寒假作業(yè)13圓中重要模型之輔助圓模型（原卷版）

限時練習(xí)：40min完成時間：月日天氣：寒假作業(yè)13圓中重要模型之輔助圓模型輔助圓（隱圓）是各地中考選擇題和填空題、甚至解答題中的?？碱}，題目常以動態(tài)問題出現(xiàn)，有點(diǎn)、線的運(yùn)動，或者圖形的折疊、旋轉(zhuǎn)等．輔助圓（隱圓）常見的有以下四種形式，動點(diǎn)定長、定邊對直角、定邊對定角、四點(diǎn)共圓，上述四種動態(tài)問題的軌跡是圓．題目具體表現(xiàn)為折疊問題、旋轉(zhuǎn)問題、角度不變問題等，此類問題綜合性強(qiáng)，隱蔽性強(qiáng),很容易造成同學(xué)們的丟分．本課時就輔助圓模型進(jìn)行專項(xiàng)訓(xùn)練，幫助同學(xué)們熟練掌握．1、動點(diǎn)定長模型（圓的定義）如圖1，若P為動點(diǎn)，但AB=AC=AP，則B，C，P三點(diǎn)共圓，A為圓心，AB長為半徑．圓的定義：平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定值的所有點(diǎn)構(gòu)成的集合．尋找隱圓技巧：若動點(diǎn)到平面內(nèi)某定點(diǎn)的距離始終為定值，則其軌跡是圓或圓弧．圖1圖22、定邊對直角模型（直角對直徑）如圖2，固定線段AB所對動角∠C恒為90°，則A，B，C三點(diǎn)共圓，AB為直徑．尋找隱圓技巧：一條定邊所對的角始終為直角，則直角頂點(diǎn)軌跡是以定邊為直徑的圓或圓?。?、定邊對定角模型（定弦定角模型）如圖3，固定線段AB所對同側(cè)動角∠P=∠C，則A，B，C，P四點(diǎn)共圓．圖3圖4根據(jù)圓周角定理：同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角都相等．尋找隱圓技巧：AB為定值，∠P為定角，則P點(diǎn)軌跡是一個圓．4、四點(diǎn)共圓模型（對角互補(bǔ)模型與等弦對等角）如圖4，若平面上A，B，C，D四個點(diǎn)滿足，則A，B，C，D四點(diǎn)共圓．尋找隱圓技巧：（1）四邊形對角互補(bǔ)；（2）四邊形外角等于內(nèi)對角．1．如圖，點(diǎn)O為線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)B，C，D到點(diǎn)O的距離相等，連接AC，BD，則下面結(jié)論不一定成立的是（

）A．∠ACB=90°B．∠BDC=∠BACC．AC平分∠BADD．∠BCD+∠BAD=180°2．如圖，已知AB=AC=AD，∠CBD=2∠BDC，∠BAC=44°，則∠CAD的度數(shù)為（）A．68° B．88° C．90° D．112°3．如圖，在四邊形中，，若，則的值為（

）A． B． C． D．4．如圖，已知在中，，，，，過點(diǎn)作的垂線，與的延長線交于點(diǎn)，則的最大值為（

）A．4 B．5 C． D．5．在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格圖形中，每個小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)．如圖，在6×6的正方形網(wǎng)格圖形ABCD中，M，N分別是AB，BC上的格點(diǎn)，BM＝4，BN＝2．若點(diǎn)P是這個網(wǎng)格圖形中的格點(diǎn)，連接PM，PN，則所有滿足∠MPN＝45°的△PMN中，邊PM的長的最大值是（

）A． B．6 C． D．6．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，D是AC上一點(diǎn)，且CD＝3，E是BC邊上一點(diǎn)，將△DCE沿DE折疊，使點(diǎn)C落在點(diǎn)F處，連接BF，則BF的最小值為_______．7．如圖，在中，，，，是平面內(nèi)一動點(diǎn)，且，取的中點(diǎn)，連接，則線段的最大值為．8．如圖，是和的公共斜邊，AC=BC，，E是的中點(diǎn)，連接DE，CE，CD，那么___________________．9．如圖，在中，，，若D是與點(diǎn)C在直線異側(cè)的一個動點(diǎn)，且，則的最大值為__________________．10．如圖，四邊形為矩形，，．點(diǎn)P是線段上一動點(diǎn)，點(diǎn)M為線段上一點(diǎn)，，則的最小值為（

）A． B． C． D．11．如圖，在中，，，，點(diǎn)P為平面內(nèi)一點(diǎn)，且，過C作交PB的延長線于點(diǎn)Q，則CQ的最大值為（

）A． B． C． D．12．如圖，在邊長為1的菱形中，，動點(diǎn)E在邊上（與點(diǎn)A、B均不重合），點(diǎn)F在對角線上，與相交于點(diǎn)G，連接，若，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A． B． C． D．的最小值為13．如圖，在中，，為的中點(diǎn)，平分交于點(diǎn)，，分別與，交于點(diǎn)，，連接，，則的值為；若，則的值為．14．如圖，是的直徑，，C為的三等分點(diǎn)（更靠近A點(diǎn)），點(diǎn)P是上一個動點(diǎn)，取弦的中點(diǎn)D，則線段的最大值為__________．15．如圖，△ABC為等邊三角形，AB＝2，若P為△ABC內(nèi)一動點(diǎn)，且滿足∠PAB＝∠ACP，則點(diǎn)P運(yùn)動的路徑長為_________．16．定義：三角形一個內(nèi)角的平分線與另一個內(nèi)角相鄰的外角平分線相交所成的銳角稱為該三角形第三個內(nèi)角的遙望角．（1）如圖1，∠E是△ABC中∠A的遙望角．①若∠A＝40°，∠E的度數(shù)是；②求∠E與∠A的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（2）如圖2，在四邊形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，點(diǎn)E在BD的延長線上，連接CE，若∠BEC是△ABC中∠BAC的遙望角，求證：DA＝DE．17．（1）【學(xué)習(xí)心得】小剛同學(xué)在學(xué)習(xí)完“圓”這一章內(nèi)容后，感覺到一些幾何問題，如果添加輔助圓，運(yùn)用圓的知識解決，可以使問題變得非常容易．例如：如圖1，在中，，D是外一點(diǎn)，且，求的度數(shù)．若以點(diǎn)A為圓心，AB為半徑作輔助圓，則點(diǎn)C、D必在上，是的圓心角，而是圓周角，從而可容易得到EMBEDEquation.DSMT4．（2）【問題解決】如圖2，在四邊形中，，求的數(shù)．小剛同學(xué)認(rèn)為用添加輔助圓的方法，可以使問題快速解決，他是這樣思考的：的外接圓就是以的中點(diǎn)為圓心，長為半徑的圓；的外接圓也是以的中點(diǎn)為圓心，長為半徑的圓．這樣A，B，C，D四點(diǎn)在同一個圓上，進(jìn)而可以利用圓周角的性質(zhì)求出的度數(shù)，請運(yùn)用小剛的思路解決這個問題．（3）【問題拓展】如圖3，在中，，是邊上的高，且，求的長．18．（2023·淮安·中考真題）如圖，在四邊形中，為內(nèi)部的任一條射線（不等于），點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)為，直線與交于點(diǎn)，連接，則面積的最大值是．19．（2023·湖北隨州·中考真題）如圖，在矩形中，，M是邊上一動點(diǎn)（不含端點(diǎn)），將沿直線對折，得