第十八章 正比例函數和反比例函數（15類題型突破）

第十八章正比例函數和反比例函數（15類題型突破）題型一常量與變量1．（2022下·河南·八年級?？计谀┣虻捏w積是M，球的半徑為R，則，其中變量和常量分別是（）A．變量是M，R；常量是 B．變量是R，T；常量是C．變量是M，T；常量是3，4， D．變量是M，R；常量是M2．（2022下·河南開封·八年級統(tǒng)考期末）汽車在勻速行駛過程中，路程、速度、時間之間的關系為，下列說法正確的是（）A．、、都是變量 B．、是變量，是常量C．、是變量，是常量 D．、是變量、是常量鞏固訓練：1．（2022下·河南駐馬店·八年級統(tǒng)考期中）在圓的周長中，常量與變量分別是()A．是常量，、是變量 B．是常量，、、是變量C．、是常量，是變量 D．是常量，、是變量2．（2020下·河北·八年級統(tǒng)考期中）如果用總長為60m的籬笆圍成一個長方形場地，設長方形的面積為，一邊長為，那么在60，s，a中，變量有________________個．3．（2022下·山東青島·七年級校聯(lián)考期中）如圖，圓柱的高是，當圓柱的底面半徑由小到大變化時，圓柱的體積也隨之發(fā)生了變化.（1）在這個變化中，自變量是______，因變量是______；（2）寫出體積與半徑的關系式；（3）當底面半徑由變化到時，通過計算說明圓柱的體積增加了多少.題型二函數的概念與解析式1．（2023上·陜西西安·八年級統(tǒng)考期中）下列關系式中，y不是x的函數的是（）A． B． C． D．2．（2023上·廣東茂名·八年級統(tǒng)考期中）下表列出了一次實驗的統(tǒng)計數據，表示皮球從高處落下時，彈跳高度b與下落高度d的關系，下列關系式中能表示這種關系的是（）5080100150…25405075…A． B． C． D．鞏固訓練1．（2023下·廣東河源·七年級統(tǒng)考期中）對于球體的體積公式，下列說法中正確的是（）A．π是變量 B．是常量 C．V，π，R都是變量 D．V，R是變量2．（2023上·廣西梧州·八年級?？茧A段練習）一列火車以的速度勻速行駛，寫出它行駛的路程與時間之間的函數表達式為_______________．3．（2023上·廣西梧州·八年級?？茧A段練習）一個游泳池內有水，現(xiàn)打開排水管以每小時的排出量排水．(1)寫出游泳池排水內剩余水量排水時間之間的函數表達式；(2)寫出自變量的取值范圍；(3)開始排水后，游泳池內還有多少水？(4)當游泳池內還剩水時，已經排水多少時間？題型三求自變量的值與取值范圍1．（2023上·遼寧沈陽·八年級統(tǒng)考期中）小明在勞動技術課中要制作一個周長為的等腰三角形，則底邊長，腰長的函數表達式和自變量的取值范圍是（）A． B．C． D．2．（2023上·四川成都·八年級成都市樹德實驗中學?？计谥校┮故阶佑幸饬x，字母的取值范圍是（）A． B． C． D．鞏固訓練1．（2023上·安徽合肥·八年級期中）函數中的自變量的取值范圍是(

)A． B． C．且 D．且2．（2023上·上海浦東新·八年級統(tǒng)考期中）函數，則＝______．3．（2023上·安徽阜陽·八年級?？茧A段練習）已知一長方體無蓋的水池的體積為，其底部是邊長為正方形，經測得現(xiàn)有水的高度為，現(xiàn)打開進水閥，每小時可注入水．(1)寫出水池中水的體積與時間之間的函數關系式（不要求寫自變量的取值范圍）；(2)5小時后，水的體積是多少立方米？(3)多長時間后，水池可以注滿水？題型四從函數的圖象獲取信息1．（2023上·黑龍江綏化·六年級綏化市第八中學校?？计谥校堦坏诫x家800米的體育館練習羽毛球，走路用了10分鐘，然后用20分鐘時間練習羽毛球，練完球后跑步回家，用了5分鐘．下圖中，正確描述張昊離家時間和離家距離關系的是（）．A． B．C．2．（2023上·河北保定·八年級統(tǒng)考期中）一輛快車和一輛慢車按相同的路線從地行駛到地，所行駛的路程與時間的函數圖象如圖所示，下列說法不正確的是（）

A．快車追上慢車需小時 B．慢車的速度是千米時C．，兩地相距千米 D．快車比慢車早到小時鞏固訓練1．（2023上·安徽合肥·八年級合肥市五十中學西校?？计谥校┤鐖D，甲從地勻速騎共享單車到地，乙從地勻速騎電動車到地，兩人同時出發(fā)，到達目的地后，立即停止運動，甲、乙兩人離地的距離與他們行駛時間之間的函數關系如圖所示，則下列說法錯誤的是（）

A．兩地的距離為 B．甲的速度為C．乙的速度為 D．乙運動到達目的地2．（2023上·山東青島·八年級青島大學附屬中學校考期中）今年“五一”節(jié)，小明外出爬山，他從山腳爬到山頂的過程中，中途休息了一段時間，設他從山腳出發(fā)后所用時間為（分鐘），所走的路程為（米），與之間的函數關系如圖所示．下列說法錯誤的結論有______．①小明中途休息用了20分鐘②小明休息前爬山的平均速度為每分鐘70米③小明在上述過程中所走的路程為6600米④小明休息前爬山的平均速度大于休息后爬山的平均速度

3．（2023下·陜西咸陽·七年級?？茧A段練習）“龜兔賽跑”的故事同學們都非常熟悉，圖中的線段和折線表示“龜兔賽跑”時路程與時間的關系，請你根據圖中給出的信息，解決下列問題．(1)填空：折線表示賽跑過程中_的路程與時間的關系，賽跑的全程是_米．(2)兔子在起初每分鐘跑多少米？烏龜每分鐘爬多少米？(3)烏龜用了多少分鐘追上了正在睡覺的兔子？(4)兔子醒來，以48千米/時的速度跑向終點，結果還是比烏龜晚到了分鐘，請你算算兔子中間停下睡覺用了多少分鐘？題型五動點問題的函數圖象1．（2023上·廣西崇左·八年級校聯(lián)考階段練習）如圖，正方形的邊長為4，P為正方形邊上一動點，運動路線是，設P點經過的路程為x，以點A、P、B為頂點的三角形的面積是y，則下列圖象能大致反映y與x的函數關系的是（）

A．

B．

C．

D．

2．（2023上·安徽淮南·九年級?？茧A段練習）如圖，點和點同時從正方形的頂點出發(fā)，點沿著運動，點沿著運動，速度都為2cm/s，終點都是點．若，則的面積與運動時間之間的函數關系的圖象大致是（）

A．

B．

C． D．

鞏固訓練1．（2022上·陜西榆林·八年級?？计谥校┤鐖D1，在矩形中，動點從點出發(fā)，沿方向運動至點處停止．設點運動的路程為，的面積為，如果關于的函數圖像如圖2所示，則矩形的面積是（）

A．35 B．24 C．60 D．842．（2021下·福建漳州·七年級福建省漳州第一中學?？计谥校┤鐖D，已知動點P從B點出發(fā)，以每秒2cm的速度在圖①的邊（相鄰兩邊互相垂直）上按B→C→D→E→F→A的路線移動，相應的的面積與點P的運動時間的圖象如圖②所示，且．當時，___________．

3．（2022·北京海淀·人大附中校考模擬預測）如圖，在中，，，點是線段上的動點，將線段繞點順時針度轉至，連接．已知，設為，為．小明根據學習函數的經驗，對函數隨自變量的變化而變化的規(guī)律進行了探究，下面是小明的探究過程，請補充完整．（說明：解答中所填數值均保留一位小數）

(1)請利用直尺和量角器，在草稿紙上根據題意畫出準確的圖形，并確定自變量的取值范圍是________；(2)通過取點、畫圖、測量，得到了與的幾組值，如下表：則表中的值為__________；(3)建立平面直角坐標系，通過描點、連線，畫出該函數的完整圖象．

(4)結合畫出的函數圖象，解決問題：①線段長度的最小值為__________；②當，，三點共線時，線段的長為__________．題型六函數的三種表示方法1．（2023下·山東菏澤·七年級統(tǒng)考期中）某科研小組在網上獲取了聲音在空氣中傳播的速度與空氣溫度之間的關系的一些數據（如下表）：溫度（℃）0102030聲速（m/s）318324330336342348下列說法中錯誤的是（）A．在這個變化過程中，自變量是溫度，因變量是聲速B．溫度越高，聲速越快C．當空氣溫度為時，5s內聲音可以傳播1740mD．溫度每升高，聲速增加6m/s2．（2022上·黑龍江大慶·七年級?？奸_學考試）對于關系式，下列說法：①x是自變量，y是因變量，5是常量；②x的數值可以任意選擇；③y是變量，它的值與x無關；④這個關系式表示的變量之間的關系不能用圖象表示；⑤y與x的關系還可以用表格和圖象表示，其中正確的是（）A．①②③ B．①②④ C．①③⑤ D．①②⑤鞏固訓練1．（2023上·浙江杭州·九年級杭州市公益中學?？茧A段練習）如圖，與的關系式為（）

A． B． C． D．2．（2023下·廣東河源·七年級統(tǒng)考期中）一個彈簧秤不掛重物時長，掛上重物后伸長的長度與所掛重物的質量成正比．如果掛上的物體后，彈簧伸長，則彈簧總長（單位：cm）與所掛重物質量（單位：kg）的函數解析式是______．3．（2023上·四川成都·八年級成都市樹德實驗中學?？计谥校┠吵鞘芯用裼盟畬嵭须A梯收費，每戶每月用水量如果未超過噸，按每噸元收費．如果超過噸，未超過的部分仍按每噸元收費，超過部分按每噸元收費．設某戶每月用水量為噸，應收水費為元．(1)分別寫出當每月用水是未超過噸和超過噸時，與之間的函數表達式；(2)若該城市某用戶月份和月份共用水噸，且月份的用水量不足噸，兩個月一共交水費元，求該用戶月份用水多少噸？題型七正比例函數的定義1．（2023上·陜西榆林·八年級?？计谥校┊斒钦壤瘮禃r，的值為（）A． B．0 C．1 D．32．（2023上·重慶·八年級重慶八中?？计谥校┤艉瘮凳钦壤瘮担瑒tm的值為（）A．1 B． C． D．0鞏固訓練1．（2022上·安徽蕪湖·八年級統(tǒng)考階段練習）若關于的函數是正比例函數，則，應滿足的條件是（）A．且 B．且 C．且 D．且2．（江西省南昌縣三江學校2023-2024學年八年級上學期期中聯(lián)考數學試題）若函數是關于的正比例函數，則的平方根為________．3．（2023上·廣西梧州·八年級?？茧A段練習）若與成正比例，且時，．(1)寫出與之間的函數表達式；(2)當時，求的值；(3)當時，求的值．題型八正比例函數的圖象與性質1．（2023上·陜西西安·八年級西安市鐵一中學?？计谥校┮阎壤瘮档膱D象如圖所示，則的值可能是()

A． B． C．0 D．12．（2022上·陜西西安·九年級?？计谥校┮阎c在正比例函數的圖象上，當時，則有，那么m的取值范圍是（）A． B． C． D．鞏固訓練1．（2022上·福建寧德·八年級統(tǒng)考期末）當時，正比例函數的圖象大致是（）A．

B．

C．

D．

2．（2022下·廣東廣州·八年級?？计谥校┱壤瘮到涍^______象限；隨的增大而______；若函數圖象經過點，則的值為______．3．（2022上·安徽安慶·八年級?？计谥校┮阎c成正比例，且當時，．(1)求y與x之間的函數解析式．(2)已知點在該函數的圖像上，且，求點的坐標．題型九根據反比例函數的定義求參數1．（2023上·江西宜春·九年級江西省宜豐中學?？茧A段練習）若函數是反比例函數，則m的值是（）A．2 B． C． D．2．（2023上·陜西西安·九年級?？茧A段練習）已知反比例函數，點，都在其圖象上，下列說法不正確的是（

）A．圖象分布在第二、四象限 B．當時，隨的增大而增大C．圖象經過點 D．若，則鞏固訓練1．（2023·江蘇淮安·?？级＃┓幢壤瘮档膱D象經過、兩點，則的值為（）A． B． C． D．2．（2023下·新疆喀什·九年級新疆維吾爾自治區(qū)喀什第二中學?？茧A段練習）若函數是關于的反比例函數，則__________．3．（2022上·江西宜春·九年級江西省宜豐中學?？计谥校┮阎瘮禐榉幢壤瘮担?1)求該反比例函數解析式；(2)當時，求x的取值范圍．（直接寫出結果）題型十已知雙曲線分布的象限求參數范圍1．（2023上·四川達州·九年級校聯(lián)考期中）已知反比例函數的圖像過第二、四象限，則的取值可能是（）A．2 B． C．1 D．02．（2023上·安徽馬鞍山·九年級馬鞍山八中?？计谥校┤舴幢壤瘮档膱D象在第二，四象限，則的取值范圍是（）A． B． C． D．鞏固訓練1．（2023上·安徽合肥·九年級合肥38中?？计谥校┤绻幢壤瘮担╩是常數）的圖象在第一、三象限，那么m的取值范圍是（）A． B． C． D．2．（2023下·重慶九龍坡·八年級重慶實驗外國語學校?？茧A段練習）已知函數，當自變量的取值為，函數值y的取值范圍為__________．3．（2023上·湖南常德·九年級校聯(lián)考期中）已知反比例函數的圖象位于第二、四象限．(1)求k的取值范圍；(2)若點是該反比例函數圖象上的兩點，試比較函數值的大?。}型十一待定系數法求反比例函數解析式1．（2023上·廣西貴港·九年級統(tǒng)考期中）若反比例函數的圖象經過點，則的值是（）A． B． C． D．2．（2022·黑龍江哈爾濱·?？寄M預測）已知反比例函數過點，則的值為（）．A．9 B． C．3 D．鞏固訓練1．（2023·江蘇南京·九年級南京市第十三中學?？甲灾髡猩┮阎?，軸，軸，中點為，反比例函數過點A、D，反比例函數過點，求（）

A．5 B．6 C．7 D．82．（2023下·浙江·八年級統(tǒng)考期末）已知點在反比例函數的圖象上，將點P先向右平移9個單位，再向下平移6個單位后得到的點仍在該函數圖象上，則k的值是______3．（2023上·北京石景山·九年級校考期中）已知反比例函數圖象經過．(1)求反比例函數解析式；(2)若點，是反比例函數圖象上兩點，試比較，大小．題型十二已知反比例函數的增減性求參數1．（2023上·江蘇南通·九年級統(tǒng)考期中）若反比例函數的圖象在每個象限內，y隨x的增大而增大，則k的取值范圍為（）A． B． C． D．2．（2023上·廣東廣州·九年級廣東廣雅中學?？茧A段練習）已知反比例函數的圖象上有兩點，當時，，則m的取值范圍是（）A． B． C． D．鞏固訓練1．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱德強學校校考模擬預測）反比例函數，當時，隨的增大而減小，那么的取值范圍是（）A． B． C． D．2．（2023·陜西咸陽·?？既＃┰谄矫嬷苯亲鴺讼抵?，點在反比例函數（k為常數，）的圖象上，且，則k的取值范圍是________________．3．（2023下·江蘇連云港·八年級統(tǒng)考期末）【提出定義】已知y是x的函數，當時，函數值；當時，函數值，若（i為正整數），則稱為該函數的i倍區(qū)間．如，函數中，當時，，當時，，，所以是函數的3倍區(qū)間．【理解內化】（1）若是函數的i倍區(qū)間，則_；（2）已知是函數（k≠0）的i倍區(qū)間（i為正整數），點、是函數（k≠0）圖象上的兩點．①試說明：；②當，時，求的面積；【拓展應用】（3）已知是函數的3倍區(qū)間，在此區(qū)間內，該函數的最大值與最小值的差為，求a、k的值．題型十三反比例函數的k值意義1．（2023上·山東泰安·九年級統(tǒng)考期中）如圖是反比例函數和在x軸上方的圖象，軸的平行線分別與這兩個函數圖象交于、兩點，點在軸上，則的面積為（）A．3 B．6 C． D．2．（2023上·河北石家莊·九年級石家莊二十三中?？茧A段練習）如圖，直線軸于點，且與反比例函數及的圖象分別交于點A，，連接，，已知的值為，則的面積為（）

A． B． C． D．鞏固訓練1．（2023上·吉林長春·九年級校考階段練習）如圖，四邊形是平行四邊形，在軸上，點在軸上，反比例函數的圖象經過第一象限點，且的面積為，則＝（）．

A．6 B．3 C．9 D．122．（2023上·廣東深圳·九年級?？计谥校┤鐖D，點A，B是函數圖象上兩點，過點A作軸，垂足為點C，交于點D．若的面積為3，點D為的中點，則k的值為______．3．（2022下·河北保定·九年級保定市第十七中學校考開學考試）如圖，在平面直角坐標系中，點的坐標為，軸于點，，反比例函數圖象的一支經過的中點，且與交于點．

(1)求點的坐標；(2)求反比例函數的解析式：(3)四邊形的面積為________．題型十四實際問題與反比例函數1．（2023上·北京房山·九年級統(tǒng)考期中）已知蓄電池兩端電壓為定值，電流與的函數關系為．當時，，則當時，的值為（）A． B． C． D．2．（2023上·陜西西安·九年級西安市鐵一中學校考階段練習）已知蓄電池的電壓為定值，使用蓄電池時，電流I（單位：A）與電阻R（單位：）是反比例函數關系，它的圖象如圖所示，下列說法正確的是（）．

A．函數解析式為 B．蓄電池的電壓是C．當時， D．當時，鞏固訓練1．（2023上·全國·九年級專題練習）某種蓄電池的電壓（單位：）為定值，使用蓄電池時，電流（單位：）與電阻（單位：）是反比例函數關系．當時，，則當時，的值是（）A．4 B．5 C．10 D．02．（2023上·湖北·九年級?？贾軠y）某氣球內充滿了一定量的氣體，當溫度不變時，氣球內氣體的壓強是氣體體積的反比例函數，其圖象如圖所示，當氣球內的壓強大于時，氣球將爆炸，為了安全起見，氣體的體積V的范圍是__________．

3．（2023下·四川巴中·八年級?？计谥校┬睦韺W家研究發(fā)現(xiàn)，一般情況下，一節(jié)課40分鐘中，學生的注意力隨教師講課的變化而變化．開始上課時，學生的注意力逐步增強，中間有一段時間學生的注意力保持較為理想的穩(wěn)定狀態(tài)，隨后學生的注意力開始分散．經過實驗分析可知，學生的注意力指標數y隨時間x（分鐘）的變化規(guī)律如下圖所示（其中分別為線段，為雙曲線的一部分）：

(1)分別求出學生注意力增強階段和分散階段的函數關系；(2)開始上課后第5分鐘時與第30分鐘時相比較，何時學生的注意力更集中？(3)一道數學競賽題，需要講19分鐘，為了效果較好，要求學生的注意力指標數最低達到36，那么經過適當安排，老師能否在學生注意力達到所需的狀態(tài)下講解完這道題目？若能，最好第幾分鐘開始講；若不能，說明理由．題型十五反比例函數與幾何綜合1．（2023上·山東東營·九年級統(tǒng)考階段練習）如圖，在反比例函數的圖象上，有點，，，，，，，它們的橫坐標依次為，，，，，，，分別過這些點作軸與軸的垂線，圖中所構成的陰影部分的面積從左到右依次為，，，，，，，則的結果為（）

A． B． C． D．2．（2023上·安徽合肥·九年級合肥38中?？计谥校┤鐖D所示，A、B是函數的圖象上關于原點O對稱的任意兩點，軸，軸，的面積為S，則（）

A． B． C． D．鞏固訓練1．（2022下·湖南株洲·九年級株洲二中?？甲灾髡猩┤鐖D所示，是反比例函數與在x軸上方的圖像，點C是y軸正半軸上的一點，過點C作軸分別交這兩個圖像于A點和B點，若點P在x軸上運動，則的面積等于（）

A． B．2 C．3 D．12．（2023上·廣西來賓·九年級?？茧A段練習）如圖，在平面直角坐標系中，矩形的對角線、相交于點D，且，，反比例函數的圖象經過點E，若，，則k的值是______．

3．（2023上·廣東廣州·九年級廣東實驗中學?？茧A段練習）如圖1，直線與軸交于點B，與軸交于點C，交雙曲線y=（）于點N，．

(1)求雙曲線的解析式．(2)已知點H是雙曲線上一動點，若，求點H的坐標．(3)如圖2，平移直線交雙曲線于點P，交直線于點Q，連接，并延長交于第一象限內一點G，若，求平移后的直線的解析式．

第十八章正比例函數和反比例函數（15類題型突破）答案全解全析題型一常量與變量1．（2022下·河南·八年級?？计谀┣虻捏w積是M，球的半徑為R，則，其中變量和常量分別是（）A．變量是M，R；常量是 B．變量是R，T；常量是C．變量是M，T；常量是3，4， D．變量是M，R；常量是M【答案】A【分析】根據常量和變量的概念判斷即可【詳解】解：根據常量和變量的概念易知：是常量，球的半徑R和球的體積M是可以變化的數值，是變量故選：A【點睛】本題考查了常量和變量，掌握概念是解題關鍵．在一個變化過程中，數值發(fā)生變化的量為變量，數值始終不變的量為常量．2．（2022下·河南開封·八年級統(tǒng)考期末）汽車在勻速行駛過程中，路程、速度、時間之間的關系為，下列說法正確的是（）A．、、都是變量 B．、是變量，是常量C．、是變量，是常量 D．、是變量、是常量【答案】B【分析】利用變量和常量的定義：在一個變化的過程中，數值發(fā)生變化的量稱為變量；數值始終不變的量稱為常量進行分析.【詳解】解：汽車在勻速行駛過程中，速度不變，是常量，t、s是變量；故選B.【點睛】本題主要考查了常量和變量，關鍵是掌握變量和常量的定義.鞏固訓練：1．（2022下·河南駐馬店·八年級統(tǒng)考期中）在圓的周長中，常量與變量分別是(

)A．是常量，、是變量 B．是常量，、、是變量C．、是常量，是變量 D．是常量，、是變量【答案】A【分析】根據常量與變量的定義判斷即可.【詳解】解：中是始終不變的，是常量；、是會發(fā)生變化的，是變量.故選A【點睛】本題考查了常量和變量，在某一變化過程中，常量是不會發(fā)生變化的量，一般是函數關系式中的數字；變量是會發(fā)生變化的量，一般為函數關系式中的字母，正確理解常量與變量的含義是解題的關鍵.2．（2020下·河北·八年級統(tǒng)考期中）如果用總長為60m的籬笆圍成一個長方形場地，設長方形的面積為，一邊長為，那么在60，s，a中，變量有________________個．【答案】2【分析】根據籬笆的總長確定，即可得到周長、一邊長及面積中的變量．【詳解】∵籬笆的總長為60米，S=(30-a)a=30a-a2∴面積S隨一邊長a變化而變化S與a是變量，故答案為：2．【點睛】本題考查了常量與變量的知識，解題的關鍵是能夠根據籬笆總長不變確定定值，然后確定變量3．（2022下·山東青島·七年級校聯(lián)考期中）如圖，圓柱的高是，當圓柱的底面半徑由小到大變化時，圓柱的體積也隨之發(fā)生了變化.（1）在這個變化中，自變量是______，因變量是______；（2）寫出體積與半徑的關系式；（3）當底面半徑由變化到時，通過計算說明圓柱的體積增加了多少.【答案】（1）半徑；體積；（2）；（3）.【分析】（1）根據常量和變量的定義來判斷自變量、因變量和常量；（2）圓柱體的體積等于底面積乘以高，底面積等于π乘以半徑的平方，將它用含有V和r的關系式表達出來即可；（3）利用圓柱的體積計算方法計算增加的體積即可．【詳解】(1)根據函數的定義可知，對于底面半徑的每個值，體積按照一定的法則有一個確定的值與之對應，所以自變量是：半徑，因變量是：體積.（2）根據圓柱體的體積計算公式：.(3)體積增加了(π×102?π×12)×3=297πcm3.【點睛】本題考查變量之間的關系，（1）考查自變量與因變量，理解自變量與因變量的定義是解題關鍵；（2）考查用關系式法表示變量之間的關系，在本題中掌握圓柱體體積的計算方法尤為重要；（3）分別代入求值做差即可.題型二函數的概念與解析式1．（2023上·陜西西安·八年級統(tǒng)考期中）下列關系式中，y不是x的函數的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】存在兩個變量，，對于自變量在某一范圍內的任意一個值，因變量都有唯一確定的值與其對應，那么就稱是的函數，據此進行判斷即可．【詳解】解：，它符合函數的定義，是的函數，則A不符合題意；，它符合函數的定義，是的函數，則B不符合題意；符合函數的定義，是的函數，則C不符合題意；中當時，有兩個值和它對應，不符合函數的定義，不是的函數，則D符合題意；故選：D．【點睛】本題考查函數的定義，熟練掌握并理解函數的定義是解題的關鍵．2．（2023上·廣東茂名·八年級統(tǒng)考期中）下表列出了一次實驗的統(tǒng)計數據，表示皮球從高處落下時，彈跳高度b與下落高度d的關系，下列關系式中能表示這種關系的是（）5080100150…25405075…A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查根據實際問題列一次函數的關系式，關鍵是讀懂題意，掌握函數關系的三種表示方法，并能準確找到圖表中上下數據的對應關系．【詳解】解：由表中上下對應的統(tǒng)計數據可知：b是d的倍，即：，故選：C．鞏固訓練1．（2023下·廣東河源·七年級統(tǒng)考期中）對于球體的體積公式，下列說法中正確的是（）A．π是變量 B．是常量 C．V，π，R都是變量 D．V，R是變量【答案】D【分析】此題主要考查了常量和變量，熟練掌握“在一個變化的過程中，數值發(fā)生變化的量稱為變量；數值始終不變的量稱為常量”是解題的關鍵．【詳解】解：在球體的體積公式中，V是因變量，R是自變量，，π是常量．故選：D．2．（2023上·廣西梧州·八年級?？茧A段練習）一列火車以的速度勻速行駛，寫出它行駛的路程與時間之間的函數表達式為_______________．【答案】【分析】根據“路程＝速度×時間”列函數表達式即可；【詳解】解：一列火車以的速度勻速行駛，寫出它行駛的路程與時間之間的函數表達式為．故答案為：．【點睛】本題考查根據題意列函數表達式，找出題目中的等量關系是解題的關鍵．3．（2023上·廣西梧州·八年級?？茧A段練習）一個游泳池內有水，現(xiàn)打開排水管以每小時的排出量排水．(1)寫出游泳池排水內剩余水量排水時間之間的函數表達式；(2)寫出自變量的取值范圍；(3)開始排水后，游泳池內還有多少水？(4)當游泳池內還剩水時，已經排水多少時間？【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）根據余水量就是總量減去排出的水量即可列出函數解析式；（2）根據水池中的水量不少于，即可列出不等式求解；（3）把代入解析式求出即可；（4）把代入解析式求出即可．【詳解】（1）解：依題意，得：，∴游泳池排水內剩余水量排水時間之間的函數表達式為；（2）根據題意，得：，解得：，∴自變量的取值范圍為；（3）當時，∵，∴∴開始后，游泳池內還有的水；（4）當時，∵，∴，解得：，∴當游泳池內還剩水時，已經排水．【點睛】本題考查列函數關系式，一元一次方程和一元一次不等式組的應用，根據題意列出函數解析式是解題的關鍵．題型三求自變量的值與取值范圍1．（2023上·遼寧沈陽·八年級統(tǒng)考期中）小明在勞動技術課中要制作一個周長為的等腰三角形，則底邊長，腰長的函數表達式和自變量的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】此題重點考查一次函數的應用、不等式的應用等知識，正確地用代數式表示三角形的周長，根據三角形三邊之間的關系“兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊”是解題的關鍵．由周長為的等腰三角形，則底邊長，腰長得，則，由三角形的三邊關系得，則，于是得到問題的答案．【詳解】解：∵周長為的等腰三角形，則底邊長，腰長，∴，整理得，根據三角形的三邊關系得，解得，故選：D．2．（2023上·四川成都·八年級成都市樹德實驗中學?？计谥校┮故阶佑幸饬x，字母的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據二次根式有意義的條件可得，再解不等式即可．【詳解】解：由題意得：，解得：，故選：A．【點睛】此題主要考查了二次根式有意義的條件，函數自變量取值范圍，關鍵是掌握二次根式中的被開方數是非負數．鞏固訓練1．（2023上·安徽合肥·八年級期中）函數中的自變量的取值范圍是(

)A． B． C．且 D．且【答案】D【分析】本題考查了求函數的自變量的取值范圍，根據分式的分母不等于0和二次根式的被開方數為非負數，列出不等式組，解不等式，即可求解．【詳解】解：∵∴且故選：D．2．（2023上·上海浦東新·八年級統(tǒng)考期中）函數，則＝______．【答案】7【分析】直接將代入計算即可．【詳解】解：∵，∴，故答案為：7．【點睛】本題考查求函數值，解題的關鍵就是將自變量所賦的值代入函數解析式中進行計算．3．（2023上·安徽阜陽·八年級?？茧A段練習）已知一長方體無蓋的水池的體積為，其底部是邊長為正方形，經測得現(xiàn)有水的高度為，現(xiàn)打開進水閥，每小時可注入水．(1)寫出水池中水的體積與時間之間的函數關系式（不要求寫自變量的取值范圍）；(2)5小時后，水的體積是多少立方米？(3)多長時間后，水池可以注滿水？【答案】(1)(2)立方米(3)小時【分析】（1）先求得現(xiàn)有水的體積，根據題意，列出函數關系式，即可求解；（2）將5，代入（1）的解析式，即可求解；（3）令，代入（1）的解析式，即可求解．【詳解】（1）解：由已知條件知，現(xiàn)有水的體積為，因為每小時可注入水，則小時后可注水，故水池中水的體積與時間（）之間的函數關系式為：；（2）根據（1）中的表達式，當時，，故5小時后，池中水的立方米（3）根據（1）中的表達式，令，即，解得：.故經過小時，水池可以注滿水【點睛】本題考查了函數解析式，求得函數值或自變量的值，根據題意列出函數關系式是解題的關鍵．題型四從函數的圖象獲取信息1．（2023上·黑龍江綏化·六年級綏化市第八中學校?？计谥校堦坏诫x家800米的體育館練習羽毛球，走路用了10分鐘，然后用20分鐘時間練習羽毛球，練完球后跑步回家，用了5分鐘．下圖中，正確描述張昊離家時間和離家距離關系的是（）．A． B．C．【答案】C【分析】本題考查的是從函數圖象中獲取信息，理解點是坐標含義是解本題的關鍵；本題0-10分鐘表示張昊從家里走到體育館的時間，10-30分鐘表示張昊在體育館練習羽毛球的時間，這個時間段路程不變，30-35分鐘表示張昊從體育館跑回家里的時間，據此即可得出答案.【詳解】解：選項A的圖表示，張昊從家到離家800米的體育館用了10分鐘，練習打羽毛球用10分鐘，回家用了10分鐘；與題意不符；選項的圖B表示，張昊從家到離家800米的體育館用了10分鐘，沒有練習打羽毛球，回家用了5分鐘；與題意不符；選項的圖C表示，張昊從家到離家800米的體育館用了10分鐘，練習打羽毛球用20分鐘，回家用了5分鐘；與題意相符；故選：C2．（2023上·河北保定·八年級統(tǒng)考期中）一輛快車和一輛慢車按相同的路線從地行駛到地，所行駛的路程與時間的函數圖象如圖所示，下列說法不正確的是（）

A．快車追上慢車需小時 B．慢車的速度是千米時C．，兩地相距千米 D．快車比慢車早到小時【答案】A【分析】本題考查了看圖收集信息的能力，根據圖形給出的信息求出兩車的出發(fā)時間，速度等即可解答．【詳解】解：A．快車追上慢車需小時，故錯誤．B．慢車的速度是千米時，故正確．C．，兩地相距千米，故正確．D．∵（小時），（小時），∴快車比慢車早到小時，故正確．故選：B．鞏固訓練1．（2023上·安徽合肥·八年級合肥市五十中學西校校考期中）如圖，甲從地勻速騎共享單車到地，乙從地勻速騎電動車到地，兩人同時出發(fā)，到達目的地后，立即停止運動，甲、乙兩人離地的距離與他們行駛時間之間的函數關系如圖所示，則下列說法錯誤的是（）

A．兩地的距離為 B．甲的速度為C．乙的速度為 D．乙運動到達目的地【答案】D【分析】本題考查了根據函數圖象獲取信息；直接觀察函數圖象可判斷A；根據圖象中的數據可計算出甲的速度，可判斷B；再計算出乙的速度，即可判斷C；根據圖象甲乙兩人相遇，從而可以計算出乙到達目的地的時間．【詳解】解：觀察圖象可知，、兩村的距離為，故選項A說法正確，不符合題意；甲的速度：，故選項B說法正確，不符合題意；設后，甲、乙相遇，由圖象可得：，解得，則乙的速度：，故選項C說法正確，不符合題意；乙到達目的地的時間為：，故選項D錯誤，符合題意．故選：D．2．（2023上·山東青島·八年級青島大學附屬中學?？计谥校┙衲辍拔逡弧惫?jié)，小明外出爬山，他從山腳爬到山頂的過程中，中途休息了一段時間，設他從山腳出發(fā)后所用時間為（分鐘），所走的路程為（米），與之間的函數關系如圖所示．下列說法錯誤的結論有______．①小明中途休息用了20分鐘②小明休息前爬山的平均速度為每分鐘70米③小明在上述過程中所走的路程為6600米④小明休息前爬山的平均速度大于休息后爬山的平均速度

【答案】③【分析】本題考查了函數圖象，解決本題的關鍵是讀懂函數圖象，獲取信息，進行解決問題．根據函數圖象可知，小明40分鐘爬山2800米，分鐘休息，分鐘爬山米，爬山的總路程為3800米，根據路程、速度、時間的關系進行解答即可．【詳解】解：①、根據圖象可知，在分鐘，路程沒有發(fā)生變化，所以小明中途休息的時間為：分鐘，故正確；②、根據圖象可知，當時，，所以小明休息前爬山的平均速度為：（米分鐘），故正確；③、根據圖象可知，小明在上述過程中所走的路程為3800米，故原說法錯誤；④、小明休息后的爬山的平均速度為：（米分），小明休息前爬山的平均速度為：（米分鐘），，所以小明休息前爬山的平均速度大于休息后爬山的平均速度，故正確；綜上所述，錯誤的有③．故答案為：③3．（2023下·陜西咸陽·七年級?？茧A段練習）“龜兔賽跑”的故事同學們都非常熟悉，圖中的線段和折線表示“龜兔賽跑”時路程與時間的關系，請你根據圖中給出的信息，解決下列問題．(1)填空：折線表示賽跑過程中_的路程與時間的關系，賽跑的全程是_米．(2)兔子在起初每分鐘跑多少米？烏龜每分鐘爬多少米？(3)烏龜用了多少分鐘追上了正在睡覺的兔子？(4)兔子醒來，以48千米/時的速度跑向終點，結果還是比烏龜晚到了分鐘，請你算算兔子中間停下睡覺用了多少分鐘？【答案】(1)兔子，1500；(2)兔子在起初每分鐘跑700米，烏龜每分鐘爬50米；(3)烏龜用了分鐘追上了正在睡覺的兔子．(4)兔子中間停下睡覺用了分鐘．【分析】（1）利用烏龜始終運動，中間沒有停留，而兔子中間有休息的時刻，即可得出折線的意義和全程的距離；（2）根據圖象中點、實際意義可得速度；（3）根據烏龜的速度及兔子睡覺時的路程即可得；（4）利用兔子的速度，求出兔子走完全程的時間，再求解即可．【詳解】（1）解：∵烏龜是一直跑的而兔子中間有休息的時刻，∴折線表示賽跑過程中兔子的路程與時間的關系；由圖象可知：賽跑的全過程為米；故答案為：兔子，；（2）解：結合圖象得出：兔子在起初每分鐘跑（米），烏龜每分鐘爬（米）．（3）解：（分鐘）答：烏龜用了分鐘追上了正在睡覺的兔子．（4）解：千米時米分，∵兔子睡覺前跑了米，所用的時間是分鐘，∴兔子睡覺后剩余米，所用的時間為：（分鐘）∴兔子睡覺用了：（分鐘）答：兔子中間停下睡覺用了分鐘．【點睛】本題主要考查函數的應用，結合題意弄清函數圖象中每個點的實際意義是解題的關鍵．題型五動點問題的函數圖象1．（2023上·廣西崇左·八年級校聯(lián)考階段練習）如圖，正方形的邊長為4，P為正方形邊上一動點，運動路線是，設P點經過的路程為x，以點A、P、B為頂點的三角形的面積是y，則下列圖象能大致反映y與x的函數關系的是（）

A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】當點在上時，的面積為0，利用排除法就可以求解了．【詳解】解：當點在路線運動時，、、三點在一條線段上，的面積為0，此時，只有選項C符合這個情況．故選：C．【點睛】本題考查的是函數的圖象與幾何變換，解題的關鍵要利用數形結合的思想通過特殊位置求解．2．（2023上·安徽淮南·九年級校考階段練習）如圖，點和點同時從正方形的頂點出發(fā)，點沿著運動，點沿著運動，速度都為2cm/s，終點都是點．若，則的面積與運動時間之間的函數關系的圖象大致是（）

A．

B．

C． D．

【答案】A【分析】當時，；當時，，結合圖形，即可求解．【詳解】解：當時，如圖，

∴，，∴，此時拋物線開口向上．當時，如圖，

∴，，∵，四邊形是正方形，∴，∴，，∴，∴，此時拋物線的開口向下．綜上，選項A符合題意，故選：A．【點睛】本題考查了動點問題的函數圖象：函數圖象是典型的數形結合，圖象應用信息廣泛，通過看圖獲取信息，不僅可以解決生活中的實際問題，還可以提高分析問題、解決問題的能力．解決本題的關鍵是利用分類討論的思想求出S與t的函數關系式．鞏固訓練1．（2022上·陜西榆林·八年級?？计谥校┤鐖D1，在矩形中，動點從點出發(fā)，沿方向運動至點處停止．設點運動的路程為，的面積為，如果關于的函數圖像如圖2所示，則矩形的面積是（）

A．35 B．24 C．60 D．84【答案】A【分析】由函數圖像可知，，即可獲得答案．【詳解】解：由題意可知，，，∴矩形的面積是．故選：A．【點睛】本題主要考查了函數的圖像的知識，解題的關鍵在于從函數圖像中獲取正確的信息．2．（2021下·福建漳州·七年級福建省漳州第一中學校考期中）如圖，已知動點P從B點出發(fā)，以每秒2cm的速度在圖①的邊（相鄰兩邊互相垂直）上按B→C→D→E→F→A的路線移動，相應的的面積與點P的運動時間的圖象如圖②所示，且．當時，___________．

【答案】或【分析】本題考查了動點問題的圖象，動點問題的應用，三角形的面積公式．本題從圖象上分析可知，由于速度是，圖中0～4的過程為P點在線段上，故，4～6為，6～9為，9～10為，10到b為，則，根據的面積為，底邊可知高為，也就是P點距離的距離是，從數據上可知，P在線段上有一個符合條件的點，在線段上有一個符合條件的點，求出對應的t值即可．【詳解】解：由圖可知，∵P點的運動速度為，∴，，，，∵，，∴點P到的距離為，故可知P在線段上和線段上各有一個P點滿足條件，如圖，

當P在線段上時：，∴，∴，當P在線段上時：，∴，，故答案為：或．3．（2022·北京海淀·人大附中?？寄M預測）如圖，在中，，，點是線段上的動點，將線段繞點順時針度轉至，連接．已知，設為，為．小明根據學習函數的經驗，對函數隨自變量的變化而變化的規(guī)律進行了探究，下面是小明的探究過程，請補充完整．（說明：解答中所填數值均保留一位小數）

(1)請利用直尺和量角器，在草稿紙上根據題意畫出準確的圖形，并確定自變量的取值范圍是________；(2)通過取點、畫圖、測量，得到了與的幾組值，如下表：則表中的值為__________；(3)建立平面直角坐標系，通過描點、連線，畫出該函數的完整圖象．

(4)結合畫出的函數圖象，解決問題：①線段長度的最小值為__________；②當，，三點共線時，線段的長為__________．【答案】(1)(2)(3)函數圖象見解析(4)；【分析】（1）利用直尺和量角器，根據，，畫出準確的圖形，從而得到的長度，即可得到自變量的取值范圍；（2）根據表格內的數據在時，的值逐漸減小，在時，的值逐漸增大，可得該函數是以為對稱軸的拋物線，則和為對稱點，故兩點的值相等，即可得到的值；（3）根據（2）中的數據描點，連線即可得到該函數的完整圖象；（4）①結合（2）（3）可知，該函數是一個二次函數圖象的一部分，其對稱軸為直線，結合表格中的數據可知，最小值為，即線段的最小值為．②當，，三點共線時，則在中，由于，可得到，即，由（3）中圖象可得的值，即的長．【詳解】（1）解：由題可得，利用直尺和量角器畫出準確的圖形如下：

則用直尺量得，∵點是線段上的動點，為，∴自變量的取值范圍為：，故答案為：．（2）解：由表格中的數據可得：在時，的值逐漸減?。辉跁r，的值逐漸增大，∴該函數是以為對稱軸的拋物線，∴和為對稱點，∴當和時，值相等，∴當時，，即．（3）解：由（2）表格中的數據可得到該函數的完整圖象如下：

（4）解：①結合（3）可知，該函數是一個二次函數圖象的一部分，其對稱軸為直線，結合（2）中表格的數據可知，最小值為，∴線段的最小值為．②如圖所示：

當，，三點共線時，∵，∴為等腰三角形，∵，∴，即，由（2）得，∴．【點睛】本題考查函數圖象的實際應用問題，能根據數據畫出函數圖象是解題的關鍵．題型六函數的三種表示方法1．（2023下·山東菏澤·七年級統(tǒng)考期中）某科研小組在網上獲取了聲音在空氣中傳播的速度與空氣溫度之間的關系的一些數據（如下表）：溫度（℃）0102030聲速（m/s）318324330336342348下列說法中錯誤的是（）A．在這個變化過程中，自變量是溫度，因變量是聲速B．溫度越高，聲速越快C．當空氣溫度為時，5s內聲音可以傳播1740mD．溫度每升高，聲速增加6m/s【答案】C【分析】根據自變量、因變量的定義，以及聲音在空氣中傳播的速度與空氣溫度關系逐項判定即可．【詳解】解：∵在這個變化中，自變量是溫度，因變量是聲速，∴選項A說法正確，不符合題意；∵根據數據表，可得溫度越低，聲速越慢，溫度越高，聲速越快，∴選項B說法正確，不符合題意；由列表可知，當空氣溫度為時，聲速為，聲音5s可以傳播，∴選項C說法不正確，符合題意；∵，，，，，∴當溫度每升高，聲速增加，∴選項D說法正確，不符合題意．故選：C．【點睛】本題主要考查了自變量、因變量、函數的表示等知識點．熟練掌握自變量、因變量的定義是解題的關鍵．在一個變化過程種，如果有兩個變量x和y，對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應，那么x是自變量，y是因變量．2．（2022上·黑龍江大慶·七年級校考開學考試）對于關系式，下列說法：①x是自變量，y是因變量，5是常量；②x的數值可以任意選擇；③y是變量，它的值與x無關；④這個關系式表示的變量之間的關系不能用圖象表示；⑤y與x的關系還可以用表格和圖象表示，其中正確的是（）A．①②③ B．①②④ C．①③⑤ D．①②⑤【答案】D【分析】根據變量之間的關系可知，x為自變量，y為因變量；x取全體實數；y隨x的變化而變化；可以用三種形式來表示函數：解析法、列表法和圖象法．【詳解】解：①x是自變量，y是因變量，5是常量，正確；②x的數值可以任意選擇，正確；③y是變量，隨x的變化而變化，原說法錯誤；④這個關系式表示的變量之間的關系不能用圖象表示，原說法錯誤；⑤y與x的關系還可以用列表法和圖象法表示，正確；綜上分析可知，正確的是①②⑤．故選：D．【點睛】本題考查了變量之間的關系，是基礎知識，比較簡單，解題的關鍵是熟練掌握變量之間的關系．鞏固訓練1．（2023上·浙江杭州·九年級杭州市公益中學?？茧A段練習）如圖，與的關系式為（）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據三角形的外角的性質即可求解．【詳解】解：∵是的外角，∴，即，故選：．【點睛】本題主要考查三角形的外角的計算，用字母表示數量關系，掌握三角形外角的定義和性質，列代數式的方法是解題的關鍵．2．（2023下·廣東河源·七年級統(tǒng)考期中）一個彈簧秤不掛重物時長，掛上重物后伸長的長度與所掛重物的質量成正比．如果掛上的物體后，彈簧伸長，則彈簧總長（單位：cm）與所掛重物質量（單位：kg）的函數解析式是______．【答案】【分析】此題考查函數解析式問題．根據題意可知，彈簧總長度與所掛物體質量之間符合一次函數關系，從而可求解．【詳解】解：由題意得，彈簧總長y（單位：）關于所掛重物x（單位：）的函數關系式為，故答案為：．3．（2023上·四川成都·八年級成都市樹德實驗中學?？计谥校┠吵鞘芯用裼盟畬嵭须A梯收費，每戶每月用水量如果未超過噸，按每噸元收費．如果超過噸，未超過的部分仍按每噸元收費，超過部分按每噸元收費．設某戶每月用水量為噸，應收水費為元．(1)分別寫出當每月用水是未超過噸和超過噸時，與之間的函數表達式；(2)若該城市某用戶月份和月份共用水噸，且月份的用水量不足噸，兩個月一共交水費元，求該用戶月份用水多少噸？【答案】(1)時，；時，(2)該用戶7月份用水噸【分析】（1）根據每戶每月用水量如果未超過噸，按每噸元收費．如果超過噸，未超過的部分仍按每噸元收費，超過部分按每噸元收費，可以得到與的函數關系式；（2）根據題意結合第一問中的函數關系式，列出方程，解方程，即可求解．【詳解】（1）解：當時，；當時，．即時，；時，．（2）解：設6月份的用水量為噸，7月份用水為噸，依題意可得：，解得：，，答：該用戶月份用水噸．【點睛】本題考查函數的表達式，解題的關鍵是明確題意，列出相應的函數關系式，找出所求問題需要的條件．題型七正比例函數的定義1．（2023上·陜西榆林·八年級?？计谥校┊斒钦壤瘮禃r，的值為（）A． B．0 C．1 D．3【答案】D【分析】本題考查正比例函數．一般地，形如(k是常數，)的函數叫做正比例函數，其中叫做比例系數，由此即可求解．【詳解】解：是正比例函數，且，，故選：D．2．（2023上·重慶·八年級重慶八中?？计谥校┤艉瘮凳钦壤瘮?，則m的值為（）A．1 B． C． D．0【答案】B【分析】根據正比例函數的定義進行求解即可．【詳解】解：∵函數是正比例函數，∴，∴，故選B．【點睛】本題主要考查了正比例函數的定義，一般地，形如的函數叫做正比例函數．鞏固訓練1．（2022上·安徽蕪湖·八年級統(tǒng)考階段練習）若關于的函數是正比例函數，則，應滿足的條件是（）A．且 B．且 C．且 D．且【答案】D【分析】正比例函數的解析式為，其中，據此求解．【詳解】解：是正比例函數，且，且．故選D．【點睛】本題考查根據正比例函數的定義求參數，解題的關鍵是掌握正比例函數中一次項系數不能為0，無常數項．2．（江西省南昌縣三江學校2023-2024學年八年級上學期期中聯(lián)考數學試題）若函數是關于的正比例函數，則的平方根為________．【答案】【分析】本題考查正比例函數，平方根，根據正比例函數的基本形式（k為常數），求出a，b的值，再求平方根即可．掌握正比例函數的基本形式是解題的關鍵．【詳解】解：數是關于的正比例函數，，，，，的平方根為，故答案為：．3．（2023上·廣西梧州·八年級?？茧A段練習）若與成正比例，且時，．(1)寫出與之間的函數表達式；(2)當時，求的值；(3)當時，求的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】本題考查待定系數法求正比例函數解析式：先設出函數的一般形式，如求正比例函數的解析式時，先設y=kxk≠0；將自變量x的值及與它對應的函數值y的值代入所設的解析式，得到關于待定系數的方程或方程組；解方程或方程組，求出待定系數的值，進而寫出函數解析式．確定函數解析式是解題的關鍵，也考查了求自變量的值和函數值．（1）根據正比例函數的定義，設，然后把已知的一組對應值代入求出即可；（2）利用（1）中的函數關系式求自變量為對應的函數值即可；（3）通過解方程即可．【詳解】（1）解：∵與成正比例，∴，又∵時，，∴，∴，∴與之間的函數表達式為；（2）當x=－1時，，∴當時，求的值為；（3）當時，∵，∴，∴，∴當時，求的值為．題型八正比例函數的圖象與性質1．（2023上·陜西西安·八年級西安市鐵一中學校考期中）已知正比例函數的圖象如圖所示，則的值可能是(

)

A． B． C．0 D．1【答案】A【分析】根據正比例函數的圖象經過第二、四象限得出的取值范圍，進而可而得出結論．【詳解】解：正比例函數的圖象經過第二、四象限，，，可以等于．故選：A．【點睛】本題考查的是一次函數的圖象與系數的關系，先根據題意得出k的取值范圍是解答此題的關鍵．2．（2022上·陜西西安·九年級校考期中）已知點在正比例函數的圖象上，當時，則有，那么m的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】一次函數的性質得到，然后解不等式即可．【詳解】解：∵點在正比例函數的圖象上，且當時，則有，∴y隨x的增大而減少，∴，解得．故選：A．【點睛】本題考查的是一次函數圖象上點的坐標特點，熟知一次函數的性質是解答此題的關鍵．鞏固訓練1．（2022上·福建寧德·八年級統(tǒng)考期末）當時，正比例函數的圖象大致是（）A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】正比例函數的圖象必過原點，根據，可知圖象經過第一、三象限，據此作答即可．【詳解】∵正比例函數的圖象必過原點，∴B、D項，不符合題意；∵，∴圖象經過第一、三象限，∴C項不符合題，綜上：A項符合題意，故選：A．【點睛】本題主要考查了正比例函數的圖象的判斷，掌握正比例函數的圖象必過原點，根據，可知圖象經過第一、三象限，是解答本題的關鍵．2．（2022下·廣東廣州·八年級校考期中）正比例函數經過______象限；隨的增大而______；若函數圖象經過點，則的值為______．【答案】二、四減少【分析】根據正比例函數的性質以及正比例函數圖象上點的坐標特征求解即可．【詳解】解：∵，∴正比例函數經過二、四象限；隨的增大而減少；當時，，解得，即的值為．故答案為：二、四；減少；．【點睛】本題考查了正比例函數的性質以及正比例函數圖象上點的坐標特征，熟練掌握正比例函數的性質是解題的關鍵．3．（2022上·安徽安慶·八年級?？计谥校┮阎c成正比例，且當時，．(1)求y與x之間的函數解析式．(2)已知點在該函數的圖像上，且，求點的坐標．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據題意可得：，再將代入求解即可；（2）將點代入解析式，聯(lián)立，求解二元一次方程組即可．【詳解】（1）解：由題意可得：將代入得，，解得即，化簡得：即（2）將點代入得，則，解得即【點睛】此題考查了一次函數，掌握正比例函數的定義是解題的關鍵，形如的函數為正比例函數．題型九根據反比例函數的定義求參數1．（2023上·江西宜春·九年級江西省宜豐中學校考階段練習）若函數是反比例函數，則m的值是（）A．2 B． C． D．【答案】A【分析】根據反比例函數的定義．即，只需令，即可．【詳解】解：∵是反比例函數，∴，解得：．故選：A．【點睛】本題考查了反比例函數的定義，特別要注意不要忽略這個條件．2．（2023上·陜西西安·九年級校考階段練習）已知反比例函數，點，都在其圖象上，下列說法不正確的是（

）A．圖象分布在第二、四象限 B．當時，隨的增大而增大C．圖象經過點 D．若，則【答案】D【分析】根據反比例函數的性質分別判斷各選項即可解答．【詳解】解：反比例函數，點，都在其圖象上，A、，圖像分布在第二、四象限，正確，故本選項不符合題意；B、，當時，y隨x的增大而增大，正確，故本選項不符合題意；C、，則圖像經過點，正確，故本選項不符合題意；D、點，都在其圖象上但不一定在同一象限，若，則錯誤，故本選項符合題意；故選：D．【點睛】本題考查了反比例函數的性質，解題的關鍵是掌握：反例函數，當時，在每一個象限內，函數值y隨自變量x的增大而減??；當時，在每一個象限內，函數值y隨自變量x增大而增大．鞏固訓練1．（2023·江蘇淮安·校考二模）反比例函數的圖象經過、兩點，則的值為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據反比例函數圖象上點的特征列出方程組，解方程組即可得到答案．【詳解】解：∵反比例函數的圖象經過、兩點，∴，解得，故選：B．【點睛】此題考查了反比例函數，熟練掌握反比例函數的性質是解題的關鍵．2．（2023下·新疆喀什·九年級新疆維吾爾自治區(qū)喀什第二中學?？茧A段練習）若函數是關于的反比例函數，則__________．【答案】【分析】根據反比例函數的定義知，且，據此可以求得的值．【詳解】解：是關于的反比例函數，，且，，且，；故答案為：．【點睛】本題考查了反比例函數的定義，重點是將一般式轉化為的形式．3．（2022上·江西宜春·九年級江西省宜豐中學?？计谥校┮阎瘮禐榉幢壤瘮担?1)求該反比例函數解析式；(2)當時，求x的取值范圍．（直接寫出結果）【答案】(1)(2)或【分析】（1）由已知函數為反比例函數求出的值，即可確定出解析式；（2）畫出圖象，圖象確定出的范圍即可．【詳解】（1）解：由題意得：，且，解得：，所以反比例函數解析式是；（2）如圖，當時，x的取值范圍為或．【點睛】此題考查了待定系數法求反比例函數解析式，反比例函數的圖象和性質，熟練掌握待定系數法是解本題的關鍵．題型十已知雙曲線分布的象限求參數范圍1．（2023上·四川達州·九年級校聯(lián)考期中）已知反比例函數的圖像過第二、四象限，則的取值可能是（）A．2 B． C．1 D．0【答案】B【分析】根據分比例函數的性質即可解答，根據反比例函數的圖像過第二、四象限得到是解答本題的關鍵．【詳解】解：∵反比例函數的圖像過第二、四象限，∴，即B選項符合題意．故選B．2．（2023上·安徽馬鞍山·九年級馬鞍山八中校考期中）若反比例函數的圖象在第二，四象限，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查反比例函數的圖象和性質，根據反比例函數圖象經過的象限，得到，求解即可．【詳解】解：∵反比例函數的圖象在第二，四象限，∴，∴；故選：．鞏固訓練1．（2023上·安徽合肥·九年級合肥38中?？计谥校┤绻幢壤瘮担╩是常數）的圖象在第一、三象限，那么m的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據反比例函數的圖象在第一、三象限，即得出，解之即得出答案．【詳解】解：∵反比例函數（m是常數）的圖象在第一、三象限，∴，解得：．故選C．【點睛】本題考查反比例函數的圖象和性質．解題的關鍵是掌握反比例函數，當時，圖象在第一、三象限；當時，圖象在第二、四象限．2．（2023下·重慶九龍坡·八年級重慶實驗外國語學校校考階段練習）已知函數，當自變量的取值為，函數值y的取值范圍為__________．【答案】/【分析】根據在每一個象限內，y隨x的增大而增大的性質計算即可．【詳解】∵函數，∴在每一個象限內，y隨x的增大而增大故當，，故當自變量的取值為，函數值y的取值范圍為，故答案為：．【點睛】本題考查了反比例函數的性質，熟練掌握性質是解題的關鍵．3．（2023上·湖南常德·九年級校聯(lián)考期中）已知反比例函數的圖象位于第二、四象限．(1)求k的取值范圍；(2)若點是該反比例函數圖象上的兩點，試比較函數值的大?。敬鸢浮?1)(2)【分析】本題主要考查了反比例函數增減性與比例系數的關系，比較反比例函數函數值的大小，解題的關鍵在于熟知反比例函數圖象增減性以及經過的象限與比例系數的關系．（1）反比例函數圖象經過第二、四象限，那么比例系數小于0，據此求解即可；（2）根據題意可得在每個象限內，y隨x增大而增大，根據點的坐標可知點A和點B都在第二象限，由此可得答案．【詳解】（1）解：∵反比例函數的圖象位于第二、四象限，∴，∴；（2）解：∵反比例函數的圖象位于第二、四象限，∴在每個象限內，y隨x增大而增大，∵點是該反比例函數圖象上的兩點，，∴點A和點B都在第二象限，∴．題型十一待定系數法求反比例函數解析式1．（2023上·廣西貴港·九年級統(tǒng)考期中）若反比例函數的圖象經過點，則的值是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】此題考查了反比例函數的圖象與性質，把點代入反比例函數解析式進行求解即可，熟練掌握反比例函數的圖象與性質是解題的關鍵．【詳解】∵反比例函數的圖象經過點，∴，故選：．2．（2022·黑龍江哈爾濱·校考模擬預測）已知反比例函數過點，則的值為（）．A．9 B． C．3 D．【答案】A【分析】將代入中得到，進行計算即可得到答案．【詳解】解：反比例函數過點，，解得：，故選：A．【點睛】本題考查了反比例函數的圖象與性質，熟練掌握反比例函數的圖象與性質是解此題的關鍵．鞏固訓練1．（2023·江蘇南京·九年級南京市第十三中學?？甲灾髡猩┮阎S，軸，中點為，反比例函數過點A、D，反比例函數過點，求（）

A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【分析】設，則，，根據中點坐標公式得出，把代入，即可求解．【詳解】解：設，則，把代入得：，解得：，∴；∵D為中點，∴，把代入，得，解得：，選：B．【點睛】本題主要考查了反比例函數與幾何的綜合，設點坐標，用代數方法解決比較簡單，解題的關鍵是掌握反比例函數的圖象和性質．2．（2023下·浙江·八年級統(tǒng)考期末）已知點在反比例函數的圖象上，將點P先向右平移9個單位，再向下平移6個單位后得到的點仍在該函數圖象上，則k的值是______【答案】【分析】根據點的坐標平移規(guī)律“左減右加，上加下減”求得點P平移后的點的坐標，根據兩點均在反比例函數的圖象上，將兩點坐標代入反比例函數解析式中求解即可．【詳解】解：∵點，∴將點P先向右平移9個單位，再向下平移6個單位后得到的點的坐標為，依題意，得，解得，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了反比例函數圖象上點的坐標特征、點的坐標平移規(guī)律，解題的關鍵是由點坐標表示出平移后的點的坐標．3．（2023上·北京石景山·九年級校考期中）已知反比例函數圖象經過．(1)求反比例函數解析式；(2)若點，是反比例函數圖象上兩點，試比較，大?。敬鸢浮?1)反比例函數的解析式為(2)【分析】（1）將代入反比例函數解析式求出的值即可得到答案；（2）把點，代入反比例函數解析式，求出，的值，比較大小即可得到答案．【詳解】（1）解：反比例函數圖象經過，，，反比例函數的解析式為：；（2）解：點，是反比例函數圖象上兩點，當時，，當時，，，．【點睛】本題考查了待定系數法求反比例函數的解析式、比較反比例函數值的大小，熟練掌握反比例函數的性質是解此題的關鍵．題型十二已知反比例函數的增減性求參數1．（2023上·江蘇南通·九年級統(tǒng)考期中）若反比例函數的圖象在每個象限內，y隨x的增大而增大，則k的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據反比例函數的性質，得到，進行求解即可．【詳解】解：由題意，得：，∴；故選B．【點睛】本題考查反比例函數的性質，熟練掌握反比例函數的性質，是解題的關鍵．2．（2023上·廣東廣州·九年級廣東廣雅中學?？茧A段練習）已知反比例函數的圖象上有兩點，當時，，則m的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據反比例函數圖象上點的坐標特征得，而時，，則，然后解不等式即可；【詳解】解：∵反比例函數的圖象上有當時，，故選：C．【點睛】本題考查了反比例函數圖象上點的坐標特征：反比例函數圖象上點的坐標滿足其解析式．鞏固訓練1．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱德強學校?？寄M預測）反比例函數，當時，隨的增大而減小，那么的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據反比例函數，當時，隨增大而減小，可得出，解之即可得出的取值范圍．【詳解】解：反比例函數，當時，隨增大而減小，，解得：．故選：B．【點睛】本題主要考查了反比例函數的性質，根據反比例函數的性質找出是解題的關鍵．2．（2023·陜西咸陽·?？既＃┰谄矫嬷苯亲鴺讼抵?，點在反比例函數（k為常數，）的圖象上，且，則k的取值范圍是________________．【答案】【分析】時，反比例函數的圖象在第一、三象限，時，反比例函數的圖象在第二、四象限，再利用確定點，的位置即可求解．【詳解】解：∵點在反比例函數的圖象上，且，∴點在第二象限，點在第四象限，∴反比例函數的圖象在第二、四象限，∴．故答案為：．【點睛】本題考查反比例函數的圖象及性質，掌握反比例函數的圖象及性質是解題的關鍵．3．（2023下·江蘇連云港·八年級統(tǒng)考期末）【提出定義】已知y是x的函數，當時，函數值；當時，函數值，若（i為正整數），則稱為該函數的i倍區(qū)間．如，函數中，當時，，當時，，，所以是函數的3倍區(qū)間．【理解內化】（1）若是函數的i倍區(qū)間，則_；（2）已知是函數（k≠0）的i倍區(qū)間（i為正整數），點、是函數（k≠0）圖象上的兩點．①試說明：；②當，時，求的面積；【拓展應用】（3）已知是函數的3倍區(qū)間，在此區(qū)間內，該函數的最大值與最小值的差為，求a、k的值．【答案】（1）2（2）①見解析②（3），【分析】（1）根據題目中的定義，進行計算，便可求出i；（2）①根據題意，表示出，對等式進行變形分析，可得出結論；②將，代入，確定函數表達式后，結合圖象可求出面積；（3）先根據定義可求出a的值，再對k的正負分類結合反比例函數的性質，列出方程可求出k．【詳解】解：由題意知，當時，；當時，，又，∴，故答案為：2；（2）①根據題意得，，，則，∵，∴，即，又∵i為正整數，∴，假設，則，這與題中，矛盾，∴；②當，時，，反比例函數表達式為：，則，，又，則A，B兩點都在第三象限這一支上，如圖所示：

分別過A，B兩點作x軸垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，則，∵，∴，∵，且，則，∴；（3）因為是函數的3倍區(qū)間，由（2）知

，解得，當時，反比例函數位于一、三象限，且在每個象限內y隨x的增大而減小，∴，解得，當時，反比例函數位于二、四象限，且在每個象限內y隨x的增大而增大；∴，解得，綜上所述，．【點睛】本題是一道代數綜合題，考查了反比例函數的性質以及分類討論的數學思想．題型十三反比例函數的k值意義1．（2023上·山東泰安·九年級統(tǒng)考期中）如圖是反比例函數和在x軸上方的圖象，軸的平行線分別與這兩個函數圖象交于、兩點，點在軸上，則的面積為（）A．3 B．6 C． D．【答案】A【分析】本題考查的是反比例函數系數的幾何意義，利用反比例函數的比例系數的幾何意義求出與的面積，從而得出的面積，最后運用平行線之間三角形“同底等高”面積相等的性質，即可得到答案．掌握反比例函數系數的幾何意義是解題的關鍵．【詳解】解：如圖，連接、，設交軸于，軸的平行線分別與這兩個函數圖象相交于點，，軸，點、在反比例函數和在軸上方的圖象上，，，軸,與“同底等高”，，故選：A．2．（2023上·河北石家莊·九年級石家莊二十三中?？茧A段練習）如圖，直線軸于點，且與反比例函數及的圖象分別交于點A，，連接，，已知的值為，則的面積為（）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據反比例函數的幾何意義得出的面積為，再根據即可得出．【詳解】解：根據反比例函數的幾何意義可知：的面積為，的面積為，的面積為，，的面積為，故選：C．【點睛】本題主要考查反比例函數的幾何意義，熟練利用反比例函數的幾何意義計算三角形面積是解題的關鍵．鞏固訓練1．（2023上·吉林長春·九年級?？茧A段練習）如圖，四邊形是平行四邊形，在軸上，點在軸上，反比例函數的圖象經過第一象限點，且的面積為，則＝（）．

A．6 B．3 C．9 D．12【答案】A【分析】過點作于點，然后平行四邊形的性質可知，進而可得矩形的面積與平行四邊形的面積相等，最后根據反比例函數的幾何意義可求解．【詳解】解：過點作于點，如圖所示：

，四邊形是平行四邊形，，，（），平行四邊形的面積為，，；故選：A．【點睛】本題主要考查平行四邊形的性質及反比例函數k的幾何意義，熟練掌握平行四邊形的性質及反比例函數k的幾何意義是解題的關鍵．2．（2023上·廣東深圳·九年級校考期中）如圖，點A，B是函數圖象上兩點，過點A作軸，垂足為點C，交于點D．若的面積為3，點D為的中點，則k的值為______．【答案】【分析】先設出點B的坐標，進而表示出點D，A的坐標，利用的面積建立方程求出，即可得出結論．【詳解】解：設點，，D為的中點，，軸，的面積為3，故答案為：．【點睛】本題考查反比例函數系數k的幾何意義、反比例函數圖象上點的坐標特征，解答本題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用反比例函數的性質解答．3．（2022下·河北保定·九年級保定市第十七中學?？奸_學考試）如圖，在平面直角坐標系中，點的坐標為，軸于點，，反比例函數圖象的一支經過的中點，且與交于點．

(1)求點的坐標；(2)求反比例函數的解析式：(3)四邊形的面積為________．【答案】(1)(2)(3)75【分析】（1）先利用正弦的定義求出，則可利用勾股定理計算出，即可求解；（2）利用線段的中點坐標公式得到點坐標為，從而可確定反比例解析式；（3）先利用反比例函數圖象上點的坐標特征確定然后利用四邊形的面積進行計算.【詳解】（1）∵點的坐標為,∴,∵軸于點,，∴,∴，∴；（2）∵點為的中點,∴點坐標為,∵反比例函數圖象的一支經過的中點,∴,∴反比例函數解析式為（3）當時,則∴四邊形的面積.故答案為：.【點睛】本題考查了待定系數法求反比例函數的解析式：設出含有待定系數的反比例函數解析式(為常數,),然后把一組對應值代入求出k得到反比例函數解析式.也考查了反比例函數的性質和反比例函數圖象上點的坐標特征.題型十四實際問題與反比例函數1．（2023上·北京房山·九年級統(tǒng)考期中）已知蓄電池兩端電壓為定值，電流與的函數關系為．當時，，則當時，的值為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了反比例函數的應用．利用待定系數法求出的值，由此即可得．【詳解】解：由題意得：，∵當時，，，解得，，則當時，，故選：A．2．（2023上·陜西西安·九年級西安市鐵一中學?？茧A段練習）已知蓄電池的電壓為定值，使用蓄電池時，電流I（單位：A）與電阻R（單位：）是反比例函數關系，它的圖象如圖所示，下列說法正確的是（）．

A．函數解析式為 B．蓄電池的電壓是C．當時， D．當時，【答案】D【分析】根據反比例函數圖象，并結合物理學科中的電流等于電壓除以電阻的知識點即可求解．【詳