2025屆高考數(shù)學統(tǒng)考二輪復習第二部分專題4概率與統(tǒng)計第2講概率離散型隨機變量及其分布教師用書教案理1

PAGE專題4第2講概率、離散型隨機變量及其分布古典概型與幾何概型授課提示：對應學生用書第41頁考情調(diào)研考向分析對古典概型和幾何概型每年都會考查，主要考查兩種概率模型的概率求法．在高考中單獨命題時，通常以選擇題、填空題形式出現(xiàn)，屬于中低檔題；與統(tǒng)計等學問結(jié)合在一起考查時，以解答題形式出現(xiàn)，屬中檔題.1.求解與長度、面積有關的幾何概型問題．2.求解簡潔古典概型的概率.[題組練透]1.(2024·長春質(zhì)檢)小明和小勇玩一個四面分別標有數(shù)字1,2,3,4的正四面體形玩具，每人拋擲一次，則兩次朝下面的數(shù)字之和不小于5的概率為()A.eq\f(3,8) B.eq\f(1,2)C.eq\f(5,8) D.eq\f(3,4)解析：用(x，y)表示兩次朝下面的數(shù)字的結(jié)果：由題意可得(x，y)可能出現(xiàn)的結(jié)果有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4),共16個基本領件；滿意“兩次朝下面的數(shù)字之和不小于5”的基本領件有：(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共10個基本領件，所以兩次朝下面的數(shù)字之和不小于5的概率為eq\f(10,16)＝eq\f(5,8).故選C.答案：C2．部分省份在即將實施的新高考中將實行3＋1＋2模式，即語文、數(shù)學、英語必選，物理、歷史二選一，政治、地理、化學、生物四選二．小明與小芳都打算選物理，假如他們都對后面四科的選擇沒有偏好，則他們所考六科中恰有五科相同的概率為()A.eq\f(2,3) B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,6)解析：新高考中將實行3＋1＋2模式，即語文、數(shù)學、英語必選，物理、歷史二選一，政治、地理、化學、生物四選二．小明與小芳都打算選物理，他們都對后面四科的選擇沒有偏好，基本領件總數(shù)n＝Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,4)＝36，他們所考六科中恰有五科相同包含的基本領件個數(shù)m＝Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)＝24，∴他們所考六科中恰有五科相同的概率為p＝eq\f(m,n)＝eq\f(24,36)＝eq\f(2,3).故選A.答案：A[題后悟通]解答古典概型、幾何概型問題時的留意點(1)解答有關古典概型的概率問題，關鍵是正確求出基本領件總數(shù)和所求事務包含的基本領件數(shù)，這常用到計數(shù)原理與排列、組合的相關學問．(2)在求基本領件的個數(shù)時，要精確理解基本領件的構成，這樣才能保證所求事務所包含的基本領件數(shù)的求法與基本領件總數(shù)的求法的一樣性．(3)當構成試驗的結(jié)果的區(qū)域為長度、面積、體積、弧長、夾角等時，應考慮運用幾何概型求解．(4)利用幾何概型求概率時，關鍵是構成試驗的全部結(jié)果的區(qū)域和事務發(fā)生的區(qū)域的找尋，有時須要設出變量，在坐標系中表示所須要的區(qū)域．[留意]當干脆求解有困難時，可考慮其對立事務的概率．相互獨立事務和獨立重復試驗授課提示：對應學生用書第41頁考情調(diào)研考向分析以理解條件概率、獨立重復試驗、二項分布、正態(tài)分布的概念為主，重點考查二項分布概率模型的應用．識別概率模型是解決概率問題的關鍵．在高考中，常以解答題的形式考查，難度為中檔.1.相互獨立事務同時發(fā)生的概率．2.獨立重復試驗下某事務恰好發(fā)生k次的概率．3.正態(tài)分布．4.條件概率.[題組練透]1．(2024·蚌埠模擬)我市高三年級其次次質(zhì)量檢測的數(shù)學成果X近似聽從正態(tài)分布N(82，σ2)，且P(74<X<82)＝0.42.已知我市某校有800人參與此次考試，據(jù)此估計該校數(shù)學成果不低于90分的人數(shù)為()A．64 B．81C．100 D．121解析：因為數(shù)學成果X近似聽從正態(tài)分布N(82，σ2)，所以數(shù)學成果X關于X＝82對稱，已知P(74<X<82)＝0.42，所以P(82<X<90)＝0.42，P(X≥90)＝P(X≤74)＝eq\f(1－0.42×2,2)＝0.08，所以我市某校有800人參與此次考試，據(jù)此估計該校數(shù)學成果不低于90分的人數(shù)為0.08×800＝64，故選A.答案：A2．已知盒中裝有3只螺口燈泡與7只卡口燈泡，這些燈泡的外形與功率都相同且燈口向下放著，現(xiàn)須要一只卡口燈泡，電工師傅每次從中任取一只且不放回，則在他第1次抽到的是螺口燈泡的條件下，第2次抽到的是卡口燈泡的概率為()A.eq\f(3,10) B.eq\f(2,9)C.eq\f(7,8) D.eq\f(7,9)解析：法一：設事務A為“第1次抽到的是螺口燈泡”，事務B為“第2次抽到的是卡口燈泡”，則P(A)＝eq\f(3,10)，P(AB)＝eq\f(3,10)×eq\f(7,9)＝eq\f(7,30)，則所求概率為P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(\f(7,30),\f(3,10))＝eq\f(7,9).法二：第1次抽到螺口燈泡后還剩余9只燈泡，其中有7只卡口燈泡，故第2次抽到卡口燈泡的概率為eq\f(C\o\al(1,7),C\o\al(1,9))＝eq\f(7,9).答案：D3．某企業(yè)有甲、乙兩個研發(fā)小組，他們研發(fā)新產(chǎn)品勝利的概率分別為eq\f(2,3)和eq\f(3,5).現(xiàn)支配甲組研發(fā)新產(chǎn)品A，乙組研發(fā)新產(chǎn)品B.設甲、乙兩組的研發(fā)相互獨立．(1)求至少有一種新產(chǎn)品研發(fā)勝利的概率；(2)若新產(chǎn)品A研發(fā)勝利，預料企業(yè)可獲利潤120萬元；若新產(chǎn)品B研發(fā)勝利，預料企業(yè)可獲利潤100萬元，求該企業(yè)可獲利潤的分布列．解析：記E＝{甲組研發(fā)新產(chǎn)品勝利}，F(xiàn)＝{乙組研發(fā)新產(chǎn)品勝利}，由題設知P(E)＝eq\f(2,3)，P(eq\x\to(E))＝eq\f(1,3)，P(F)＝eq\f(3,5)，P(eq\x\to(F))＝eq\f(2,5)，且事務E與F，E與eq\x\to(F)，eq\x\to(E)與F，eq\x\to(E)與eq\x\to(F)都相互獨立．(1)記H＝{至少有一種新產(chǎn)品研發(fā)勝利}，則eq\x\to(H)＝eq\x\to(E)eq\x\to(F)，于是P(eq\x\to(H))＝P(eq\x\to(E))P(eq\x\to(F))＝eq\f(1,3)×eq\f(2,5)＝eq\f(2,15)，故所求的概率為P(H)＝1－P(eq\x\to(H))＝1－eq\f(2,15)＝eq\f(13,15).(2)設企業(yè)可獲利潤為X(萬元)，則X的可能取值為0,100,120,220.因為P(X＝0)＝P(eq\x\to(E)eq\x\to(F))＝eq\f(1,3)×eq\f(2,5)＝eq\f(2,15)，P(X＝100)＝P(eq\x\to(E)F)＝eq\f(1,3)×eq\f(3,5)＝eq\f(3,15)＝eq\f(1,5)，P(X＝120)＝P(Eeq\x\to(F))＝eq\f(2,3)×eq\f(2,5)＝eq\f(4,15)，P(X＝220)＝P(EF)＝eq\f(2,3)×eq\f(3,5)＝eq\f(6,15)＝eq\f(2,5)，故所求的分布列為：X0100120220Peq\f(2,15)eq\f(1,5)eq\f(4,15)eq\f(2,5)[題后悟通]求相互獨立事務和獨立重復試驗的概率應留意(1)求困難事務的概率，要正確分析困難事務的構成，看困難事務能轉(zhuǎn)化為幾個彼此互斥的事務的和事務還是能轉(zhuǎn)化為幾個相互獨立事務同時發(fā)生的積事務，然后用概率公式求解．(2)一個困難事務若正面狀況比較多，反面狀況較少，則一般利用對立事務進行求解．對于“至少”“至多”等問題常用這種方法求解．(3)留意辨別獨立重復試驗的基本特征：①在每次試驗中，試驗結(jié)果只有發(fā)生與不發(fā)生兩種狀況；②在每次試驗中，事務發(fā)生的概率相同．(4)牢記公式Pn(k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n，并深刻理解其含義．[留意]留意區(qū)分互斥事務和相互獨立事務，互斥事務是在同一試驗中不行能同時發(fā)生的兩個事務，相互獨立事務是指幾個事務的發(fā)生與否互不影響，當然可以同時發(fā)生．隨機變量的分布列、均值與方差授課提示：對應學生用書第42頁考情調(diào)研考向分析以理解離散型隨機變量及其分布列的概念為主，常常以頻率分布直方圖為載體，結(jié)合頻率與概率，考查離散型隨機變量、離散型隨機變量分布列的求法．在高考中以解答題的形式進行考查，難度多為中低檔.1.已知離散型隨機變量符合某條件，求其均值與方差．2.已知離散型隨機變量的均值與方差，求參數(shù)值．3.已知離散型隨機變量滿意兩種方案，試作出推斷.[題組練透]1．(2024·甘肅質(zhì)檢)某精準扶貧幫扶單位，為幫助定點扶貧村真正脫貧，堅持扶貧同扶智相結(jié)合，幫助精準扶貧戶利用互聯(lián)網(wǎng)電商渠道銷售當?shù)靥禺a(chǎn)蘋果．蘋果單果直徑不同單價不同，為了更好的銷售，現(xiàn)從該精準扶貧戶種植的蘋果樹上隨機摘下了50個蘋果測量其直徑，經(jīng)統(tǒng)計，其單果直徑分布在區(qū)間[50,95]內(nèi)(單位：mm)，統(tǒng)計的莖葉圖如圖所示：(1)從單果直徑落在[72,80)的蘋果中隨機抽取3個，求這3個蘋果單果直徑均小于76mm的概率；(2)以此莖葉圖中單果直徑出現(xiàn)的頻率代表概率．直徑位于[65,90)內(nèi)的蘋果稱為優(yōu)質(zhì)蘋果，對于該精準扶貧戶的這批蘋果，某電商提出兩種收購方案：方案A：全部蘋果均以5元/千克收購；方案B：從這批蘋果中隨機抽取3個蘋果，若都是優(yōu)質(zhì)蘋果，則按6元/干克收購；若有1個非優(yōu)質(zhì)蘋果，則按5元/千克收購；若有2個非優(yōu)質(zhì)蘋果，則按4.5元/千克收購；若有3個非優(yōu)質(zhì)蘋果，則按4元/千克收購．請你通過計算為該精準扶貧戶舉薦收益最好的方案．解析：(1)直徑位于[72,80)的蘋果共15個，其中小于76mm的有7個，隨機抽取3個，這3個蘋果直徑均小于76mm的概率為P＝eq\f(C\o\al(3,7),C\o\al(3,15))＝eq\f(\f(7×6×5,3×2×1),\f(15×14×13,3×2×1))＝eq\f(1,13).(2)樣本50個蘋果中優(yōu)質(zhì)蘋果有40個，故抽取一個蘋果為優(yōu)質(zhì)蘋果的概率為eq\f(40,50)＝0.8.按方案A：收購價格為5元；按方案B：設收購價格為X，則P(X＝6)＝0.83＝0.512，P(X＝5)＝Ceq\o\al(1,3)×0.82×0.2＝0.384，P(X＝4.5)＝Ceq\o\al(2,3)×0.8×0.22＝0.096，P(X＝4)＝0.23＝0.008，故X的分布列為：X654.54P0.5120.3840.0960.008E(X)＝6×0.512＋5×0.384＋4.5×0.096＋4×0.008＝5.456>5.故應選擇方案B.2．(2024·蘭州質(zhì)檢)在國家“大眾創(chuàng)業(yè)，萬眾創(chuàng)新”戰(zhàn)略下，某企業(yè)確定加大對某種產(chǎn)品的探討投入．為了對新研發(fā)的產(chǎn)品進行合理定價，將該產(chǎn)品按事先擬定的價格試銷，得到一組檢測數(shù)據(jù)如表所示：試銷價格x(元)456789產(chǎn)品銷量y(件)898382797467已知變量x，y具有線性相關關系，現(xiàn)有甲、乙、丙三位同學通過計算求得回來直線方程分別為：甲eq\o(y,\s\up6(^))＝4x＋59；乙eq\o(y,\s\up6(^))＝－4x＋105；丙eq\o(y,\s\up6(^))＝－4.6x＋104，其中有且僅有一位同學的計算結(jié)果是正確的．(1)試推斷誰的計算結(jié)果正確？求回來方程．(2)若由線性回來方程得到的估計數(shù)據(jù)與檢測數(shù)據(jù)的誤差不超過1，則該檢測數(shù)據(jù)是“志向數(shù)據(jù)”．現(xiàn)從檢測數(shù)據(jù)中隨機抽取3個，求“志向數(shù)據(jù)”的個數(shù)X的分布列和數(shù)學期望．解析：(1)已知變量x，y具有線性負相關關系，故甲不對，∵eq\x\to(x)＝6.5，eq\x\to(y)＝79，代入兩個回來方程，驗證乙同學正確，故回來方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝－4x＋105.(2)x456789y898382797467eq\o(y,\s\up6(^))898581777369“志向數(shù)據(jù)”的個數(shù)X取值為：0,1,2,3.P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(0,3)C\o\al(3,3),C\o\al(3,6))＝eq\f(1,20)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(2,3),C\o\al(3,6))＝eq\f(9,20)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,3)C\o\al(1,3),C\o\al(3,6))＝eq\f(9,20)，P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(3,3),C\o\al(3,6))＝eq\f