重難點05 利用導(dǎo)數(shù)證明不等式（舉一反三）（新高考專用）（學(xué)生版） 2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專練（新高考專用）

重難點05利用導(dǎo)數(shù)證明不等式【十大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1直接法證明不等式】 2【題型2移項構(gòu)造函數(shù)證明不等式】 3【題型3分拆函數(shù)法證明不等式】 4【題型4分析法證明不等式】 5【題型5放縮法證明不等式】 6【題型6指對同構(gòu)】 8【題型7隱零點法】 9【題型8雙變量不等式的證明】 10【題型9函數(shù)與數(shù)列不等式綜合證明問題】 11【題型10導(dǎo)數(shù)新定義的不等式證明問題】 121、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式導(dǎo)數(shù)中的不等式證明是高考的?？碱}型，是高考的熱點問題，常與函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)的零點與極值、數(shù)列等相結(jié)合，雖然題目難度較大，但是解題方法多種多樣，如構(gòu)造函數(shù)法、放縮法等，針對不同的題目，靈活采用不同的解題方法，可以達到事半功倍的效果.【知識點1導(dǎo)數(shù)中的不等式證明的解題策略】1．導(dǎo)數(shù)中的不等式證明的解題策略(1)一般地，要證f(x)>g(x)在區(qū)間(a，b)上成立，需構(gòu)造輔助函數(shù)F(x)＝f(x)－g(x)，通過分析F(x)在端點處的函數(shù)值來證明不等式．若F(a)＝0，只需證明F(x)在(a，b)上單調(diào)遞增即可；若F(b)＝0，只需證明F(x)在(a，b)上單調(diào)遞減即可.(2)在證明不等式中，若無法轉(zhuǎn)化為一個函數(shù)的最值問題，可考慮轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的最值問題．2．移項構(gòu)造函數(shù)證明不等式待證不等式的兩邊含有同一個變量時，一般地，可以直接構(gòu)造“左減右”或“右減左”的函數(shù)，利用導(dǎo)教研究其單調(diào)性等相關(guān)函數(shù)性質(zhì)證明不等式.3．分拆函數(shù)法證明不等式(1)若直接求導(dǎo)后導(dǎo)數(shù)式比較復(fù)雜或無從下手時，可將待證式進行變形，構(gòu)造兩個函數(shù)，從而找到可以傳遞的中間量，達到證明的目標(biāo).在證明過程中，等價轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵，此處g(x)min≥f(x)max恒成立，從而f(x)≤g(x)恒成立.(2)等價變形的目的是求導(dǎo)后簡單地找到極值點，一般地，與lnx要分離，常構(gòu)造與lnx，與的積、商形式.便于求導(dǎo)后找到極值點.4．放縮后構(gòu)造函數(shù)證明不等式某些不等式，直接構(gòu)造函數(shù)不易求其最值，可以適當(dāng)?shù)乩檬熘暮瘮?shù)不等式等進行放縮，有利于簡化后續(xù)導(dǎo)數(shù)式的求解或函數(shù)值正負(fù)的判斷；也可以利用局部函數(shù)的有界性進行放縮，然后再構(gòu)造函數(shù)進行證明.【知識點2指對同構(gòu)】1．指對同構(gòu)證明不等式在解決指對混合不等式時，如恒成立求參數(shù)取值范圍或證明不等式，有一部分題是命題者利用函數(shù)單調(diào)性構(gòu)造出來的，如果我們能找到這個函數(shù)模型(即不等式兩邊對應(yīng)的同一函數(shù))，無疑大大加快解決問題的速度.找到這個函數(shù)模型的方法，我們稱為同構(gòu)法.(1)五個常見變形：.【題型1直接法證明不等式】【例1】（2024·江蘇連云港·模擬預(yù)測）已知函數(shù)f(x)=ex?12x2?x.(1)求函數(shù)f(x)在x=1處的切線方程.(2)證明：?x∈[0,+∞【變式1-1】（2024·河北保定·三模）已知函數(shù)f(x)=x2?ax+lnx(1)求a；(2)證明：f(x)≤2x【變式1-2】（23-24高三下·云南昆明·階段練習(xí)）已知函數(shù)fx=x(1)求fx的最小值g(2)證明：ga【變式1-3】（2024·江蘇徐州·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx=2x(1)當(dāng)m=0時，求曲線y=fx在點(1,f(1))(2)當(dāng)m≤1時，證明：fx【題型2移項構(gòu)造函數(shù)證明不等式】【例2】（2024·廣西·模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù)fx=lnx+ax+b，曲線y=fx(1)求a,b的值；(2)證明：fx【變式2-1】（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx=x(1)求fx(2)證明：xgx【變式2-2】（2024·陜西榆林·三模）已知函數(shù)fx=mln(1)討論fx(2)當(dāng)m=1時，證明：f′【變式2-3】（2024·上海松江·二模）已知函數(shù)y=x?lnx+a（a為常數(shù)），記(1)若函數(shù)y=g(x)在x=1處的切線過原點，求實數(shù)a的值；(2)對于正實數(shù)t，求證：f(x)+f(t?x)≥f(t)?tln(3)當(dāng)a=1時，求證：g(x)+cos【題型3分拆函數(shù)法證明不等式】【例3】（23-24高三上·廣東·階段練習(xí)）已知函數(shù)fx(1)討論fx(2)當(dāng)a≥4e2【變式3-1】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx(1)若函數(shù)Fx=fx(2)若曲線y=fx在點1e,f1e【變式3-2】（2024·廣西柳州·三模）已知函數(shù)fx(1)求函數(shù)fx在點1,f(2)求函數(shù)fx(3)若f′x為fx的導(dǎo)函數(shù)，設(shè)gx=【變式3-3】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx(1)若曲線y=fx在0,a?32處的切線方程為4ax+2y+1=0，求a(2)若fx的極大值為fln2(3)當(dāng)a=0時，求證：fx【題型4分析法證明不等式】【例4】（2024·吉林·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx(1)當(dāng)a=0時，求函數(shù)fx(2)求證：當(dāng)0<a<1,x>0時，fx【變式4-1】（2024·西藏·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx(1)若fx在定義域內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，求a(2)若fx有兩個極值點x1，x2【變式4-2】（2024·河北·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx(1)討論fx(2)證明：當(dāng)a>0時，fx【變式4-3】（2024·寧夏吳忠·模擬預(yù)測）已知函數(shù)f(x)=ae(1)討論fx(2)證明：當(dāng)a>0時，f(x)>2ln【題型5放縮法證明不等式】【例5】（2024·山東·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx=e(1)求曲線y=fx在點2,f(2)若函數(shù)fx的極小值小于0，求實數(shù)m(3)證明：2e【變式5-1】（2024·山東·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx=1(1)當(dāng)a≥1時，判斷fx(2)若fx存在兩個極值點x（ⅰ）證明：x2（ⅱ）證明：x∈1,+∞時，【變式5-2】（2024·遼寧·二模）已知函數(shù)fx=lnx+ax(1)討論函數(shù)fx(2)若a=?2，證明：ex【變式5-3】（23-24高三上·湖北·階段練習(xí)）已知函數(shù)fx(1)討論fx(2)若兩個不相等的正實數(shù)a，b滿足fa=fb(3)若π4<α<π【題型6指對同構(gòu)】【例6】（2024·江蘇蘇州·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx(1)討論fx(2)當(dāng)a≤2時，證明：fx【變式6-1】（2024·黑龍江雙鴨山·模擬預(yù)測）已知函數(shù)f(x)=ln(1)當(dāng)a=?1時，討論f(x)的單調(diào)性；(2)若x1,x2x【變式6-2】（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）己知函數(shù)fx(1)當(dāng)a=2時，求曲線y=fx在點0,f(2)若函數(shù)gx=1,x=0【變式6-3】（2024·湖北荊州·三模）已知函數(shù)fx=x(1)當(dāng)a=1時，求曲線y=fx在點1,f(2)當(dāng)a=e時，求出函數(shù)f(3)證明：x2【題型7隱零點法】【例7】（23-24高三下·河南·階段練習(xí)）已知函數(shù)fx（1）求fx（2）若gx=f′x?x+ln【變式7-1】（23-24高三下·青海海南·開學(xué)考試）已知函數(shù)f(1)討論f(x)的單調(diào)性;(2)證明:當(dāng)a≥1時，f【變式7-2】（2024·甘肅·一模）已知函數(shù)fx（1）討論函數(shù)fx（2）當(dāng)a=?2時，求證：fx【變式7-3】（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx=xe(1)求fx在區(qū)間?1,1(2)當(dāng)a≥1時，求證：fx【題型8雙變量不等式的證明】【例8】（2024·安徽合肥·模擬預(yù)測）已知函數(shù)f(x)=a(1?2ln(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)若x1，x2x1≠【變式8-1】（2024·四川成都·模擬預(yù)測）已知函數(shù)f(x)=sin(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若x1<x（?。┣髆的取值范圍；（ⅱ）證明：x1【變式8-2】（2024·廣東佛山·二模）已知fx(1)當(dāng)a=3時，求fx(2)若fx有兩個極值點x1，x2【變式8-3】（2024·安徽阜陽·一模）已知函數(shù)fx(1)討論fx(2)已知x1,x2是函數(shù)（ⅰ）求實數(shù)a的取值范圍．（ⅱ）λ∈0,12,f【題型9函數(shù)與數(shù)列不等式綜合證明問題】【例9】（2024·山東淄博·一模）已知函數(shù)f(x)=ln（1）當(dāng)x>1時，不等式fx<0恒成立，求（2）設(shè)數(shù)列an=1nn∈N?【變式9-1】（2024·河南·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx=ln(1)證明：x1?x(2)若正項數(shù)列an滿足an=fan+1，且a1∈0,1，記an【變式9-2】（2024·重慶·二模）已知函數(shù)fx(1)求fx(2)當(dāng)0<x<1時，fx>a(3)已知數(shù)列an滿足：a1=13【變式9-3】（2024·河南·模擬預(yù)測）已知函數(shù)gx(1)當(dāng)m<0時，求gx(2)當(dāng)m=1時，設(shè)正項數(shù)列xn滿足：x①求證：xn②求證：i=2n【題型10導(dǎo)數(shù)新定義的不等式證明問題】【例10】（2024·福建廈門·三模）帕德近似是法國數(shù)學(xué)家亨利·帕德發(fā)明的用有理多項式近似特定函數(shù)的方法，在計算機數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用.已知函數(shù)f(x)在x=0處的m,n階帕德近似定義為：R(x)=a0+a1x+?+amxm1+b1x+?+bnxn，且滿足：f(0)=R(0)，f′(1)求實數(shù)a，b的值；(2)設(shè)?x=fx(3)已知x1,x2,x3【變式10-1】（23-24高三下·重慶·期中）若函數(shù)fx在定義域內(nèi)存在兩個不同的數(shù)x1,x2，同時滿足fx1(1)證明：fx(2)若gx=xln（?。┣笞C：x1（ⅱ）求證：a+12【變式10-2】（2024·山西·三模）微分中值定理是微積分學(xué)中的重要定理，它是研究區(qū)間上函數(shù)值變化規(guī)律的有效工具，其中拉格朗日中值定理是核心，它的內(nèi)容如下:如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)可導(dǎo)，導(dǎo)數(shù)為f′(x)，那么在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一點c，使得f′(c)=f(b)?f(a)b?a，其中c叫做(1)若a=?1,b=0，求函數(shù)f(x)在1,7上的“拉格朗日中值點”x0(2)若a=?1,b=1，求證:函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+∞)圖象上任意兩點A，B連線的斜率不大于(3)若a=1,b=?1,?x1,x2【變式10-3】（2024·浙江紹興·二模）帕德近似是法國數(shù)學(xué)家亨利?帕德發(fā)明的用有理多項式近似特定函數(shù)的方法.給定兩個正整數(shù)m,n，函數(shù)f(x)在x=0處的[m,n]階帕德近似定義為：R(x)=a0+a1x+?+amxm1+b1x+?+bnxn，且滿足：f(0)=R(0)，f′(0)=R′(0)，(1)求實數(shù)a,b的值；(2)當(dāng)x∈0,1時，試比較fx與(3)定義數(shù)列{an}：a1=一、單選題1．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）已知a=ln65A．a(chǎn)>b>c B．a(chǎn)>c>b C．c>b>a D．c>a>b2．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）若0<x1<A．ex2+C．x2ex3．（2024·河北衡水·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx=lnx+1?ax有兩個零點x1A．a(chǎn)>1 B．xC．x1?x4．（2024·河南鄭州·三模）設(shè)x1,x2∈A．若x1=x2，則x1∈C．x1+x5．（2024·安徽·三模）已知實數(shù)x1,x2,A．x1<xC．x2<x6．（2024·山東·模擬預(yù)測）已知a>0，b>0，且a+b=ab，則下列不等式成立的是（

）A．a(chǎn)+b≤4 B．logC．blna>1 7．（2024·四川南充·模擬預(yù)測）設(shè)a>0,b>0,且a+b=1,則下列結(jié)論正確的個數(shù)為（

）①log2a+log2b≥?2

②2aA．1 B．2 C．3 D．48．（2024·四川瀘州·三模）已知x>0，ex①x+lny<0；②ex+y>2其中一定成立的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4二、多選題9．（2024·浙江溫州·模擬預(yù)測）已知eba2+1=ae2b+1A．a(chǎn)?lna=b+eC．b=ea 10．（2024·江蘇南通·三模）已知2a=logA．a(chǎn)+2a=b+C．2b+1>e11．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)f(x)=x+ln(x?2),g(x)=xlnx．若A．?x∈(2,+∞),f(x)<g(x) C．?x0∈(2,+三、填空題12．（2023·福建福州·模擬預(yù)測）已知定義在0,+∞上函數(shù)fx滿足：lnx+1<f13．（2023·江西吉安·一模）若a=107,b=ln3,c=14．（2023·四川達州·二模）Sn是數(shù)列an前n項和，a1①an②a1③Sn④Sn其中正確的是（寫出全部正確結(jié)論的番號）.四、解答題15．（2024·陜西榆林·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx=e(1)討論函數(shù)fx(2)當(dāng)a=2時，證明：fx16．（2024·四川攀枝花·三模