重難點(diǎn)17 新情景、新定義下的數(shù)列問(wèn)題（舉一反三）（新高考專(zhuān)用）（學(xué)生版） 2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專(zhuān)練（新高考專(zhuān)用）

重難點(diǎn)17新情景、新定義下的數(shù)列問(wèn)題【七大題型】【新高考專(zhuān)用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1數(shù)列中的新概念】 1【題型2數(shù)列中的新運(yùn)算】 2【題型3數(shù)列新情景問(wèn)題】 3【題型4以數(shù)列和項(xiàng)與通項(xiàng)關(guān)系定義新數(shù)列】 4【題型5數(shù)列定義新性質(zhì)問(wèn)題】 5【題型6牛頓數(shù)列問(wèn)題】 7【題型7數(shù)列中的新定義問(wèn)題】 91、新情景、新定義下的數(shù)列問(wèn)題數(shù)列是高考的熱點(diǎn)內(nèi)容，屬于高考的必考內(nèi)容之一.近幾年全國(guó)各地高考試題，我們總能在試卷的壓軸題位置發(fā)現(xiàn)新定義數(shù)列題的身影，它們對(duì)數(shù)列綜合問(wèn)題的考查常常以新定義、新構(gòu)造和新情景形式呈現(xiàn)，有時(shí)還伴隨著數(shù)列與集合，難度較大，需要靈活求解.【知識(shí)點(diǎn)1數(shù)列中的新概念】1．?dāng)?shù)列中的新概念問(wèn)題的解題策略：通過(guò)創(chuàng)新概念，以集合、函數(shù)、數(shù)列等的常規(guī)知識(shí)為問(wèn)題背景，直接利用創(chuàng)新概念的內(nèi)涵來(lái)構(gòu)造相應(yīng)的關(guān)系式(或不等式等)，結(jié)合相關(guān)知識(shí)中的性質(zhì)、公式來(lái)綜合與應(yīng)用.【知識(shí)點(diǎn)2數(shù)列的新定義、新情景問(wèn)題】1．?dāng)?shù)列的新定義、新情景問(wèn)題的求解策略(1)新定義問(wèn)題：遇到新定義問(wèn)題，應(yīng)耐心讀題，分析新定義的特點(diǎn)，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析，運(yùn)算，驗(yàn)證，使得問(wèn)題得以解決.(2)新情景問(wèn)題：通過(guò)給出一個(gè)新的數(shù)列的概念，或約定一種新的運(yùn)算，或給出幾個(gè)新模型來(lái)創(chuàng)設(shè)新問(wèn)題的情景，要求在閱讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學(xué)的知識(shí)和方法，實(shí)現(xiàn)信息的遷移，達(dá)到靈活解題的目的.【題型1數(shù)列中的新概念】【例1】（2024·四川南充·三模）對(duì)于數(shù)列an，規(guī)定Δan為數(shù)列an的一階差分，其中Δan=an+1?ann∈N*，規(guī)定Δkan為數(shù)列an的階k差分，其中A．7 B．9 C．11 D．13【變式1-1】（2024·湖北武漢·三模）將1,2,???,n按照某種順序排成一列得到數(shù)列an，對(duì)任意1≤i<j≤n，如果ai>aj，那么稱(chēng)數(shù)對(duì)ai,ajA．4 B．5 C．6 D．7【變式1-2】（23-24高三上·安徽合肥·階段練習(xí)）數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子繁殖問(wèn)題時(shí)，發(fā)現(xiàn)有這樣一個(gè)數(shù)列an：1，1，2，3，5，8…，其中從第3項(xiàng)起，每一項(xiàng)都等于它前面兩項(xiàng)之和，即a1=a2=1，an+2A．175 B．176 C．177 D．178【變式1-3】（2024·全國(guó)·高考真題）0-1周期序列在通信技術(shù)中有著重要應(yīng)用.若序列a1a2?an?滿足ai∈{0,1}(i=1,2,?)，且存在正整數(shù)m，使得ai+m=ai(i=1,2,?)成立，則稱(chēng)其為0-1周期序列，并稱(chēng)滿足A．11010? B．11011? C．10001? D．11001?【題型2數(shù)列中的新運(yùn)算】【例2】（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）“角谷猜想”首先流傳于美國(guó)，不久便傳到歐洲，后來(lái)一位名叫角谷靜夫的日本人又把它帶到亞洲，因而人們就順勢(shì)把它叫作“角谷猜想”.“角谷猜想”是指一個(gè)正整數(shù)，如果是奇數(shù)就乘以3再加1，如果是偶數(shù)就除以2，這樣經(jīng)過(guò)若干次運(yùn)算，最終回到1.對(duì)任意正整數(shù)a0，按照上述規(guī)則實(shí)施第n次運(yùn)算的結(jié)果為ann∈N，若a5=1，且A．5或16 B．5或32C．5或16或4 D．5或32或4【變式2-1】（2023·北京延慶·一模）數(shù)列{an}中，an=logn+1(n+2)?(n∈NA．2023 B．2024 C．2025 D．2026【變式2-2】（2024·上海寶山·二模）將正整數(shù)n分解為兩個(gè)正整數(shù)k1、k2的積，即n=k1?k2，當(dāng)k1、k2兩數(shù)差的絕對(duì)值最小時(shí)，我們稱(chēng)其為最優(yōu)分解．如20=1×20=2×10=4×5，其中4×5即為20的最優(yōu)分解，當(dāng)k1、A．51012 B．51012?1 C．5【變式2-3】（2023·河南安陽(yáng)·二模）如果有窮數(shù)列a1，a2，a3，…，am（m為正整數(shù)）滿足條件a1?am=t，a2?am?1=t，…，am?a1=t，即ai?am?i+1=t（t為常數(shù)）i=1,2,?,m，則稱(chēng)其為“倒序等積數(shù)列”．例如，數(shù)列8，4，2，12，1A．210 B．445 C．780 D．1225【題型3數(shù)列新情景問(wèn)題】【例3】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）九連環(huán)是我國(guó)古代至今廣為流傳的一種益智游戲，最早記載九連環(huán)的典籍是《戰(zhàn)國(guó)策·齊策》，《紅樓夢(mèng)》第7回中有林黛玉解九連環(huán)的記載，我國(guó)古人已經(jīng)研究出取下n個(gè)圓環(huán)所需的最少步驟數(shù)an，且a1=1，a2=2，a3=5，aA．127 B．256 C．341 D．512【變式3-1】（23-24高二上·江蘇南通·期中）折紙與剪紙是一種用紙張折成或剪成各種不同形狀的藝術(shù)活動(dòng)，是我們中華民族的傳統(tǒng)文化，歷史悠久，內(nèi)涵博大精深，世代傳承．現(xiàn)將一張腰長(zhǎng)為1的等腰直角三角形紙，每次對(duì)折后仍成等腰直角三角形，對(duì)折5次，然后用剪刀剪下其內(nèi)切圓，則可得到若干個(gè)相同的圓片紙，這些圓片紙的半徑為（

）A．2?18 B．2?28 C．【變式3-2】（2023·安徽宿州·一模）我國(guó)《洛書(shū)》中記載著世界上最古老的一個(gè)幻方，如圖所示，將1，2，3，…，9填入3×3的方格內(nèi)，使得每行、每列、每條對(duì)角線上的數(shù)的和都相等，便得到一個(gè)3階幻方.一般地，將連續(xù)的正整數(shù)1，2，3，…，n2填入n×n個(gè)方格中，使得每行、每列、每條對(duì)角線上的數(shù)的和都相等，這個(gè)正方形叫作n階幻方.記n階幻方的數(shù)的和（即方格內(nèi)的所有數(shù)的和）為Sn，如S3A．SB．7階幻方第4行第4列的數(shù)字可以為25C．8階幻方每行、每列、每條對(duì)角線上的數(shù)的和均為260D．9階幻方每行、每列、每條對(duì)角線上的數(shù)的和均為396【變式3-3】（23-24高二下·山東·階段練習(xí)）某軟件研發(fā)公司對(duì)某軟件進(jìn)行升級(jí)，主要是軟件程序中的某序列A=a1,a2,a3,???重新編輯，編輯新序列為A?=a2a1A．19 B．127 C．181【題型4以數(shù)列和項(xiàng)與通項(xiàng)關(guān)系定義新數(shù)列】【例4】（2024·江西南昌·三模）給定數(shù)列{An}，若對(duì)任意m，n∈N*且m≠n，Am+An是{A(1)若Sn=n2+n(2)設(shè){an}既是等差數(shù)列又是“H數(shù)列”，且a1=6，a(3)設(shè){an}是等差數(shù)列，且對(duì)任意n∈N*，Sn是【變式4-1】（2024·陜西·三模）數(shù)列an的前n項(xiàng)的最大值記為Mn，即Mn=maxa1,a2,???,an(1)設(shè)數(shù)列pn的“生成數(shù)列”為qn，求證：(2)若an=2n?3n【變式4-2】（2024·山東泰安·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列an是斐波那契數(shù)列，其數(shù)值為：1,1,2,3,5,8,13,21,34??????.這一數(shù)列以如下遞推的方法定義：a1=1，a2=1，an+2=an+1+a(1)已知數(shù)列cn滿足cn=man（n∈N*，(2)設(shè)數(shù)列{dn}的前n項(xiàng)和為S（i）若數(shù)列{dn}為“1（ii）在（i）問(wèn)的前提下，若數(shù)列fn滿足fn=anSn，n∈N*，其前n【變式4-3】（2024·安徽蕪湖·三模）若數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，且對(duì)任意的相鄰三項(xiàng)at?1,at,a(1)已知正項(xiàng)數(shù)列cn是一個(gè)“凸數(shù)列”，且an=ecn，（其中e為自然常數(shù)，(2)若關(guān)于x的函數(shù)fx=b1+(3)設(shè)正項(xiàng)數(shù)列a0,【題型5數(shù)列定義新性質(zhì)問(wèn)題】【例5】（2024·安徽·三模）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若數(shù)列①數(shù)列an②數(shù)列an③?k≥2，k∈N?，?p,q∈N則稱(chēng)數(shù)列an(1)已知Sn=n2+n(2)若首項(xiàng)為1的數(shù)列an（ⅰ）比較an與S（ⅱ）若數(shù)列an的末項(xiàng)為36，求S【變式5-1】（2024·北京西城·二模）已知數(shù)列A:a1,a2,?,an，從A中選取第i?1項(xiàng)、第i?2項(xiàng)、…、第i?k項(xiàng)i?1<i?2<?<i?k構(gòu)成數(shù)列B:ai?1,ai?2(1)當(dāng)n=4時(shí)，比較A的具有性質(zhì)P的子列個(gè)數(shù)與不具有性質(zhì)P的子列個(gè)數(shù)的大小，并說(shuō)明理由；(2)已知數(shù)列A:1?（?。┙o定正整數(shù)k≤n2，對(duì)A的k項(xiàng)子列B，求所有（ⅱ）若A有m個(gè)不同的具有性質(zhì)P的子列B1,B2,?,Bm，滿足：???1≤i<j≤m，B【變式5-2】（2024·北京東城·二模）已知An:a1,a2,?,ann≥3為有窮整數(shù)數(shù)列，若An滿足：(1)若p=?1，q=2，那么是否存在具有性質(zhì)T的A5？若存在，寫(xiě)出一個(gè)這樣的A(2)若p=?1，q=2，且A10具有性質(zhì)T，求證：a(3)若p+q=1，求證：存在正整數(shù)k，使得對(duì)任意具有性質(zhì)T的Ak，都有a【變式5-3】（23-24高二下·吉林延邊·期中）記R上的可導(dǎo)函數(shù)fx的導(dǎo)函數(shù)為f′x，滿足xn+1=xn?fxnf′(1)證明數(shù)列an是等比數(shù)列并求a(2)設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若不等式(?1)n?tS【題型6牛頓數(shù)列問(wèn)題】【例6】（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）定義：任取數(shù)列an中相鄰的兩項(xiàng)，若這兩項(xiàng)之差的絕對(duì)值為1，則稱(chēng)數(shù)列an具有“性質(zhì)1”.已知項(xiàng)數(shù)為n的數(shù)列an的所有項(xiàng)的和為M(1)若n=4，且a1=0,a(2)若a1=2024,n=2023，證明：“a2023(3)若a1=0,n≥2,Mn=0【變式6-1】（23-24高二下·四川·期中）物理學(xué)家牛頓用“作切線”的方法求函數(shù)零點(diǎn)時(shí)，給出了“牛頓數(shù)列”，它在航空航天中應(yīng)用非常廣泛．其定義是：對(duì)于函數(shù)f(x)，若滿足(xn+1?xn)f′(xn)+f(xn)=0，則稱(chēng)數(shù)列xn為牛頓數(shù)列．已知f(x)=x(1)求數(shù)列xn(2)若數(shù)列nxn的前n項(xiàng)和為Sn，且對(duì)任意的n∈N?，滿足S(3)在（2）的前提下，設(shè)g(x)=112λf′(x)，直線y=ax+b(b>0)與曲線y=g(x)有且只有兩個(gè)公共點(diǎn)A(c,d),(?,f)【變式6-2】（2024·廣東韶關(guān)·二模）記R上的可導(dǎo)函數(shù)fx的導(dǎo)函數(shù)為f′x，滿足xn+1=xn?fxnf′(1)求a2(2)證明數(shù)列an是等比數(shù)列并求a(3)設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若不等式(?1)n?tS【變式6-3】（23-24高二上·浙江紹興·期末）物理學(xué)家牛頓用“作切線”的方法求函數(shù)零點(diǎn)時(shí)，給出了“牛頓數(shù)列”，它在航空航天中應(yīng)用非常廣泛．其定義是：對(duì)于函數(shù)fx，若滿足xn+1?xnf′xn+fxn=0，則稱(chēng)數(shù)列xn為牛頓數(shù)列．已知fx=x

(1)求數(shù)列xn(2)若數(shù)列n?xn的前n項(xiàng)和為Sn，且對(duì)任意的n∈N?，滿足Sn≥16?λ56n，求整數(shù)【題型7數(shù)列中的新定義問(wèn)題】【例7】（2024·江西九江·三模）已知數(shù)列an共有mm≥2項(xiàng)，且an∈Z，若滿足an+1?a(1)當(dāng)m=5時(shí)，寫(xiě)出所有滿足a1(2)當(dāng)m=2000,a1=25時(shí)，設(shè)p:a2000=2024;q:“約束數(shù)列”(3)當(dāng)a1=1,a【變式7-1】（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）對(duì)于數(shù)列an，定義Δan=an+1?ann∈(1)試寫(xiě)出“2?函數(shù)”f(2,n)，并求f(2,3)的值；(2)若“1?函數(shù)”f(1,n)≤15，求n的最大值；(3)記函數(shù)S(x)=x+2x2+?+nxn，其導(dǎo)函數(shù)為S【變式7-2】（2024·江西·模擬預(yù)測(cè)）我國(guó)元代數(shù)學(xué)家朱世杰在他的《四元玉鑒》一書(shū)中對(duì)高階等差數(shù)列求和有精深的研究，即“垛積術(shù)”．對(duì)于數(shù)列a1,a2,???,an,???，①，從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前面相鄰一項(xiàng)的差構(gòu)成數(shù)列a11,a12,???,a1n?1,???，②，稱(chēng)該數(shù)列②為數(shù)列①的一階差分?jǐn)?shù)列，其中a1i=ai+1(1)若高階等差數(shù)列an為3,4,9,18,31,48,???，求數(shù)列a(2)若r階等差數(shù)列bn的通項(xiàng)公式b（?。┣髍的值；（ⅱ）求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和S附：12【變式7-3】（2024·福建南平·二模）若數(shù)列cn共有mm∈N*,m≥3項(xiàng)，對(duì)任意ii∈N*,i≤m都有cicm+1?i=S（S為常數(shù)，且S>0(1)若m=3，a1=1，a2(2)已知數(shù)列bn是公差為dd≠0的等差數(shù)列，b1=?11，若m=10，an(3)若數(shù)列an是各項(xiàng)均為正整數(shù)的單調(diào)遞增數(shù)列，求證：a一、單選題1．（2024·四川綿陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，a1=1,an+1?an=A．615 B．620 C．625 D．6302．（2024·上海·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列an不是常數(shù)列，前n項(xiàng)和為Sn，且a1>0．若對(duì)任意正整數(shù)n，存在正整數(shù)m，使得an?Sm≤A．①與②均為真命題 B．①與②均為假命題C．①為真命題，②為假命題 D．①為假命題，②為真命題3．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）將正整數(shù)n分解為兩個(gè)正整數(shù)k1，k2的積，即n=k1k2，當(dāng)k1，k2兩數(shù)差的絕對(duì)值最小時(shí)，我們稱(chēng)其為最優(yōu)分解.如12=1×12=2×6=3×4，其中3×4即為12的最優(yōu)分解，當(dāng)k1，kA．21011?1 B．21011 C．24．（2024·安徽安慶·三模）若項(xiàng)數(shù)均為nn≥2,n∈N*的兩個(gè)數(shù)列an,bn滿足ak?bkA．5 B．6 C．7 D．85．（2024·四川南充·三模）對(duì)于數(shù)列an，規(guī)定Δan為數(shù)列an的一階差分，其中Δan=an+1?ann∈N*A．7 B．9 C．11 D．136．（2024·上海寶山·二模）數(shù)列an中，Sn是其前n項(xiàng)的和，若對(duì)任意正整數(shù)n，總存在正整數(shù)m，使得Sn=am，則稱(chēng)數(shù)列an為“某數(shù)列”.現(xiàn)有如下兩個(gè)命題：①等比數(shù)列2n為“某數(shù)列”；②對(duì)任意的等差數(shù)列anA．①為真命題，②為真命題 B．①為真命題，②為假命題C．①為假命題，②為真命題 D．①為假命題，②為假命題7．（23-24高三下·重慶·階段練習(xí)）定義：滿足an+2an+1:an+1an=qq為常數(shù)，n∈N*）的數(shù)列anA．7 B．8 C．9 D．108．（2024·北京東城·二模）設(shè)無(wú)窮正數(shù)數(shù)列an，如果對(duì)任意的正整數(shù)n，都存在唯一的正整數(shù)m，使得am=a1+a2+a3A．若an為等差數(shù)列，則aB．若an為等比數(shù)列，則aC．若內(nèi)和數(shù)列an為遞增數(shù)列，則其伴隨數(shù)列bD．若內(nèi)和數(shù)列an的伴隨數(shù)列bn為遞增數(shù)列，則二、多選題9．（2024·山東青島·三模）若有窮整數(shù)數(shù)列An:a1,a2,?ann≥3A．存在具有性質(zhì)T的AB．存在具有性質(zhì)T的AC．若A10具有性質(zhì)T，則aD．存在正整數(shù)k，使得對(duì)任意具有性質(zhì)T的Ak，有a10．（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)an是各項(xiàng)為正的無(wú)窮數(shù)列，若對(duì)于?n∈N*，an+12?aA．若an是等方差數(shù)列，則aB．?dāng)?shù)列2nC．若an是等方差數(shù)列，則數(shù)列aD．若an是等方差數(shù)列，則存在正整數(shù)n，使得11．（2024·浙江寧波·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列un，其前n項(xiàng)和為Sn，若存在常數(shù)M>0，對(duì)任意的n∈N?，恒有un+1?uA．若un是以1為首項(xiàng)，q(|q|＜1)為公比的等比數(shù)列，則uB．若un為B?數(shù)列，則Sn也為C．若Sn為B?數(shù)列，則un也為D．若an,bn均為B?數(shù)列，則三、填空題12．（2024·江蘇揚(yáng)州·模擬預(yù)測(cè)）對(duì)于有窮數(shù)列an，從數(shù)列an中選取第i1項(xiàng)?第i2項(xiàng)???第im項(xiàng)i1<i2<?<im，順次排列構(gòu)成數(shù)列bk，其中bk=ai13．（2023·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測(cè)）牛頓選代法又稱(chēng)牛頓——拉夫遜方法，它是牛頓在17世紀(jì)提出的一種在實(shí)數(shù)集上近似求解方程根的一種方法.具體步驟如下圖示：設(shè)r是函數(shù)y=fx的一個(gè)零點(diǎn)，任意選取x0作為r的初始近似值，在點(diǎn)x0,fx0作曲線y=fx的切線l1，設(shè)與l1軸x交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x1，并稱(chēng)x1為r的1次近似值；在點(diǎn)x1,fx1作曲線y=fx的切線l2，設(shè)與l2軸x交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x2，稱(chēng)x2為r的2次近似值.一般地，在點(diǎn)xn,fxnn∈N作曲線y=fx的切線ln+1，記ln+1與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為xn+1，并稱(chēng)xn+1為r的n+1次近似值.設(shè)fx=14．（2024·北京通州·三模）若數(shù)列{bn}、{cn}均為嚴(yán)格增數(shù)列，且對(duì)任意正整數(shù)n，都存在正整數(shù)m，使得bm∈[cn,cn+1]，則稱(chēng)數(shù)列①存在等差數(shù)列{an}，使得{an②存在等比數(shù)列{an}，使得{an③存在等差數(shù)列{an}，使得{Sn④存在等比數(shù)列{an}，使得{Sn四、解答題15．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）定義:x表示x的整數(shù)部分，{x}表示x的小數(shù)部分，例如[1.2]=1,{1.75}=0.75.數(shù)列an滿足