第十九章 幾何證明（14類題型突破）

第十九章幾何證明（14類題型突破）題型一幾何證明1．（2023上·上海閔行·八年級統(tǒng)考期中）下列命題中，真命題的是（）A．兩條平行直線被第三條直線所截，則一組同旁內(nèi)角的平分線互相垂直B．有兩邊和其中一邊的對角對應相等的兩個三角形全等C．三角形的一個外角等于兩個內(nèi)角的和D．等邊三角形既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形2．（2023上·上海青浦·八年級?？计谥校┫铝忻}中，真命題的個數(shù)是（）（1）等角的補角相等；（2）兩邊及其中一邊的對角對應相等的三角形是全等三角形；（3）一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，則這兩個角相等；（4）兩條直線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補；（5）等腰三角形，兩腰上的高相等．A．2 B．3 C．4 D．53．（2023上·上海楊浦·八年級?？计谥校┫铝忻}中，假命題的個數(shù)是（）（1）垂直于同一條直線的兩條直線平行；（2）面積相等的兩個三角形全等；（3）等腰三角形的頂角平分線垂直平分底邊；（4）三角形的一個外角大于任何一個內(nèi)角；（5）有兩角和一邊對應相等的兩個三角形全等；（6）有兩邊和其中一邊上的高對應相等的兩個三角形全等．A．3個 B．4個 C．5個 D．6個鞏固訓練：1．（2023上·北京豐臺·八年級北京市第十二中學?？计谥校┫铝忻}正確的是（）①兩個等邊三角形一定全等；②兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等；③有兩邊和一角分別相等的兩個三角形全等；④兩條邊和其中一條邊上的中線分別相等的兩個三角形全等．A．①和③ B．②和③ C．①和④ D．②和④2．（2022上·上海靜安·八年級上海市市北初級中學?？计谥校┌衙}“同角的補角相等”改寫為“如果……，那么……”的形式，如果________那么________．3．（2022上·安徽阜陽·八年級校考期中）如圖，已知：是的一個外角．

(1)請從①，②平分，③中任選兩個當條件，第三個當結論構成一個真命題．條件：________________________________________________結論：________________________________________________(2)證明你所構建的命題是真命題．題型二逆命題和逆定理1．（2023上·浙江寧波·八年級統(tǒng)考期末）下列命題的逆命題是假命題的是（）A．直角三角形的兩個銳角互余B．兩直線平行，內(nèi)錯角相等C．三條邊對應相等的兩個三角形是全等三角形D．若，則2．（2023上·上海靜安·八年級上海市風華初級中學?？计谀┫铝卸ɡ碇?，如果其逆命題是真命題，那么這個定理是（）A．對頂角相等 B．直角三角形的兩個銳角互余C．全等三角形的對應角相等 D．鄰補角互補3．（2022上·上海黃浦·八年級校聯(lián)考階段練習）下列命題中，逆命題是假命題的是（）A．等邊三角形的三個內(nèi)角都等于60°B．如果兩個三角形全等，那么這兩個三角形的對應角相等C．如果兩個三角形全等，那么這兩個三角形的對應邊相等D．相等的兩個角是對頂角鞏固訓練1．（2023上·湖南邵陽·八年級統(tǒng)考階段練習）下列四個命題：①若，，則；②若，則；③如果兩個角是直角，那么它們相等；④同旁內(nèi)角互補，兩直線平行；其中逆命題是真命題的個數(shù)是（）A．個 B．個 C．個 D．個2．（2023下·甘肅平?jīng)觥ぐ四昙壭？计谥校┟}“如果兩個實數(shù)都是正數(shù)，那么它們的積是正數(shù)”的逆命題是_______．它是_____命題．（填“真”或“假”）3．（2022下·河南鄭州·八年級河南省實驗中學?？计谥校┤鐖D①所示，將兩個含角且大小相同的三角尺擺放在一起，可以證得是等邊三角形，于是我們得到：在直角三角形中，如果一個銳角等于，那么它所對的直角邊等于斜邊長的一半．交換此命題的條件和結論，得到下面命題：_______________________．

(1)請在上面空格中寫出該命題；(2)小聰發(fā)現(xiàn)（1）中所寫命題為真命題，請根據(jù)該命題的條件和結論，結合圖②，用“幾何語言”補充出“已知”和“求證”，并寫出證明過程．已知：在中，，___________________________．求證：________________________．證明：題型三線段垂直平分線的性質與判定1．（2022上·全國·八年級專題練習）如圖，△ABC中，AB的垂直平分線交BC邊于點E，AC的垂直平分線交BC邊于點N，若∠BAC＝，則∠EAN的度數(shù)為（）A． B． C． D．2．（2022下·湖南岳陽·八年級?？茧A段練習）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，ED是AC的垂直平分線，交AC于點D，交BC于點E．已知∠C＝7∠BAE，則∠C的度數(shù)為（）A．41° B．42° C．43° D．44°3．（2022上·上?！ぐ四昙壣虾Ｊ心涎竽７吨袑W?？计谀┤鐖D，在中，，斜邊的垂直平分線交于點，交于點，平分，那么下列關系中不成立的是（）A． B．C． D．鞏固訓練1．（2023上·江蘇無錫·八年級統(tǒng)考期中）如圖，，的垂直平分線交于點，若，則的度數(shù)是（）

A． B． C． D．2．（2023上·重慶沙坪壩·八年級?？计谥校┤鐖D，在中，平分的垂直平分線交于點E，交于點F，連接．若，，則的度數(shù)為_______．

3．（2023上·陜西渭南·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，，，是的平分線，交于點D，E是的中點，連接并延長，交的延長線于點F，連接．求證：(1)是的垂直平分線；(2)為等腰三角形．題型四角平分線的性質與判定1．（2022上·上?！ぐ四昙壣虾Ｊ忻褶k立達中學?？茧A段練習）如圖所示，點是內(nèi)一點，要使點到、的距離相等，且，點是（）A．的角平分線與邊上中線的交點B．的角平分線與邊上中線的交點C．的角平分線與邊上中線的交點D．的角平分線與邊上中線的交點2．（2022上·上海楊浦·八年級?？计谥校┤鐖D，是中的角平分線，于點，于點，，，，則長是（）A．6 B．5 C．7 D．83（2023·上海靜安·統(tǒng)考二模）下面是“作的平分線”的尺規(guī)作圖過程：①在、上分別截取、，使；②分別以點、為圓心，以大于的同一長度為半徑作弧，兩弧交于內(nèi)的一點；③作射線．就是所求作的角的平分線．該尺規(guī)作圖可直接利用三角形全等說明，其中三角形全等的依據(jù)是（）A．三邊對應相等的兩個三角形全等B．兩邊及它們的夾角對應相等的兩個三角形全等C．兩角及它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等D．兩角及其中一個角的對邊對應相等的兩個三角形全等鞏固訓練1．（2023上·陜西安康·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，的平分線交于點，連接，過點作的面積是16，周長是8，則的長是（）

A．1 B．2 C．3 D．42．（2023上·江蘇南通·八年級校聯(lián)考期中）如圖，已知，邊分別交交于M，N，若，，則的度數(shù)是_____．3．（2023上·廣東廣州·八年級鐵一中學校考期中）如圖，在中，平分交BC于點D，，，垂足為E、F．

(1)若，，求的長度；(2)連接，求證：．題型五軌跡1．（2022上·上海·八年級專題練習）如圖，甲、乙、丙三人同時從點出發(fā)向點移動，甲的運動路線為一個半圓形的圓弧，乙的運動路線為兩個半圓形的圓弧，丙的運動路線為三個半圓形的圓弧，若甲、乙、丙的運動速度相等，則誰先到達點（）A．甲 B．乙 C．丙 D．三人同時到達2．（2022上·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習）如圖，將一個半徑為1cm的半圓，在直線上從左往右作無滑動的滾動，則滾動2020周后圓心所經(jīng)過的路徑長為（）A． B． C． D．3．（2022上·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習）如圖，點，分別在軸，軸正半軸上（含坐標原點）滑動，且滿足，點為線段的中點，將線段繞點順時針旋轉得到線段，當由點向右移動時，點移動的路徑長為（）A．3 B．4 C． D．鞏固訓練1．（2022上·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習）如圖，是邊長為2的等邊三角形，是高上的一個動點，以為邊向上作等邊，在點從點到點的運動過程中，點所經(jīng)過的路徑長是（）A．2 B． C． D．2．（2022·八年級統(tǒng)考課時練習）和已知線段的兩端點距離相等，且到一個已知點的距離等于定長的點最多有______個．3．（2022·八年級統(tǒng)考課時練習）如圖，，，點在上．以為直角頂點作等腰直角三角形，則當從運動到的過程中，探求點的運動軌跡．題型六直角三角形全等的判定1．（2023上·上海普陀·八年級?？计谥校┫旅嫠膫€命題中，真命題的個數(shù)是（）①腰和腰上的高對應相等的兩個等腰三角形全等；②有兩角及一邊對應相等的兩個三角形全等；③有兩邊及其中一邊上的中線對應相等的兩個三角形全等；④有兩邊及第三邊上的中線對應相等的兩個三角形全等．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個2．（2022上·上海浦東新·八年級校聯(lián)考期末）如圖，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB，交BC于D，DE⊥AB于E．AB＝10cm，則△DEB的周長為（）A．8cm B．10cm C．12cm D．14cm3．（2020上·上海普陀·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，，為上一點，聯(lián)結，點在上，過點作，，垂足分別為M、N．下面四個結論：

①如果，那么；②如果，那么；③如果，那么；④如果，那么．其中正確的有（）．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個鞏固訓練1．（2023上·廣東江門·八年級新會華僑中學?？茧A段練習）如圖，中，，，平分交于，于，且，則的周長為（）A．12 B．6 C．8 D．102．（2023上·天津·八年級校聯(lián)考期中）如圖，已知平分，于E，，則下列結論：①；②；③．其中正確結論的有________．（只寫序號）3．（2023上·江蘇南京·八年級南京外國語學校?？计谥校┮阎狐cO到的兩邊所在直線的距離相等，且．(1)如圖1，若點O在邊上，過點O分別作，垂足分別是E，F(xiàn)．求證：；(2)如圖2，若點O在的內(nèi)部，求證：；(3)若點O在的外部，“小強”同學認為也一定成立，你同意他的想法嗎？若同意，請說明理由；若不同意，請畫出反例并進行必要的標注．題型七直角三角形的性質1．（2022上·上?！ぐ四昙壣虾Ｊ忻褶k上寶中學?？计谥校┤鐖D，在四邊形中，，點分別是對角線的中點，則（）A． B．C． D．2．（2023·上海普陀·統(tǒng)考二模）如圖，中，，、分別平分、，，下面結論中不一定正確的是（）

A． B．C． D．點O到直線的距離是13．（2022上·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，斜邊AB的垂直平分線DE交AB于點D，交BC于點E，且AE平分∠BAC，下列關系式不成立的是（）A．AC＝2EC B．∠B＝∠CAE C．∠DEA＝∠CEA D．BC＝3CE鞏固訓練1．（2023上·廣西南寧·八年級統(tǒng)考期中）在中，，如果將這個三角形折疊，使得點B與點A重合，折痕交于點M，交于點N，那么等于（）A．2 B．4 C．6 D．82．（2023上·山西呂梁·八年級校考期中）如圖，中，，，分別以為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點，直線分別交于點．若，則___________．3．（2023上·廣東深圳·八年級校考期中）已知：如圖，在中，，，，點D在邊上，平分，E為上的一個動點（不與A、C重合），，垂足為F．(1)求證：；(2)設，，求y關于x的函數(shù)解析式；(3)當時，求的長？題型八勾股定理1．（2022上·上海青浦·八年級校考期末）美國數(shù)學家伽菲爾德在1876年提出了證明勾股定理的一種巧妙方法，如圖，在直角梯形中，，，是邊上一點，且，．如果的面積為1，且，那么的面積為（）A．1 B．2 C． D．52．（2022下·河北邯鄲·八年級校考階段練習）如圖中能用來證明勾股定理的有（）A．3個 B．4個 C．5個 D．6個3．（2023上·山東濟南·八年級濟南市章丘區(qū)第二實驗中學?？茧A段練習）我國漢代數(shù)學家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”，如圖由“趙爽弦圖”變化得到，它是用八個全等的直角三角形拼接而成，記圖中正方形，正方形，正方形的面積分別為，，．若，則的值是（）A．12 B．10 C．9 D．8鞏固訓練1．（2023上·安徽宿州·八年級統(tǒng)考期中）我國古代數(shù)學家趙爽的“勾股圓方圖”是由四個全等的直角三角形與中間的一個小正方形拼成的一個大正方形（如圖）；如果大正方形的面積是，小正方形的面積是，直角三角形的兩直角邊分別為、，那么的值是（）A． B． C． D．2（2023上·江蘇蘇州·八年級?？茧A段練習）如圖所示，是用4個全等的直角三角形與1個小正方形鑲嵌而成的正方形圖案，已知大正方形面積為50，小正方形面積為4，若用x，y表示直角三角形的兩直角邊，則______．3．（2023上·山西晉中·八年級統(tǒng)考期中）綜合與實踐【背景介紹】勾股定理是幾何學中的明珠，充滿著魅力．如圖1是著名的趙爽弦圖，由四個全等的直角三角形拼成，用它可以證明勾股定理，思路是大正方形的面積有兩種求法，一種是等于，另一種是等于四個直角三角形與一個小正方形的面積之和，即，從而得到等式，化簡便得結論．這里用兩種求法來表示同一個量從而得到等式或方程的方法，我們稱之為“雙求法”．【方法運用】千百年來，人們對勾股定理的證明趨之若鶩，其中有著名的數(shù)學家，也有業(yè)余數(shù)學愛好者．向常春在2010年構造發(fā)現(xiàn)了一個新的證法：把兩個全等的直角三角形和如圖2放置，其三邊長分別為，，，，顯然．(1)請用分別表示出四邊形，梯形，的面積，再探究這三個圖形面積之間的關系，證明勾股定理．(2)【方法遷移】請利用“雙求法”解決下面的問題：如圖3，小正方形邊長為1，連接小正方形的三個頂點，可得，_，邊上的高為______．題型九勾股定理的逆定理1．（2023上·江蘇徐州·八年級校考期中）下列條件中，不能判定是直角三角形的是（）A． B．C． D．2．（2023上·山西太原·八年級統(tǒng)考期中）現(xiàn)有長度為的五根細木條，若選擇其中的三根首尾順次相接，恰好能擺成直角三角形的是（）A． B．C． D．3．（2023上·黑龍江齊齊哈爾·九年級校考期中）如圖，點是等邊三角形內(nèi)一點，，，是由繞點逆時針旋轉得到的，則的度數(shù)是（）A． B． C． D．鞏固訓練1（2023上·山東東營·八年級校考階段練習）如果a，b，c是三角形的三邊并且滿足：，則三角形的面積是（）A．24 B．48 C．12 D．62．（2023上·江蘇連云港·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，和的垂直平分線和分別交于點D、E，若，，，則的面積等于_______．3．（2023上·江蘇泰州·八年級統(tǒng)考期中）【綜合與實踐】建筑工地上工人師傅經(jīng)常需畫直角或判定一個角是否是直角，現(xiàn)僅有一根繩子，請幫助工人師傅完成此項工作．數(shù)學活動課上，小歌、小智兩名同學經(jīng)過討論，在繩子上打13個等距的繩結，做成如圖①所示的“工具繩”．他們利用此“工具繩”分別設計了以下方案：小歌的方案：如圖②，將“工具繩”拉直放置在地面上，并將繩結點C、D固定，拉直、分別繞繩結點C、D旋轉，使繩結點A、B在點E處重合，畫出，則．

小智的方案：如圖③，將“工具繩”拉直放置在地面上，并將中點O固定，拉直繞點O旋轉一定的角度（小于）到的位置，畫出，則．問題解決：(1)填空：在小歌的方案中，依據(jù)的一個數(shù)學定理是_；(2)根據(jù)小智的方案，證明：；(3)工地上有一扇如圖④所示的窗戶，利用“工具繩”設計一個與小歌、小智不一樣的方案，檢驗窗戶橫檔與豎檔是否垂直．畫出簡圖，并說明理由．題型十勾股定理的應用1．（2023上·山東威?！て吣昙壗y(tǒng)考期中）數(shù)學興趣小組的同學要測量與地面垂直的旗桿高度．如圖，已知系在旗桿頂端A的繩子緊貼旗桿垂到地面后，在地面上多出1米，將繩子拉直后測出繩子的末端與地面的重合點C到旗桿底部B的水平距離為5米，則旗桿的高度為（）

A．5米 B．12米 C．13米 D．17米2．（2023下·廣西南寧·八年級校考階段練習）如圖，一架長的梯子斜靠在一豎直的墻上，這時為，如果梯子頂端A沿墻下滑至點C，那么梯子的底端B外移至點D，則的長（）

A．小于 B．等于 C．大于 D．不確定3．（2022上·江西九江·八年級統(tǒng)考期中）如圖，鐵路和公路在點處交會，公路上點距離點是，與這條鐵路的距離是．如果火車行駛時，周圍以內(nèi)會受到噪音的影響，那么火車在鐵路上沿方向以的速度行駛時，點處受噪音影響的時間是（）A．15秒 B．13.5秒 C．12.5秒 D．10秒鞏固訓練1．（2022上·廣東深圳·八年級統(tǒng)考期末）勾股定理是人類數(shù)學文化的一顆璀璨明珠，是用代數(shù)思想解決幾何問題的最重要工具也是數(shù)形結合的組帶之一，如圖，秋千靜止時，踏板離地的垂直高度m，將它往前推6m至C處時（即水平距離m），踏板離地的垂直高度m，它的繩索始終拉直，則繩索的長是（）

A．m B．m C．6m D．m2．（2023下·四川綿陽·九年級校聯(lián)考階段練習）如圖，河岸，互相平行，橋垂直于兩岸，從處看橋的兩端，，夾角，測得，則橋長_____m（結果精確到）．

3．（2023下·山東聊城·八年級統(tǒng)考期末）燕塔廣場視野開闊，阻擋物少，成為不少市民放風箏的最佳場所，某校八年級的王明和孫亮兩位同學在學習了“勾股定理”之后，為了測得風箏的垂直高度，他們進行了如下操作：

①測得的長度為8米；（注：）②根據(jù)手中剩余線的長度計算出風箏線的長為17米；③牽線放風箏的王明身高米；(1)求風箏的垂直高度．(2)若王明同學想讓風箏沿方向下降9米，則他應該往回收線多少米？題型十一用勾股定理解三角形1．（2023上·江蘇南京·八年級南京五十中?？计谥校┤鐖D，在中，為邊上的高，為邊上的中線，，則的長度是（）A．2 B．3 C． D．42．（2023上·天津·八年級校聯(lián)考期中）如圖，三角形紙片中，，在上取一點，以為折痕進行翻折，使的一部分與重合，與延長線上的點重合，若，，則，的長度為（）

A．6 B．4 C．3 D．23．（2023上·吉林·九年級吉林松花江中學?？计谥校┤鐖D，是等腰三角形的底邊的中線，，，與關于點C成中心對稱，連接，則的長是（）A．4 B． C． D．鞏固訓練1．（2023上·江蘇泰州·八年級?？计谥校┤鐖D，在中，，，，的平分線交于點，且．將沿折疊使點與點恰好重合．①

②點到的距離為8

③

④

以上結論正確的個數(shù)是（）A．4 B．3 C．2 D．12．（2023上·浙江寧波·八年級?？计谥校┤鐖D，在等邊的，上各取一點，，使，，相交于點，過點作直線的垂線，垂足為．若，則的長為_____．

3．（2023上·山東泰安·七年級統(tǒng)考期中）如圖，已知與都是等腰直角三角形，其中，為邊上一點．(1)找出圖中的一對全等三角形，并說明理由；(2)求證：．題型十二勾股定理與折疊問題1．（2023上·甘肅蘭州·八年級校考期中）如圖，長方形中，，，將此長方形折疊，使點B與點D重合，折痕為，則的面積為（）A．6 B．8 C．10 D．122．（2023上·江蘇鹽城·八年級統(tǒng)考期中）如圖，將長方形沿對角線對折，使點落在點處，交于，，，則重疊部分（即）的面積為（）A．24 B．30 C．40 D．803．（2023上·江蘇蘇州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，三角形紙片中，點是邊上一點，把沿著直線翻折，得到，連接交于點，若，，的面積為，則的長為()

A． B． C． D．鞏固訓練1．（2023上·江蘇揚州·八年級校聯(lián)考期中）如圖，將沿翻折得到，交于點E，F(xiàn)為中點，連接并延長交的延長線于點G，連接，若，，的面積為42，則的面積為（）A．26 B．24 C．21 D．152．（2023上·山西晉中·八年級統(tǒng)考期中）如圖，一張長方形紙片，，．先對折長方形紙片使與重合，得到折痕，再將沿折疊，當點恰好落在折痕上時，則的長為______．3．（2023上·浙江寧波·八年級校聯(lián)考期中）如圖，在中，，把沿直線折疊，使與重合．

(1)若，求的度數(shù)；(2)若，，求的長．題型十三求最短路徑問題1．（2023上·甘肅蘭州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，圓柱的底面周長為，高為，是底面直徑，一只螞蟻從點出發(fā)沿著圓柱體的側面爬行到點的最短路程是（）

A． B． C． D．2．（2023上·山西晉中·八年級統(tǒng)考期中）長方體的長為，寬為，高為，一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點A爬到點B（點B距點C為），則螞蟻需要爬行的最短距離是（）

A． B． C． D．3．（2023上·江蘇淮安·八年級校聯(lián)考期中）如圖，在一個長方形草坪上，放著一根長方體的木塊，已知米，米，該木塊的較長邊與平行，橫截面是邊長為1米的正方形，一只螞蟻從點A爬過木塊到達C處需要走的最短路程是（）A．19米 B．米 C．15米 D．米鞏固訓練1．（2023上·河南鄭州·八年級?？计谥校┤鐖D，直四棱柱的底面是邊長為的正方形，側棱長為，點是的中點，螞蟻從點沿著表面爬行到點的最短路程是，則的值是（）A．148 B．320 C．400 D．4642．（2023上·全國·八年級專題練習）我國古代有這樣一道數(shù)學問題：“枯木一根直立地上，高二丈周三尺，有葛藤自根纏繞而上，五周而達其頂，問葛藤之長幾何？”題意是：如圖所示，把枯木看作一個圓柱體，因一丈是十尺，則該圓柱的高為尺，底面周長為尺，有葛藤自點處纏繞而上．

（）若繞五周后其末端恰好到達點處，則問題中葛藤的最短長度是_____尺．（）若繞周后其末端恰好到達點處，則問題中葛藤的最短長度是_____尺．3．（2023上·廣東佛山·八年級校考期中）如圖，長方體中，，，一只螞蟻從點出發(fā)，沿長方體表面爬到點．

(1)請你在所給的網(wǎng)格中，畫出螞蟻爬行的所有不同的直線路徑；(2)分別求出這幾種路徑的距離；(3)求螞蟻爬行的最短路程是多少？題型十四兩點之間的距離公式1．（2022下·河南安陽·八年級?？茧A段練習）如圖鐵路上A，B兩點相距40千米，C，D為兩村莊，DA⊥AB，CB⊥AB，垂足分別為A和B，DA＝24千米，CB＝16千米．現(xiàn)在要在鐵路旁修建一個煤棧E，使得C，D兩村到煤棧的距離相等，那么煤棧E應距A點（）A．20千米 B．16千米 C．12千米 D．無法確定2．（2020上·八年級課時練習）如圖，在平面直角坐標系第一象限有一點P，其橫坐標為3，在x軸上有一點A（﹣1，0）．已知PA兩點間的距離為，則P的縱坐標為（）A．2 B．﹣2 C． D．13．（2020上·八年級課時練習）在平面直角坐標系中，點P（﹣x，2x）到原點O的距離等于5，則x的值是（）A．±1 B．1 C． D．±鞏固訓練1．（2020上·八年級課時練習）P1（x1，y1），P2（x2，y2）是平面直角坐標系中的任意兩點，我們把|x1﹣x2|+|y1﹣y2|叫做P1，P2兩點間的“直角距離”，記作d（P1，P2）．比如：點P（2，﹣4），Q（1，0），則d（P，Q）=|2﹣1|+|﹣4﹣0|=5，已知Q（2，1），動點P（x，y）滿足d（P，Q）=3，且x、y均為整數(shù)，則滿足條件的點P有（）個．A．4 B．8 C．10 D．122．（2020·湖北恩施·統(tǒng)考模擬預測）為了解決A、B兩個村的村民飲水難，計劃在筆直的河邊修建一個水泵站，為節(jié)約經(jīng)費，該水泵站與兩村的水管線總長力求做到最短，已知A村到河邊的距離為1km，B村到河邊的距離為2km，AB=4km，則水管線最短要_______km(結果保留根號）．3．（2023下·安徽亳州·八年級統(tǒng)考期中）一條東西走向的公路上有A，兩個站點（視為直線上的兩點）相距，，為兩村莊（視為兩個點），于點，于點（如圖），已知，，現(xiàn)在要在公路上建一個土特產(chǎn)儲藏倉庫，使得，兩村莊到儲藏倉庫的直線距離相等，請求出儲藏倉庫到A站點的距離．（精確到）

第十九章幾何證明（14類題型突破）答案全解全析題型一幾何證明1．（2023上·上海閔行·八年級統(tǒng)考期中）下列命題中，真命題的是（）A．兩條平行直線被第三條直線所截，則一組同旁內(nèi)角的平分線互相垂直B．有兩邊和其中一邊的對角對應相等的兩個三角形全等C．三角形的一個外角等于兩個內(nèi)角的和D．等邊三角形既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形【答案】A【分析】根據(jù)平行線的性質可判斷A．根據(jù)全等三角形的判定方法可判斷B，根據(jù)三角形的外角的性質可判斷C，根據(jù)等邊三角形的性質可判斷D，從而可得答案．【詳解】解：兩條平行直線被第三條直線所截，則一組同旁內(nèi)角的平分線互相垂直，描述正確，真命題，故A符合題意；∵有兩邊和其中一邊的對角對應相等的兩個三角形不一定全等∴有兩邊和其中一邊的對角對應相等的兩個三角形全等，假命題，故B不符合題意；∵三角形的一個外角等于和其不相鄰的兩個內(nèi)角的和∴三角形的一個外角等于兩個內(nèi)角的和，假命題，故C不符合題意；∵等邊三角形不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形∴等邊三角形既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形，假命題，故D不符合題意；故選A【點睛】本題考查的是平行線的性質，全等三角形的判定，三角形的外角的性質，等邊三角形的性質，真假命題的判斷，熟記基本概念與圖形的性質是解本題的關鍵．2．（2023上·上海青浦·八年級?？计谥校┫铝忻}中，真命題的個數(shù)是（）（1）等角的補角相等；（2）兩邊及其中一邊的對角對應相等的三角形是全等三角形；（3）一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，則這兩個角相等；（4）兩條直線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補；（5）等腰三角形，兩腰上的高相等．A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】主要考查命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題．分析是否為真命題，需要分別分析各題設是否能推出結論，從而利用排除法得出答案．【詳解】（1）等角的補角相等，正確；（2）SSA無法證明全等，故錯誤；（3）一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，則這兩個角相等或互補，故錯誤；（4）兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補，故錯誤；（5）等腰三角形，兩腰上的高相等，正確；故選：A．3．（2023上·上海楊浦·八年級校考期中）下列命題中，假命題的個數(shù)是（

）（1）垂直于同一條直線的兩條直線平行；（2）面積相等的兩個三角形全等；（3）等腰三角形的頂角平分線垂直平分底邊；（4）三角形的一個外角大于任何一個內(nèi)角；（5）有兩角和一邊對應相等的兩個三角形全等；（6）有兩邊和其中一邊上的高對應相等的兩個三角形全等．A．個 B．個 C． D．【答案】C【分析】本題考查了命題的真假，分別利用平行線的判定、三角形全等的判定方法、等腰三角形的性質以及三角形外角的性質逐一判斷即可，熟練掌握已經(jīng)學過的概念、性質、定理是解題的關鍵．【詳解】解：（1）在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線平行，故（1）為假命題；（2）面積相等的兩個三角形不一定全等，故（2）為假命題；（3）等腰三角形的頂角平分線垂直平分底邊，故（3）為真命題；（4）三角形的一個外角大于任何一個與它不相鄰的內(nèi)角，故（4）為假命題；（5）有兩角和其中一角的對邊對應相等的兩個三角形全等，故（5）為假命題；（6）有兩邊和其中一邊上的高對應相等的兩個三角形不一定全等，故（6）為假命題；其中，假命題有5個，故選：C．鞏固訓練：1．（2023上·北京豐臺·八年級北京市第十二中學?？计谥校┫铝忻}正確的是（）①兩個等邊三角形一定全等；②兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等；③有兩邊和一角分別相等的兩個三角形全等；④兩條邊和其中一條邊上的中線分別相等的兩個三角形全等．A．①和③ B．②和③ C．①和④ D．②和④【答案】D【分析】根據(jù)三角形全等的判定方法逐一判斷即可．【詳解】①兩個等邊三角形的邊不一定相等，故“兩個等邊三角形一定全等”是錯誤的；②根據(jù)判定方法“角邊角”可得“兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等”是正確的；③根據(jù)判定方法“邊角邊”可得有兩邊及它們的夾角分別相等的兩個三角形全等，但兩邊及其中一邊的對角分別相等的兩個三角形不全等，故“有兩邊和一角分別相等的兩個三角形全等”是錯誤的；④如圖，在和中，，，是邊上的中線，是邊上的中線，且．

∵是邊上的中線，是邊上的中線，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，由此可得“兩條邊和其中一條邊上的中線分別相等的兩個三角形全等”是正確的．綜上所述，正確的命題是：②和④．故選：D【點睛】本題考查三角形全等的判定，熟練掌握三角形全等的判定方法，根據(jù)所給的條件逐一判定是解題的關鍵．2．（2022上·上海靜安·八年級上海市市北初級中學校考期中）把命題“同角的補角相等”改寫為“如果……，那么……”的形式，如果________那么________．【答案】兩個角是同一個角的補角這兩個角相等【分析】命題由題設和結論兩部分組成，命題可以寫成“如果，那么”的形式，“如果”后接的部分是題設，“那么”后接的部分是結論，由此即可得．【詳解】解：把命題“同角的補角相等”改寫為“如果，那么”的形式：如果兩個角是同一個角的補角，那么這兩個角相等，故答案為：兩個角是同一個角的補角，這兩個角相等．【點睛】本題考查了命題，熟練掌握命題的表達形式是解題關鍵．3．（2022上·安徽阜陽·八年級?？计谥校┤鐖D，已知：是的一個外角．

(1)請從①，②平分，③中任選兩個當條件，第三個當結論構成一個真命題．條件：________________________________________________結論：________________________________________________(2)證明你所構建的命題是真命題．【答案】(1)①②，③(2)見解析【分析】（1）選擇①②當條件，③為結論，即可（答案不唯一）；（2）根據(jù)等邊對等角可得，根據(jù)三角形的外角性質可得，根據(jù)角平分線的定義可得，推得，根據(jù)平行線的判定即可證明．【詳解】（1）解：選擇①②當條件，③為結論；故答案為：①②，③．（2）解：已知：是的一個外角，，平分，求證：．證明：∵，∴，∵，∴，∵平分，∴，∴，∴．即選擇①②當條件，③為結論，構成真命題．【點睛】本題考查了真命題，平行線的判定，角平分線的定義，三角形的外角性質，等邊對等角等，熟練掌握以上判定和性質是解題的關鍵．題型二逆命題和逆定理1．（2023上·浙江寧波·八年級統(tǒng)考期末）下列命題的逆命題是假命題的是（）A．直角三角形的兩個銳角互余B．兩直線平行，內(nèi)錯角相等C．三條邊對應相等的兩個三角形是全等三角形D．若，則【答案】D【分析】寫出原命題的逆命題后判斷正誤即可．【詳解】解：A、逆命題為兩角互余的三角形是直角三角形，正確，是真命題，不符合題意；B、逆命題為內(nèi)錯角相等，兩直線平行，正確，是真命題，不符合題意；C、逆命題為全等三角形的三條邊對應相等，正確，是真命題，不符合題意；D、逆命題為若，則，∵若，則，∴錯誤，是假命題，符合題意．故選：D．【點睛】本題考查了命題與定理的知識，解題的關鍵是了解如何寫出一個命題的逆命題，難度不大．2．（2023上·上海靜安·八年級上海市風華初級中學?？计谀┫铝卸ɡ碇?，如果其逆命題是真命題，那么這個定理是（）A．對頂角相等 B．直角三角形的兩個銳角互余C．全等三角形的對應角相等 D．鄰補角互補【答案】B【分析】根據(jù)題意，分別寫出逆命題，再逐項判斷即可求解．【詳解】解：A.對頂角相等，逆命題為：相等的角是對頂角，原命題的逆命題是假命題，故該選項不正確，不符合題意；B.直角三角形的兩個銳角互余，逆命題為：兩個銳角互余的三角形是直角三角形，原命題的逆命題是真命題，故該選項正確，符合題意；C.全等三角形的對應角相等，逆命題為：對應角相等的兩個三角形全等，原命題的逆命題是假命題，故該選項不正確，不符合題意；D.鄰補角互補，逆命題為：互補的兩個角是鄰補角，原命題的逆命題是假命題，故該選項不正確，不符合題意；故選：B．【點睛】本題考查了真假命題的判斷，寫出原命題的逆命題，掌握相關性質定理是解題的關鍵．3．（2022上·上海黃浦·八年級校聯(lián)考階段練習）下列命題中，逆命題是假命題的是（）A．等邊三角形的三個內(nèi)角都等于60°B．如果兩個三角形全等，那么這兩個三角形的對應角相等C．如果兩個三角形全等，那么這兩個三角形的對應邊相等D．相等的兩個角是對頂角【答案】B【分析】先分別確定各命題的逆命題，再判斷真假即可．【詳解】A選項的逆命題是“三個內(nèi)角都等于的是等邊三角形”，是真命題，所以不符合題意；B選項的逆命題是“如果兩個三角形的對應角都相等，那么這兩個三角形全等”，可知這兩個三角形不一定全等，是假命題，所以符合題意；C選項的逆命題是“如果兩個三角形的對應邊都相等，那么這兩個三角形全等”，根據(jù)“”可知兩個三角形全等，是真命題，所以符合題意；D選項的逆命題是“對頂角相等”，是真命題，所以不符合題意．故選：B．【點睛】本題主要考查了逆命題，真假命題的判斷，掌握性質定理及逆定理是解題的關鍵．鞏固訓練1．（2023上·湖南邵陽·八年級統(tǒng)考階段練習）下列四個命題：①若，，則；②若，則；③如果兩個角是直角，那么它們相等；④同旁內(nèi)角互補，兩直線平行；其中逆命題是真命題的個數(shù)是（）A．個 B．個 C．個 D．個【答案】A【分析】本題考查了逆命題真假的判定，平行線的性質，絕對值的意義等知識，先寫出命題的逆命題，再對逆命題的真假進行判斷即可，理解相關性質是關鍵．【詳解】解：①逆命題是若，則，，錯誤，如，是假命題，故不符合題意；②逆命題是若，則，錯誤，如，是假命題，故不符合題意；③如果兩個角相等，則這兩個角是直角，錯誤，相等的角不一定都是直角，是假命題，故不符合題意；④逆命題是兩直線平行，同旁內(nèi)角互補，正確，是真命題；綜上，它們的逆命題是真命題只有1個．故選：．2．（2023下·甘肅平?jīng)觥ぐ四昙壭？计谥校┟}“如果兩個實數(shù)都是正數(shù)，那么它們的積是正數(shù)”的逆命題是_______．它是_____命題．（填“真”或“假”）【答案】如果兩個實數(shù)的積是正數(shù)，那么這兩個實數(shù)（它們）都是正數(shù)假【分析】逆命題就是將命題的題設和結論顛倒順序，即可寫出逆命題．根據(jù)逆命題判斷真假命題．【詳解】解：逆命題就是將命題的題設和結論顛倒順序，故“如果兩個實數(shù)都是正數(shù)，那么它們的積是正數(shù)”的逆命題是“如果兩個實數(shù)的積是正數(shù)，那么這兩個實數(shù)（它們）都是正數(shù)”，根據(jù)兩個負數(shù)的乘積也是正數(shù)可以判斷該命題為假命題，故答案為：如果兩個實數(shù)的積是正數(shù)，那么這兩個實數(shù)（它們）都是正數(shù)，假．【點睛】本題考查寫出命題的逆命題，熟練掌握命題的逆命題是解題的關鍵．3．（2022下·河南鄭州·八年級河南省實驗中學?？计谥校┤鐖D①所示，將兩個含角且大小相同的三角尺擺放在一起，可以證得是等邊三角形，于是我們得到：在直角三角形中，如果一個銳角等于，那么它所對的直角邊等于斜邊長的一半．交換此命題的條件和結論，得到下面命題：_．

(1)請在上面空格中寫出該命題；(2)小聰發(fā)現(xiàn)（1）中所寫命題為真命題，請根據(jù)該命題的條件和結論，結合圖②，用“幾何語言”補充出“已知”和“求證”，并寫出證明過程．已知：在中，，_．求證：_．證明：【答案】(1)若在直角三角形中，一直角邊等于斜邊一半，則這條直角邊所對的角為角；(2)；；證明見詳解【分析】（1）將條件與結論對調(diào)即可得到答案；（2）根據(jù)命題寫出已知求證，延長至D使，連接，證明即可得到得到答案；【詳解】（1）解：由題意可得，命題為：若在直角三角形中，一直角邊等于斜邊一半，則直角邊所對的角為角；（2）解：由（1）得，已知：在中，，，求證：；證明：延長至D使，連接，

∵，∴，在與，∵，∴，∴，，∵，，∴，∴是等邊三角形，∴，∴；故所填答案為：；．(證明如上)【點睛】本題考查書寫逆命題及證明，解題的關鍵是作出輔助線得到．題型三線段垂直平分線的性質與判定1．（2022上·全國·八年級專題練習）如圖，△ABC中，AB的垂直平分線交BC邊于點E，AC的垂直平分線交BC邊于點N，若∠BAC＝，則∠EAN的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可求∠B+∠C，根據(jù)垂直平分線性質，EA＝EB，NA＝NC，則∠EAB＝∠B，∠NAC＝∠C，從而可得∠BAC＝∠BAE+∠NAC－∠EAN＝∠B+∠C－∠EAN，即可得到∠EAN＝∠B+∠C－∠BAC，即可得解．【詳解】解：∵∠BAC＝，∴∠B+∠C＝，∵AB的垂直平分線交BC邊于點E，AC的垂直平分線交BC邊于點N，∴EA＝EB，NA＝NC，∴∠EAB＝∠B，∠NAC＝∠C，∴∠BAC＝∠BAE+∠NAC－∠EAN＝∠B+∠C－∠EAN，∴∠EAN＝∠B+∠C－∠BAC，＝＝．故選：B．【點睛】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和，線段垂直平分線的性質，角的和差關系，能得到求∠EAN的關系式是關鍵．2．（2022下·湖南岳陽·八年級?？茧A段練習）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，ED是AC的垂直平分線，交AC于點D，交BC于點E．已知∠C＝7∠BAE，則∠C的度數(shù)為（）A．41° B．42° C．43° D．44°【答案】B【分析】設∠BAE＝x°，則∠C＝7x°，根據(jù)ED是AC的垂直平分線，有AE＝EC，即有∠EAC＝∠C＝7x°，根據(jù)直角三角形中兩銳角互余建立方程，解方程即可求解．【詳解】設∠BAE＝x°，則∠C＝7x°，∵ED是AC的垂直平分線，∴AE＝EC，∴∠EAC＝∠C＝7x°，∵∠B＝90°，∴∠C+∠BAC＝90°，∴7x+7x+x＝90，解得：x＝6，∴∠C＝7×6°＝42°，故選：B．【點睛】本題考查了直角三角形的性質，等腰三角形的性質，線段垂直平分線的性質等知識點，能根據(jù)線段垂直平分線性質求出AE＝CE是解此題的關鍵．3．（2022上·上?！ぐ四昙壣虾Ｊ心涎竽７吨袑W?？计谀┤鐖D，在中，，斜邊的垂直平分線交于點，交于點，平分，那么下列關系中不成立的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質，，則，再由平分，得．從而得出答案．【詳解】解：、，且，，又平分，，故．正確，不符合題意；、在與中，，，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理．正確，不符合題意；、，且，∴EB=EA，正確，不符合題意；、不一定成立，符合題意．故選：D．【點睛】本題主要考查線段的垂直平分線的性質等幾何知識，解題的關鍵是掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等．鞏固訓練1．（2023上·江蘇無錫·八年級統(tǒng)考期中）如圖，，的垂直平分線交于點，若，則的度數(shù)是（）

A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了等腰三角形的性質和垂直平分線的性質，根據(jù)等要三角形的性質得到，再根據(jù)垂直平分線的性質求出是解決問題的關鍵．【詳解】解：，∴，∴，垂直平分，，∴，∴故選：D．2．（2023上·重慶沙坪壩·八年級?？计谥校┤鐖D，在中，平分的垂直平分線交于點E，交于點F，連接．若，，則的度數(shù)為_______．

【答案】【分析】本題主要考查了線段垂直平分線的性質，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關鍵．設，依據(jù)角平分線以及線段垂直平分線的性質，即可得到，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，即可得到的值．【詳解】解：設，∵平分，∴，∵的垂直平分線交于點，∴，∴，又∵，∴中，，即，解得，∴，故答案為：．3．（2023上·陜西渭南·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，，，是的平分線，交于點D，E是的中點，連接并延長，交的延長線于點F，連接．求證：(1)是的垂直平分線；(2)為等腰三角形．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質求得，再根據(jù)角平分線的定義求得，然后根據(jù)等腰三角形判定和三線合一性質可得結論；（2）先根據(jù)線段垂直平分線的性質得到，進而求得，根據(jù)等腰三角形的判定與性質求解即可．【詳解】（1）證明：∵在中，，，∴，∵是的平分線，∴，∴，∴，∵E是的中點，∴，，∴是的垂直平分線；（2）證明：∵是的垂直平分線，∴，∴，∴，∴為等腰三角形．【點睛】本題考查等腰三角形的判定與性質、角平分線的定義、線段垂直平分線的判定與性質、三角形的內(nèi)角和定理等知識，熟練掌握等腰三角形的判定與性質是解答的關鍵．題型四角平分線的性質與判定1．（2022上·上海·八年級上海市民辦立達中學?？茧A段練習）如圖所示，點是內(nèi)一點，要使點到、的距離相等，且，點是（）A．的角平分線與邊上中線的交點B．的角平分線與邊上中線的交點C．的角平分線與邊上中線的交點D．的角平分線與邊上中線的交點【答案】A【分析】根據(jù)點到、的距離相等可得點在的角平分線上，由可得邊上的中線上，即可求解．【詳解】解：由點到、的距離相等可得點在的角平分線上，由可得邊上的中線上，則點是的角平分線與邊上中線的交點，故選：A【點睛】此題考查了角平分線的判定以及三角形中線的性質，解題的關鍵是熟練掌握相關基礎性質．2．（2022上·上海楊浦·八年級?？计谥校┤鐖D，是中的角平分線，于點，于點，，，，則長是（

）A．6 B．5 C．7 D．8【答案】A【分析】先利用角平分線的性質得出，再根據(jù)三角形的面積公式求解即可．【詳解】是中的角平分線，于點，于點，，∴，，，，故選：A．【點睛】本題考查了角平分線的性質，熟練掌握知識點是解題的關鍵．3（2023·上海靜安·統(tǒng)考二模）下面是“作的平分線”的尺規(guī)作圖過程：①在、上分別截取、，使；②分別以點、為圓心，以大于的同一長度為半徑作弧，兩弧交于內(nèi)的一點；③作射線．就是所求作的角的平分線．該尺規(guī)作圖可直接利用三角形全等說明，其中三角形全等的依據(jù)是（）A．三邊對應相等的兩個三角形全等B．兩邊及它們的夾角對應相等的兩個三角形全等C．兩角及它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等D．兩角及其中一個角的對邊對應相等的兩個三角形全等【答案】A【分析】由作圖可得，，根據(jù)三角形全等的判定方法“”解答．【詳解】解∶連接，，由作圖可得，，，在和中∴，∴，∴平分．故選：A．【點睛】本題考查了全等三角形的應用，以及基本作圖，熟練掌握三角形全等的判定方法并讀懂題目信息是解題的關鍵．鞏固訓練1．（2023上·陜西安康·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，的平分線交于點，連接，過點作的面積是16，周長是8，則的長是（）

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】本題主要考查了角平分線的性質，先過點作于點，然后根據(jù)角平分線的性質，證明，然后根據(jù)的面積的面積的面積的面積，求出答案即可．【詳解】如圖所示：過點作于點，

，分別是和的角平分線，，，，，，，，，，，故選：D．2．（2023上·江蘇南通·八年級校聯(lián)考期中）如圖，已知，邊分別交交于M，N，若，，則的度數(shù)是_____．【答案】/28度【分析】此題考查了全等三角形的性質、等腰三角形的性質，角平分線的判定，作，垂足分別為P，Q，根據(jù)全等三角形的性質得出，則平分，設，證出，，根據(jù)列出方程計算即可．【詳解】解：作，垂足分別為P，Q，∵，∴，平分，，設，∵，，，，，，∵，∴，，，，解得：，∴，故答案為：．3．（2023上·廣東廣州·八年級鐵一中學?？计谥校┤鐖D，在中，平分交BC于點D，，，垂足為E、F．

(1)若，，求的長度；(2)連接，求證：．【答案】(1)4(2)見解析【分析】此題考查了角平分線的性質定理，等邊對等角性質，三角形面積公式等知識，（1）首先根據(jù)三角形面積公式求出，然后利用角平分線的性質定理求解即可；（2）連接，根據(jù)等邊對等角得到，然后結合得到，即可證明．解題的關鍵是熟練掌握角平分線的判定定理：角的內(nèi)部到角兩邊相等的點在角的平分線上．【詳解】（1）∵，，∴，即解得∵平分交BC于點D，，，∴，（2）如圖所示，連接，

∵∴∵∴∵∴∴．題型五軌跡1．（2022上·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習）如圖，甲、乙、丙三人同時從點出發(fā)向點移動，甲的運動路線為一個半圓形的圓弧，乙的運動路線為兩個半圓形的圓弧，丙的運動路線為三個半圓形的圓弧，若甲、乙、丙的運動速度相等，則誰先到達點（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．三人同時到達【答案】D【分析】分別計算出三人所走的路程，即可判定．【詳解】解：甲的運動路線為一個半圓形的圓弧甲的運動路徑長乙的運動路線為兩個半圓形的圓弧，乙的運動路徑長丙的運動路線為三個半圓形的圓弧，丙的運動路徑長三人總路程相等，而速度也相等三人同時到達故選：D【點睛】本題考查了圓的周長公式，理解題意，準確計算是解決此類題的關鍵．2．（2022上·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習）如圖，將一個半徑為1cm的半圓，在直線上從左往右作無滑動的滾動，則滾動2020周后圓心所經(jīng)過的路徑長為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出圓心O滾動一周路徑長，可得結論；【詳解】解：如圖，圓心滾動一周路徑為長為，∴滾動2020周后圓心所經(jīng)過的路徑長，故選：D．【點睛】本題考查軌跡，弧長公式等知識，解題的關鍵是作出圓心的滾動軌跡為兩個90°的弧長和一個180°的弧長．3．（2022上·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習）如圖，點，分別在軸，軸正半軸上（含坐標原點）滑動，且滿足，點為線段的中點，將線段繞點順時針旋轉得到線段，當由點向右移動時，點移動的路徑長為（

）A．3 B．4 C． D．【答案】C【分析】由C點坐標（），得出C點在直線y＋x=3（0≤x≤3）上，分別討論A在O點和A′時C，D的坐標，結合圖形求解，從而確定D點的軌跡為線段．【詳解】解：如圖，OA＋OB=6，點C為線段AB的中點∴C點坐標（），，即C點在直線y＋x=3（0≤x≤3）上設A（3，0），則B（0，3）∴當點在點處時，C（0，3），此時D（3，0）∴∠BAO=45°當點在處時即處，C（3，0），此時D′（6，3）AA′=A′D′=3∴∠D′AA′=45°∴△為等腰直角三角形∴∵∠BAO=45°，∠D′AA′=45°∴∠BAD′=90°線段AC繞點A順時針旋轉90°得到線段AD∴當C點由B到A時，D點由A到D′∴點移動的路徑長為故選：C【點睛】本題考查點的運動軌跡，旋轉的特征，直線上坐標的特征，由C點的坐標關系得出C點的軌跡再結合圖形得出D點的軌跡是解題關鍵．鞏固訓練1．（2022上·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習）如圖，是邊長為2的等邊三角形，是高上的一個動點，以為邊向上作等邊，在點從點到點的運動過程中，點所經(jīng)過的路徑長是（

）A．2 B． C． D．【答案】D【分析】取的中點，連接，證明，進而得到，再計算出即可求出點所經(jīng)過的路徑長．【詳解】解：如圖，取的中點，連接，，，，，和是等邊三角形，，，，，，，，，又點在處時，，點在處時，點與點重合，點所經(jīng)過的路徑的長為從C點運動到點運動的路徑長．故選：．【點睛】本題考查了等邊三角形的性質及三角形全等的判定方法，本題的關鍵是求出點N的運動軌跡的路徑長等于線段DM的長．2．（2022·八年級統(tǒng)考課時練習）和已知線段的兩端點距離相等，且到一個已知點的距離等于定長的點最多有______個．【答案】2【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質可得和已知線段的兩端點距離相等的點在線段垂直平分線上，分別討論定長m>PO、m=PO和m<PO三種情況，得出與垂直平分線的交點個數(shù)即可得答案.【詳解】如圖，直線CD為相等AB的垂直平分線，過定點P作PO⊥CD，設定長為m，∵已知線段的兩端點距離相等的點在AB的垂直平分線上，∴所求的點在直線CD上，∴當m>PO時，與CD有2個交點，當m=PO時，與CD有1個交點，當m<PO時，與CD沒有交點，∴已知線段的兩端點距離相等，且到一個已知點的距離等于定長的點最多有2個，故答案為2【點睛】本題考查本題考查的是點的軌跡，熟練掌握線段垂直平分線的性質并靈活運用分類討論的思想是解題關鍵.3．（2022·八年級統(tǒng)考課時練習）如圖，，，點在上．以為直角頂點作等腰直角三角形，則當從運動到的過程中，探求點的運動軌跡．【答案】線段．【分析】過點作交直線于點，根據(jù)D點在B點，BC中點以及C點時，得出E點所在位置，進而得出E點在一條直線上，進而得出答案．【詳解】如圖所示：過點作交直線于點，當點與點重合時，點與點重合，當點在中點時，∵，，∴．∵在和中，，∴≌（AAS）．∴，．∵，，∴．∴．∵∠ACB=45°，∴∠ECA=90°，當點與點重合時，∠ECA=90°，∴點與另兩個點都在過點C且垂直于AC的一條直線上．綜上所述：當從運動到的過程中，點的運動軌跡是線段．【點睛】此題主要考查了點的軌跡問題，根據(jù)已知得出D點在不同位置時E點位置是解題關鍵．題型六直角三角形全等的判定1．（2023上·上海普陀·八年級?？计谥校┫旅嫠膫€命題中，真命題的個數(shù)是（）①腰和腰上的高對應相等的兩個等腰三角形全等；②有兩角及一邊對應相等的兩個三角形全等；③有兩邊及其中一邊上的中線對應相等的兩個三角形全等；④有兩邊及第三邊上的中線對應相等的兩個三角形全等．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【分析】根據(jù)等腰三角形的性質及全等三角形的判定可進行求解．【詳解】解：①腰和腰上的高對應相等的兩個等腰三角形全等，正確；理由：如圖所示，在等腰與等腰中，，于點H，于點G，且，求證：；

證明：∵，，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴；②有兩角及一邊對應相等的兩個三角形全等，根據(jù)或可知其正確；③有兩邊及其中一邊上的中線對應相等的兩個三角形全等；正確；理由：如圖所示，在與中，，、分別是上的中線，且，求證：；

證明：∵、分別是上的中線，，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴；④有兩邊及第三邊上的中線對應相等的兩個三角形全等，正確，理由：如圖所示，在與中，，，、分別為、上的中線，且，求證：．

證明：延長至，使，連接，延長至，使，連接．，．為的中點，．在和中，，．同理，．，．在和中，，，，同理可得．．．綜上所述：真命題的個數(shù)是4個；故選D．【點睛】本題主要考查全等三角形的性質與判定及等腰三角形的性質，熟練掌握全等三角形的性質與判定及等腰三角形的性質是解題的關鍵．2．（2022上·上海浦東新·八年級校聯(lián)考期末）如圖，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB，交BC于D，DE⊥AB于E．AB＝10cm，則△DEB的周長為（）A．8cm B．10cm C．12cm D．14cm【答案】B【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質可得出BE=DE，由角平分線的性質可得出DE=DC、AE=AC，根據(jù)周長的定義即可得出C△DEB=BE+DE+BD=AB=10，此題得解．【詳解】解：∵△ABC中，∠C=90°，AC=BC，∴△ABC為等腰直角三角形，∴∠B=45°，∵DE⊥AB，即∴∴DE=BE∴△BDE為等腰直角三角形，∴BE=DE．∵AD平分∠CAB交BC于D，∴DE=DC，又∠C＝90°，

∴在和中，∵∴∴AE=AC，∴C△DEB=BE+DE+BD=BE+DC+BD=BE+BC=BE+AE=AB=10cm．故選：B．【點睛】本題考查了等腰直角三角形以及角平分線的性質，根據(jù)角平分線的性質結合等腰直角三角形的性質找出BE=DE、DE=DC、AE=AC是解題的關鍵．3．（2020上·上海普陀·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，，為上一點，聯(lián)結，點在上，過點作，，垂足分別為M、N．下面四個結論：

①如果，那么；②如果，那么；③如果，那么；④如果，那么．其中正確的有（）．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【分析】①，，根據(jù)等腰三角形的性質，可證得是的角平分線，又由，，根據(jù)角平分線的性質，即可證得；②根據(jù)證明，利用全等三角形的性質和等腰三角形的性質得出；③根據(jù)等腰三角形的性質和全等三角形的判定和性質得出；④根據(jù)全等三角形的判定和性質以及等腰三角形的性質得出．【詳解】解：①∵，，∴，∵，，∴，故①正確；②∵，，∴，∵，∴；故②正確；③∵，，∴，∵，，∴，∴，∴；故③正確；④∵，，∵，，∴，∴，∴，∴．故④正確；故選：D．【點睛】此題考查了角平分線的性質、等腰三角形的性質以及全等三角形的判定與性質．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結合思想的應用．鞏固訓練1．（2023上·廣東江門·八年級新會華僑中學?？茧A段練習）如圖，中，，，平分交于，于，且，則的周長為（）

A．12 B．6 C．8 D．10【答案】B【分析】本題考查了角平分線上的點到角的兩邊的距離相等的性質，全等三角形的判定及性質，根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊的距離相等可得，利用“”證明和全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得，然后求出的周長即可．【詳解】解：∵平分，，，∴，在和中，，∴（），∴，∴的周長，，，，，，∵，∴的周長為．故選：B．2．（2023上·天津·八年級校聯(lián)考期中）如圖，已知平分，于E，，則下列結論：①；②；③．其中正確結論的有________．（只寫序號）【答案】①②③【分析】本題考查了角平分線的性質、全等三角形的判定及性質，利用角平分線的性質及得，進而可判斷①；利用得則可判斷③；利用全等三角形的性質及角的等量代換即可判斷②，熟練掌握相關判定及性質是解題的關鍵．【詳解】解：如圖，作交AD的延長線于點F，平分，于E，，，在和中，，，，，，，，，，故①正確；在和中，，，，，故③正確；，，，故②正確；故答案為：①②③．3．（2023上·江蘇南京·八年級南京外國語學校校考期中）已知：點O到的兩邊所在直線的距離相等，且．

(1)如圖1，若點O在邊上，過點O分別作，垂足分別是E，F(xiàn)．求證：；(2)如圖2，若點O在的內(nèi)部，求證：；(3)若點O在的外部，“小強”同學認為也一定成立，你同意他的想法嗎？若同意，請說明理由；若不同意，請畫出反例并進行必要的標注．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)不同意，見解析【分析】本題考查全等三角形的判定與性質，等角對等邊．熟練掌握全等三角形的判定與性質是解題的關鍵．（1）證明，則，進而可證；（2）過點O作于E，于F，如圖1所示，證明，則，由，可得，則，進而可證；（3）由題意知分三種情況：①過點O作的延長線于點E，作的延長線于點F，如圖3所示，證明，則，，進而可得，進而可證；②過點O作于點E，作的延長線于點F，連接，如圖4所示，證明，則，由，可得，③過點O作于點E，作的延長線于點F，連接，如圖5所示：同理②，可得，然后作答即可．【詳解】（1）證明：由題意知，，∵，，∴，∴，∴；（2）證明：過點O作于E，于F，如圖1所示，

∴，，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，即，∴；（3）解：不同意他的想法，理由如下：分三種情況：①過點O作的延長線于點E，作的延長線于點F，如圖3所示：

∴，，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，即，∴；②過點O作于點E，作的延長線于點F，連接，如圖4所示：

∴，，∵，，∴，∴，∵，∴；③過點O作于點E，作的延長線于點F，連接，如圖5所示：

同理②，，∴，∵，∴；綜上所述，不一定成立．題型七直角三角形的性質1．（2022上·上?！ぐ四昙壣虾Ｊ忻褶k上寶中學?？计谥校┤鐖D，在四邊形中，，點分別是對角線的中點，則（）A． B．C． D．【答案】A【分析】如圖所示，連接，根據(jù)中點的性質，直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半，可得，根據(jù)“邊邊邊”可證，由此即可求解．【詳解】解：如圖所示，連接，∵，點分別是對角線的中點，∴在中，是斜邊的中線，則，在中，是斜邊的中線，則，∴，∵點是對角線的中點，∴，在中，，∴，∴，且，∴，∴，故選項正確，故選：．【點睛】本題主要考查直角三角形斜邊上中線等于斜邊的一半，全等三角形的判定和性質，掌握以上知識是解題的關鍵．2．（2023·上海普陀·統(tǒng)考二模）如圖，中，，、分別平分、，，下面結論中不一定正確的是(

)

A． B．C． D．點O到直線的距離是1【答案】C【分析】由角平分線的定義求出，由三角形內(nèi)角和定理求出的度數(shù)，由三角形內(nèi)心的性質求出的度數(shù)是，的長在變化不一定等于，由直角三角形的性質得到，由角平分線的性質得到，得到到的距離是，據(jù)此即可求解．【詳解】解：作于，于，

、分別平分、，，，，，故A正確；、分別平分，是的內(nèi)心，平分，，，故B正確；的長在變化不一定等于，故C不一定正確；，，，，到的距離是，故D正確．故選：C．【點睛】本題考查角平分線的性質，解題的關鍵是掌握角平分線的性質．3．（2022上·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，斜邊AB的垂直平分線DE交AB于點D，交BC于點E，且AE平分∠BAC，下列關系式不成立的是（）A．AC＝2EC B．∠B＝∠CAE C．∠DEA＝∠CEA D．BC＝3CE【答案】A【分析】根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得AE＝BE，根據(jù)等邊對等角可得∠BAE＝∠B，然后利用直角三角形兩銳角互余列式求出∠CAE＝∠BAE＝∠B＝30°，根據(jù)直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半可得AE＝2CE，BE＝2DE，根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊的距離相等可得DE＝EC，然后對各選項分析判斷后利用排除法求解．【詳解】解：∵DE是AB的垂直平分線，∴AE＝BE，∴∠BAE＝∠B，∵AE平分∠BAC，∴∠CAE＝∠BAE，∵∠C＝90°，∴∠CAE＝∠BAE＝∠B＝30°，A.在Rt△ACE中，，故A錯誤，符合題意；B.∠B＝∠CAE=30°，故B正確，不符合題意；C.∵，，∴∠DEA＝∠CEA，故C正確，不符合題意；D.在Rt△BDE中，BE＝2DE，∵AE平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB，∴DE＝EC，∴BC＝EC+BE＝EC+2EC＝3EC，故D正確，不符合題意．故選：A．【點睛】本題主要考查了線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等的性質，角平分線上的點到角的兩邊的距離相等的性質，等邊對等角的性質，以及三角形的內(nèi)角和定理，求出∠CAE＝∠BAE＝∠B＝30°，是解題的關鍵．鞏固訓練1．（2023上·廣西南寧·八年級統(tǒng)考期中）在中，，如果將這個三角形折疊，使得點B與點A重合，折痕交于點M，交于點N，那么等于（）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】D【分析】根據(jù)折疊的性質得到是的垂直平分線，得到，進而得到，再利用三角形的外角定理得，然后根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關系求出，即可得到．【詳解】解：如圖，連接，

∵折疊，∴是的垂直平分線，∴，∴，∴，∵，∴，∴；故選D．【點睛】本題考查折疊的性質，中垂線的性質，三角形的外角的性質，含30度的直角三角形，根據(jù)題意，正確的畫出圖形，利用數(shù)形結合的思想進行求解，是解題的關鍵．2．（2023上·山西呂梁·八年級?？计谥校┤鐖D，中，，，分別以為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點，直線分別交于點．若，則___________．【答案】/【分析】本題考查了等腰三角形的性質，線段垂直平分線的性這些質，含30度角的直角三角形的性質．連接，由等腰三角形的性質求出，再求出，可證，然后根據(jù)即可求解．【詳解】解：連接．∵，，∴．由作法知，是的垂直平分線，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴．故答案為：．3．（2023上·廣東深圳·八年級?？计谥校┮阎喝鐖D，在中，，，，點D在邊上，平分，E為上的一個動點（不與A、C重合），，垂足為F．(1)求證：；(2)設，，求y關于x的函數(shù)解析式；(3)當時，求的長？【答案】(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）先由三角形內(nèi)角和定理求出，再由角平分線的定義得到，由此可證明；（2）先求出，再由含30度角的直角三角形的性質得到，求出，得到，則；（3）先求出，則，即可得到，再證明，得到，則，解方程得到，則．【詳解】（1）證明：∵在中，，，∴，∵平分，∴，∴，∴；（2）解：∵，∴，在中，，，∴，在中，，∴，∴，∴；（3）解：∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴．【點睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，等角對等邊，角平分線的定義，含30度角的直角三角形的性質，列函數(shù)關系式等等，熟知含30度角的直角三角形中，30度角所對的直角邊長是斜邊長的一半是解題的關鍵．題型八勾股定理1．（2022上·上海青浦·八年級校考期末）美國數(shù)學家伽菲爾德在1876年提出了證明勾股定理的一種巧妙方法，如圖，在直角梯形中，，，是邊上一點，且，．如果的面積為1，且，那么的面積為（）A．1 B．2 C． D．5【答案】C【分析】由題意求得，根據(jù)的面積為梯形面積減去兩個直角三角形的面積，列式計算即可求解．【詳解】解：∵的面積為1，∴，即，∵，即，∴，即，∴的面積．故選：C．【點睛】本題考查了完全平方公式的應用，解題關鍵是利用面積關系，完全平方公式的變形求解．2．（2022下·河北邯鄲·八年級校考階段練習）如圖中能用來證明勾股定理的有（）A．3個 B．4個 C．5個 D．6個【答案】C【分析】運用等面積法證明即可；【詳解】①根據(jù)等面積法得：，得出，可以證明勾股定理；②，得出，可以證明勾股定理；③不能證明勾股定理；④，得出，可以證明勾股定理；⑤得出，可以證明勾股定理；⑥，得出，可以證明勾股定理；⑦，不可以證明勾股定理；故①②④⑤⑥可以證明勾股定理；故選：C．【點睛】該題主要考查了勾股定理的證明，解題的關鍵是運用等面積法的列等量關系．3．（2023上·山東濟南·八年級濟南市章丘區(qū)第二實驗中學校考階段練習）我國漢代數(shù)學家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”，如圖由“趙爽弦圖”變化得到，它是用八個全等的直角三角形拼接而成，記圖中正方形，正方形，正方形的面積分別為，，．若，則的值是（）A．12 B．10 C．9 D．8【答案】B【分析】分析已知條件，圖形由八個全等的直角三角形拼接而成，可設直角三角形的長直角邊為a，短直角邊為b，用含a、b的式子把正方形，正方形，正方形的面積，，表示出來，得出根據(jù)，，，最后根據(jù)，代入求解即可．【詳解】解：該圖形由用八個全等的直角三角形拼接而成，設直角三角形較長直角邊為a，較短直角邊為b，∴，，，∵，∴，∴．故選：B．【點睛】本題主要考查了圖形面積關系，弄清圖形的意義，熟練掌握勾股定理以及完全平方公式是解決問題的關鍵．鞏固訓練1．（2023上·安徽宿州·八年級統(tǒng)考期中）我國古代數(shù)學家趙爽的“勾股圓方圖”是由四個全等的直角三角形與中間的一個小正方形拼成的一個大正方形（如圖）；如果大正方形的面積是，小正方形的面積是，直角三角形的兩直角邊分別為、，那么的值是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】此題考查了勾股定理，完全平方式，根據(jù)大正方形的面積是，可得，根據(jù)小正方形的面積是，可得，將這兩個式子變形即可解決問題．【詳解】解：∵直角三角形的兩直角邊分別為、，大正方形的面積是，小正方形的面積是，∴，，由得：，得：，得：，∴，故選：．2（2023上·江蘇蘇州·八年級?？茧A段練習）如圖所示，是用4個全等的直角三角形與1個小正方形鑲嵌而成的正方形圖案，已知大正方形面積為50，小正方形面積為4，若用x，y表示直角三角形的兩直角邊，則______．【答案】23【分析】由大正方形的面積為50結合勾股定理可得出；由小正方形的邊長為，即得出，即，最后整體代入計算即可．【詳解】解：由圖可知大正方形的邊長為．∵大正方形面積為50，∴，即．由圖可知小正方形的邊長為，∵小正方形面積為4，∴，即，將代入，得：，∴．故答案為：23．【點睛】本題考查勾股定理中弦圖的有關計算，準確找出圖中的線段關系，并利用完全平方公式求出各個式子的關系是解題的關鍵．3．（2023上·山西晉中·八年級統(tǒng)考期中）綜合與實踐【背景介紹】勾股定理是幾何學中的明珠，充滿著魅力．如圖1是著名的趙爽弦圖，由四個全等的直角三角形拼成，用它可以證明勾股定理，思路是大正方形的面積有兩種求法，一種是等于，另一種是等于四個直角三角形與一個小正方形的面積之和，即，從而得到等式，化簡便得結論．這里用兩種求法來表示同一個量從而得到等式或方程的方法，我們稱之為“雙求法”．【方法運用】千百年來，人們對勾股定理的證明趨之若鶩，其中有著名的數(shù)學家，也有業(yè)余數(shù)學愛好者．向常春在2010年構造發(fā)現(xiàn)了一個新的證法：把兩個全等的直角三角形和如圖2放置，其三邊長分別為，，，，顯然．(1)請用分別表示出四邊形，梯形，的面積，再探究這三個圖形面積之間的關系，證明勾股定理．(2)【方法遷移】請利用“雙求法”解決下面的問題：如圖3，小正方形邊長為1，連接小正方形的三個頂點，可得，_，邊上的高為______．【答案】(1)見解析(2)6，【分析】本題考查了梯形，證明勾股定理，勾股定理的應用（1）表示出三個圖形的面積進行加減計算可證；（2）計算出的面積，再根據(jù)三角形的面積公式即可求得邊上的高；【詳解】（1）解：，，，，∴，化簡得：；（2）解：設邊上的高為，則：，∴，∴即AB邊上的高是，故答案為：，．題型九勾股定理的逆定理1．（2023上·江蘇徐州·八年級?？计谥校┫铝袟l件中，不能判定是直角三角形的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和，以及勾股定理的逆定理，解題的關鍵是掌握三角形的內(nèi)角和為；兩邊平方和等于第三邊平方的三角形為直角三角形．根據(jù)三角形的內(nèi)角和為，即可判斷A、B；根據(jù)平方差公式和勾股定理的逆定理，即可判斷C；根據(jù)勾股定理的逆定理，即可判斷D．【