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文檔簡介
19.9.4勾股定理【夯實(shí)基礎(chǔ)】一、填空題1.(2019·上海外國語大學(xué)秀洲外國語學(xué)校八年級(jí)期中)如圖,△ABC中,AB=AC=13,BC=10,D為BC中點(diǎn),DE⊥AB于E,則DE=_____.2.(2021·上海市蒙山中學(xué)八年級(jí)期中)在中,,,作,垂足為,將沿著直線翻折得到,如果,那么的長是___________.3.(2022·上?!ぐ四昙?jí)專題練習(xí))小華用一張直角三角形紙片玩折紙游戲,如圖1,在中,,,.第一步,在邊上找一點(diǎn),將紙片沿折疊,點(diǎn)落在處,如圖2,第二步,將紙片沿折疊,點(diǎn)落在處,如圖3.當(dāng)點(diǎn)恰好在原直角三角形紙片的邊上時(shí),線段的長為__________.4.(2022·上?!ぐ四昙?jí)單元測(cè)試)如圖,已知在四邊形ABCD中,AB=AD=4,AB//CD,AD//BC,∠D=60°,點(diǎn)E、F分別在邊AB、BC上,將△BEF沿著直線EF翻折,點(diǎn)B恰好與邊AD的中點(diǎn)G重合,則BE的長等于____________.5.(2022·上海奉賢區(qū)陽光外國語學(xué)校八年級(jí)期中)已知點(diǎn)D是△ABC邊AB的中點(diǎn),G是CD上一點(diǎn),且2GD=CG,GA=10,GC=8,GB=6,將△ADG繞點(diǎn)D順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)180°得到△BDE,則△EBC的面積為_________.6.(2021·上?!ぐ四昙?jí)專題練習(xí))如圖,在中,,,,,將點(diǎn)折疊到點(diǎn)處,折痕為,則的長度________.7.(2021·上?!し罱淘焊街邪四昙?jí)期末)如圖.在中,,,以直角頂點(diǎn)為圓心,長為半徑畫弧交于點(diǎn),過點(diǎn)作于點(diǎn),若,則的周長用含的代數(shù)式表示為_______________.8.(2021·上?!ぐ四昙?jí)專題練習(xí))已知在直角坐標(biāo)平面內(nèi)有兩點(diǎn),.試在軸上再找一點(diǎn),使得三角形為等腰三角形,則點(diǎn)的坐標(biāo)是_____.9.(2021·上海民辦華曜寶山實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級(jí)階段練習(xí))在△ABC中,AB=AC=12,∠A=30°,點(diǎn)E是AB中點(diǎn),點(diǎn)D在AC上,DE=3,將△ADE沿著DE翻折,點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)F,直線EF與AC交于點(diǎn)G,那么△DGF的面積=_____.10.(2021·上海市建平實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)期末)如圖,已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,BC=3,D是邊AB上的一點(diǎn),將△BCD沿直線CD翻折,使點(diǎn)B落在點(diǎn)B1的位置,若B1D⊥BC,則BD的長度為_____.11.(2021·上海虹口·八年級(jí)期末)定義:當(dāng)三角形中一個(gè)內(nèi)角α是另一個(gè)內(nèi)角β的兩倍時(shí),我們稱此三角形為“特征三角形”,其中α稱為“特征角”,若Rt△ABC是特征三角形,∠A是特征角,BC=6,則Rt△ABC的面積等于_____.12.(2021·上海市莘光學(xué)校八年級(jí)期中)如圖,∠AOB=30°,點(diǎn)M、N分別在邊OA、OB上,且OM=3,ON=4,點(diǎn)P、Q分別在邊OB、OA上,則MP+PQ+QN的最小值是___.二、解答題13.(2021·上海市洋涇菊?qǐng)@實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級(jí)期末)已知,如圖,在△ABC中,∠B=60°,BC=4.(1)尺規(guī)作圖:求作一點(diǎn)P,使點(diǎn)P到點(diǎn)B、C的距離相等,同時(shí)P到邊BA、BC的距離相等(不寫作法,保留作圖痕跡);(2)求出點(diǎn)P到點(diǎn)B的距離.14.(2021·上?!ぐ四昙?jí)專題練習(xí))已知點(diǎn)A(2,0),B(2,2)和C(3,1),判斷的形狀,并求出的面積.15.(2021·上?!ぐ四昙?jí)專題練習(xí))已知:如圖,,點(diǎn)在上,.(1)求作線段的垂直平分線,交于點(diǎn);(2)聯(lián)結(jié),求作的角平分線;(3)根據(jù)(1)(2)的條件,求的長.(第(1)、(2)題保留作圖痕跡,不需要寫出作圖步驟)16.(2021·上?!ぐ四昙?jí)專題練習(xí))如圖1,在中,,是的中點(diǎn)是射線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),聯(lián)結(jié),過點(diǎn)作的垂線,交射線于.(1)如圖2,如果點(diǎn)與點(diǎn)重合,求證:;(2)如圖3,如果,求的長;(3)設(shè),求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式,并寫出的取值范圍.17.(2021·上海·八年級(jí)期中)如圖,已知在中,,,,在線段上有動(dòng)點(diǎn),在射線上有動(dòng)點(diǎn),且,聯(lián)結(jié)交于點(diǎn).(1)當(dāng)點(diǎn)在邊(與點(diǎn)、不重合)上,線段與線段之間有怎樣的大小關(guān)系?試證明你的結(jié)論.(2)過點(diǎn)作邊的垂線,垂足為點(diǎn),隨著、兩點(diǎn)的移動(dòng),線段的長能確定嗎?若能確定,請(qǐng)求出的長;若不能確定,請(qǐng)說明理由.18.(2021·上海市建平實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)期末)如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CA=CB,點(diǎn)D、E在線段AB上.(1)如圖1,若CD=CE,求證:AD=BE;(2)如圖2,若∠DCE=45°,求證:DE2=AD2+BE2;(3)如圖3,若點(diǎn)P是△ABC內(nèi)任意一點(diǎn),∠BPC=135°,設(shè)AP=a、BP=b、CP=c,請(qǐng)直接寫出a,b,c之間的數(shù)量關(guān)系.19.(2021·上海虹口·八年級(jí)期末)如圖,△ABC中,∠C=90°,BC=6,∠ABC的平分線與線段AC交于點(diǎn)D,且有AD=BD,點(diǎn)E是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)(與A、B不重合),聯(lián)結(jié)DE,設(shè)AE=x,DE=y(tǒng).(1)求∠A的度數(shù);(2)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式(無需寫出定義域);(3)當(dāng)△BDE是等腰三角形時(shí),求AE的長.20.(2021·上海浦東新·八年級(jí)期末)已知:在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,點(diǎn)D為BC邊上一動(dòng)點(diǎn)(與點(diǎn)B不重合),連接AD,以AD始邊作∠DAE=α(0°<α<180°).(1)如圖1,當(dāng)α=90°,且AE=AD時(shí),試說明CE和BD的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系;(2)如圖2,當(dāng)α=45°,且點(diǎn)E在邊BC上時(shí),求證:BD2+CE2=DE2.【能力提升】一、填空題1.(2022·上海復(fù)旦五浦匯實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級(jí)期末)如圖,在等腰直角中,,,將沿某直線翻折,使得點(diǎn)落在的中點(diǎn)上,如果折痕與的交點(diǎn)為,那么的長為______.2.(2022·上?!y(cè)試·編輯教研五八年級(jí)期末)如圖,在中,,,,是的中線,將沿直線翻折,點(diǎn)是點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn),點(diǎn)是線段上的點(diǎn),如果,那么______.3.(2022·上?!ぐ四昙?jí)專題練習(xí))如圖,在等邊中,,,,點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿方向運(yùn)動(dòng),連接,以為邊,在的右側(cè)按如圖所示的方式作等邊,當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí),點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑長是__.4.(2022·上?!ぐ四昙?jí)期末)已知,在△ABC中,BC=3,∠A=22.5°,將△ABC翻折使得點(diǎn)B與點(diǎn)A重合,折痕與邊AC交于點(diǎn)P,如果AP=4,那么AC的長為_______二、解答題5.(2022·上?!y(cè)試·編輯教研五八年級(jí)期末)梯形中,,,,,點(diǎn)是中點(diǎn),過點(diǎn)作的垂線交射線于點(diǎn),的角平分線交射線于點(diǎn),交直線于點(diǎn).(1)當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí),求的長;(2)若點(diǎn)在線段上,,,求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式,并寫出函數(shù)定義域;(3)聯(lián)結(jié)、,當(dāng)是以為腰的等腰三角形時(shí),求的長.6.(2022·上?!ぐ四昙?jí)期末)如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=,BC=,點(diǎn)D是邊AB的中點(diǎn),點(diǎn)E是邊AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),作線段DE的垂直平分線分別交邊AC、BC于點(diǎn)M、N,設(shè)AM=x,ME=y.(1)當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí),求ME的長;(2)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式,并寫出函數(shù)的定義域;(3)當(dāng)MN經(jīng)過△ABC一邊中點(diǎn)時(shí),請(qǐng)直接寫出ME的長.7.(2022·上?!ぐ四昙?jí)期末)已知:在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,BC=6,左右作平行移動(dòng)的等邊三角形DEF的兩個(gè)頂點(diǎn)E、F始終在邊BC上,DE、DF分別與AB相交于點(diǎn)G、H.(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時(shí),點(diǎn)D恰好在斜邊AB上,求△DEF的周長;(2)如圖2,在△DEF作平行移動(dòng)的過程中,圖中是否存在與線段CF始終相等的線段?如果存在,請(qǐng)指出這條線段,并加以證明;如果不存在,請(qǐng)說明理由;(3)假設(shè)C點(diǎn)與F點(diǎn)的距離為x,△DEF與△ABC的重疊部分的面積為y,求y與x的函數(shù)關(guān)系式,并寫出定義域.8.(2022·上?!ぐ四昙?jí)單元測(cè)試)如圖,已知在Rt△ABC中,∠C=90°,∠CAB=60°,AB=10,點(diǎn)F是AB中點(diǎn),點(diǎn)D是射線CB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),△ADE是等邊三角形,聯(lián)結(jié)EF.(1)當(dāng)點(diǎn)D在線段CB上時(shí),①求證:△AEF≌△ADC;②聯(lián)結(jié)BE,設(shè)C、D間距離為x,,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式及定義域;(2)當(dāng)∠DAB=15°時(shí),求△ADE的面積(直接寫出答案).9.(2022·上海市風(fēng)華初級(jí)中學(xué)八年級(jí)期末)如圖,在△ABC中,AC=2,AB=4,BC=6,點(diǎn)P為邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)B、C重合),點(diǎn)P關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)Q,聯(lián)結(jié)PQ、CQ,PQ與邊AB交于點(diǎn)D.(1)求∠B的度數(shù);(2)聯(lián)結(jié)BQ,當(dāng)∠BQC=90°時(shí),求CQ的長;(3)設(shè)BP=x,CQ=y(tǒng),求y關(guān)于x的函數(shù)解析式,并寫出函數(shù)的定義域.10.(2022·上?!ぐ四昙?jí)開學(xué)考試)如圖1所示,已知△ABC中,∠ACB=90°,BC=2,AC=,點(diǎn)D在射線BC上,以點(diǎn)D為圓心,BD為半徑畫弧交AB邊AB于點(diǎn)E,過點(diǎn)E作EF⊥AB交邊AC于點(diǎn)F,射線ED交射線AC于點(diǎn)G.(1)求證:EA=EG;(2)若點(diǎn)G在線段AC延長線上時(shí),設(shè)BD=x,F(xiàn)C=y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式并寫出定義域;(3)聯(lián)結(jié)DF,當(dāng)△DFG是等腰三角形時(shí),請(qǐng)直接寫出BD的長度.11.(2022·上海市南洋模范中學(xué)八年級(jí)期末)如圖,在中,,,,是邊上不與點(diǎn)、重合的任意一點(diǎn),,垂足為點(diǎn),是的中點(diǎn).(1)求證:;(2)如果設(shè),,求與的函數(shù)解析式,并寫出函數(shù)的定義域;(3)當(dāng)?shù)拿娣e為時(shí),求的值.
19.9.4勾股定理(解析版)【夯實(shí)基礎(chǔ)】一、填空題1.(2019·上海外國語大學(xué)秀洲外國語學(xué)校八年級(jí)期中)如圖,△ABC中,AB=AC=13,BC=10,D為BC中點(diǎn),DE⊥AB于E,則DE=_____.【答案】【詳解】解:連接AD,因?yàn)锳B=AC=13,所以AD⊥BC,由勾股定理可得AD=12,根據(jù)面積相等得:12×5=13×DE,所以DE=.故答案為:2.(2021·上海市蒙山中學(xué)八年級(jí)期中)在中,,,作,垂足為,將沿著直線翻折得到,如果,那么的長是___________.【答案】【分析】根據(jù)折疊可得,再根據(jù)直角三角形的勾股定理即可求得答案.【詳解】解:∵將沿著直線翻折得到,∴,∴,∵,,∴,又∵,,∴在中,,故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用,熟練掌握折疊的性質(zhì)以及勾股定理是解決本題的關(guān)鍵.3.(2022·上?!ぐ四昙?jí)專題練習(xí))小華用一張直角三角形紙片玩折紙游戲,如圖1,在中,,,.第一步,在邊上找一點(diǎn),將紙片沿折疊,點(diǎn)落在處,如圖2,第二步,將紙片沿折疊,點(diǎn)落在處,如圖3.當(dāng)點(diǎn)恰好在原直角三角形紙片的邊上時(shí),線段的長為__________.【答案】或【分析】因?yàn)辄c(diǎn)恰好在原直角三角形紙片的邊上,所以分為當(dāng)落在邊上和邊上兩種情況分析,根據(jù)勾股定理求解即可.【詳解】解:當(dāng)落在邊上時(shí),如圖(1):設(shè)交于點(diǎn),由折疊知:,,,,,設(shè),則在中,在中,即.當(dāng)落在邊上時(shí),如圖(2)因?yàn)檎郫B,.故答案為:或【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱變換,勾股定理,直角三角形中的性質(zhì),正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵.4.(2022·上海·八年級(jí)單元測(cè)試)如圖,已知在四邊形ABCD中,AB=AD=4,AB//CD,AD//BC,∠D=60°,點(diǎn)E、F分別在邊AB、BC上,將△BEF沿著直線EF翻折,點(diǎn)B恰好與邊AD的中點(diǎn)G重合,則BE的長等于____________.【答案】【分析】過G作GH⊥BA交BA延長線于H,AB//CD,∠D=60°,∠HAG=60°,利用所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求出AH=1,HG=后再在中利用勾股定理求出GE的長即BE的長.【詳解】解:如圖所示,過G作GH⊥BA交BA延長線于H,∵△BEF沿著直線EF翻折后得到△GEF,∴BE=GE,∵AB//CD,∠D=60°,∴∠HAG=60°,∴∠AGH=30°,∵AG=GD=2,∴AH=1,HG=,設(shè)BE=GE=,則EH=,在中,,解得;故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查翻折的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)及勾股定理,正確構(gòu)造直角三角形是解決本題的關(guān)鍵.5.(2022·上海奉賢區(qū)陽光外國語學(xué)校八年級(jí)期中)已知點(diǎn)D是△ABC邊AB的中點(diǎn),G是CD上一點(diǎn),且2GD=CG,GA=10,GC=8,GB=6,將△ADG繞點(diǎn)D順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)180°得到△BDE,則△EBC的面積為_________.【答案】48【分析】2GD=CG,GC=8,得出,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出DE=GD=4,AG=BE=10,從而得出,根據(jù)勾股定理的逆定理得出△BGE是直角三角形,得出∠BGE=90°,即可得出∠BGC=90°,根據(jù)直角三角形的面積公式算出面積,進(jìn)而得出答案即可.【詳解】解:∵2GD=CG,GC=8,∴,∵將△ADG繞點(diǎn)D順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)180°得到△BDE,∴DE=GD=4,AG=BE=10,∴,∵BG=6,∴,∴△BGE是直角三角形,∴△BGE的面積為:×6×8=24,∵∠BGE=90°,∴∠BGC=90°,∴△BGC的面積為:×6×8=24,∴△EBC的面積為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的逆定理,旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì),理解題意,熟練掌握運(yùn)用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.6.(2021·上?!ぐ四昙?jí)專題練習(xí))如圖,在中,,,,,將點(diǎn)折疊到點(diǎn)處,折痕為,則的長度________.【答案】【分析】根據(jù)折疊原理得出,再根據(jù)勾股定理求解即可.【詳解】由折疊原理可知:設(shè)則根據(jù)勾股定理得:∴解得即故填:.【點(diǎn)睛】本題主要考查圖形的翻折、勾股定理、解方程,根據(jù)勾股定理列出方程是關(guān)鍵.7.(2021·上?!し罱淘焊街邪四昙?jí)期末)如圖.在中,,,以直角頂點(diǎn)為圓心,長為半徑畫弧交于點(diǎn),過點(diǎn)作于點(diǎn),若,則的周長用含的代數(shù)式表示為_______________.【答案】【分析】根據(jù)“,”可知∠B=60°,根據(jù)“以直角頂點(diǎn)為圓心,長為半徑畫弧交于點(diǎn)”可知△ABD是等邊三角形,∠BAD=60°,繼而可知∠DAE=30°,利用直角三角中30°所對(duì)的邊是斜邊的一半,即可知AB和BC的長,再利用勾股定理即可求出AC的長,從而可得周長.【詳解】∵中,,∴∠B=60°,BC=2AB∵以直角頂點(diǎn)為圓心,長為半徑畫弧交于點(diǎn),∴AB=AD∵∠B=60°∴△ABD是等邊三角形∴∠BAD=60°,∴∠DAE=30°,又∵DE⊥AC∴△ADE是直角三角形∴AD=2DE=2a∴AB=2a,BC=4a根據(jù)勾股定理有∴∴△ABC的周長=AB+AC+BC=故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查的是含有30°角的直角三角形和勾股定理,能夠根據(jù)含有30°角的直角三角形相關(guān)性質(zhì)和勾股定理求出三邊的長是解題的關(guān)鍵.8.(2021·上?!ぐ四昙?jí)專題練習(xí))已知在直角坐標(biāo)平面內(nèi)有兩點(diǎn),.試在軸上再找一點(diǎn),使得三角形為等腰三角形,則點(diǎn)的坐標(biāo)是_____.【答案】,,,【分析】以B為圓心,AB長為半徑作弧;以A為圓心,AB長為半徑作?。蛔鰽B的垂直平分線,即可得到點(diǎn)C可能的不同位置,依據(jù)兩個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(5,3),B(1,0),即可得到第三個(gè)頂點(diǎn)C的坐標(biāo).【詳解】解:如圖所示,∵A(5,3),B(1,0),∴AB=5,以B為圓心,AB長為半徑作弧,交x軸于C1和C2,則BC1=BC2=5,∴OC1=-4,OC2=6,∴C1(-4,0),C2(6,0);以A為圓心,AB長為半徑作弧,交x軸于C3,則BE=EC3=4,∴OC3=9,∴C3(9,0),作AB的垂直平分線,交x軸于C4,則BD=2.5,設(shè)C4(x,0),則BC4=x-1,EC4=5-x,∵BC4=AC4,∴,解得x=,∴C4(,0);綜上所述,點(diǎn)C可能的不同位置有4個(gè),坐標(biāo)為(-4,0),(6,0),(9,0),(,0).故答案為:(-4,0),(6,0),(9,0),(,0).【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì),坐標(biāo)與圖形的性質(zhì),線段的垂直平分線的性質(zhì),勾股定理等知識(shí),特別是分類討論思想的應(yīng)用,不要漏解.9.(2021·上海民辦華曜寶山實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級(jí)階段練習(xí))在△ABC中,AB=AC=12,∠A=30°,點(diǎn)E是AB中點(diǎn),點(diǎn)D在AC上,DE=3,將△ADE沿著DE翻折,點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)F,直線EF與AC交于點(diǎn)G,那么△DGF的面積=_____.【答案】6或6+9【分析】分兩種情況:①如圖1,當(dāng)點(diǎn)D在H點(diǎn)上方時(shí),過點(diǎn)E作EH⊥AC交AC于點(diǎn)E,過點(diǎn)G作GQ⊥AB交AB于點(diǎn)Q,②如圖2,當(dāng)點(diǎn)D在H點(diǎn)下方時(shí),過點(diǎn)E作EH⊥AC交AC于點(diǎn)E,過點(diǎn)G作GQ⊥AB交AB于點(diǎn)Q,先求出三角形AEG的AE邊上的高GQ和三角形ADE的AD邊上的高,根據(jù)S△DGF=2S△AED﹣S△AEG可分別求出答案.【詳解】解:①如圖1,當(dāng)點(diǎn)D在H點(diǎn)上方時(shí),過點(diǎn)E作EH⊥AC交AC于點(diǎn)E,過點(diǎn)G作GQ⊥AB交AB于點(diǎn)Q,∵AB=12,點(diǎn)E是AB的中點(diǎn),∴AE=AB=6,∵EH⊥AC,∴∠AHE=90°,∵∠A=30°,AE=6,∴AH===3,∵DE=3,∴DH===3,∴DH=EH,AD=AH﹣DH=3﹣3,∴∠EDH=45°,∴∠AED=∠EDH﹣∠A=15°,由折疊的性質(zhì)可知,∠DEF=∠AED=15°,∴∠AEG=2∠AED=30°,∴∠AEG=∠A,∴AG=GE,∵GQ⊥AE,∴AQ=AE=3,∵∠A=30°,∴GQ=AG,∴GQ2+32=(2GQ)2,∴GQ=.∵S△AED=S△FED,∴S△DGF=2S△AED﹣S△AEG,∴S△DGF=2××3﹣=6﹣9.②如圖2,當(dāng)點(diǎn)D在H點(diǎn)下方時(shí),過點(diǎn)E作EH⊥AC交AC于點(diǎn)E,過點(diǎn)G作GQ⊥AB交AB于點(diǎn)Q,∵AB=12,點(diǎn)E是AB的中點(diǎn),∴AE=AB=6,∵EH⊥AC,∴∠AHE=90°,同理求得DH=EH,AH=3,AD=3+3,∴∠DEH=45°,∴∠AED=90°﹣∠A+∠DEH=105°,由折疊的性質(zhì)可得出∠DEF=∠AED=105°,∴∠AEG=2∠AED﹣180°=30°,∴∠AEG=∠A,∴AG=GE,同①求出GQ=,∵S△DGF=2S△AED﹣S△AEG,∴S△DGF=2×﹣=6+9.故答案為:6或6+9.【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì),直角三角形的性質(zhì),勾股定理,等腰直角三角形的性質(zhì),熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.10.(2021·上海市建平實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)期末)如圖,已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,BC=3,D是邊AB上的一點(diǎn),將△BCD沿直線CD翻折,使點(diǎn)B落在點(diǎn)B1的位置,若B1D⊥BC,則BD的長度為_____.【答案】【詳解】延長B1D交BC于E,由B1D⊥BC,根據(jù)含角直角三角形和勾股定理的性質(zhì),推導(dǎo)得DE=BD,BE=BD,設(shè)BD=x,在Rt△B1CE中根據(jù)軸對(duì)稱、勾股定理的性質(zhì),建立方程計(jì)算即可解得答案.【解答】延長B1D交BC于E,如圖:∵B1D⊥BC,∴∠BED=∠B1EC=90°,∵∠B=30°,∴DE=BD,∴BE==BD,設(shè)BD=x,∵將△BCD沿直線CD翻折,使點(diǎn)B落在點(diǎn)B1的位置,∴B1D=x,∵BC=3,∴CE=3﹣x,B1C=BC=3,在Rt△B1CE中,B1E2+CE2=B1C2,∴(x+x)2+(3﹣x)2=32∴∴x=0(舍去)或x=∴BD=故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、一元二次方程、軸對(duì)稱、含角直角三角形的知識(shí);解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理;軸對(duì)稱、含角直角三角形、一元二次方程的性質(zhì),從而完成求解.11.(2021·上海虹口·八年級(jí)期末)定義:當(dāng)三角形中一個(gè)內(nèi)角α是另一個(gè)內(nèi)角β的兩倍時(shí),我們稱此三角形為“特征三角形”,其中α稱為“特征角”,若Rt△ABC是特征三角形,∠A是特征角,BC=6,則Rt△ABC的面積等于_____.【答案】9或##或9【分析】分∠A=90°或∠A≠90°,分別畫圖,根據(jù)“特征三角形”的定義即可解決問題.【詳解】解:如圖,若∠A=90°,∵Rt△ABC是特征三角形,∠A是特征角,∴∠B=∠C=45°,∴AC=AB=BC=3,∴=9;如圖,若∠A≠90°,∵Rt△ABC是特征三角形,∠A是特征角,∴∠A=60°,∠B=30°,∴AB=2AC,由勾股定理得:,即,∴AC=(負(fù)值舍去),∴=,故答案為:9或.【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì),勾股定理,靈活運(yùn)用勾股定理是解題的關(guān)鍵.12.(2021·上海市莘光學(xué)校八年級(jí)期中)如圖,∠AOB=30°,點(diǎn)M、N分別在邊OA、OB上,且OM=3,ON=4,點(diǎn)P、Q分別在邊OB、OA上,則MP+PQ+QN的最小值是___.【答案】5【分析】作M關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn),作N關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn),連接,連接,即為MP+PQ+QN的最小值,根據(jù)軸對(duì)稱的定義可推出為等邊三角形,為等邊三角形,得再根據(jù)勾股定理即可得出結(jié)果.【詳解】解:如圖,作M關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn),作N關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn),連接,連接,則,當(dāng)共線時(shí)取得最小值,即為MP+PQ+QN的最小值,根據(jù)軸對(duì)稱的定義得∴為等邊三角形,為等邊三角形,∴在中,∴MP+PQ+QN的最小值為5,故答案為:5.【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱﹣?zhàn)疃搪肪€問題,勾股定理,等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí),正確作出輔助線,找出MP+PQ+QN的最小值即的長是解題的關(guān)鍵.二、解答題13.(2021·上海市洋涇菊?qǐng)@實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級(jí)期末)已知,如圖,在△ABC中,∠B=60°,BC=4.(1)尺規(guī)作圖:求作一點(diǎn)P,使點(diǎn)P到點(diǎn)B、C的距離相等,同時(shí)P到邊BA、BC的距離相等(不寫作法,保留作圖痕跡);(2)求出點(diǎn)P到點(diǎn)B的距離.【答案】(1)圖見解析;(2).【分析】(1)先利用尺規(guī)作圖作出的垂直平分線,再利用尺規(guī)作圖作出的角平分線,線段垂直平分線與角平分線的交點(diǎn)即為所求;(2)先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得,再根據(jù)角平分線的定義可得,然后根據(jù)直角三角形的性質(zhì)、勾股定理即可得.【詳解】解:(1)如圖,點(diǎn)即為所求.(2)如圖,由(1)可知,垂直平分,是的角平分線,,,,設(shè),則,在中,,即,利用平方根解得:或(不符題意,舍去),則,即點(diǎn)到點(diǎn)的距離為.【點(diǎn)睛】本題考查了線段垂直平分線和角平分線的尺規(guī)作圖、勾股定理等知識(shí)點(diǎn),熟練掌握尺規(guī)作圖是解題關(guān)鍵.14.(2021·上?!ぐ四昙?jí)專題練習(xí))已知點(diǎn)A(2,0),B(2,2)和C(3,1),判斷的形狀,并求出的面積.【答案】是等腰直角三角形,面積為1.【分析】先根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式分別求出AB、AC、BC的長,再根據(jù)等腰三角形的定義、勾股定理的逆定理可得的形狀,然后根據(jù)直角三角形的面積公式即可得.【詳解】,,,,,且,是等腰直角三角形,且,.【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的定義、勾股定理的逆定理、兩點(diǎn)之間的距離公式等知識(shí)點(diǎn),熟練掌握兩點(diǎn)之間的距離公式是解題關(guān)鍵.15.(2021·上?!ぐ四昙?jí)專題練習(xí))已知:如圖,,點(diǎn)在上,.(1)求作線段的垂直平分線,交于點(diǎn);(2)聯(lián)結(jié),求作的角平分線;(3)根據(jù)(1)(2)的條件,求的長.(第(1)、(2)題保留作圖痕跡,不需要寫出作圖步驟)【答案】(1)見解析,(2)見解析,(3);【分析】(1)按照垂直平分線的作法作圖即可;(2)按照角平分線的作法作圖即可;(3)根據(jù)勾股定理求解即可.【詳解】(1)線段的垂直平分線如圖所示;(2)的角平分線如圖所示;(3)由線段垂直平分線的性質(zhì)得,OB=BA,∴,∴,,,【點(diǎn)睛】本題考查了尺規(guī)作圖和勾股定理,解題關(guān)鍵是明確尺規(guī)作圖的方法,熟練應(yīng)用勾股定理進(jìn)行計(jì)算.16.(2021·上?!ぐ四昙?jí)專題練習(xí))如圖1,在中,,是的中點(diǎn)是射線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),聯(lián)結(jié),過點(diǎn)作的垂線,交射線于.(1)如圖2,如果點(diǎn)與點(diǎn)重合,求證:;(2)如圖3,如果,求的長;(3)設(shè),求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式,并寫出的取值范圍.【答案】(1)證明見詳解;(2)PQ=;(3),,【分析】(1)在中,,是的中點(diǎn)可得DC=AD=BD,可求∠DCB=∠DBC=30°,由外角性質(zhì)∠QDB=∠DCB+∠DBC=60°,由QB⊥DB,可求∠DQB=90°-∠QDB=30°,可得DQ=2DB=2DC,由D與P重合,可證PQ=2PC;(2)過B作BH⊥PQ于H,由AC=6,∠ACB=90°,∠ABC=30°,可求AB=2AC=12,在Rt△ACB中由勾股定理BC=,由∠HCB=30°,∠CHB=90°,可求CB=2BH=可得BH=,由∠PBQ=90°,BP=BQ,可求PQ=2BH=;(3)由(2)得BH=,在Rt△CBH中,由勾股定理求出CH=,當(dāng)CP≤9時(shí)PH=9-PC=9-x,當(dāng)CP時(shí)PH=PC-9=x-9,分兩種情況,在RtRt△PBH中由勾股定理得:PB2=PH2+BH2即可求出?!驹斀狻拷猓海?)在中,,是的中點(diǎn),∴DC=AD=BD,∴∠DCB=∠DBC=30°,又∵∠QDB=∠DCB+∠DBC=60°,∵QB⊥DB,∴∠DQB=90°-∠QDB=30°,∴DQ=2DB=2DC,∵D與P重合,PQ=2PC;(2)過B作BH⊥PQ于H,∵AC=6,∠ACB=90°,∠ABC=30°,∴AB=2AC=12,在Rt△ACB中由勾股定理BC=,又因?yàn)椤螲CB=30°,∠CHB=90°,∴CB=2BH=,∴BH=,∵∠PBQ=90°,BP=BQ,∴PQ=2BH=;(3)由(2)得BH=,在Rt△CBH中,CH=,當(dāng)CP≤9時(shí)PH=9-PC=9-x,在Rt△PBH中由勾股定理得:PB2=PH2+BH2,y2=(9-x)2+27,即,當(dāng)CP時(shí)PH=PC-9=x-9,在Rt△PBH中由勾股定理得:PB2=PH2+BH2,y2=(x-9)2+27,即,【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形性質(zhì),勾股定理,等腰直角三角形性質(zhì)函數(shù)關(guān)系,掌握直角三角形性質(zhì),勾股定理,等腰直角三角形性質(zhì)函數(shù)關(guān)系,解題關(guān)鍵是在Rt△PBH中利用勾股定理構(gòu)造等式求出函數(shù)關(guān)系.17.(2021·上?!ぐ四昙?jí)期中)如圖,已知在中,,,,在線段上有動(dòng)點(diǎn),在射線上有動(dòng)點(diǎn),且,聯(lián)結(jié)交于點(diǎn).(1)當(dāng)點(diǎn)在邊(與點(diǎn)、不重合)上,線段與線段之間有怎樣的大小關(guān)系?試證明你的結(jié)論.(2)過點(diǎn)作邊的垂線,垂足為點(diǎn),隨著、兩點(diǎn)的移動(dòng),線段的長能確定嗎?若能確定,請(qǐng)求出的長;若不能確定,請(qǐng)說明理由.【答案】(1),證明見解析;(2)能,.【分析】(1)過點(diǎn)作交于點(diǎn),根據(jù)平行線的性質(zhì)及等腰三角形的判定可推出,則可利用AAS證得≌,由全等三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論;(2)由題意可得△AMD為等腰直角三角形,設(shè),根據(jù)勾股定理得到,由全等三角形的性質(zhì)可得,由,,于是得到,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到,于是得到,即可得到結(jié)論.【詳解】解:(1);理由是:過點(diǎn)作交于點(diǎn),∵,∴.∵,,∴.∵,∴.∴.∴.∵,∴.在和中:,∴≌.∴.(2)線段的長度能確定,且為.理由是:過點(diǎn)作邊的垂線,垂足為,過作交于,由(1)得,為等腰直角三角形.設(shè),∴.∵≌,∴.∵,∴.∴.在等腰直角三角形中,∵,∴,∴.∴線段的長度確定,與、的移動(dòng)無關(guān),長為.【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)及勾股定理等知識(shí)點(diǎn),正確的作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵.18.(2021·上海市建平實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)期末)如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CA=CB,點(diǎn)D、E在線段AB上.(1)如圖1,若CD=CE,求證:AD=BE;(2)如圖2,若∠DCE=45°,求證:DE2=AD2+BE2;(3)如圖3,若點(diǎn)P是△ABC內(nèi)任意一點(diǎn),∠BPC=135°,設(shè)AP=a、BP=b、CP=c,請(qǐng)直接寫出a,b,c之間的數(shù)量關(guān)系.【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3),見解析【分析】(1)由CA=CB得∠A=∠B,由CD=CE得∠CEA=∠CDB,則△ACE≌△BCD,得AE=BD,即可轉(zhuǎn)化為AD=BE;(2)將△ACD繞點(diǎn)C沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到△BCF,聯(lián)結(jié)EF,則BF=AD,證明△FCE≌△DCE,得FE=DE,再證明∠EBF=90°,則FE2=BF2+BE2,即可證得DE2=AD2+BE2;(3)將△CAP繞點(diǎn)C沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到△CBG,聯(lián)結(jié)PG,則BG=AP,GC=PC,∠PCG=90°,所以PG2=PC2+GC2=2PC2,再證明∠BPG=90°,則BG2=BP2+PG2,可證得AP2=BP2+2PC2,即a2=b2+2c2.【詳解】解:(1)證明:如圖1,∵CA=CB,∴∠A=∠B,∵CD=CE,∴∠CEA=∠CDB,∴△ACE≌△BCD(AAS),∴AE=BD,∴AE﹣DE=BD﹣DE,∴AD=BE.(2)證明:如圖2,將△ACD繞點(diǎn)C沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到△BCF,聯(lián)結(jié)EF,∵∠ACB=90°,CA=CB,∴∠CBA=∠A=45°,由旋轉(zhuǎn)得CF=CD,∠BCF=∠ACD,∵∠DCE=45°,∴∠FCE=∠BCF+∠BCE=∠ACD+∠BCE=90°﹣45°=45°,∴∠FCE=∠DCE,∵CE=CE,∴△FCE≌△DCE(SAS),∴FE=DE,∵∠CBF=∠A=∠CBA=45°,∴∠EBF=90°,∴FE2=BF2+BE2,∵BF=AD,∴DE2=AD2+BE2.(3)a2=b2+2c2,理由如下:如圖3,將△CAP繞點(diǎn)C沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到△CBG,聯(lián)結(jié)PG,由旋轉(zhuǎn)得GC=PC,∠PCG=90°,∴∠CPG=∠CGP=45°,PG2=PC2+GC2=2PC2,∵∠BPC=135°,∴∠BPG=135°﹣45°=90°,∴BG2=BP2+PG2,∵BG=AP,∴AP2=BP2+2PC2,∴a2=b2+2c2.【點(diǎn)睛】此題考查等腰三角形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí),根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)作輔助線是解題的關(guān)鍵.19.(2021·上海虹口·八年級(jí)期末)如圖,△ABC中,∠C=90°,BC=6,∠ABC的平分線與線段AC交于點(diǎn)D,且有AD=BD,點(diǎn)E是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)(與A、B不重合),聯(lián)結(jié)DE,設(shè)AE=x,DE=y(tǒng).(1)求∠A的度數(shù);(2)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式(無需寫出定義域);(3)當(dāng)△BDE是等腰三角形時(shí),求AE的長.【答案】(1)30°;(2)y=;(3)12﹣4或8【分析】(1)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、角平分線的定義得到∠A=∠DBA=∠CBD,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出∠A;(2)作DF⊥AB于F,根據(jù)勾股定理求出DF,再根據(jù)勾股定理列式計(jì)算求出y關(guān)于x的函數(shù)解析式;(3)分BE=BD、BE=DE兩種情況,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理計(jì)算即可.【詳解】解:(1)∵AD=BD,∴∠A=∠DBA,∵BD是∠ABC的平分線,∴∠CBD=∠DBA,∴∠A=∠DBA=∠CBD,∵∠C=90°,∴∠A=30°;(2)如圖,作DF⊥AB于F,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=6,∠A=30°,∴AB=2BC=12,∵DA=DB,DF⊥AB,∴AF=AB=6,∴EF=|6﹣x|,在Rt△AFD中,∠A=30°,∴DF=AF=2,在Rt△DEF中,,即,解得:y=;(3)在Rt△AFD中,∠A=30°,DF=2,∴AD=BD=4,當(dāng)BE=BD=4時(shí),AE=12﹣4;當(dāng)BE=DE時(shí),12﹣x=,解得:x=8,即AE=8,∵點(diǎn)E與A、B不重合,∴DB≠DE,綜上所述:當(dāng)△BDE是等腰三角形時(shí),AE的長為12﹣4或8.【點(diǎn)睛】本題考查了角的平分線,等腰三角形的性質(zhì),勾股定理,熟練掌握勾股定理,靈活運(yùn)用分類思想是解題的關(guān)鍵.20.(2021·上海浦東新·八年級(jí)期末)已知:在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,點(diǎn)D為BC邊上一動(dòng)點(diǎn)(與點(diǎn)B不重合),連接AD,以AD始邊作∠DAE=α(0°<α<180°).(1)如圖1,當(dāng)α=90°,且AE=AD時(shí),試說明CE和BD的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系;(2)如圖2,當(dāng)α=45°,且點(diǎn)E在邊BC上時(shí),求證:BD2+CE2=DE2.【答案】(1)CE與BD位置關(guān)系是CE⊥BD,數(shù)量關(guān)系是CE=BD,理由見解析(2)見解析【分析】(1)根據(jù)∠BAD=∠CAE,BA=CA,AD=AE,運(yùn)用“SAS”證明△ABD≌△ACE,根據(jù)全等三角形性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)邊相等,對(duì)應(yīng)角相等,即可得到線段CE、BD之間的關(guān)系;(2)把△ACE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到△ABG.連接DG,由“SAS”得到△ADG≌△ADE,可得DE=DG,即可把EF,BE,F(xiàn)C放到一個(gè)直角三角形中,從而根據(jù)勾股定理即可證明;(1)CE與BD位置關(guān)系是CE⊥BD,數(shù)量關(guān)系是CE=BD.理由:∵∠BAC=∠DAE=90°,∴∠BAD=90°﹣∠DAC,∠CAE=90°﹣∠DAC,∴∠BAD=∠CAE,在△ABD和△ACE中,,∴△ABD≌△ACE(SAS),∴∠ACE=∠B=45°且CE=BD.∵∠ACB=∠B=45°,∴∠ECB=45°+45°=90°,即CE⊥BD;(2)如圖2,把△ACE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到△ABG.連接DG,則△ACE≌△ABG,∴AG=AE,BG=CE,∠ABG=∠ACE=45°,∴∠GBD=90°.∵∠BAC=90°,∠GAE=90°.∴∠GAD=∠DAE=45°,在△ADG和△ADE中,,∴△ADG≌△ADE(SAS).∴ED=GD,又∵∠GBD=90°,∴BD2+BG2=DG2,即BD2+EC2=DE2;【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì),旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),勾股定理的性質(zhì),添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是本題的關(guān)鍵.【能力提升】一、填空題1.(2022·上海復(fù)旦五浦匯實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級(jí)期末)如圖,在等腰直角中,,,將沿某直線翻折,使得點(diǎn)落在的中點(diǎn)上,如果折痕與的交點(diǎn)為,那么的長為______.【答案】【分析】作,由題意可得AD=3,根據(jù)翻折變換的性質(zhì)可得≌,由全等三角形的性質(zhì)可得DM=MB;然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得AG=DG,再根據(jù)勾股定理可得;設(shè)GM=x,則MB=DM=,可根據(jù)AB=AG+GM+MB求得GM,最后根據(jù)線段的和差即可解答.【詳解】解:如圖,折到的中點(diǎn)處,折痕為,作,∴AD=CD=3是翻折而成,≌,∴DM=MB∵等腰直角中,∴AG=DG∵作∴,即,解得:設(shè)GM=x,則MB=DM=∵AB=AG+GM+MB∴,解得:x=2,.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查的是圖形翻折變換的性質(zhì)、勾股定理、線段的和差等知識(shí)點(diǎn),掌握折疊和全等三角形的關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵.2.(2022·上?!y(cè)試·編輯教研五八年級(jí)期末)如圖,在中,,,,是的中線,將沿直線翻折,點(diǎn)是點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn),點(diǎn)是線段上的點(diǎn),如果,那么______.【答案】##1.8##【分析】先證明,,結(jié)合得到,利用等面積法求出,再利用勾股定理求出即可.【詳解】解:如圖,∵是由翻折,∴,,,∴.∵,∴.∵,,∴.∵,∴,.∵,∴,∴.∴.∵,∴.在中,,,∴.∵,∴,解得:.在中,.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查翻折變換,三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用,三角形外角性質(zhì),直角三角形斜邊中線的性質(zhì),勾股定理等知識(shí),解題的關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題,屬于中考常考題型.3.(2022·上?!ぐ四昙?jí)專題練習(xí))如圖,在等邊中,,,,點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿方向運(yùn)動(dòng),連接,以為邊,在的右側(cè)按如圖所示的方式作等邊,當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí),點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑長是__.【答案】8【分析】連接,作于,如圖,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得,過點(diǎn)作,則,則點(diǎn)與點(diǎn)重合,所以,,接著證明得到,于是可判斷點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑為一條線段,此線段到的距離為2,當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)時(shí),作等邊三角形,則,當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)時(shí),作等邊三角形,作于,則△,所以,所以,于是得到當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí),點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑長為8.【詳解】解:連接,作于,如圖所示:為等邊三角形,,過點(diǎn)作,則,點(diǎn)與點(diǎn)重合,,,為等邊三角形,,,,,,在和中,,,,點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí),點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑為一條線段,此線段到的距離為2,當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)時(shí),作等邊三角形,,則,當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)時(shí),作等邊三角形,作于,則△,,,當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí),點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑長為8.故答案是:8.【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì),也考查了等邊三角形的性質(zhì).在解決問題時(shí),關(guān)鍵要掌握點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡,利用代數(shù)或幾何方法確定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的規(guī)律.4.(2022·上?!ぐ四昙?jí)期末)已知,在△ABC中,BC=3,∠A=22.5°,將△ABC翻折使得點(diǎn)B與點(diǎn)A重合,折痕與邊AC交于點(diǎn)P,如果AP=4,那么AC的長為_______【答案】【分析】過B作BF⊥CA于F,構(gòu)造直角三角形,分兩種情況討論,利用勾股定理以及等腰直角三角形的性質(zhì),即可得到AC的長.【詳解】分兩種情況:①當(dāng)∠C為銳角時(shí),如圖所示,過B作BF⊥AC于F,由折疊可得,折痕PE垂直平分AB,∴AP=BP=4,∴∠BPC=2∠A=45°,∴△BFP是等腰直角三角形,∴BF=DF=,又∵BC=3,∴Rt△BFC中,CF=,∴AC=AP+PF+CF=5+;②當(dāng)∠ACB為鈍角時(shí),如圖所示,過B作BF⊥AC于F,同理可得,△BFP是等腰直角三角形,∴BF=FP=,又∵BC=3,∴Rt△BCF中,CF=,∴AC=AF-CF=3+.故答案為:5+或3+.【點(diǎn)睛】本題主要考查了折疊問題以及勾股定理的運(yùn)用,解決問題的關(guān)鍵是分兩種情況畫出圖形進(jìn)行求解.解題時(shí)注意:折疊是一種對(duì)稱變換,它屬于軸對(duì)稱,折疊前后圖形的形狀和大小不變,位置變化,對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等.二、解答題5.(2022·上海·測(cè)試·編輯教研五八年級(jí)期末)梯形中,,,,,點(diǎn)是中點(diǎn),過點(diǎn)作的垂線交射線于點(diǎn),的角平分線交射線于點(diǎn),交直線于點(diǎn).(1)當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí),求的長;(2)若點(diǎn)在線段上,,,求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式,并寫出函數(shù)定義域;(3)聯(lián)結(jié)、,當(dāng)是以為腰的等腰三角形時(shí),求的長.【答案】(1)(2)(3)的長為或或.【分析】(1)連接,過作于,根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得,在中,由勾股定理可得,然后證明四邊形ABHD是矩形,求出DH=AB=4,CH=2,在中,由勾股定理可得CD的長;(2)連接,過點(diǎn)作于,求出,,在中,由勾股定理可得,整理后可得答案;分情況討論:當(dāng)在線段上時(shí),當(dāng)時(shí),可證≌,過作于,在中,求出,即可求得;當(dāng)時(shí),設(shè),可證≌(ASA),求出,然后在中,利用勾股定理可求;當(dāng)點(diǎn)在射線上時(shí),如圖4,此時(shí),同理可得≌,過作交BC的延長線于,在中,求出CH即可解決問題.(1)解:如圖,連接,過作于,,平分,,,,,∴在中,,∵,,∴∠A=180°-90°=90°,又∵∠DHB=90°,∴四邊形ABHD是矩形,∴DH=AB=4,AD=BH=3,∴CH=5-3=2,∴在中,;(2)如圖,連接,過點(diǎn)作于,是的垂直平分線,,,,,,,,,在中,由得:,整理得:,∵點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí),AD=3,∴,∴;(3)如圖,當(dāng)在線段上時(shí),當(dāng)時(shí),是的垂直平分線,,,∴∠PED=∠PDE,∠PDC=∠PCD,∵∠PED+∠PDE+∠PDC+∠PCD=180°,,平分,,又∵CE=CE,≌(AAS),,,,過作于,在中,,;當(dāng)時(shí),,設(shè),則,,,,,,,又∵,≌(ASA),,,,,∴在中,,(負(fù)值已舍去);當(dāng)點(diǎn)在射線上時(shí),如圖4,此時(shí),,同理可得:≌(AAS),,過作交BC的延長線于,在中,,,;綜上所述:的長為或或.【點(diǎn)睛】本題是四邊形的綜合題,考查了線段垂直平分線的性質(zhì),勾股定理,矩形的判定和性質(zhì),等腰三角形的判定和性質(zhì),解一元二次方程,全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí),綜合性較強(qiáng),熟練掌握分類討論思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.6.(2022·上?!ぐ四昙?jí)期末)如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=,BC=,點(diǎn)D是邊AB的中點(diǎn),點(diǎn)E是邊AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),作線段DE的垂直平分線分別交邊AC、BC于點(diǎn)M、N,設(shè)AM=x,ME=y.(1)當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí),求ME的長;(2)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式,并寫出函數(shù)的定義域;(3)當(dāng)MN經(jīng)過△ABC一邊中點(diǎn)時(shí),請(qǐng)直接寫出ME的長.【答案】(1)(2)(3)或【分析】(1)連接MD,結(jié)合題意,根據(jù)含角直角三角形、直角三角形斜邊中線、垂直平分線的性質(zhì)分析,結(jié)合勾股定理性質(zhì)計(jì)算,即可得到答案;(2)連接MD,過點(diǎn)M作AB的垂線,垂足為F,根據(jù)垂直平分線、勾股定理的性質(zhì),得,結(jié)合(1)的結(jié)論,通過列一元二次方程并求解,得函數(shù)的定義域,即可得到答案;(3)分MN經(jīng)過AC中點(diǎn)、MN經(jīng)過AB中點(diǎn)、MN經(jīng)過BC中點(diǎn)三種情況,結(jié)合(2)的結(jié)論,根據(jù)垂直平分線、勾股定理、二次根式、三角形中位線的性質(zhì)計(jì)算,即可得到答案.(1)連接MD,∵AB=,BC=,∴BC=AB,∵∠C=90,∴∠A=30∵點(diǎn)D是AB的中點(diǎn),∴CD=AD,∴∠ACD=30,∠ADC=120,∵M(jìn)N垂直平分CD,∴CM=DM,∴∠MDC=30,∴∴設(shè),則∴∴∴或(舍去)∴;(2)連接MD,過點(diǎn)M作AB的垂線,垂足為F,∵M(jìn)N垂直平分ED,∴ME=MD=y,∵∠A=30∴MF=,∴∴FD,在Rt△MDF中,∴∴根據(jù)(1)的結(jié)論,當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí),∴∴或∵∴不符合題意∴∴∴y關(guān)于x的函數(shù)解析式是;(3)分MN經(jīng)過AC中點(diǎn)、MN經(jīng)過AB中點(diǎn)、MN經(jīng)過BC中點(diǎn)三種情況分析,當(dāng)MN經(jīng)過AC中點(diǎn)時(shí),即∴,即當(dāng)MN經(jīng)過AB中點(diǎn)時(shí),和MN分別交邊AC、BC于點(diǎn)M、N的結(jié)論矛盾∴MN經(jīng)過AB中點(diǎn)不成立當(dāng)MN經(jīng)過BC中點(diǎn)時(shí),如圖,分別連接EN、DN∴∵∴,∵M(jìn)N線段DE的垂直平分線∴∵AM=x,ME=y∴∵∠C=90°∴∴∴∴∴∴,即∴或.【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、垂直平分線、三角形中位線、含角直角三角形、直角三角形斜邊中線、二次根式、一元二次方程的知識(shí);解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理、含角直角三角形、一元二次方程的性質(zhì),從而完成求解.7.(2022·上?!ぐ四昙?jí)期末)已知:在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,BC=6,左右作平行移動(dòng)的等邊三角形DEF的兩個(gè)頂點(diǎn)E、F始終在邊BC上,DE、DF分別與AB相交于點(diǎn)G、H.(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時(shí),點(diǎn)D恰好在斜邊AB上,求△DEF的周長;(2)如圖2,在△DEF作平行移動(dòng)的過程中,圖中是否存在與線段CF始終相等的線段?如果存在,請(qǐng)指出這條線段,并加以證明;如果不存在,請(qǐng)說明理由;(3)假設(shè)C點(diǎn)與F點(diǎn)的距離為x,△DEF與△ABC的重疊部分的面積為y,求y與x的函數(shù)關(guān)系式,并寫出定義域.【答案】(1)9;(2)存在,CF=DG,證明見解析;(3).【分析】(1)利用勾股定理求出,再證明,即可求出△DEF的周長;(2)由(1)可知:EF=DF=DE=3,進(jìn)一步得到,再證明EG=BE,利用EG+DG=CF+BE=3,即可證明CF=DG;(3)求出,,利用,即可求出.(1)解:∵在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,BC=6,∴,∠A=60,∵△DEF是等邊三角形,∴∠DCE=60,∴∠ACD=30,∴∠ADC=90,∴,∴△DEF的周長為9;(2)解:結(jié)論:CF=DG.理由:∵BC=6,由(1)可知:EF=DF=DE=3,∴,∵△DEF是等邊三角形,∴∠DEF=60,∵∠DEF=∠B+∠EGB,∴∠B=∠EGB=∠DGE=30,∴EG=BE,∵EG+DG=CF+BE=3,∴CF=DG;(3)解:∵,,∴,即.【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理,等邊三角形的性質(zhì),30°所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半,動(dòng)點(diǎn)問題,解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理,等邊三角形性質(zhì).8.(2022·上海·八年級(jí)單元測(cè)試)如圖,已知在Rt△ABC中,∠C=90°,∠CAB=60°,AB=10,點(diǎn)F是AB中點(diǎn),點(diǎn)D是射線CB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),△ADE是等邊三角形,聯(lián)結(jié)EF.(1)當(dāng)點(diǎn)D在線段CB上時(shí),①求證:△AEF≌△ADC;②聯(lián)結(jié)BE,設(shè)C、D間距離為x,,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式及定義域;(2)當(dāng)∠DAB=15°時(shí),求△ADE的面積(直接寫出答案).【答案】(1)①見解析;②(2)或【分析】(1)①證明:直角△ABC中,利用特殊角和斜邊的中線是斜邊的一半,可得AF=BF=AC,再結(jié)合等邊△ADE,有AE=AD,利用SAS即可得△ADC≌△EAF(SAS);②根據(jù)△ADC≌△EAF,有∠EFA=∠C=90,結(jié)合F是AB中點(diǎn),即有EF是AB的中垂線,進(jìn)而有AE=EB,AD=AE=EB,在Rt△ACD中,有,即,則有;(2)分兩種情況討論,即當(dāng)點(diǎn)在線段BC上和點(diǎn)在CB的延長線上兩種情況,分別求出AD,即可得等邊△ADE的面積.(1)解:證明①:在Rt△ABC中,∠C=90°,∠CAB=60°,AB=10,∴∠ABC=30,∴AC=AB=5,∵F是AB的中點(diǎn),∴AF=BF=AB,∴AF=BF=AC,∵等邊△ADE,∴AE=AD,∠EAD=60,∴∠EAD=∠CAB=60,∴∠EAD-∠BAD=∠CAB-∠BAD,即∠DAC=∠EAF,在△ADC與△EAF中,,∴△ADC≌△EAF(SAS);②∵△ADC≌△EAF,∴∠EFA=∠C=90,又F是AB中點(diǎn),∴EF是AB的中垂線,∴AE=EB,∴AD=AE=EB,在Rt△ACD中,∠C=90,∴,∴,∴;(2)解:或,分情況討論:第一種情況:當(dāng)點(diǎn)在線段BC上時(shí),由∠DAB=15°,可得∠CAD=45°,△ADC是等腰直角三角形,則=50,則AD=,如圖,過A點(diǎn)作AG⊥DE于G點(diǎn),在等邊△ADE中,由AG⊥DE可得DG=DE=DE=AD=,則利用勾股定理可得:,則等邊△ADE的面積為:,第二種情況:當(dāng)點(diǎn)在線段CB的延長線上時(shí),由∠DAB=15°,可得∠ADB=15°,∴BD=
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