重難點(diǎn)24 隱圓與蒙日?qǐng)A問(wèn)題（舉一反三）（新高考專用）（學(xué)生版） 2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專練（新高考專用）

重難點(diǎn)24隱圓與蒙日?qǐng)A問(wèn)題【六大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1隱圓類型一：到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)】 2【題型2隱圓類型二：到兩定點(diǎn)距離的平方和為定值】 2【題型3隱圓類型三：到兩定點(diǎn)的夾角為直角】 3【題型4隱圓類型四：定弦定角、數(shù)量積定值】 3【題型5阿波羅尼斯圓】 4【題型6蒙日?qǐng)A】 51、隱圓與蒙日?qǐng)A問(wèn)題從近幾年的高考情況來(lái)看，在近幾年全國(guó)各地的解析幾何試題中可以發(fā)現(xiàn)許多試題涉及隱圓、蒙日?qǐng)A，這些問(wèn)題聚焦了軌跡方程、定值、定點(diǎn)、弦長(zhǎng)、面積等解析幾何的核心問(wèn)題，難度為中高檔，需要靈活求解.【知識(shí)點(diǎn)1隱圓與阿波羅尼斯圓】1．隱圓問(wèn)題在題設(shè)中沒(méi)有明確給出圓的相關(guān)信息，而是隱含在題目中，要通過(guò)分析、轉(zhuǎn)化、發(fā)現(xiàn)圓(或圓的方程)，從而最終利用圓的知識(shí)來(lái)求解，我們稱這類問(wèn)題為“隱圓問(wèn)題”.2．隱圓問(wèn)題的幾大類型(1)隱圓類型一：到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)；(2)隱圓類型二：到兩定點(diǎn)距離的平方和為定值；(3)隱圓類型三：到兩定點(diǎn)的夾角為直角；(4)隱圓類型四：對(duì)角互補(bǔ)、數(shù)量積定值；(5)隱圓類型五：阿波羅尼斯圓.3．阿波羅尼斯圓“阿波羅尼斯圓”的定義：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)A(-a,0)，B(a,0)(a>0)的距離之比為正數(shù)λ(λ≠1)的點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，即為阿波羅尼斯圓.【知識(shí)點(diǎn)2蒙日?qǐng)A】1．蒙日?qǐng)A在橢圓上，任意兩條相互垂直的切線的交點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，它的圓心是橢圓的中心，半徑等于橢圓長(zhǎng)半軸與短半軸平方和的算術(shù)平方根，這個(gè)圓叫蒙日?qǐng)A.設(shè)P為蒙日?qǐng)A上任一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作橢圓的兩條切線，交橢圓于點(diǎn)A，B，O為原點(diǎn)，如圖.【題型1隱圓類型一：到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)】【例1】（2024·全國(guó)·二模）已知直線l1:y=tx+5t∈R與直線l2:x+ty?t+4=0t∈R相交于點(diǎn)P，且點(diǎn)P到點(diǎn)Qa,3的距離等于1，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A．?2B．?2C．?2D．?2【變式1-1】（24-25高三上·江西南昌·開(kāi)學(xué)考試）已知橢圓E:x24+y23=1的右焦點(diǎn)為F，則A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式1-2】（2024·陜西咸陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知a，b是兩個(gè)單位向量，且a+b=a?b，若向量c滿足A．2?2 B．2+2 C．2 【變式1-3】（23-24高三下·湖南長(zhǎng)沙·階段練習(xí)）已知M(x1,y1)，N(x2,A．10,14 B．8,16 C．52,72【題型2隱圓類型二：到兩定點(diǎn)距離的平方和為定值】【例2】（24-25高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）平面上一動(dòng)點(diǎn)P滿足：PM|2+PN|2=6A．(x+1)2+yC．x2+y【變式2-1】（2024·河南·三模）在平面α內(nèi)，已知線段AB的長(zhǎng)為4，點(diǎn)P為平面α內(nèi)一點(diǎn)，且PA2+PB2=10A．π6 B．π4 C．π3【變式2-2】（24-25高二上·江蘇徐州·階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A2,0，若點(diǎn)M滿足MA2+MO【變式2-3】（23-24高二上·福建廈門(mén)·期末）已知圓O:x2+y2=1和圓O1:(x?2)2+y2=1，過(guò)動(dòng)點(diǎn)P分別作圓O，圓O1的切線PA【題型3隱圓類型三：到兩定點(diǎn)的夾角為直角】【例3】（2024·浙江嘉興·二模）已知圓C:(x?5)2+(y+2)2=r2(r>0),A?6,0,BA．0,5 B．5,15 C．10,15 D．15,+【變式3-1】（2024·北京平谷·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)點(diǎn)A1,0，動(dòng)直線l：x+ay+2a?1=0，作AM⊥l于點(diǎn)M，則點(diǎn)M到坐標(biāo)原點(diǎn)O距離的最小值為（

A．1 B．2+1 C．2?1 【變式3-2】（23-24高三下·江蘇揚(yáng)州·開(kāi)學(xué)考試）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知M,N為圓x2+y2=9上兩點(diǎn)，點(diǎn)A1,2，且A．4?2,4+2C．4?5,4+5【變式3-3】（2024·廣西南寧·二模）已知直線y=kx+mkm≠0與x軸和y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，且AB=22，動(dòng)點(diǎn)C滿足CA⊥CB，則當(dāng)k，m變化時(shí)，點(diǎn)C到點(diǎn)DA．42 B．32 C．22【題型4隱圓類型四：定弦定角、數(shù)量積定值】【例4】（2024·北京·三模）已知圓C:x?32+y?12=1和兩點(diǎn)A?t,0,Bt,0t>0A．0,1 B．1,3 C．2,3 D．3,4【變式4-1】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）M點(diǎn)是圓C:(x+2)2+y2=1上任意一點(diǎn)，AB為圓C1:(x?2)2+A．1 B．2 C．3 D．47【變式4-2】（2024·江西贛州·一模）在邊長(zhǎng)為4的正方體ABCD?A1B1C1D1中，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是側(cè)面A．π9 B．2π9 C．4【變式4-3】（2024·河南鄭州·二模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)A2,4，B?2,?4，動(dòng)點(diǎn)P滿足PO?PA=?1A．22121 B．42929 C．【題型5阿波羅尼斯圓】【例5】（23-24高二上·遼寧沈陽(yáng)·期中）阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的是：已知?jiǎng)狱c(diǎn)M與兩定點(diǎn)Q，P的距離之比MQMP=λλ>0,λ≠1，那么點(diǎn)M的軌跡就是阿波羅尼斯圓.已知?jiǎng)狱c(diǎn)M的軌跡是阿波羅尼斯圓，其方程為x2+y2=1，Q為x軸上一定點(diǎn)，A．?1,0 B．1,0 C．?2,0 D．2,0【變式5-1】（23-24高二上·江西南昌·階段練習(xí)）阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與歐幾里得、阿基米德并稱為亞歷山大時(shí)期數(shù)學(xué)三巨匠，他對(duì)圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線》一書(shū)，阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的是：已知?jiǎng)狱c(diǎn)M與兩定點(diǎn)Q，P的距離之比MQMP=λ（λ>0，λ≠1），那么點(diǎn)M的軌跡就是阿波羅尼斯圓，已知?jiǎng)狱c(diǎn)的M與定點(diǎn)Qm,0和定點(diǎn)P?12,0的距離之比為2，其方程為xA．6 B．7 C．10 D．11【變式5-2】（23-24高二上·陜西咸陽(yáng)·階段練習(xí)）古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯（約公元前262～公元前190年）的著作《圓錐曲線論》是古代數(shù)學(xué)的重要成果．其中有這樣一個(gè)結(jié)論：平面內(nèi)與兩點(diǎn)距離的比為常數(shù)λλ≠1的點(diǎn)的軌跡是圓，后人稱這個(gè)圓為阿波羅尼斯圓．已知點(diǎn)O0,0，A3,0，動(dòng)點(diǎn)Px,y滿足POPA=12，則點(diǎn)A．1 B．2 C．3 D．4【變式5-3】（23-24高二上·湖南益陽(yáng)·期末）阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與歐幾里得?阿基米德并稱為亞歷山大時(shí)期數(shù)學(xué)三巨匠，他對(duì)圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線》一書(shū)，阿波羅尼斯圓就是他的研究成果之一.指的是：已知?jiǎng)狱c(diǎn)M與兩定點(diǎn)Q,P的距離之比MQMP=λ(λ>0,λ≠1)，那么點(diǎn)M的軌跡就是阿波羅尼斯圓.已知?jiǎng)狱c(diǎn)M的軌跡是阿波羅尼斯圓，其方程為x2+y2=1，其中，定點(diǎn)Q為x軸上一點(diǎn)，定點(diǎn)P的坐標(biāo)為?A．10 B．11 C．15 D．17【題型6蒙日?qǐng)A】【例6】（23-24高三上·安徽六安·階段練習(xí)）橢圓x2a2+y2b2=1a>0,b>0,a≠b任意兩條相互垂直的切線的交點(diǎn)軌跡為圓：x2+yA．1,7 B．1,9 C．3,7 D．3,9【變式6-1】（2024·貴州銅仁·二模）法國(guó)數(shù)學(xué)家加斯帕·蒙日被稱為“畫(huà)法幾何創(chuàng)始人”“微分幾何之父”.他發(fā)現(xiàn)與橢圓相切的兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)的軌跡是以該橢圓中心為圓心的圓，這個(gè)圓稱為該橢圓的蒙日?qǐng)A.若橢圓Γ:x2a2+y2b2=1a>b>0的蒙日?qǐng)A為C:x2+y2=43a2，過(guò)C上的動(dòng)點(diǎn)A．22 B．32 C．33【變式6-2】（2024高三·山東·專題練習(xí)）“蒙日?qǐng)A”涉及幾何學(xué)中的一個(gè)著名定理，該定理的內(nèi)容為：橢圓上兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)必在一個(gè)與橢圓同心的圓上，該圓稱為原橢圓的蒙日?qǐng)A.若橢圓C：x2a+1+y2a=1(a>0)A．x2+y2=9 B．x2【變式6-3】（23-24高二上·江蘇徐州·期中）畫(huà)法幾何學(xué)的創(chuàng)始人——法國(guó)數(shù)學(xué)家加斯帕爾·蒙日發(fā)現(xiàn)：與橢圓相切的兩條垂直切線的交點(diǎn)的軌跡是以橢圓中心為圓心的圓，我們通常把這個(gè)圓稱為該橢圓的蒙日?qǐng)A．已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的蒙日?qǐng)A方程為xA．±3 B．±4 C．±5 D．2一、單選題1．（24-25高二上·江蘇徐州·階段練習(xí)）已知?jiǎng)狱c(diǎn)M與兩個(gè)定點(diǎn)O(0,0),A(3,0)的距離之比為2，那么直線OM的斜率的取值范圍是（）A．26,62 B．?72,2．（23-24高三上·重慶·期中）已知Q為拋物線C:y2=4x上的動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M滿足到點(diǎn)A(2，0)的距離與到點(diǎn)F(F是C的焦點(diǎn))的距離之比為22，則|QM|+|QF|的最小值是（A．3?2 B．4?2 C．4+3．（23-24高二下·貴州六盤(pán)水·期末）已知線段AB的長(zhǎng)度為4，動(dòng)點(diǎn)M與點(diǎn)A的距離是它與點(diǎn)B的距離的2倍，則△MAB面積的最大值為（

）A．82 B．8 C．42 4．（23-24高二上·河北石家莊·期末）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，曲線x2=y+1與x軸相交于A，B兩點(diǎn)，P是平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足PA=2PBA．3 B．23 C．2 D．5．（23-24高二下·陜西寶雞·期中）已知點(diǎn)A為直線3x+4y?5=0上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Pm+2,1?n,B2,0，且滿足m2+A．65 B．73 C．6556．（2024·廣東·二模）法國(guó)數(shù)學(xué)家加斯帕爾·蒙日在研究圓錐曲線時(shí)發(fā)現(xiàn)：橢圓的兩條相互垂直切線的交點(diǎn)軌跡為圓，我們通常稱這個(gè)圓為該橢圓的蒙日?qǐng)A．根據(jù)此背景，設(shè)M為橢圓C:x2+y212=1的一個(gè)外切長(zhǎng)方形（M的四條邊所在直線均與橢圓CA．133 B．26 C．1125 7．（23-24高二下·浙江·期中）在△ABC中，BC＝2，∠BAC=π3，D為BC中點(diǎn)，在△ABC所在平面內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)P滿足PB?A．33 B．233 C．38．（23-24高二下·山東青島·開(kāi)學(xué)考試）阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與阿基米德、歐幾里得并稱為亞歷山大時(shí)期數(shù)學(xué)三巨匠，他研究發(fā)現(xiàn)：如果一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之比為常數(shù)λ（λ>0，且λ≠1），那么點(diǎn)P的軌跡為圓，這就是著名的阿波羅尼斯圓．若點(diǎn)C到A(?1,0)，B(1,0)的距離之比為3，則點(diǎn)C到直線x?2y+8=0的距離的最小值為（

）A．25?3C．25 D．二、多選題9．（23-24高二上·福建泉州·期中）古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯（約公元前262~前190）發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)A,B的距離之比為定值λ(λ≠1)的點(diǎn)的軌跡是圓．后來(lái)，人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱阿氏圓．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A(?1,0)，B(2,0)，動(dòng)點(diǎn)P滿足|PA||PB|=12，直線A．直線l過(guò)定點(diǎn)(?1,1)B．動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為(x+2)C．動(dòng)點(diǎn)P到直線l的距離的最大值為2D．若點(diǎn)D的坐標(biāo)為(?1,1)，則|PD|+2|PA|的最小值為1010．（2024·山西太原·二模）已知兩定點(diǎn)A?2,0，B1,0，動(dòng)點(diǎn)M滿足條件MA=2MB，其軌跡是曲線C，過(guò)B作直線l交曲線C于P，A．PQ取值范圍是2B．當(dāng)點(diǎn)A，B，P，Q不共線時(shí)，△APQ面積的最大值為6C．當(dāng)直線l斜率k≠0時(shí)，AB平分∠PAQD．tan∠PAQ最大值為11．（23-24高二上·江蘇蘇州·階段練習(xí)）畫(huà)法幾何的創(chuàng)始人——法國(guó)數(shù)學(xué)家蒙日發(fā)現(xiàn)：在橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0中，任意兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，它的圓心是橢圓的中心，半徑等于長(zhǎng)、短半軸平方和的算術(shù)平方根，這個(gè)圓就稱為橢圓C的蒙日?qǐng)A，其圓方程為x2+y2A．點(diǎn)A與橢圓C的蒙日?qǐng)A上任意一點(diǎn)的距離最小值為bB．若l上恰有一點(diǎn)P滿足：過(guò)P作橢圓C的兩條切線互相垂直，則橢圓C的方程為xC．若l上任意一點(diǎn)Q都滿足QA?QBD．若b=1，橢圓C的蒙日?qǐng)A上存在點(diǎn)M滿足MA⊥MB，則△AOB面積的最大值為3三、填空題12．（24-25高二上·江蘇徐州·階段練習(xí)）已知點(diǎn)A?3,0，B1,0，平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)P滿足PB?3PA=0，則點(diǎn)P的軌跡形成的圖形周長(zhǎng)是13．（23-24高二下·湖南·開(kāi)學(xué)考試）古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯（約公元前262～公元前190年）的著作《圓錐曲線論》是古代數(shù)學(xué)的重要成果，其中有這樣一個(gè)結(jié)論：平面內(nèi)與兩點(diǎn)距離的比為常數(shù)λλ≠1的點(diǎn)的軌跡是圓，后人稱這個(gè)圓為阿波羅尼斯圓，已知點(diǎn)O0,0，A3,0，動(dòng)點(diǎn)Px,y滿足POPA=12，則點(diǎn)14．（23-24高二上·山東棗莊·階段練習(xí)）蒙日是法國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，他首先發(fā)現(xiàn)橢圓的兩條相互垂直的切線的交點(diǎn)的軌跡是圓，所以這個(gè)圓又被叫做“蒙日?qǐng)A”，已知點(diǎn)A、B為橢圓x23+y2b2=1（0<b<3）上任意兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P四、解答題15．（23-24高二下·廣東惠州·階段練習(xí)）已知點(diǎn)O(0，0)，A(3，(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；(2)設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線C，若直線l過(guò)點(diǎn)B(0，2)，且曲線C截l所得弦長(zhǎng)等于2316．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A2,3，B5,0，M是平面內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn)，且滿足MAMB=2，記點(diǎn)(1)求曲線E的方程；(2)過(guò)點(diǎn)B的直線l與曲線E交于P，Q兩點(diǎn)，若△OBP的面積是△OBQ的面積的3倍，求直線l的方程．17．（23-24高二上·四川成都·期末）已知橢圓Γ的方程為x2a2+y2b2=1a>b>0，稱圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，半徑為(1)求橢圓Γ的方程；(2)若直線l與橢圓Γ交于A、B兩點(diǎn)，與其“蒙日?qǐng)A”交于C、D兩點(diǎn)，當(dāng)CD=4時(shí)，求△AOB18．（23-24高二上·