全國(guó)統(tǒng)考2024高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第八章立體幾何8.6空間向量及其運(yùn)算學(xué)案理含解析北師大版

8.6空間向量及其運(yùn)算必備學(xué)問預(yù)案自診學(xué)問梳理1.空間向量的有關(guān)概念(1)空間向量:在空間中,具有和的量叫作空間向量,其大小叫作向量的或.

(2)相等向量:方向且模的向量.

(3)共線向量:假如表示空間向量的有向線段所在的直線或,則這些向量叫作或,a平行于b記作a∥b.

(4)共面對(duì)量:平行于同一的向量叫作共面對(duì)量.

2.空間向量的有關(guān)定理(1)共線向量定理:對(duì)空間隨意兩個(gè)向量a,b(b≠0),a∥b?存在λ∈R,使a=λb.(2)共面對(duì)量定理:若兩個(gè)向量a,b不共線,則向量p與向量a,b共面?存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y),使p=xa+yb.(3)空間向量基本定理:假如三個(gè)向量a,b,c不共面,那么對(duì)空間任一向量p,存在唯一的有序?qū)崝?shù)組{x,y,z}使得p=xa+yb+zc.其中{a,b,c}叫作空間的一個(gè)基底.3.兩個(gè)向量的數(shù)量積(1)a·b=|a||b|cos<a,b>.(2)a⊥b?(a,b為非零向量).

(3)|a|2=.

4.空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)設(shè)a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),則①|(zhì)a|=a1②a+b=.

③a-b=.

④λa=.

⑤a·b=.

⑥cos<a,b>=a1(2)設(shè)A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),則AB=,|AB|=|AB|=(x11.對(duì)空間任一點(diǎn)O,若OP=xOA+yOB(x+y=1),則P,A,B三點(diǎn)共線.2.對(duì)空間任一點(diǎn)O,若OP=xOA+yOB+zOC(x+y+z=1),則P,A,B,C四點(diǎn)共面.3.證明空間隨意三點(diǎn)共線的方法對(duì)空間三點(diǎn)P,A,B可通過證明下列結(jié)論成立來證明三點(diǎn)共線:(1)PA=λPB(λ∈R);(2)對(duì)空間隨意一點(diǎn)O,OP=OA+tAB(t∈(3)對(duì)空間隨意一點(diǎn)O,OP=xOA+yOB(x+y=1).4.證明空間四點(diǎn)共面的方法已知空間隨意一點(diǎn)O和不共線的三點(diǎn)A,B,C,若滿意向量關(guān)系式OP=xOA+yOB+zOC(其中x+y+z=1),則點(diǎn)P與點(diǎn)A,B,C共面.考點(diǎn)自診1.推斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”.(1)若A,B,C,D是空間隨意四點(diǎn),則有AB+BC+CD+DA=(2)|a|-|b|=|a+b|是a,b共線的充要條件.()(3)空間中隨意兩非零向量a,b共面.()(4)對(duì)于空間非零向量a,b,若a·b<0,則a與b的夾角為鈍角.()(5)對(duì)于非零向量b,由a·b=b·c,得a=c.()2.若x,y∈R,有下列命題:①若p=xa+yb,則p與a,b共面;②若p與a,b共面,則p=xa+yb;③若MP=xMA+yMB,則P,M,A,B共面;④若點(diǎn)P,M,A,B共面,則MP=xMA+yMB.其中真命題的個(gè)數(shù)是()A.1 B.2C.3 D.43.(2024浙江龍泉中學(xué)模擬)已知三棱錐O-ABC,點(diǎn)M,N分別為AB,OC的中點(diǎn),且OA=a,OB=b,OC=c,用a,b,c表示MN,則MN等于()A.12(b+c-a) B.12(C.12(a-b+c) D.12(4.(2024山東煙臺(tái)月考)若直線l的方向向量為a=(1,0,2),平面α的法向量為n=(-2,0,-4),則直線l與平面α的位置關(guān)系為.

關(guān)鍵實(shí)力學(xué)案突破考點(diǎn)空間向量的線性運(yùn)算【例1】已知ABCD-A'B'C'D'是平行六面體.(1)化簡(jiǎn):12(2)設(shè)M是底面ABCD的中心,N是側(cè)面BCC'B'對(duì)角線BC'上的34分點(diǎn),設(shè)MN=αAB+βAD+γAA',試求α,β,γ思索空間向量的線性運(yùn)算與平面對(duì)量的線性運(yùn)算有什么區(qū)分與聯(lián)系?解題心得1.選定空間不共面的三個(gè)向量作基向量,并用它們表示出指定的向量,這是用向量解決立體幾何問題的基本要求,另外解題時(shí)應(yīng)結(jié)合已知和所求,視察圖形,聯(lián)想相關(guān)的運(yùn)算法則和公式等,就近表示所需向量.2.空間向量問題可以轉(zhuǎn)化為平面對(duì)量問題來解決,即把空間向量轉(zhuǎn)化到某一個(gè)平面上,利用三角形法則或平行四邊形法則來解決.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1(1)如圖所示,在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,M為A1C1與B1D1的交點(diǎn).若AB=a,AD=b,AA1=c,則下列向量中與BM相等的是(A.-12a+12b+c B.12C.-12a-12b+c D.12(2)(2024湖南郴州一中模擬)如圖所示,在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,O為AC的中點(diǎn).用AB,AD,AA1表示O(第(1)題圖)(第(2)題圖)考點(diǎn)共線定理、共面定理的應(yīng)用【例2】已知V為矩形ABCD所在平面外一點(diǎn),且VA=VB=VC=VD,VP=則VA與平面PMN的位置關(guān)系是.

解題心得1.證明點(diǎn)共線的問題可轉(zhuǎn)化為證明向量共線的問題,如證明A,B,C三點(diǎn)共線,即證明AB,AC共線,亦即證明AB=λAC(λ≠2.證明點(diǎn)共面問題可轉(zhuǎn)化為證明向量共面問題,如要證明P,A,B,C四點(diǎn)共面,只要能證明PA=xPB+yPC,或?qū)臻g任一點(diǎn)O,有OA=OP+xPB+yPC,或OP=xOA+yOB+zOC(x+y+z=對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2如圖所示,已知斜三棱柱ABC-A1B1C1,點(diǎn)M,N分別在AC1和BC上,且滿意AM=kAC1,BN=kBC(1)推斷向量MN是否與向量AB,A(2)直線MN是否與平面ABB1A1平行?考點(diǎn)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算【例3】(1)(2024河南鄭州調(diào)研)已知a=(2,1,-3),b=(-1,2,3),c=(7,6,λ),若a,b,c三向量共面,則λ等于()A.9 B.-9 C.-3 D.3(2)(2024北京朝陽區(qū)一模)如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別是棱AB,BB1的中點(diǎn),點(diǎn)P在對(duì)角線CA1上運(yùn)動(dòng).當(dāng)△PMN的面積取得最小值時(shí),點(diǎn)P的位置是()A.線段CA1的三等分點(diǎn),且靠近點(diǎn)A1B.線段CA1的中點(diǎn)C.線段CA1的三等分點(diǎn),且靠近點(diǎn)CD.線段CA1的四等分點(diǎn),且靠近點(diǎn)C解題心得空間向量的坐標(biāo)表示主要應(yīng)用于向量平行、向量垂直、向量的模、向量的夾角,在探討幾何問題中只要建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,把空間幾何體中涉及的直線和平面用向量表示,就可以使得幾何證明通過代數(shù)運(yùn)算得到解決,這是運(yùn)用空間向量探討立體幾何問題的基本思想.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3(1)(2024河北五校聯(lián)考)已知向量a=(2m+1,3,m-1),b=(2,m,-m),且a∥b,則實(shí)數(shù)m的值為()A.-32 B.C.0 D.-32(2)設(shè)點(diǎn)C(2a+1,a+1,2)在由點(diǎn)P(2,0,0),A(1,-3,2),B(8,-1,4)確定的平面上,則a=.

考點(diǎn)空間向量數(shù)量積的應(yīng)用【例4】(1)如圖所示,已知PA⊥平面ABC,∠ABC=120°,PA=AB=BC=6,則PC=()A.62B.6C.12D.144(2)(2024福建福州三模,理14)正方體ABCD-A1B1C1D1中,P為BC1中點(diǎn),Q為A1D中點(diǎn),則異面直線DP與C1Q所成角的余弦值為.

解題心得空間向量數(shù)量積的應(yīng)用(1)求夾角.設(shè)向量a,b所成的角為θ,則cosθ=a·b(2)求長(zhǎng)度(距離).運(yùn)用公式|a|2=a·a,可使線段長(zhǎng)度的計(jì)算問題轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積的計(jì)算問題.(3)解決垂直問題.利用a⊥b?a·b=0(a≠0,b≠0),可將垂直問題轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積的計(jì)算問題.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4(1)如圖,在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,P,Q分別是棱A1D1,AB,BC的中點(diǎn),若經(jīng)過點(diǎn)M,P,Q的平面與平面CDD1C1的交線為l,則直線l與直線QB1所成角的余弦值為()A.33 B.105 C.54(2)已知空間向量a=(1,-λ,λ-1),b=(-λ,1-λ,λ-1)的夾角為鈍角,則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是.

1.利用向量的線性運(yùn)算和空間向量基本定理表示向量是向量應(yīng)用的基礎(chǔ).2.利用共線向量定理、共面對(duì)量定理可以證明一些平行、共面問題;利用數(shù)量積運(yùn)算可以解決一些距離、夾角問題.3.利用向量解立體幾何題的一般方法:把線段或角度轉(zhuǎn)化為用向量表示,用已知向量表示未知向量,然后通過向量的運(yùn)算或證明去解決問題.1.向量的數(shù)量積滿意交換律、安排律,但不滿意結(jié)合律,即a·b=b·a,a·(b+c)=a·b+a·c成立,(a·b)·c=a·(b·c)不肯定成立.2.在利用MN=xAB+yAC①證明MN∥平面ABC時(shí),必需說明點(diǎn)M或點(diǎn)N不在平面ABC內(nèi)(因?yàn)棰偈街槐硎綧N與AB3.求異面直線所成的角,一般可以轉(zhuǎn)化為兩向量的夾角,但要留意兩種角的范圍不同,最終應(yīng)進(jìn)行轉(zhuǎn)化.8.6空間向量及其運(yùn)算必備學(xué)問·預(yù)案自診學(xué)問梳理1.(1)大小方向長(zhǎng)度模(2)相同相等(3)平行重合共線向量平行向量(4)平面3.(2)a·b=0(3)a24.(1)②(a1+b1,a2+b2,a3+b3)③(a1-b1,a2-b2,a3-b3)④(λa1,λa2,λa3)⑤a1b1+a2b2+a3b3(2)(x2-x1,y2-y1,z2-z1)考點(diǎn)自診1.(1)√(2)×(3)√(4)×(5)×2.B①正確,②中若a,b共線,p與a不共線,則p=xa+yb就不成立.③正確.④中若點(diǎn)M,A,B共線,點(diǎn)P不在此直線上,則MP=xMA+yMB不成立.3.DMN=MA+AO+ON=124.l⊥α因?yàn)閍=-12n,所以l⊥關(guān)鍵實(shí)力·學(xué)案突破例1解(1)(方法1)取AA'的中點(diǎn)為E,則12又BC=A'D',AB=D'C則D'F=2(方法2)取AB的三等分點(diǎn)P使得PB=23AB,取CC'=CQ=PB+(2)連接BD,則M為BD的中點(diǎn),MN=12(DA+=12(-AD+AB)=12∴α=12,β=14,γ=對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1(1)A(2)12AB+12AD+AA1(1)BM=BB1+(2)因?yàn)镺C=12AC=1例2平行如圖所示,設(shè)VA=a,VB=b,VC=c,則VD=VC由題意知PM=23b-PN=23VD-13VC=23a因此VA=32PM+32PN,所以VA,PM,PN對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2解∵AM=kAC1,∴MN=MA+AB+BN=kC1A+AB+kBC=k(C1A+BC)+AB=k(C1A+B1∴由共面對(duì)量定理知向量MN與向量AB,A(2)當(dāng)k=0時(shí),點(diǎn)M,A重合,點(diǎn)N,B重合,MN在平面ABB1A1內(nèi).當(dāng)0<k≤1時(shí),MN不在平面ABB1A1內(nèi),又由(1)知MN與故MN∥平面ABB1A1.例3(1)B(2)B(1)由題意知c=xa+yb,即(7,6,λ)=x(2,1,-3)+y(-1,2,3),所以2x-y=7(2)設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1,以A為原點(diǎn),AB,AD,AA1分別為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示,則M12,0,0,N1,0,12,MN的中點(diǎn)Q34設(shè)P(t,t,z),PC=(1-t,1-t,-z),由A1C與PC共線,可得1-t1=1-t1=-z因?yàn)閨PM|=3z|PN|=3z所以|PM|=|PN|,所以PQ⊥MN,即|PQ|是動(dòng)點(diǎn)P到直線MN的距離,所以|PQ|=3z所以當(dāng)z=12時(shí),|PQ|取得最小值64,此時(shí)P為線段CA由于|MN|=24為定值,所以當(dāng)△PMN的面積取得最小值時(shí),P為線段CA1的中點(diǎn).故選B對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3(1)B(2)16(1)因?yàn)榭臻g向量a=(2m+1,3,m-1),b=(2,m,-m),且a∥b,所以(2m+1,3,m-1)=λ(2,m,-m)=(2λ,λm,-λm),所以2m+1=2λ,(2)由共面對(duì)量定理知PC=xPA+yPB,則(2a-1,a+1,2)=x(-1,-3,2)+y(6,-1,4),故2a-1=-例4(1)C(2)23(1)因?yàn)镻C=PA+AB+BC,所以PC2=PA2+AB2+BC2+2AB·BC(2)(方法1)設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,DA=a,DC=b,DD1=c,則DP=b+12(a+c)=12a+b+12c,C1Q=-b+12(a-c)=12a-b-12c,由DA,DC,DD1三所以DP·C1Q=14a2-b2-14c2=14×22-|DP|=14a2+b2所以cos<DP,C1Q>=DP·C1Q|DP||C(方法2)如圖,以D為原點(diǎn),分別以DA,DC,DD1的方向?yàn)閤,y,z軸的正方向,建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,則各點(diǎn)的坐標(biāo)為D(0,0,0),P所以DP=(1,2,1),C1Q=(1,-2,所以cos<DP,C1Q>=DP·C1Q|DP||C對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4(1)B(2)2-22,2+22(1)取C1D1的中點(diǎn)E,則平面PQEM是經(jīng)過點(diǎn)M,P,Q的平面,延長(zhǎng)PQ