專題2.8 函數(shù)模型及其應用（舉一反三）（新高考專用）（教師版） 2025年高考數(shù)學一輪復習專練（新高考專用）

專題2.8函數(shù)模型及其應用【六大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1利用函數(shù)圖象刻畫實際問題的變化過程】 2【題型2已知函數(shù)模型解決實際問題】 6【題型3構造二次函數(shù)模型】 8【題型4構造指數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型】 11【題型5構造分段函數(shù)模型】 13【題型6函數(shù)模型的選擇問題】 181、函數(shù)模型及其應用考點要求真題統(tǒng)計考情分析(1)了解指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)增長速度的差異

(2)理解“指數(shù)爆炸”“對數(shù)增長”“直線上升”等術語的含義(3)會選擇合適的函數(shù)模型刻畫現(xiàn)實問題的變化規(guī)律，了解函數(shù)模型在社會生活中的廣泛應用2020年新高考全國I卷：第6題，5分2020年全國IⅡ卷：第4題，5分函數(shù)模型是高考數(shù)學的重要內(nèi)容之一，從近幾年的高考形勢來看，高考對函數(shù)模型的考查相對穩(wěn)定，一般以選擇題與填空題的形式出現(xiàn)，難度不大；學生在復習中要加強對建模能力和應用能力的培養(yǎng).【知識點1幾種常見的函數(shù)模型】1．一次函數(shù)模型一次函數(shù)模型：f(x)=kx+b(k,b為常數(shù)，k≠0).一次函數(shù)是常見的一種函數(shù)模型，在初中就已接觸過.2．二次函數(shù)模型二次函數(shù)模型：f(x)=+bx+c(a,b,c為常數(shù)，a≠0).

二次函數(shù)為生活中常見的一種數(shù)學模型，因二次函數(shù)可求其最大值(或最小值)，故最優(yōu)、最省等最值問題常用到二次函數(shù)模型.3．冪函數(shù)模型冪函數(shù)模型應用的求解策略

(1)給出含參數(shù)的函數(shù)關系式，利用待定系數(shù)法求出參數(shù)，確定函數(shù)關系式.

(2)根據(jù)題意，直接列出相應的函數(shù)關系式.4．指數(shù)函數(shù)模型指數(shù)函數(shù)模型：(a,b,c為常數(shù)，a>0，且a≠1，b≠0).

4．對數(shù)函數(shù)模型對數(shù)函數(shù)模型：(a,b,c為常數(shù)，a>0，且a≠1，b≠0).6．分段函數(shù)模型由于分段函數(shù)在不同區(qū)間上具有不同的解析式，因此分段函數(shù)在研究條件變化前后的實際問題中具有廣泛的應用.7．“對勾”函數(shù)模型對勾函數(shù)模型是?？嫉哪Ｐ?，要牢記此類函數(shù)的性質(zhì)，尤其是單調(diào)性：y=ax+(a>0,b>0)，當x>0時，在(0,]上遞減，在(,+)上遞增.另外，還要注意換元法的運用.【知識點2判斷函數(shù)圖象與實際問題變化過程的解題策略】1．判斷函數(shù)圖象與實際問題變化過程相吻合的兩種方法(1)構建函數(shù)模型法：當根據(jù)題意易構建函數(shù)模型時，先建立函數(shù)模型，再結合模型選圖象.(2)驗證法：根據(jù)實際問題中兩變量的變化快慢等特點，結合圖象的變化趨勢，驗證是否吻合，從中排除不符合實際的情況，選出符合實際的情況.【知識點3實際問題中函數(shù)建模的基本步驟】1．構造函數(shù)模型解決實際問題的基本步驟(1)審題：弄清題意，分清條件和結論，理清數(shù)量關系，初步選擇模型.

(2)建模：將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學語言，利用數(shù)學知識，建立相應的函數(shù)模型.

(3)求解：根據(jù)實際問題所需要解決的目標及函數(shù)式的結構特征正確求得函數(shù)模型的解.

(4)還原：應用問題不是單純的數(shù)學問題，既要符合數(shù)學學科背景又要符合實際背景，因此解出的結果要代入原問題中進行檢驗、評判，最后得出結論，作出回答.【題型1利用函數(shù)圖象刻畫實際問題的變化過程】【例1】（2024·海南·模擬預測）下列四個圖象中，與所給三個事件吻合最好的順序為（

）①我離開家不久，發(fā)現(xiàn)自己把作業(yè)本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作業(yè)本再上學；②我騎著車一路以常速行駛，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽擱了一些時間；③我出發(fā)后，心情輕松，緩緩行進，后來為了趕時間開始加速.其中y表示離開家的距離，t表示所用時間.A．④①② B．③①② C．②①④ D．③②①【解題思路】根據(jù)三個事件的特征，分析離家距離的變化情況，選出符合事件的圖像.【解答過程】對于事件①，中途返回家，離家距離為0，故圖像④符合；對于事件②，堵車中途耽擱了一些時間，中間有段時間離家距離不變，故圖像①符合；對于事件③，前面速度慢，后面趕時間加快速度，故圖像②符合；故選：A.【變式1-1】（2024·全國·模擬預測）某公司在30天內(nèi)A商品的銷售價格P（元）與時間t（天）的關系滿足下方圖象所示的函數(shù)，A商品的銷售量Q（萬件）與時間t的關系是Q=40?t，則下列說法正確的是（

）①第15天日銷售額最大

②第20天日銷售額最大③最大日銷售額為120萬元

④最大日銷售額為125萬元A．①③ B．①④ C．②③ D．②④【解題思路】先由函數(shù)圖象利用待定系數(shù)法求得銷售價格P（元）關于時間t（天）的函數(shù)解析式，再求銷售額關于t的函數(shù)解析式，從而結合二次函數(shù)性質(zhì)求其最大值，由此得解.【解答過程】由圖象可得當0≤t≤20時，可設P=at+b，根據(jù)圖象知過點(0,2),(20,6)，所以b=26=20a+b，解得b=2,a=15當20≤t≤30，可設P=mt+n，根據(jù)圖象知過點(20,6),(30,5)，所以6=20m+n5=30m+n，解得m=?110綜上可得，P=1又Q=?t+400<t≤30，設第t天的銷售額為y，則y=P?Q=1化簡可得y=?當0<t<20時，y=?15t?152+125當20≤t≤30時，y=110t?602?40綜上可得，第15日的銷售額最大，最大值為125萬元，故①④正確.故選：B.【變式1-2】（2023·北京門頭溝·一模）在聲學中，音量被定義為：Lp=20lgpp0，其中Lp是音量（單位為dB），P0是基準聲壓為2×10?5Pa，PA．音量同為20dB的聲音，30~100Hz的低頻比1000~10000Hz的高頻更容易被人們聽到.B．聽覺下限閾值隨聲音頻率的增大而減小.C．240Hz的聽覺下限閾值的實際聲壓為0.002Pa.D．240Hz的聽覺下限閾值的實際聲壓為1000Hz的聽覺下限閾值實際聲壓的10倍.【解題思路】對于選項A、B，可以直接觀察圖像得出聽覺下限閾值與聲音頻率的關系進行判斷；對于C、D，通過所給函數(shù)關系Lp【解答過程】對于A，30~100Hz的低頻對應圖像的聽覺下限閾值高于20dB，1000~10000Hz的高頻對應的聽覺下限閾值低于20dB，所以對比高頻更容易被聽到，故A錯誤；對于B，從圖像上看，聽覺下限閾值隨聲音頻率的增大有減小也有增大，故B錯誤；對于C，240Hz對應的聽覺下限閾值為20dB，P0令Lp=20lgpp對于D，1000Hz的聽覺下限閾值為0dB，令Lp=20lgpp0=0故選：D.【變式1-3】（2024·全國·模擬預測）如圖所示為某池塘中野生水葫蘆的面積與時間的函數(shù)關系的圖象，假設其函數(shù)關系為指數(shù)函數(shù)，現(xiàn)給出下列說法，其中正確的說法有（

）A．野生水葫蘆的面積每月增長量相等B．野生水葫蘆從9m2蔓延到C．設野生水葫蘆蔓延到9m2，20m2，40m2所需的時間分別為tD．野生水葫蘆在第1個月到第3個月之間蔓延的平均速度等于在第2個月到第4個月之間蔓延的平均速度【解題思路】根據(jù)圖中數(shù)據(jù)可計算得出A、B、D選項；根據(jù)圖像得到指數(shù)函數(shù)解析式，表示出t1，t2，【解答過程】由圖可知野生水葫蘆第一個月增長面積為2m2，第二個月增長面積為由圖可知野生水葫蘆從9m2蔓延到野生水葫蘆的面積與時間的函數(shù)關系為ft=3t，ft1+t3=野生水葫蘆在第1個月到第3個月之間蔓延的平均速度為27?3野生水葫蘆在第2個月到第4個月之間蔓延的平均速度為81?故選：BC.【題型2已知函數(shù)模型解決實際問題】【例2】（2024·廣東茂名·一模）Gompertz曲線用于預測生長曲線的回歸預測，常見的應用有：代謝預測，腫瘤生長預測，有限區(qū)域內(nèi)生物種群數(shù)量預測，工業(yè)產(chǎn)品的市場預測等，其公式為：fx=kab?x（其中k>0,b>0，a為參數(shù)）.某研究員打算利用該函數(shù)模型預測公司新產(chǎn)品未來的銷售量增長情況，發(fā)現(xiàn)a=e.若x=1表示該新產(chǎn)品今年的年產(chǎn)量，估計明年x=2的產(chǎn)量將是今年的e倍，那么A．5?12 B．5+12 C．【解題思路】由a=e，得到fx=k?eb?x，分別代入x=1、x=2，得到【解答過程】由a=e，得到f∴當x=1時，f1當x=2時，f2依題意，明年x=2的產(chǎn)量將是今年的e倍，得：ke∴1b2?1∵b>0，∴b=5故選：A.【變式2-1】（23-24高三上·北京通州·階段練習）被譽為信息論之父的香農(nóng)提出了一個著名的公式：C=Wlog21+SN，其中C為最大數(shù)據(jù)傳輸速率，單位為bits；W為信道帶寬，單位為Hz；SN為信噪比.香農(nóng)公式在5G技術中發(fā)揮著舉足輕重的作用.當SN=99，W=2000Hz時，最大數(shù)據(jù)傳輸速率記為C1A．13 B．52 C．15【解題思路】由題意可知，分別將數(shù)據(jù)代入利用對數(shù)運算法則計算出C1，C2，即可求得【解答過程】根據(jù)題意，將SN=99，W=2000Hz將SN=9999，代入可得W=3000Hz所以可知C2故選：D.【變式2-2】（2024·陜西安康·模擬預測）若一段河流的蓄水量為v立方米，每天水流量為k立方米，每天往這段河流排水r立方米的污水，則t天后河水的污染指數(shù)mt=rk+m0?rkeA．98 B．105 C．117 D．130【解題思路】由已知化簡函數(shù)式得mt=m0e?160t【解答過程】由題意可知：r=0，vk=60設約t天后，河水的污染指數(shù)下降到初始值的17，即m所以?1故選：C.【變式2-3】（2024·四川·模擬預測）2023年6月22日，由中國幫助印尼修建的雅萬高鐵測試成功，高鐵實現(xiàn)時速350km自動駕駛，不僅速度比普通列車快，而且車內(nèi)噪聲更小．如果用聲強I（單位：Wm2）表示聲音在傳播途徑中每平方米上的聲能流密度，聲強級L（單位：dB）與聲強I的函數(shù)關系式為L=L0lgaI，其中L0為基準聲強級，聲源與聲源的距離（單位：m）聲強級范圍內(nèi)燃列車2050,80電力列車2020,50高速列車2010設在離內(nèi)燃列車?電力列車?高速列車20m處測得的實際聲強分別為I1,A．L0=30 B．I1≥I2【解題思路】根據(jù)聲強、聲強級之間的關系確定基準聲強級L0，即可判斷A；計算L1?L2可得I【解答過程】對于A：因為聲強I=10a時，聲強級所以L=L0lga?10對于B：因為L1所以I1I2對于C：L2所以I2I3對于D，L1所以I1I2故選：B．【題型3構造二次函數(shù)模型】【例3】（2023·江西九江·模擬預測）隨著新冠病毒的暴發(fā)，感染人數(shù)越來越多，醫(yī)療資料受到極大的挑戰(zhàn)，某地政府開始建立方艙醫(yī)院，建筑公司為某方艙醫(yī)院一病區(qū)預備的建筑材料總長為158米，計劃建立24間病房，分為兩排，過道的寬為1米，病房的長為x米，如圖所示，如何設計病房的長、寬才能使單間病房面積最大？【解題思路】由題可得病房的寬為78?13x24【解答過程】由題可得病房的寬為158?2×13x?2×12×24所以單間病房面積為S=78?13x所以當x=3米時，單間病房面積最大，此時病房的寬為138即病房的長為3米、寬為138【變式3-1】（2024·上海青浦·一模）考慮到高速公路行車安全需要，一般要求高速公路的車速v（公里/小時）控制在60,120范圍內(nèi).已知汽車以v公里/小時的速度在高速公路上勻速行駛時，每小時的油耗（所需要的汽油量）為15v?k+4500v升，其中k為常數(shù)，不同型號汽車(1)若某型號汽車以120公里/小時的速度行駛時，每小時的油耗為11.5升，欲使這種型號的汽車每小時的油耗不超過9升，求車速v的取值范圍；(2)求不同型號汽車行駛100千米的油耗的最小值.【解題思路】（1）根據(jù)題意，可知當v=120時，求出k的值，結合條件得出15v?100+4500v≤9（2）設該汽車行駛100千米的油耗為y升，得出關于y與v的函數(shù)關系式，通過換元令t=1v，則t∈1120,160【解答過程】（1）解：由題意可知，當v=120時，15v?k+4500由15v?100+4500v≤9因為要求高速公路的車速v（公里/小時）控制在60,120范圍內(nèi)，即60≤v≤120，所以60≤v≤100，故汽車每小時的油耗不超過9升，求車速v的取值范圍60,100.（2）解：設該汽車行駛100千米的油耗為y升，則y=100令t=1v，則所以y=90000t2?20kt+20=90000可得對稱軸為t=k9000，由60≤k≤120，可得當1120≤k則當t=k9000時，當1150≤k則當t=1120時，綜上所述，當75≤k≤120時，該汽車行駛100千米的油耗的最小值為20?k當60≤k<75時，該汽車行駛100千米的油耗的最小值為1054【變式3-2】（2022·上海虹口·一模）某地政府決定向當?shù)丶{稅額在4萬元至8萬元（包括4萬元和8萬元）的小微企業(yè)發(fā)放補助款，發(fā)放方案規(guī)定：補助款隨企業(yè)納稅額的增加而增加，且補助款不低于納稅額的50%.設企業(yè)納稅額為x（單位：萬元），補助款為fx=1(1)分別判斷b=0，b=1時，fx(2)若函數(shù)fx符合發(fā)放方案規(guī)定，求b【解題思路】（1）根據(jù)題意，需要判斷函數(shù)fx在4,8上是否單調(diào)遞增，fx?（2）根據(jù)題意，fx在4,8上單調(diào)遞增，且fx?12【解答過程】（1）若b=0，則fx=14x2+若b=1，則fx=14x2?x+所以b=0時，fx符合發(fā)放方案規(guī)定，b=1時，f（2）①由題意，fx=14x②令gx=fx?1若b+1212=2b+1≤4?b≤32，g若2b+1≥8?b≥72，gx在4,8若32<b<7所以b≤5綜合①②得：b≤5【變式3-3】（2023·上海嘉定·二模）某村共有100戶農(nóng)民，且都從事蔬菜種植，平均每戶的年收入為2萬元．為了調(diào)整產(chǎn)業(yè)結構，該鎮(zhèn)政府決定動員部分農(nóng)民從事蔬菜加工．據(jù)估計，若能動員xx∈N?戶農(nóng)民從事蔬菜加工，則剩下的繼續(xù)從事蔬菜種植的農(nóng)民平均每戶的年收入比上一年提高2x%（1）在動員x戶農(nóng)民從事蔬菜加工后，要使從事蔬菜種植的農(nóng)民的總年收入不低于動員前100戶農(nóng)民的總年收入，求x的取值范圍；（2）在（1）的條件下，要使這100戶農(nóng)民中從事蔬菜加工的農(nóng)民的總年收入始終不高于從事蔬菜種植的農(nóng)民的總年收入，求a的最大值．【解題思路】（1）根據(jù)題意，表示出動員x戶農(nóng)民從事蔬菜加工后農(nóng)民的總年收入，動員前農(nóng)民的總年收入，再解不等式.（2）轉(zhuǎn)化成恒成立問題，再分離變量，轉(zhuǎn)化成函數(shù)的最值問題.【解答過程】解：（1）動員x戶農(nóng)民從事蔬菜加工后，農(nóng)民的總年收入為(100?x)×2(1+2x%)，由題得(100?x)×2(1+2x%)≥200?0≤x≤50．（2）由題2xa?950即a≤100x+當且僅當x=25時等號成立，所以amax【題型4構造指數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型】【例4】（2024·陜西西安·模擬預測）2023年10月31日，國務院新聞辦舉行“權威部門話開局”系列主題新聞發(fā)布會的第28場發(fā)布會.會上提出蒙古國?中國，包括東北亞的日本?韓國，都是沙漠化的受害者，所以防沙治沙?植樹造林符合本地區(qū)各國和人民當前及長遠利益.根據(jù)對中國國家整理的中國沙塵暴資料的分析，發(fā)現(xiàn)持續(xù)時間大于t的沙塵暴次數(shù)N滿足N=A?10?tb，目前經(jīng)測驗A地情況氣象局發(fā)現(xiàn)，t=300時，次數(shù)N=5,t=600時，次數(shù)N=3，據(jù)此計算N=4時對應的持續(xù)時間t約為（（參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.301,A．389 B．358 C．423 D．431【解題思路】由題意可得A?10?300b=5A?10?600b=3【解答過程】A?10?300b=5又10?300b=3所以N=25令N=253?取對數(shù)并化簡可得lg12?因為lg12=2所以t=所以t≈431.故選：D.【變式4-1】（2024·寧夏銀川·一模）鋰電池在存放過程中會發(fā)生自放電現(xiàn)象，其電容量損失量隨時間的變化規(guī)律為Q=ktp，其中Q（單位mAh）為電池容量損失量，p是時間t的指數(shù)項，反映了時間趨勢由反應級數(shù)決定，k是方程剩余項未知參數(shù)的組合，與溫度T和電池初始荷電狀態(tài)M等自放電影響因素有關．以某種品牌鋰電池為研究對象，經(jīng)實驗采集數(shù)據(jù)進行擬合后獲得p=0．5，相關統(tǒng)計學參數(shù)R2>0．995，且預測值與實際值誤差很?。谘芯縈對Q的影響時，其他參量可通過控制視為常數(shù)，電池自放電容量損失量隨時間的變化規(guī)律為Q=kt（參考數(shù)據(jù)為：e3.22A．100.32 B．101.32 C．105.04 D．150.56【解題思路】根據(jù)題意，得到Q=e(2.228+1.3M)?t0.5【解答過程】根據(jù)題意，可得p=0.5,A=2.228,B=1.3，代入Q=ktP=因為該品牌電池初始荷電狀態(tài)M=80%所以存放16天后，電容量損失量Q=e故選：C.【變式4-2】（2024·湖南長沙·三模）地震震級通常是用來衡量地震釋放能量大小的數(shù)值，里氏震級最早是由查爾斯?里克特提出的，其計算基于地震波的振幅，計算公式為M=lgA?lgA0，其中M表示某地地震的里氏震級，A表示該地地震臺測振儀記錄的地震波的最大振幅，AA．6.3級 B．6.4級 C．7.4級 D．7.6級【解題思路】根據(jù)題意，得到M=lg【解答過程】由題意，某地地震波的最大振幅為5000，且這次地震的標準地震振幅為0.002，可得M=lg故選：B.【變式4-3】（2023·陜西咸陽·模擬預測）陜西榆林神木石峁遺址發(fā)現(xiàn)于1976，經(jīng)過數(shù)十年的發(fā)掘研究，已證實是中國已發(fā)現(xiàn)的龍山晚期到夏早期規(guī)模最大的城址，出土了大量玉器、陶器、壁畫、房屋、城池、人體骨骼等遺跡，2019年科技人員對遺跡中發(fā)現(xiàn)的某具人婁骨骼化石進行碳14測定年代，公式為：t=5730lnA0A÷0.693（其中t為樣本距今年代，A0為現(xiàn)代活體中碳14放射性豐度，A為測定樣本中碳14放射性豐度），已知現(xiàn)代活體中碳14放射性豐度A0=1.2×10?12，該人類骨骼碳14放射性豐度A．3353 B．3997 C．4125 D．4387【解題思路】首先求出A0【解答過程】由題知，A0∴t=5730ln故選：B.【題型5構造分段函數(shù)模型】【例5】（2023·上海普陀·模擬預測）某公司按銷售額給銷售員提成作獎金，每月的基本銷售額為20萬元，超額中的第一個5萬元（含5萬元以下），按超額部分的2%提成作獎金；超額中的第二個5萬元，按超額部分的4%提成作獎金；……后每增加5萬元，其提成比例也增加一個2%(1)銷售員某月獲得獎金7200元，則他該月的銷售額為多少？(2)若某銷售員7、8月份的總銷售額為60萬元，且兩月都完成基本銷售額，那么他這兩個月的總獎金的最大、最小值分別是多少？【解題思路】（1）由題分析出銷售員該月的銷售超額部分在15萬元到20萬元之間，設超額部分比15萬多x元，列出方程，求解即可；（2）設兩個月的總獎金為y，某銷售員7月份的銷售額為m萬元，則銷售員8月份的銷售額為(60?m)萬元，分類討論m的范圍，得出關于m的分段函數(shù)，畫出圖像即可得解．【解答過程】（1）超額第一個5萬元可得獎金1000元，超額第二個5萬元可得獎金2000元，超額第三個5元可得獎金3000元，超額第四個5萬元可得獎金4000元，所以當銷售員的銷售額超額部分為15萬元時，可得獎金3000元，當銷售員的銷售額超額部分為20萬元時，可得獎金7000元，因為銷售員某月獲得獎金7200元，所以銷售員該月的銷售超額部分在15萬元到20萬元之間，設超額部分比15萬多x元，提成比例為8%則x?8%=7200?6000，可得故他該月的銷售額為20+15+1.5=36.5萬元．（2）設兩個月的總獎金為y，某銷售員7月份的銷售額為m萬元，則銷售員8月份的銷售額為(60?m)萬元，則20≤m≤40，①當20≤m<25時，則35<60?m≤40，y=(m?20)?2%+5×2%②當25≤m<30時，則30<60?m≤35，y=5×2%+(m?25)?4%③當30≤m<35時，則25<60?m≤30y=5×2%④當35≤m≤40時，則20≤60?m≤25y=5×2%綜上所述，y=?0.06m+2.2,20≤m<25

由圖可知，當m=30，即7月份銷售額為30萬元，獎金最低為0.6萬元；當m=20或m=40時，即7月份銷售額為20或40萬元，獎金最高為1萬元．【變式5-1】（2023·上海浦東新·三模）某晚報曾刊登過一則生活趣事，某市民唐某乘坐出租車時，在半途中罵罵咧咧要求司機臨時?？?，打表計價結賬，然后重新計價，繼續(xù)前行，該市民解釋說，根據(jù)經(jīng)驗，這樣分開支付車費比一次性付費便宜一些，他的這一說法有道理嗎？確實，由于出租車運價上調(diào)，有些人出行時會估計一下可能的價格，再決定是否乘坐出租車.據(jù)了解，2018年上海出租車在5時到23時之間起租價為14元/3千米，超起租里程單價為2.50元/千米，總里程超過15千米（不含15千米）部分按超起租里程單價加50%.此外，相關部門還規(guī)定了低速等候費和其他時段的計價辦法，以及適合其他車型的計價辦法.你乘坐過出租車嗎？你會仿效那位市民唐某的做法嗎？為什么？(1)根據(jù)上述情境你能提出什么數(shù)學問題？為了解決你的問題，你能否作出一些合理假設？(2)你能否根據(jù)你的假設建立數(shù)學模型，并回答你所提出的問題.【解題思路】（1）根據(jù)題意可分析出出租車費用為分段函數(shù)的模型，故可以提出求解里程計價費用與里程的函數(shù)關系問題，并假設只能在路程的中點處?？恳淮危偾蠼獯藭r的函數(shù)關式；（2）分別求解不停靠與?？恐悬c時的費用，再作圖分析判斷即可.【解答過程】（1）由題意，出租車費用為分段函數(shù)的模型，故可提出問題：①上海出租車在5時到23時之間起租價為14元/3千米，超起租里程單價為2.50元/千米，總里程超過15千米（不含15千米）部分按超起租里程單價加50%，求里程計價費用fx與里程x②若只能在路程的中點處?？恳淮?，分析不?？颗c停靠兩種計費方式哪種更劃算.（2）由（1）中所建立的函數(shù)模型：①由題意，當0<x≤3時fx=14；當3<x≤15時fx=14+2.5x?3故fx②若只能在路程的中點處?？恳淮危瑒t路費函數(shù)gx=2×14,0<x≤6

由圖象可得，fx=3.75x?12.25與gx=2.5x+13有交點，聯(lián)立有故若只能在路程的中點處停靠一次，則當路程不足20.2公里時不停靠更劃算，當路程不足20.2公里時停靠更劃算.【變式5-2】（2024·江蘇南通·二模）某單位購入了一種新型的空氣消毒劑用于環(huán)境消毒，已知在一定范圍內(nèi)，每噴灑1個單位的消毒劑，空氣中釋放的濃度y（單位：毫米/立方米）隨著時間x（單位：小時）變化的關系如下：當0≤x≤4時，y=168?x?1；當4<x≤10(1)若一次噴灑4個單位的消毒劑，則有效殺滅時間可達幾小時？(2)若第一次噴灑2個單位的消毒劑，6小時后再噴灑a1≤a≤4個單位的消毒劑，要使接下來的4小時中能夠持續(xù)有效消毒，試求a的最小值（精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：2【解題思路】（1）由4y≥4可求出結果；（2）根據(jù)題意求出從第一次噴灑起，經(jīng)x6≤x≤10小時后，其濃度關于x【解答過程】（1）因為一次噴灑4個單位的消毒劑，所以其濃度為f(x)=4y=當0≤x≤4時，648?x?4≥4，解得x≥0，此時當4<x≤10時，20?2x≥4，解得x≤8，此時4<x≤8，所以若一次噴灑4個單位的消毒劑，則有效殺滅時間可達8小時．（2）設從第一次噴灑起，經(jīng)x6≤x≤10其濃度gx因為14?x∈4,8，a∈所以14?x+16a當且僅當14?x=16a14?x，即x=14?4a所以其最小值為8a?a?4，由8a所以a的最小值為24?162【變式5-3】（2024·上海寶山·模擬預測）自2017年起，上海市開展中小河道綜合整治，全面推進“人水相依，延續(xù)風貌，豐富設施，精彩活動”的整治目標．某科學研究所針對河道整治問題研發(fā)了一種生物復合劑．這種生物復合劑入水后每1個單位的活性隨時間x（單位：小時）變化的函數(shù)為u=?256x+4?x+64，0≤x<4(1)試計算每1個單位生物復合劑入水后產(chǎn)生有效作用的時間；（結果精確到0.1小時）(2)由于環(huán)境影響，每1個單位生物復合劑入水后會產(chǎn)生損耗，設損耗剩余量v關于時間x的函數(shù)為v=1x+1，0≤x≤12，記u?v【解題思路】（1）由f(4)=28求出a，分0≤x<4、4≤x≤12，解不等式f(x)≥3.5可得答案；（2）當0≤x<4時，令t=x+1，u?v=65t?61t(t+3)?1，再令m=65t?61，面積u?v=652m+15616【解答過程】（1）由于f(4)=28，則a=7當0≤x<4時，f(x)=?256解得0.25≤x<4，當4≤x≤12時，f(x)=7即產(chǎn)生有效作用的時間段為0.25≤x≤11，故產(chǎn)生有效作用的時間為11?0.25=10.75≈10.8小時．（2）當0≤x<4時，令t=x+1，則t∈[1,5)，同時u?v=1再令m=65t?61，則m∈[4,264)，面積u?v=m由基本不等式，m+15616當且僅當m=15616則u?v在[0,4)上的最大值為u?v=65當4≤x≤12時，u?v=7則此時u?v在[4,12]是單調(diào)遞減的，則最大值在x=4時取到，u?v=28綜上所述，u?v在[0,12]上的最大值為6.5．【題型6函數(shù)模型的選擇問題】【例6】（2024·上海崇明·二模）環(huán)保生活，低碳出行，電動汽車正成為人們購車的熱門選擇．某型號的電動汽車在國道上進行測試，國道限速80km/h．經(jīng)多次測試得到該汽車每小時耗電量M（單位：Wh）與速度v（單位：km/h）的數(shù)據(jù)如下表所示：v0104060M0132544007200為了描述國道上該汽車每小時耗電量M與速度v的關系，現(xiàn)有以下三種函數(shù)模型供選擇：①M1(v)=140v(1)當0≤v≤80時，請選出你認為最符合表格中所列數(shù)據(jù)的函數(shù)模型（需說明理由），并求出相應的函數(shù)解析式；(2)現(xiàn)有一輛同型號電動汽車從A地行駛到B地，其中高速上行駛200km，國道上行駛30km，若高速路上該汽車每小時耗電量N（單位：Wh）與速度v（單位：km/h）的關系滿足N(v)=2v2?【解題思路】（1）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性排除②，根據(jù)定義域排除③即可；（2）根據(jù)題意可得高速路上的耗電量f(v)=400(v+100v?5)，再分析f(v)的單調(diào)性求得告訴上的耗電量，再根據(jù)（1）中求得的M【解答過程】（1）因為函數(shù)M2(v)=1000?2M2(v)=1000?2故M1由M1(10)=1325M1（2）由題意，高速路上的耗電量f(v)=N(v)×任取v1,v2所以函數(shù)y=f(v)在區(qū)間[80,120]上是增函數(shù)，所以ymin=f(80)=30500國道上的耗電量?(v)=所以?(v)min所以當高速路上速度為80km/h，國道上速度為40km/h時，總耗電量最少，為33500Wh.【變式6-1】（2024·全國·模擬預測）某養(yǎng)殖場隨著技術的進步和規(guī)模的擴張，肉雞產(chǎn)量在不斷增加．我們收集到2020年前10個月該養(yǎng)殖場上市的肉雞產(chǎn)量如下：月份（m）12345678910產(chǎn)量（W）1.02072.00002.57822.99743.31393.57893.80414.00004.17364.3294產(chǎn)量W（萬只）和月份m之間可能存在以下四種函數(shù)關系：①W=b?am；②W=b?ma；③W=b+logam（Ⅰ）請你從這四個函數(shù)模型中去掉一個與表格數(shù)據(jù)不吻合的函數(shù)模型，并說明理由；（Ⅱ）請你從表格數(shù)據(jù)中選擇2月份和8月份，再從第一問剩下的三種模型中任選兩個函數(shù)模型進行建模，求出這兩種函數(shù)表達式再分別求出兩種模型下4月份的產(chǎn)量，并說明哪個函數(shù)模型更好．【解題思路】（1）根據(jù)數(shù)據(jù)判斷出函數(shù)為增函數(shù)，但模型④是減函數(shù)，所以判斷出該函數(shù)模型不符合題意；（2）分別列方程組代入求解即可，然后分別計算W(4)，再與實際比較選擇相差最小的.【解答過程】（1）去掉④，函數(shù)模型④是減函數(shù)，根據(jù)所給數(shù)據(jù)可推斷函數(shù)W(m)為增函數(shù)，所以模型④不符合題意；（2）由題意，點坐標(2,2),(8,4)，①b?a2=2b?a8=4，得②b?2a所以W=2?m1③b+loga2=2b+loga8=43?2.9974≈0.0026因為與實際作差比較發(fā)現(xiàn)，選①與實際差距最大，選③與實際差距最小，所以如果選①③或者②③時，③模型更好；如果選①②時，②模型更好.【變式6-2】（23-24高一上·浙江湖州·期末）隨著電動汽車研發(fā)技術的日益成熟，電動汽車的普及率越來越高．某型號電動汽車在封閉路段進行測試，限速80km/h（不含80km/h）．經(jīng)多次測試得到，該汽車每小時耗電量M（單位：Wh）與速度v（單位：v0103070M0132533759275為了描述國道上該汽車每小時耗電量與速度的關系，現(xiàn)有以下三種函數(shù)模型供選擇：Mv=140v(1)當0≤v<80時，請選出你認為最符合表格所列數(shù)據(jù)實際的函數(shù)模型，并求出相應的函數(shù)解析式；(2)在本次測試報告中，該電動汽車的最長續(xù)航里程為400km．若測試過程為勻速運動，請計算本次測試時的車速為何值時，該電動汽車電池所需的容量（單位：Wh【解題思路】（1）根據(jù)題意，得到Mv=1（2）設車速為vkm/h，得到fv【解答過程】（1）解：對于Mv=300log對于Mv故選Mv根據(jù)提供的數(shù)據(jù)，則有140×10當0≤v<80時，Mv（2）解：設車速為vkm/h，所用時間為400v所耗電量fv要使得續(xù)航里程最長，則耗電量達到最小，即v=40km/h所以當測試員控制的車速為40km/h該電動汽車的電池所需的最小容量為44000Wh【變式6-3】（23-24高一上·上?！て谀┢謻|某購物中心開業(yè)便吸引了市民紛紛來打卡（觀光或消費），某校數(shù)學建模社團根據(jù)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：該購物中心開業(yè)一個月內(nèi)（以30天計），每天打卡人數(shù)Px與第x天近似地滿足函數(shù)Px=8+kx（萬人），k(1)經(jīng)調(diào)查，打卡市民（含觀光）的人均消費Cx（元）與第xx（天）101418222630Cx131135139143139135現(xiàn)給出以下三種函數(shù)模型：①Cx=ax+b，②Cx=ax?22+b，③(2)確定k的值，并在問題（1）的基礎上，求出該購物中心日營業(yè)收入fx（1≤x≤30，x（注：日營業(yè)收入=日打卡人數(shù)Px×人均消費【解題思路】（1）根據(jù)表格可知Cx（2）直接根據(jù)P8=9即可求出k的值，分22≤x≤30且x為正整數(shù)和1≤x≤21【解答過程】（1）解：由表格，可知Cx又由表格可知C10代入Cx=ax?22+b，得所以Cx（2）解：因為第8天的打卡人數(shù)為9萬人，所有P8=8+k易知fx當22≤x≤30且x為正整數(shù)時，fx因為fx為減函數(shù)，所以f當1≤x≤21且x為正整數(shù)時，f所以fx=8122+x+綜上知，該商場在第30天時日營業(yè)收入最小，最小為1116萬元.一、單選題1．（2024·青海海西·模擬預測）北京時間2020年11月24日4時30分，中國在文昌航天發(fā)射場用長征五號遙五運載火箭，成功將嫦娥五號月球探測器送入地月轉(zhuǎn)移軌道，發(fā)射取得圓滿成功．在不考慮空氣阻力的情況下，火箭的最大速度vkms和燃料的質(zhì)量Mkg、火箭（除燃料外）的質(zhì)量mkg的函數(shù)關系是v=2000ln1+Mm．按照這個規(guī)律，當1000M=8m時，火箭的最大速度為v1；當1000M=4A．8.0km/s B．8.4km/s【解題思路】根據(jù)題意，利用給定的函數(shù)關系式，分別求得v1,v【解答過程】由火箭的最大速度v和燃料的質(zhì)量M、火箭的質(zhì)量m的函數(shù)關系是v=2000ln1+Mm，當1000M=8m當1000M=4m時，有Mm=可得v1?v故選：A．2．（2024·寧夏吳忠·模擬預測）從甲地到乙地的距離約為240km，經(jīng)多次實驗得到一輛汽車每小時耗油量Q（單位：L）與速度v（單位：km/h）（0≤v≤120）的下列數(shù)據(jù)：v0406080120Q0.0006.6678.12510.00020.000為描述汽車每小時耗油量與速度的關系，則下列四個函數(shù)模型中，最符合實際情況的函數(shù)模型是（

）A．Q=0.5v+aC．Q=av3+b【解題思路】作出散點圖，根據(jù)單調(diào)性和定義域即可得解.【解答過程】作出散點圖，由圖可知函數(shù)模型滿足：第一，定義域為0,120；第二，在定義域單調(diào)遞增且單位增長率變快；第三，函數(shù)圖象過原點.A選項：函數(shù)Q=0.5B選項：函數(shù)Q=av+b的單位增長率恒定不變，故B錯誤；C選項：Q=avD選項：函數(shù)Q=klogav+b故選：C.3．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·一模）在下列四個圖形中，點P從點O出發(fā)，按逆時針方向沿周長為l的圖形運動一周，O、P兩點連線的距離y與點P走過的路程x的函數(shù)關系如圖，那么點P所走的圖形是（

）A． B．C． D．【解題思路】由點P在第二條邊上運動時，y的單調(diào)性可排除A，由圖象的對稱性可排除B，由一開始y與x是線性的可排除C，對于D，當圖形是正方形時，可以驗證它滿足題意.【解答過程】對于A，點P在第一條邊上時，y=x，但點P在第二條邊上運動時，y是隨x的增大先減小（減到最小時y即為三角形的第二條邊上的高的長度），然后再增大，對比圖象可知，A錯誤；對于B，y與x的函數(shù)圖形一定不是對稱的，B錯誤；對于C，一開始y與x的關系不是線性的，C錯誤；對于D，因為函數(shù)圖象對稱，所以D選項應為正方形，不妨設邊長為a，點P在第一條邊上時（即0≤x≤a時），y=x，點P在第二條邊上運動時（即a≤x≤2a時），y=a點P在第三條邊上運動時（即2a≤x≤3a時），y=a點P在第四條邊上運動時（即3a≤x≤4a時），y=4a?x，單調(diào)遞減，且已知y與x的圖象關于x=2a=l2（其中故選：D.4．（2024·全國·模擬預測）近年來，“共享單車”的出現(xiàn)為市民“綠色出行”提供了極大方便．某共享單車公司計劃在甲、乙兩座城市共投資120萬元，根據(jù)行業(yè)規(guī)定，每座城市至少要投資40萬元．由前期市場調(diào)研可知：甲城市收益P(單位：萬元)與投入a(單位：萬元)滿足P=32a?6，乙城市收益Q(單位：萬元)與投入A(單位：萬元)滿足Q=1A．26萬元 B．44萬元 C．48萬元 D．72萬元【解題思路】根據(jù)題意列出收益的表達式，結合換元法、二次函數(shù)的性質(zhì)進行求解即可.【解答過程】由題意可知：40≤a<12040≤120?a<120設投資這兩座城市收益為y，則有y=32a令a=t?t∈[210,4該二次函數(shù)的對稱軸為t=62所以f(t)故選：B.5．（2024·北京通州·二模）某池塘里原有一塊浮萍，浮萍蔓延后的面積S（單位：平方米）與時間t（單位：月）的關系式為S=at+1（a>0，且a≠1），圖象如圖所示．則下列結論正確的個數(shù)為（①浮萍每個月增長的面積都相等；②浮萍蔓延4個月后，面積超過30平方米；③浮萍面積每個月的增長率均為50%；④若浮萍蔓延到3平方米、4平方米、12平方米所經(jīng)過的時間分別是t1，t2，t3A．0 B．1 C．2 D．3【解題思路】由已知可得出S=2【解答過程】由已知可得a1=2，則對于①，浮萍蔓延1月至2月份增長的面積為23浮萍蔓延2月至3月份增長的面積為24對于②，浮萍蔓延4個月后的面積為25對于③，浮萍蔓延第n至n+1個月的增長率為2n+2?2對于④，若浮萍蔓延到3平方米、4平方米、12平方米所經(jīng)過的時間分別是t1，t2，則2t1+1=3，2t故選：B.6．（2024·北京懷柔·模擬預測）“綠水青山就是金山銀山”的理念已經(jīng)提出18年，我國城鄉(xiāng)深化河道生態(tài)環(huán)境治理，科學治污.現(xiàn)有某鄉(xiāng)村一條污染河道的蓄水量為v立方米，每天的進出水量為k立方米，已知污染源以每天r個單位污染河水，某一時段t（單位：天）河水污染質(zhì)量指數(shù)mt（每立方米河水所含的污染物）滿足mt=rk+m0?rkA．1個月 B．3個月 C．半年 D．1年【解題思路】由題意可知，m(t)=m【解答過程】由題意可知，r=0,vk=50則e?150所以t≈90，則要使河水的污染水平下降到初始時的16，需要的時間大約是90故選：B．7．（2023·北京·模擬預測）血藥濃度（Plasma

Concentration）是指藥物吸收后在血漿內(nèi)的總濃度.藥物在人體內(nèi)發(fā)揮治療作用時，該藥物的血藥濃度應介于最低有效濃度和最低中毒濃度之間.已知成人單次服用1單位某藥物后，體內(nèi)血藥濃度及相關信息如圖所示：根據(jù)圖中提供的信息，下列關于成人使用該藥物的說法中：①首次服用該藥物1單位約10分鐘后，藥物發(fā)揮治療作用；②每次服用該藥物1單位，兩次服藥間隔小于2小時，一定會產(chǎn)生藥物中毒；③每向隔5.5小時服用該藥物1單位，可使藥物持續(xù)發(fā)揮治療作用；④首次服用該藥物1單位3小時后，再次服用該藥物1單位，不會發(fā)生藥物中毒.其中正確說法的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【解題思路】根據(jù)圖象，結合題意，逐個判斷即可．【解答過程】①根據(jù)圖象可知，首次服用該藥物1單位約10分鐘后，血液濃度達到最低有效濃度，藥物發(fā)揮治療作用，故正確；②根據(jù)圖象可知，首次服用該藥物1單位約1小時后血液濃度達到最大值，由圖象可知兩次服藥間隔小于2小時，一定會產(chǎn)生藥物中毒，故正確；③根據(jù)圖象可知，每間隔5.5小時服用該藥物1單位，可使血藥濃度大于最低有效濃度，藥物持續(xù)發(fā)揮治療作用，故正確；④根據(jù)圖象可知，首次服用該藥物1單位3小時后，再次服用該藥物1單位，會發(fā)生藥物中毒，故錯誤．故選：C．8．（2023·江西南昌·二模）為了預防某種病毒，某學校需要通過噴灑藥物對教室進行全面消毒．出于對學生身體健康的考慮，相關部門規(guī)定空氣中這種藥物的濃度不超過0.25毫克/立方米時，學生方可進入教室．已知從噴灑藥物開始，教室內(nèi)部的藥物濃度y（毫克/立方米）與時間t（分鐘）之間的函數(shù)關系為y=0.1t,0≤t≤1012A．7：00 B．6：40 C．6：30 D．6：00【解題思路】函數(shù)的圖像過點10,1，代入函數(shù)的解析式求得未知系數(shù)a，解函數(shù)不等式即可.【解答過程】根據(jù)函數(shù)的圖像，可得函數(shù)的圖像過點10,1，由函數(shù)圖像連續(xù)，代入函數(shù)的解析式，可得121?a=1所以y=0.1t,0≤t≤10令y≤0.25，可得0.1t≤0.25或12解得0<t≤2.5或t≥30．所以如果7：30學生進入教室，那么開始噴灑藥物的時間最遲是7：00．故選：A．二、多選題9．（2024·河南·模擬預測）1889年瑞典的阿倫尼烏斯提出了阿倫尼烏斯公式：k=Ae?EaRT（R和A均為大于0的常數(shù)），k為反應速率常數(shù)（與反應速率成正比），T為熱力學溫度（T>0），在同一個化學反應過程中Ea為大于0的定值.已知對于某一化學反應，若熱力學溫度分別為T1和T2時，反應速率常數(shù)分別為k1和kA．若T1>TB．若T1>TC．若T2=3T1D．若T2=3T1【解題思路】利用不等式性質(zhì)以及指數(shù)型函數(shù)單調(diào)性即可判斷AB，由T2【解答過程】由T1>T2，Ea>0所以e?EaRT1>易知k1若T2=3T1，可得故選：AD.10．（2023·全國·模擬預測）小菲在學校選修課中了解了艾賓浩斯遺忘曲線．為了解自己記憶一組單詞的情況，她記錄了隨后一個月的有關數(shù)據(jù)，繪制圖象，擬合了記憶保持量y與時間x（單位：天）之間的函數(shù)關系y=fx=?A．隨著時間的增加：小菲的單詞記憶保持量降低B．第一天小菲的單詞記憶保持量下降最多C．9天后，小菲的單詞記憶保持量不低于40%D．26天后，小菲的單詞記憶保持量不足20%【解題思路】根據(jù)艾賓浩斯遺忘曲線對選項進行分析，從而確定正確答案.【解答過程】由函數(shù)解析式和圖象可知fx隨著x由圖象的減少快慢可知：第一天小菲的單詞記憶保持量下降最多，B正確．當1<x≤30時，fx則f9即9天后，小菲的單詞記憶保持量低于40%，故C錯誤．f26故選：AB.11．（2024·全國·模擬預測）某地下車庫在排氣扇發(fā)生故障的情況下測得空氣中一氧化碳含量達到了危險狀態(tài)，經(jīng)搶修排氣扇恢復正常，排氣4分鐘后測得車庫內(nèi)的一氧化碳濃度為64ppm，繼續(xù)排氣4分鐘后又測得濃度為32ppm．由檢驗知該地下車庫一氧化碳濃度y（單位：ppm）與排氣時間t（單位：分鐘）之間滿足函數(shù)關系y=aeRt（a,R為常數(shù)，e是自然對數(shù)的底數(shù)）．若空氣中一氧化碳濃度不高于A．a(chǎn)=128B．R=C．排氣12分鐘后濃度為16D．排氣32分鐘后，人可以安全進入車庫【解題思路】由題意列式，求出a=128,R=?14ln【解答過程】設f(t)=a?eRt，代入(4,64),(8,32)，得解得a=128,R=?1此時f(t)=128eRt當f(t)≤0.5時，即27?t4≤0.5=2所以排氣32分鐘后，人可以安全進入車庫，D正確．故選:ACD．三、填空題12．（2024·廣東廣州·模擬預測）“阿托秒”是一種時間的國際單位，“阿托秒”等于10?18秒，原子核內(nèi)部作用過程的持續(xù)時間可用“阿托秒”表示.《莊子?天下》中提到，“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”，如果把“一尺之棰”的長度看成1米，按照此法，至少需要經(jīng)過31天才能使剩下“棰”的長度小于光在2“阿托秒”內(nèi)走過的距離.（參考數(shù)據(jù)：光速為3×108【解題思路】依題意可得尺子經(jīng)過n天后，剩余的長度fn【解答過程】依題意，光在2“阿托秒”內(nèi)走的距離為2×10經(jīng)過n天后，剩余的長度fn=12n兩邊同時取對數(shù)，得n>log而n∈N*，則故答案為：31.13．（2024·上海長寧·二模）甲、乙、丙三輛出租車2023年運營的相關數(shù)據(jù)如下表：甲乙丙接單量t（單）783182258338油費s（元）107150110264110376平均每單里程k（公里）151515平均每公里油費a（元）0.70.70.7出租車空駛率=出租車沒有載客行駛的里程出租車行駛的總里程；依據(jù)以上數(shù)據(jù)，小明建立了求解三輛車的空駛率的模型u=fs,t,k,a，并求得甲、乙、丙的空駛率分別為23.26%、21.68%、x【解題思路】根據(jù)題意得到出租車空駛率的模型，檢驗甲、乙兩輛出租車的空駛率，滿足題意，從而利用該模型求得丙的空駛率，從而得解.【解答過程】依題意，因為出租車行駛的總里程為sa，出租車有載客時行駛的里程為tk所以出租車空駛率u=s對于甲，1?7831×15×0.7對于乙，1?8225×15×0.7所以上述模型滿足要求，則丙的空駛率為x%=1?8338×15×0.7故答案為：20.68.14．（2024·北京·模擬預測）農(nóng)業(yè)技術員進行某種作物的種植密度試驗，把一塊試驗田劃分為8塊面積相等的區(qū)域（除了種植密度，其它影響作物生長的因素都保持一致），種植密度和單株產(chǎn)量統(tǒng)計如下：

根據(jù)上表所提供信息，第5號區(qū)域的總產(chǎn)量最大．【解題思路】分別求出種植密度函數(shù)和單株產(chǎn)量函數(shù)的解析式，再求總產(chǎn)量的函數(shù)解析式，由此確定其最大值及取最大值的條件即可.【解答過程】設區(qū)域代號為x，種植密度為y1，單株產(chǎn)量為y2，則由圖象可得種植密度y1是區(qū)域代號x故設y1=kx+b，由已知函數(shù)y1=kx+b的圖象經(jīng)過點1,2.4,所以2.4=k+b4.5=8k+b，解得k=0.3所以y1由圖象可得單株產(chǎn)量y2是區(qū)域代號x故可設y2=mx+n，觀察圖象可得當x=1時，y2=1.28，當x=8時，所以1.28=m+n0.72=8m+n，解得m=?0.08所以y2所以總產(chǎn)量mx=當x=5時，函數(shù)mx有最大值，即5號區(qū)域總產(chǎn)量最大，最大值為3.456故答案為：5.四、解答題15．（2024·貴州六盤水·模擬預測）中國茶文化博大精深，茶水的口感與茶葉類型和水的溫度有關.水城春茶因富含有機茶硒和十余種人體必需的微量元素而享譽貴州省內(nèi)外.經(jīng)驗表明，水城春茶用85°C的水泡制，再等到茶水溫度降至60°C時，飲用口感最佳.為方便控制水溫，某研究小組采用了物體在常溫環(huán)境下溫度變化的冷卻模型：若物體的初始溫度是θ1°C，室溫是θ0°C，則經(jīng)過時間t（單位：分鐘）后物體的溫度θ（單位：°C從98°C降至85°3.4分鐘從98°C降至80°5.0分鐘(1)從上表中選取一組數(shù)據(jù)求出k的值（精確到0.01），并根據(jù)上述冷卻模型寫出冷卻時間t關于冷卻后水溫θ的函數(shù)解析式；(2)在（1）的條件下，現(xiàn)用200mL水在19°C（參考數(shù)據(jù)：ln79≈4.369，ln66≈4.190，ln61≈4.111【解題思路】（1）根據(jù)所選擇數(shù)據(jù)代入解析式，利用對數(shù)運算公式和參考數(shù)據(jù)可得；（2）將θ=60代入（1）中解析式計算可得.【解答過程】（1）由題可知θ1=98，若取第一組數(shù)據(jù)，則有85=19+79e?3.4k，得此時解析式為θ=19+79e若取第二組數(shù)據(jù)，則有80=19+79e?5k，解得此時解析式為θ=19+79e綜上，所求解析式為θ=19+79（2）由（1）知，θ=19+79e令θ=60，則19+79e?0.05t=60所以，從泡制到獲得最佳飲用口感約需要13.1分鐘.16．（2023·上海楊浦·一模）企業(yè)經(jīng)營一款節(jié)能環(huán)保產(chǎn)品，其成本由研發(fā)成本與生產(chǎn)成本兩部分構成．生產(chǎn)成本固定為每臺130元．根據(jù)市場調(diào)研，若該產(chǎn)品產(chǎn)量為x萬臺時，每萬臺產(chǎn)品的銷售收入為I（x）萬元．兩者滿足關系：I(1)甲企業(yè)獨家經(jīng)營，其研發(fā)成本為60萬元．求甲企業(yè)能獲得利潤的最大值；(2)乙企業(yè)見有利可圖，也經(jīng)營該產(chǎn)品，其研發(fā)成本為40萬元．問：乙企業(yè)產(chǎn)量多少萬臺時獲得的利潤最大；（假定甲企業(yè)按照原先最大利潤生產(chǎn)，并未因乙的加入而改變）(3)由于乙企業(yè)參與，甲企業(yè)將不能得到預期的最大收益、因此會作相應調(diào)整，之后乙企業(yè)也會隨之作出調(diào)整，最終雙方達到動態(tài)平衡（在對方當前產(chǎn)量不變的情況下，已方達到利潤最大）求動態(tài)平衡時，兩企業(yè)各自的產(chǎn)量和利潤分別是多少．【解題思路】根據(jù)利潤等于銷售收入減去成本即可得到函數(shù)關系式，用二次函數(shù)求最值的方法即可得到.【解答過程】（1）設利潤為PP=?當x=45時P所以，產(chǎn)量為45萬臺時，甲企業(yè)獲利最大為1965萬元．（2）設乙企業(yè)產(chǎn)量為x萬臺，此時甲依舊按照45萬臺產(chǎn)量生產(chǎn)對于乙企業(yè)，每萬臺產(chǎn)品的銷售收入為IP=?3所以乙企業(yè)產(chǎn)量為22.5萬臺，獲得利潤最大．（3）假設達到動態(tài)平衡時，甲企業(yè)產(chǎn)量a萬臺，乙企業(yè)產(chǎn)量b萬臺．甲企業(yè)：P=?a2+90?b乙企業(yè)P=?b2+90?a聯(lián)立，解得a=b=30時達到動態(tài)平衡．此時利潤分別為：甲企業(yè)840萬元，乙企業(yè)860萬元．17．（2024·浙江金華·模擬預測）太陽能板供電是節(jié)約能源的體現(xiàn)，其中包含電池板和蓄電池兩個重要組件，太陽能板通過電池板將太陽能轉(zhuǎn)換為電能，再將電能儲存于蓄電池中．已知在一定條件下，入射光功率密度ρ=E2S（E為入射光能量且E>0,S為入射光入射有效面積），電池板轉(zhuǎn)換效率η(0≤η≤100%)(1)若k=2,S=1.5平方米，求蓄電池電能儲存量Q與E的關系式；(2)現(xiàn)有鉛酸蓄電池和鋰離子蓄電池兩種蓄電池可供選擇，且鉛酸蓄電池的放電量I=Q+E?1，鋰離子蓄電池的放電量I=Q+E注：①蓄電池電能儲存量Q=η?E；②當S，k，Q一定時，蓄電池的放電量越大，太陽能板供電效果越好．【解題思路】（1）利用題目所給公式及數(shù)據(jù)計算即可得；（2）用S，k，Q表示出兩種蓄電池的放電量后作差比大小即可得.【解答過程】（1）Q=η?E=k若k=2,S=1.5平方米，則Q=2×1.5（2）由Q=kSE，即鉛酸蓄電池的放電量為：I1鋰離子蓄電池的放電量為：I2則I=Q令Q1+kS?kS即Q∈k2S當Q∈0,k2當Q=k2S18．（2023·上海嘉定·一模）李先生屬于一年工作250天的上班族，計劃購置一輛新車用以通勤.大致推斷每天早八點從家出發(fā)，晚上六點回家，往返總距離為40公里.考慮從A、B兩款車型中選擇其一，A款車是燃油車，B款車是電動車，售價