴∵的周長為10∴故答案為：16.【點睛】本題考查了線段的垂直平分線的性質(zhì)，靈活利用線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等是解題的關(guān)鍵.8．（2019·上海松江·八年級期末）如圖，已知中，，，垂直平分，點為垂足，交于點．那么的周長為__________．【答案】8【分析】先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出AE=BE，再根據(jù)AB=AC即可得出AC的長，進而得出結(jié)論．【詳解】的垂直平分線交于點，垂足為點，，，，，，的周長．故答案為：．【點睛】本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)，熟知線段垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等是解答此題的關(guān)鍵．9．（2019·上海市梅隴中學(xué)八年級期中）如果，等腰△ABC中，AB=5，BC=4，邊AB的垂直平分線交邊AC于點E，那么△BCE的周長等于____【答案】9【分析】首先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出AE=EB，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，得出AB=AC=5，進行等量轉(zhuǎn)換，即可得出周長.【詳解】∵DE為AB的線段垂直平分線∴AE=EB又∵等腰△ABC中，AB=5，BC=4，∴AB=AC=5，∴△BCE的周長是BE+EC+BC=AC+BC=5+4=9故答案為9.【點睛】此題主要考查等腰三角形以及線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練運用，即可解題.10．（2022·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習(xí)）如圖，小明畫線段AB的垂直平分線l，垂足為點C，然后以點B為圓心，線段AB為半徑畫弧，與直線l相交于點D，連接BD，那么∠CDB的度數(shù)是_____．【答案】30°##30度【分析】連接AD，由線段垂直平分線性的性質(zhì)結(jié)合作圖可證明△ABD為等邊三角形，即可得∠B＝60°，進而可求出∠CDB的度數(shù)．【詳解】解：如圖，連接AD，∵CD垂直平分AB，∴AD＝BD，∠BCD＝90°．∵BA＝BD，∴△ABD為等邊三角形，∴∠B＝60°，∴∠CDB＝30°．故答案為：30°．【點睛】本題主要考查尺規(guī)作圖，線段垂直平分線的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理．證明△ABD為等邊三角形是解題的關(guān)鍵．11．（2022·上?！ぐ四昙墕卧獪y試）已知：如圖，△ABC中，AB＝AC，DE是AB的中垂線，點D在AB上，點E在AC上，若△ABC的周長為25cm，△EBC的周長為16cm，那么AC的長度為_____cm．【答案】9【分析】根據(jù)垂直平分線性質(zhì)，得到EB＝EA，利用三角形周長進行線段的等量代換求解即可．【詳解】解：∵DE是AB的中垂線，∴EB＝EA，∵△ABC的周長為25cm，△EBC的周長為16cm，即EB+EC+BC＝16，EA+EC+BC＝16，BC+AC＝16，∴AC＝25﹣（AB+BC）＝25﹣16＝9．故答案為9．【點睛】本題主要考查了垂直平分線的性質(zhì)，熟悉掌握垂直平分線的定義進行線段的等量代換是解題的關(guān)鍵．12．（2017·上海市廊下中學(xué)八年級期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，邊AB的垂直平分線交AC于點D，垂足為點O，連接BD，則∠DBC的度數(shù)為_____°．【答案】30【分析】先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和計算出∠ABC＝70°，再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到DA＝DB，則∠DBA＝∠A＝40°，然后計算∠ABC﹣∠DBA即可．【詳解】解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠A）＝×（180°﹣40°）＝70°，∵OD垂直平分AB，∴DA＝DB，∴∠DBA＝∠A＝40°，∴∠DBC＝∠ABC﹣∠DBA＝70°﹣40°＝30°．故答案為30．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)：等腰三角形的兩腰相等；等腰三角形的兩個底角相等．也考查了線段垂直平分線的性質(zhì)．13．（2020·上海市松江區(qū)民辦茸一中學(xué)八年級階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠DAE=36°，點D、E分別是AB、AC邊的垂直平分線與BC的交點，那么∠BAC=_____．【答案】108°【分析】根據(jù)線段的垂直平分線得出AD＝BD，AE＝CE，推出∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAE，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得出2（∠BAD＋∠CAE）+∠DAE=180°，求出∠BAD＋∠CAE的度數(shù)，即可得到答案．【詳解】解：∵點D、E分別是AB、AC邊的垂直平分線與BC的交點，∴AD＝BD，AE＝CE，∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAE，∵∠BAC＋∠B＋∠C＝180°，∠DAE+∠BAD+∠CAE+∠B＋∠C=180°，∠DAE=36°，即2（∠BAD＋∠CAE）+∠DAE=180°∴∠BAD＋∠CAE＝72°，∴∠BAC=∠DAE+∠BAD＋∠CAE＝72°+36°=108°，故答案為：108°．【點睛】本題主要考查對等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，線段的垂直平分線等知識點的理解和掌握，能綜合運用這些性質(zhì)進行計算是解此題的關(guān)鍵．14．（2020·上海市靜安區(qū)實驗中學(xué)八年級課時練習(xí)）已知線段AB及一點P，PA=PB=3cm，則點P在__________上．【答案】線段AB的垂直平分線【分析】和一條線段兩個端點距離相等的點在線段的垂直平分線上，據(jù)此作答即可．【詳解】因為PA=PB=3cm，所以P點一定在線段AB的垂直平分線上．故答案為：線段AB的垂直平分線．【點睛】本題考查了線段垂直平分線的判定，熟記到線段兩端點距離相等的點在線段的垂直平分線上是解題的關(guān)鍵．15．（2020·上海浦東新·八年級期末）如圖，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂線交BC于點E，交BD于點F，連接CF．若∠A＝60°，∠ACF＝48°，則∠ABC的度數(shù)為＝_____．【答案】48°【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得∠DBC＝∠ABD，再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得BF＝CF，進而可得∠FCE＝24°，然后可算出∠ABC的度數(shù)．【詳解】∵BD平分∠ABC，∴∠DBC＝∠ABD，∵∠A＝60°，∴∠ABC＋∠ACB＝120°，∵BC的中垂線交BC于點E，∴BF＝CF，∴∠FCB＝∠FBC，∴∠ABC＝2∠FCE，∵∠ACF＝48°，∴3∠FCE＝120°?48°＝72°，∴∠FCE＝24°，∴∠ABC＝48°，故答案為：48°.【點睛】此題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，以及三角形內(nèi)角和定理，關(guān)鍵是掌握線段垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等．三、解答題16．（2019·上海市梅隴中學(xué)八年級期中）已知：如圖，在中，，邊的垂直平分線與分別交于點D和點E．（1）作出邊的垂直平分線（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡）；（2）當(dāng)時，求的度數(shù)．【答案】（1）如圖所示，見解析；（2）．【分析】（1）利用線段垂直平分線的作法得出即可；（2）連接CE，利用垂直平分線的性質(zhì)證明出，再通過計算∠ACB的角度得出∠A的度數(shù)．【詳解】（1）如圖所示，即為所求作的邊的垂直平分線；

（2）如圖，連接，∵是的垂直平分線，∴，∴，∵，∴，∴，設(shè)，則，在中，，∴，解得，即．【點睛】本題考查了垂直平分線的作法和性質(zhì)，等腰三角形等邊對等角，以及三角形內(nèi)角之間的關(guān)系，熟練掌握這些知識是解題的關(guān)鍵．17．（2020·上海市澧溪中學(xué)八年級階段練習(xí)）如圖，在△ABE中，AD⊥BE于點D，C是BE上一點，BD＝DC，且點C在AE的垂直平分線上，若△ABC的周長為18cm，求DE的長．【答案】9cm．【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到CA=CE，AB=AC，根據(jù)三角形的周長公式計算，得到答案．【詳解】解：∵點C在AE的垂直平分線上，∴CA=CE，∵AD⊥BE，BD=DC，∴AB=AC，∵△ABC的周長為18，∴AB+BC+AC=18，∴2AC+2DC=18，∴AC+DC=9，∴DE=DC+CE=AC+CD=9（cm）．【點睛】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關(guān)鍵．18．（2020·上海市靜安區(qū)實驗中學(xué)八年級課時練習(xí)）已知：如圖，在△ABC，AB=AC，BC==8cm，DE垂直平分AB，若△BCD的周長為24cm，求：AB的長．【答案】16cm【分析】由線段垂直平分線的性質(zhì)可確定DA=DB，由△BCD的周長為24cm，可得BD+DC+BC=24cm，可轉(zhuǎn)化為DA+DC+BC=24cm，進而可得AC+BC=24cm，故AC=16cm，由等腰三角形可確定AC的長度．【詳解】∵DE垂直平分AB，∴DA=DB，∵若△BCD的周長為24cm，∴BD+DC+BC=24cm，∴DA+DC+BC=24cm，即AC+BC=24cm，∵BC=8cm，∴AC=16cm，∵AB=AC，∴AB=16cm．【點睛】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，三角形的周長表示，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)確定相等的線段是解題的關(guān)鍵．【能力提升】一、單選題1．（2022·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習(xí)）如圖，△ABC中，AB的垂直平分線交BC邊于點E，AC的垂直平分線交BC邊于點N，若∠BAC＝，則∠EAN的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可求∠B+∠C，根據(jù)垂直平分線性質(zhì)，EA＝EB，NA＝NC，則∠EAB＝∠B，∠NAC＝∠C，從而可得∠BAC＝∠BAE+∠NAC－∠EAN＝∠B+∠C－∠EAN，即可得到∠EAN＝∠B+∠C－∠BAC，即可得解．【詳解】解：∵∠BAC＝，∴∠B+∠C＝，∵AB的垂直平分線交BC邊于點E，AC的垂直平分線交BC邊于點N，∴EA＝EB，NA＝NC，∴∠EAB＝∠B，∠NAC＝∠C，∴∠BAC＝∠BAE+∠NAC－∠EAN＝∠B+∠C－∠EAN，∴∠EAN＝∠B+∠C－∠BAC，＝＝．故選：B．【點睛】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和，線段垂直平分線的性質(zhì)，角的和差關(guān)系，能得到求∠EAN的關(guān)系式是關(guān)鍵．2．（2022·上?！ぐ四昙壠谀┫铝忻}中，是真命題的是（

）A．三角形的外角大于三角形的任何一個內(nèi)角B．線段的垂直平分線上的任一點與該線段兩個端點能構(gòu)成等腰三角形C．三角形一邊的兩個端點到這邊上的中線所在的直線的距離相等D．面積都相等的兩個三角形一定全等【答案】C【分析】A、B、D均可舉反例說明錯誤，C選項可構(gòu)造圖形證明．【詳解】解：A.鈍角三角形與鈍角相鄰的外角小于該角，原命題是假命題，故該選項不符合題意；B.如果該點在線段上，那么不能構(gòu)成等腰三角形，原命題是假命題，故該選項不符合題意；C.當(dāng)該中線為等腰三角形底邊上的中線時，根據(jù)三線合一即可得出這兩個端點到這邊上的中線所在的直線的距離相等，當(dāng)三角形不是等腰三角形或中線不是等腰三角形底邊上的中線時，如圖所示，AD為△ABC的中線，BF⊥AD，CE⊥AD，∵AD為△ABC的中線，∴BD=CD，∵BF⊥AD，CE⊥AD，∴∠BFD=∠CED=90°，∵∠ADB=∠EDC，∴△BDF≌△CDE（AAS），∴BF=CE，綜上，三角形一邊的兩個端點到這邊上的中線所在的直線的距離相等，原命題是真命題，故該選項符合題意；D.如果是一個鈍角三角形和銳角三角形，某邊相等且該邊上的高相等，但它們不全等，原命題是假命題，故該選項不符合題意；故選：C．【點睛】本題考查判斷命題的真假，主要考查三角形外角的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)和判定，垂直平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)．說明一個命題是假命題只需要舉一個反例，判斷一個命題是真命題需要證明它．3．（2022·上?！ぐ四昙壠谀┤鐖D，在△ABC中，點D在BC邊上，DE垂直平分AC邊，垂足為點E，若∠B＝70°，且AB+BD＝BC，則∠BAC的度數(shù)是（）A．40° B．65° C．70° D．75°【答案】D【分析】連接AD，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到AD=CD，推出AB=AD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠ADB=∠B=70°，最后根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可得到結(jié)論．【詳解】連接AD，∵DE垂直平分AC邊，∴AD＝CD，∵BC＝BD+CD＝AB+BD，∴AB＝CD，∴AB＝AD，∴∠ADB＝∠B＝70°，∴∠CADB＝35°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝75°，故選：D．【點睛】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（2022·上海·八年級期末）如圖，在中，的垂直平分線交于點，交于點．的周長為，的周長為，則的長為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】∵AB的垂直平分線交AB于點D，∴AE=BE，∵△ACE的周長=AC+AE+CE=AC+BC=13，△ABC的周長=AC+BC+AB=19，∴AB=△ABC的周長-△ACE的周長=19-13=6，故答案為：B．【點睛】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)：垂直平分線垂直且平分其所在線段；垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等．二、填空題5．（2022·上海市南洋模范初級中學(xué)八年級期中）如圖，中，，，的平分線與的垂直平分線交于點，將沿（在上，在上）折疊，點與點恰好重合，則為______度．【答案】【分析】連接、；構(gòu)造等腰和等腰，通過等邊對等角求解即可．【詳解】解：如圖，連接、；∵平分，，∴，點在線段的垂直平分線上；∴∵垂直平分∴∴∴由軸對稱的性質(zhì)可知：垂直平分；∴∴∴故答案為：．【點睛】本題考查了角平分線的定義、等腰三角形三線合一的性質(zhì)、線段中垂線的性質(zhì)；熟練運用中垂線的性質(zhì)轉(zhuǎn)化線段是解題的關(guān)鍵．6．（2022·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習(xí)）如圖，DE垂直平分AB，F(xiàn)G垂直平分AC，若∠BAC＝110°，則∠DAF＝_____度．【答案】40【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到∠B+∠C＝70°，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到DA＝DB，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠DAB＝∠B，進而求出∠DAB+∠FAC，結(jié)合圖形計算即可．【詳解】解：∵∠BAC＝110°，∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝180°﹣110°＝70°，∵DE垂直平分AB，∴DA＝DB，∴∠DAB＝∠B，同理可得：∠FAC＝∠C，∴∠DAB+∠FAC＝∠B+∠C＝70°，∴∠DAF＝110°﹣70°＝40°，故答案為：40．【點睛】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關(guān)鍵．7．（2022·上?！ぐ四昙壠谀┤鐖D，垂直平分，垂直平分，若，則__________°．【答案】【分析】先由已知求出∠B+∠C=70°，再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)和等腰三角形的等邊對等角的性質(zhì)證得∠B=∠BAD，∠C=∠CAE，則有∠BAD+∠CAE=70°，進而求得∠DAE的度數(shù)．【詳解】解：∵在△ABC中，∠BAC=110°，∴∠B+∠C=180°﹣110°=70°，∵垂直平分，垂直平分，∴AD=BD，AE=CE，∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAE，∴∠BAD+∠CAE=70°，∴∠ADE=∠BAC﹣（∠BAD+∠CAE）=110°﹣70°=40°，故答案為：40°．【點睛】本題考查線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和等理，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)和等腰三角形的等邊對等角的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．8．（2022·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習(xí)）如圖，中，已知，DE是AB的垂直平分線，若，那么=_________度.【答案】54°.【分析】先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得DA=DB，進而得∠B=∠DAB，再設(shè)∠DAC=x，利用三角形的內(nèi)角和定理即可求出x的值，進一步即可求出答案.【詳解】解：∵DE是AB的垂直平分線，∴DA=DB，∴∠B=∠DAB，∵，∴設(shè)∠DAC=x，則∠B=∠DAB=2x，∵，∴x+2x+2x=90°，解得：x=18°，∴=3x=54°.故答案為54°.【點睛】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理，屬于基礎(chǔ)題型，熟練掌握相關(guān)圖形的性質(zhì)是關(guān)鍵.9．（2022·上海市南洋模范初級中學(xué)八年級期中）在△ABC中，∠BAC=θ．邊AB的垂直平分線交邊BC于點D，邊AC的垂直平分線交邊BC于點E，連結(jié)AD，AE，則∠DAE的度數(shù)為_____．（用含θ的代數(shù)式表示）【答案】2θ-180°或180°【分析】分兩種情況進行討論，先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，得到∠B=∠BAD，∠C=∠CAE，進而得到∠BAD+∠CAE=∠B+∠C=180°，再根據(jù)角的和差關(guān)系進行計算即可．【詳解】解：分兩種情況：如圖所示，當(dāng)∠BAC≥90°時，∵DM垂直平分AB，∴DA=DB，∴∠B=∠BAD，同理可得，∠C=∠CAE，∴∠BAD+∠CAE=∠B+∠C=180°，∴∠DAE=∠BAC-（∠BAD+∠CAE）=（180°）=180°；②如圖所示，當(dāng)∠BAC＜90°時，∵DM垂直平分AB，∴DA=DB，∴∠B=∠BAD，同理可得，∠C=∠CAE，∴∠BAD+∠CAE=∠B+∠C=180°，∴∠DAE=∠BAD+∠CAE-∠BAC=180°=180°．故答案為：180°或180°．【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，線段垂直平分線性質(zhì)的應(yīng)用，注意：線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等．三、解答題10．（2022·上?！ぐ四昙墕卧獪y試）如圖，在△ABC中，AD⊥BC，垂足為D，BE⊥AC，垂足為E，AE＝BE，AD與BE相交于點F．(1)請說明△AEF≌△BEC的理由．(2)如果AF＝2BD，試說明AD平分∠BAC的理由．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)∠DAC+∠C＝90°，∠EBC+∠C＝90°，推出∠DAC＝∠EBC，即可證明△AEF≌△BEC；（2）根據(jù)AF＝BC，AF＝2BD，推出D是BC的中點，利用垂直平分線上的點到線段兩端距離相等推出AB＝AC，利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)即可求證AD平分∠BAC．（1）解：∵AD⊥BC，BE⊥AC∴∠ADC＝90°，∠BEC＝90°∴∠DAC+∠C＝90°，∠EBC+∠C＝90°∴∠DAC＝90°﹣∠C，∠EBC＝90°﹣∠C∴∠DAC＝∠EBC，在△AEF和△BEC中，，∴△AEF≌△BEC（ASA）；（2）解：由（1）知，AF＝BC，∵AF＝2BD，∴BC＝2BD，∴D是BC的中點，∴BD＝CD，∵AD⊥BC，∴AB=AC∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC，∴AD平分∠BAC．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形三線合一的性質(zhì)等知識點，熟練掌握這些知識點是解答本題的關(guān)鍵．11．（2022·上?！ぐ四昙壠谀┳鲌D題：在等邊ABC所在平面上找這樣一點P，使PAB、PBC、PAC都是等腰三角形，請用尺規(guī)畫出所有具有這樣性質(zhì)的點P．【答案】作圖見解析【分析】分別以A、B為圓心，以大于AB長的一半為半徑畫弧，兩弧交于M、N，連接MN并延長，同理作出AC，BC的垂直平分線；以A為圓心，AB為半徑畫弧交BC的垂直平分線于點P1，P9兩點，；以B為圓心，以AB的長為半徑畫弧，交BC的垂直平分線于P4，這樣