重難點26 巧解圓錐曲線的離心率問題（舉一反三）（新高考專用）（學(xué)生版） 2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專練（新高考專用）

重難點26巧解圓錐曲線的離心率問題【八大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1利用圓錐曲線的定義求離心率或其范圍】 2【題型2利用圓錐曲線的性質(zhì)求離心率或其范圍】 3【題型3利用等量關(guān)系或不等關(guān)系求離心率或其范圍】 3【題型4利用正、余弦定理求離心率或其范圍】 4【題型5利用基本不等式求離心率的范圍】 5【題型6橢圓與雙曲線綜合的離心率問題】 5【題型7函數(shù)法求離心率或其范圍】 6【題型8坐標(biāo)法求離心率或其范圍】 71、巧解圓錐曲線的離心率問題從近幾年的高考情況來看，圓錐曲線的離心率或其取值范圍問題是高考的熱點題型，主要以選擇題或填空題的形式考查，難度不大；對圓錐曲線中已知特征關(guān)系的轉(zhuǎn)化是解決此類問題的關(guān)鍵，相關(guān)平面幾何關(guān)系的挖掘應(yīng)用也可使問題求解更簡潔.【知識點1圓錐曲線的離心率】1．橢圓的離心率(1)離心率的定義：橢圓的焦距與長軸長的比稱為橢圓的離心率.用e表示，即e=.

(2)離心率的范圍：0<e<1.

(3)橢圓離心率的意義：橢圓離心率的變化刻畫了橢圓的扁平程度.

當(dāng)e越接近于1時，c越接近于a，從而b=越小，因此橢圓越扁；當(dāng)e越接近于0時，c越接近于0，從而b=越接近于a，因此橢圓越接近于圓；當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，c=0，這時兩個焦點重合，圖形變?yōu)閳A，它的方程為.2．求橢圓離心率或其取值范圍的方法解題的關(guān)鍵是借助圖形建立關(guān)于a,b,c的關(guān)系式(等式或不等式)，轉(zhuǎn)化為e的關(guān)系式，常用方法如下:(1)直接求出a,c，利用離心率公式求解.(2)由a與b的關(guān)系求離心率，利用變形公式求解.(3)構(gòu)造a,c的齊次式.離心率e的求解中可以不求出a,c的具體值，而是得出a與c的關(guān)系，從而求得e.3．雙曲線的離心率(1)定義：雙曲線的焦距與實軸長的比，叫作雙曲線的離心率.

(2)雙曲線離心率的范圍：e>1.

(3)離心率的意義：離心率的大小決定了漸近線斜率的大小，從而決定了雙曲線的開口大小.

因為=，所以e越大，越大，則雙曲線的開口越大.

(4)等軸雙曲線的兩漸近線互相垂直，離心率e=.4．求雙曲線離心率或其取值范圍的方法(1)直接求出a,c的值，利用離心率公式直接求解.(2)列出含有a,b,c的齊次方程(或不等式)，借助于消去b，轉(zhuǎn)化為含有e的方程(或不等式)求解.5．拋物線的離心率拋物線的離心率e=1.【知識點2離心率的范圍問題的求解方法】1．不等式法求離心率的范圍

(1)利用圓錐曲線的定義求離心率的范圍：利用圓錐曲線的定義建立不等關(guān)系，結(jié)合離心率公式求解.

(2)利用圓錐曲線的性質(zhì)求離心率的范圍：利用圓錐曲線的性質(zhì)，如：橢圓的最大角、雙曲線漸近線的斜率、通徑、三角形中的邊角關(guān)系、曲線上的點到焦點距離的范圍等，建立不等式(不等式組)求解.

(3)利用題目條件中的不等關(guān)系，建立不等式(不等式組)求解.

(4)利用基本不等式求離心率的范圍：把離心率的關(guān)系式轉(zhuǎn)化為能利用基本不等式的形式，利用基本不等式建立不等關(guān)系進(jìn)行求解.

2．函數(shù)法求離心率的范圍(1)根據(jù)題干條件，如圓錐曲線的定義、性質(zhì)、其他等量關(guān)系等條件建立離心率和其他一個變量的函數(shù)關(guān)系式；(2)結(jié)合圓錐曲線的離心率的范圍，來確定所得函數(shù)的定義域；(3)利用函數(shù)的性質(zhì)求最值或值域，進(jìn)而求解離心率的最值或取值范圍.3．坐標(biāo)法求離心率的范圍根據(jù)所給條件，設(shè)出所求點的坐標(biāo)，把點的坐標(biāo)代入曲線方程，結(jié)合相關(guān)知識，進(jìn)行求解即可.【題型1利用圓錐曲線的定義求離心率或其范圍】【例1】（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·模擬預(yù)測）已知雙曲線的兩個焦點分別為4,0,?4,0，點4,?6在該雙曲線上，則該雙曲線的離心率為（

）A．3 B．3 C．2 D．2【變式1-1】（2024·廣西貴港·模擬預(yù)測）已知正方形ABCD的四個頂點都在橢圓上，且橢圓的兩個焦點分別為邊AD和BC的中點，則該橢圓的離心率為（

）A．22 B．3?12 C．5【變式1-2】（23-24高二下·山西晉城·階段練習(xí)）已知F1，F(xiàn)2是橢圓C:x2a2+y2b2A．33 B．32 C．12【變式1-3】（2024·陜西商洛·三模）已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1A．2,+∞ B．1,2 C．2,+【題型2利用圓錐曲線的性質(zhì)求離心率或其范圍】【例2】（2024·浙江杭州·三模）已知雙曲線x2a2?y2b2=1a,b>0上存在關(guān)于原點中心對稱的兩點A．2,+∞ B．3,+∞ C．【變式2-1】（23-24高二下·山西運城·期中）已知F1,F2分別是橢圓C:x2a2+y26=1(a>0)A．33 B．32 C．63【變式2-2】（2024·四川·模擬預(yù)測）已知雙曲線E:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0),F,A分別為E的右焦點和左頂點，點M?2,3A．3 B．2 C．62 D．【變式2-3】（2024·陜西銅川·模擬預(yù)測）已知F1,F2是橢圓E:x2a2+y2A．0,2?1 B．0,2?1 C．【題型3利用等量關(guān)系或不等關(guān)系求離心率或其范圍】【例3】（2024·廣東深圳·二模）P是橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）上一點，F(xiàn)1、F2是C的兩個焦點，PF1?PA．12 B．33 C．63【變式3-1】（2024·江西南昌·三模）已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2.過F2作直線l與雙曲線CA．52,5 B．32,3【變式3-2】（2024·河北邯鄲·模擬預(yù)測）已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1a>0,b>0，O為坐標(biāo)原點，F(xiàn)1、F2分別為C的左、右焦點，點P在雙曲線上，且A．2 B．3 C．2 D．2【變式3-3】（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)，直線l:y=12x+a與橢圓C交于A,B兩點（B點在A點上方），O為坐標(biāo)原點，以O(shè)為圓心，OBA．13 B．12 C．22【題型4利用正、余弦定理求離心率或其范圍】【例4】（2024·廣西桂林·模擬預(yù)測）已知F1、F2是雙曲線C:x2a2?y2A．53 B．54 C．23【變式4-1】（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）設(shè)A,B分別為橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左?右頂點，A．35 B．37 C．1511【變式4-2】（2024·四川成都·模擬預(yù)測）設(shè)點F1，F(xiàn)2分別為雙曲線C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0的左、右焦點，點AA．175 B．135 C．855【變式4-3】（23-24高二上·浙江杭州·期中）雙曲線C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0的左，右焦點分別為F1,F2A．2 B．2 C．5 D．3【題型5利用基本不等式求離心率的范圍】【例5】（23-24高二上·安徽黃山·期末）已知點F1是橢圓x2a2+y2b2=1a>b>0的左焦點，過原點作直線l交橢圓于A、BA．14 B．34 C．12【變式5-1】（23-24高三上·云南曲靖·階段練習(xí)）已知F1，F(xiàn)2，分別為雙曲線x2a2?y2b2=1（a>0，b>0A．1,72 C．1,3 D．3,5【變式5-2】（23-24高二·全國·課后作業(yè)）已知F1，F(xiàn)2分別為雙曲線x2a2?y2b2=1A．1,2 B．1,3 C．1,3 D．2,4【變式5-3】（2024·河南·二模）從橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)外一點Px0,y0向橢圓引兩條切線，切點分別為A,B，則直線AB稱作點P關(guān)于橢圓C的極線，其方程為x0xa2+y0yb2

A．12 B．13 C．15【題型6橢圓與雙曲線綜合的離心率問題】【例6】（2024·安徽合肥·模擬預(yù)測）已知橢圓C1：x2m2+y2=1(m>1)與雙曲線C2：x2nA．e1e2C．0<e1e【變式6-1】（2024·山東菏澤·二模）已知e1,e2分別為橢圓x2a2+yA．2 B．3 C．4 D．5【變式6-2】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知橢圓C1:x2m2+y2n2=1(m>n>0)與雙曲線C2:xA．2+34 B．2+32 C．【變式6-3】（23-24高二上·湖北荊州·期末）已知F1，F(xiàn)2是橢圓與雙曲線的公共焦點，P是它們的一個公共點，且|PF1|＞|PF2A．8 B．6 C．4 D．2【題型7函數(shù)法求離心率或其范圍】【例7】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知橢圓Γ:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1,A．23,1 B．22,104【變式7-1】（2024·河北邯鄲·二模）已知直線l：abx?(4a?1)y+m=0(a＞14)與雙曲線x2a2?y2b2=1(a＞0，b＞0)的兩條漸近線交于AA．2 B．3 C．2 D．5【變式7-2】（2024·遼寧·模擬預(yù)測）已知Q是橢圓M:x29+y2b2=1(0<b<3)上的動點，若動點QA．23,1 B．0,22 C．【變式7-3】（2024·四川·模擬預(yù)測）已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0，F(xiàn)1，F(xiàn)2為C的左、右焦點，BA．5 B．2 C．22 D．【題型8坐標(biāo)法求離心率或其范圍】【例8】（23-24高二下·湖北武漢·階段練習(xí)）已知A,F分別為橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左頂點和左焦點，直線y=kx與橢圓交于B,CA．23 B．12 C．154【變式8-1】（23-24高三上·河北保定·階段練習(xí)）已知雙曲線C:x2?y2b2=1(b>0)，點P2,0,Q3,0A．(1,153) B．(1,303)【變式8-2】（2024·福建泉州·模擬預(yù)測）橢圓E：x2a2+y2b2=1a>b>0的左右焦點分別為F1,F2，點P0,mm>b，線段PF1，A．12 B．22 C．32【變式8-3】（23-24高二上·湖北·期中）已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1a>0,b>0的左、右焦點分別為F1?c,0，F(xiàn)2c,0，過點F1的直線l①B的坐標(biāo)為a,b；②BF1?BF2>2aA．①② B．②③ C．①③ D．①②③一、單選題1．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）設(shè)橢圓E:x2a2+y2b2=1a>b>0的左右焦點為F1,A．57 B．63 C．2?22．（2024·四川雅安·三模）設(shè)F1,F2分別為雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦點，過點F2的直線交雙曲線右支于點MA．3+12 B．3+1 C．23．（2024·陜西咸陽·模擬預(yù)測）設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點，過F2A．32 B．53 C．344．（2024·安徽合肥·模擬預(yù)測）已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)，F(xiàn)1(?c,0)、F2(c,0)分別為左、右焦點，若雙曲線右支上有一點P使得線段PFA．32+102 B．32?5．（2024·廣東·一模）已知點F，A分別是橢圓x2a2+y2bA．3+12 B．5?12 C．6．（2024·遼寧·模擬預(yù)測）已知橢圓C1與雙曲線C2有共同的焦點F1,F2,P是橢圓C1與雙曲線C2A．3 B．4 C．6 D．127．（2024·河南濮陽·模擬預(yù)測）點M是橢圓x2a2+y2b2=1a>b>0上的點，以M為圓心的圓與x軸相切于橢圓的焦點F，圓A．2?3,1 C．6?228．（2024·四川德陽·模擬預(yù)測）已知雙曲線l：x2a2?y2b2=1a>0,b>0的焦距為2c，右頂點為A，過A作x軸的垂線與EA．2332 B．2333 二、多選題9．（2024·甘肅酒泉·三模）已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)A．12 B．35 C．5610．（2024·河南信陽·模擬預(yù)測）已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0的左、右焦點分別為F1?c,0,FA．若NF1⊥NF2，則e=2C．若NF2=2MF2，則11．（2024·貴州貴陽·三模）雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為點F1,F2，斜率為正的漸近線為l1，過點FA．雙曲線C的離心率為5B．雙曲線C的共軛雙曲線方程為yC．當(dāng)點M位于雙曲線C右支時，MD．點M到兩漸近線的距離之積為4三、填空題12．（2024·山東濟(jì)南·三模）已知F1、F2是橢圓x2a2+y2b13．（24-25高三上·江蘇南通·階段練習(xí)）已知雙曲線x2a2?y2b2=1a,b>0，F(xiàn)1，F(xiàn)2為雙曲線的左右焦點，過F1做斜率為正的直線交雙曲線左支于A14．（2024高三下·全國·專題練習(xí)）已知P、Q為橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0上關(guān)于原點對稱的兩點，點P在第一象限，F(xiàn)1、F2四、解答題15．（2024·湖南衡陽·模擬預(yù)測）已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0與橢圓x225+y(1)求雙曲線的離心率；(2)求△OMN的面積.16．（2024·湖北·模擬預(yù)測）已知橢圓E:x2a(1)若橢圓E的離心率e∈0,12(2)已知橢圓E的離心率e=32，M，N為橢圓E上不同兩點，