遼寧省名校聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期7月期末考試數(shù)學(xué)

2023——2024學(xué)年度下學(xué)期期末考試高一試題數(shù)學(xué)命題人：沈陽(yáng)二中石瑩審題人：丹東二中劉永順考試時(shí)間：120分鐘滿分：150分鐘第Ⅰ卷（選擇題共58分）一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分）1.如果復(fù)數(shù)滿足：，那么（）A. B.C D.2.已知兩個(gè)非零向量，滿足，則在上投影向量為（）A. B. C. D.3.設(shè)是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，則下面命題中正確的是（）A.若，則 B.若，則C若，則 D.若，則4.如圖，在直三棱柱中，所有棱長(zhǎng)都相等，分別是棱中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值是（）A. B. C. D.5.在世紀(jì)中期，我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)注》中提出了割圓術(shù)：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體，而無(wú)所失矣”.這可視為中國(guó)古代極限觀念的佳作.割圓術(shù)可以視為將一個(gè)圓內(nèi)按正邊形等分成個(gè)等腰三角形（如圖所示），當(dāng)越大，等腰三角形的面積之和越近似等于圓的面積.運(yùn)用割圓術(shù)的思想，可得到的近似值為（取近似值）（）A. B. C. D.6.在中，若，則是（）A.等腰三角形 B.等邊三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形7.若水平放置的平面四邊形按斜二測(cè)畫法得到如圖所示的直觀圖，其中，，，，則以原四邊形的邊為軸旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體的體積為（）A. B. C. D.8.已知二面角的平面角的大小為為半平面內(nèi)的兩個(gè)點(diǎn)，為半平面內(nèi)一點(diǎn)，且，若直線與平面所成角為，為的中點(diǎn)，則線段長(zhǎng)度的最大值是（）A. B. C. D.二、多項(xiàng)選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9.已知復(fù)數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（）A. B.的虛部為C.在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限 D.的共軛復(fù)數(shù)為10.函數(shù)（）的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為，則下列說(shuō)法正確的是（）A.直線是函數(shù)的圖象的一條對(duì)稱軸B.函數(shù)在上單調(diào)遞減C.函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位可得到的圖象D.函數(shù)在上的最大值為11.如圖，在邊長(zhǎng)為4的正方體中，分別是棱的中點(diǎn)，是正方形內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.若平面，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為B.若，則點(diǎn)軌跡長(zhǎng)度為C.二面角的正切值為D.若是棱的中點(diǎn)，則三棱錐的外接球的表面積是第Ⅱ卷（非選擇題共92分）三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.___________.13.已知直四棱柱高為，底面四邊形中，，，，，則四棱柱外接球的表面積是_____________.14.某同學(xué)在學(xué)習(xí)和探索三角形相關(guān)知識(shí)時(shí)，發(fā)現(xiàn)了一個(gè)有趣的性質(zhì)：將銳角三角形三條邊所對(duì)的外接圓的三條圓弧（劣弧）沿著三角形的邊進(jìn)行翻折，則三條圓弧交于該三角形內(nèi)部一點(diǎn)，且此交點(diǎn)為該三角形的垂心（即三角形三條高線的交點(diǎn)）如圖，已知銳角外接圓的半徑為4，且三條圓弧沿三邊翻折后交于點(diǎn).若，則_____________；若，則的值為_____________.四、解答題（本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）15.如圖所示，，，為山腳兩側(cè)共線的三點(diǎn)，在山頂處測(cè)得三點(diǎn)的俯角分別為，，．計(jì)劃沿直線開通穿山隧道，請(qǐng)根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，計(jì)算：（1）的長(zhǎng)度（2）隧道的長(zhǎng)度．16.正方體的棱長(zhǎng)為，是線段上的動(dòng)點(diǎn).（1）求證：平面平面；（2）與平面所成的角的余弦值為，求的長(zhǎng)．17.在平面直角坐標(biāo)系中，已知四邊形是等腰梯形，，點(diǎn)滿足，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)（包括端點(diǎn)），如圖所示.（1）當(dāng)點(diǎn)為線段中點(diǎn)時(shí)，將繞原點(diǎn)沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到的位置，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求的余弦值；（3）是否存在實(shí)數(shù)，使？若存在，求出實(shí)數(shù)的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.18.如圖1，在矩形中，是線段上（包括端點(diǎn)）的一動(dòng)點(diǎn)，如圖2，將沿著折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，滿足點(diǎn)平面.（1）如圖2，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)是線段上點(diǎn)的，平面，求的值；（2）如圖2，若點(diǎn)在平面內(nèi)的射影落在線段上.①是否存在點(diǎn)，使得平面，若存在，求的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；②當(dāng)三棱錐的體積最大值時(shí)，求點(diǎn)到平面的距離.19.已知函數(shù).請(qǐng)?jiān)谙旅娴娜齻€(gè)條件中任選兩個(gè)解答問(wèn)題.①函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)；②函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；③函數(shù)相鄰對(duì)稱軸與對(duì)稱中心之間距離為1.（1）求函數(shù)的解析式；（2）若是函數(shù)的零點(diǎn)，求的值組成的集合；（3）當(dāng)時(shí)，是否存在滿足不等式？若存在，求出的范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.2023——2024學(xué)年度下學(xué)期期末考試高一試題數(shù)學(xué)命題人：沈陽(yáng)二中石瑩審題人：丹東二中劉永順考試時(shí)間：120分鐘滿分：150分鐘第Ⅰ卷（選擇題共58分）一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分）1.如果復(fù)數(shù)滿足：，那么（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)，即可表示出，再根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件得到方程組，解得即可.【詳解】設(shè)，則，，因?yàn)?，即，所以，解得，所?故選：A2.已知兩個(gè)非零向量，滿足，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)，得，再根據(jù)投影向量的公式計(jì)算即可.詳解】由題意，，解得，所以在上的投影向量為.故選：.3.設(shè)是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，則下面命題中正確的是（）A若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】D【解析】【分析】對(duì)于ABC：根據(jù)正方體的結(jié)構(gòu)特征，舉反例說(shuō)明即可；對(duì)于D：根據(jù)線面垂直的性質(zhì)和判定定理分析判斷.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)ABC：在正方體中，例如∥平面，平面∥平面，平面，但與相交，故A錯(cuò)誤；例如∥，∥平面，∥平面但平面平面，故B錯(cuò)誤；例如，平面，但平面，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：若，則∥，且，所以，故D正確；故選：D.4.如圖，在直三棱柱中，所有棱長(zhǎng)都相等，分別是棱的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用平移法作出異面直線與所成角，解三角形即可求得答案.【詳解】連接，因?yàn)樵谥比庵?，分別是棱的中點(diǎn)，故，即四邊形為平行四邊形，所以，則即為異面直線與所成角或其補(bǔ)角；直三棱柱中，所有棱長(zhǎng)都相等，設(shè)其棱長(zhǎng)為，連接，則平面，故平面平面，故，是棱的中點(diǎn)，故，則,而，又，故在中，,由于異面直線所成角的范圍，故異面直線與所成角的余弦值是，故選：D.5.在世紀(jì)中期，我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)注》中提出了割圓術(shù)：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體，而無(wú)所失矣”.這可視為中國(guó)古代極限觀念的佳作.割圓術(shù)可以視為將一個(gè)圓內(nèi)按正邊形等分成個(gè)等腰三角形（如圖所示），當(dāng)越大，等腰三角形的面積之和越近似等于圓的面積.運(yùn)用割圓術(shù)的思想，可得到的近似值為（取近似值）（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，將一個(gè)單位圓等分成60個(gè)扇形，則每個(gè)扇形的圓心角均為，再根據(jù)這60個(gè)扇形對(duì)應(yīng)的等腰三角形的面積之和近似等于單位圓的面積列等式，計(jì)算即可.【詳解】將一個(gè)單位圓等分成60個(gè)扇形，則每個(gè)扇形的圓心角均為.因?yàn)檫@60個(gè)扇形對(duì)應(yīng)的等腰三角形的面積之和近似等于單位圓的面積，所以，所以.故選：.6.在中，若，則是（）A等腰三角形 B.等邊三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形【答案】A【解析】【分析】根據(jù)條件，利用降冪升角公式及余弦的和差角公式，得到，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，整理得到，即，又，得到，所以，即，故選：A.7.若水平放置的平面四邊形按斜二測(cè)畫法得到如圖所示的直觀圖，其中，，，，則以原四邊形的邊為軸旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體的體積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由斜二測(cè)畫法的直觀圖，得出原圖形為直角梯形，再軸旋轉(zhuǎn)一周得到的圓柱和圓錐的組合幾何體的體積．【詳解】由斜二測(cè)畫法的直觀圖知，，，，；，所以原圖形中，，，，，，所以梯形以邊為軸旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體為圓柱去掉一個(gè)同底圓錐的組合體，．故選：D．8.已知二面角的平面角的大小為為半平面內(nèi)的兩個(gè)點(diǎn)，為半平面內(nèi)一點(diǎn)，且，若直線與平面所成角為，為的中點(diǎn)，則線段長(zhǎng)度的最大值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】作于，根據(jù)已知條件可得兩點(diǎn)在以為高，為母線的圓錐的底面圓周上,再根據(jù)余弦定理可得，從而判斷出要使線段的長(zhǎng)度最大，則最大,確定兩點(diǎn)的位置，再利用三角形知識(shí)求解即可.【詳解】作于，因?yàn)槎娼堑钠矫娼堑拇笮椋鶕?jù)面面垂直的性質(zhì)定理可得，因?yàn)椋詢牲c(diǎn)在以為高，為母線的圓錐的底面圓周上，根據(jù)余弦定理：，要使線段的長(zhǎng)度最大,需要使得最小，即最大,所以當(dāng)兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到公共棱上時(shí)，最大,則線段的長(zhǎng)度最大.因?yàn)橹本€與平面所成角為，所以，則，在中，根據(jù)余弦定理得:所以即線段長(zhǎng)度的最大值是.故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解得關(guān)鍵在于根據(jù)確定點(diǎn)軌跡，然后結(jié)合圓錐性質(zhì)即可求解.二、多項(xiàng)選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9.已知復(fù)數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（）A. B.的虛部為C.在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限 D.的共軛復(fù)數(shù)為【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)，即可得到其共軛復(fù)數(shù)，再一一判斷即可.【詳解】對(duì)于AD，因?yàn)?，所以，則，故A正確，D正確；對(duì)于B，的虛部為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第四象限，故C正確.故選：ACD10.函數(shù)（）的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為，則下列說(shuō)法正確的是（）A.直線是函數(shù)的圖象的一條對(duì)稱軸B.函數(shù)在上單調(diào)遞減C.函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位可得到的圖象D.函數(shù)在上的最大值為【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)兩角和的余弦公式化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，再根據(jù)對(duì)稱中心可得，再根據(jù)三角函數(shù)性質(zhì)分別判斷各選項(xiàng).【詳解】由，由是函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，即，，解得，，又，所以，所以，對(duì)于A選項(xiàng)：令，，解得，，當(dāng)時(shí)，，即直線是函數(shù)的一條對(duì)稱軸，故A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)：令，，解得，，即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞減，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)：函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位可得，C選項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)，即最大值為，D選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：AC.11.如圖，在邊長(zhǎng)為4的正方體中，分別是棱的中點(diǎn)，是正方形內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.若平面，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為B.若，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為C.二面角的正切值為D.若是棱的中點(diǎn)，則三棱錐的外接球的表面積是【答案】BCD【解析】【分析】對(duì)于A，作出對(duì)應(yīng)圖形，先證明面面，再結(jié)合給定條件確定動(dòng)點(diǎn)軌跡，求解長(zhǎng)度，對(duì)于B，利用給定條件確定動(dòng)點(diǎn)軌跡，求解長(zhǎng)度，對(duì)于C，作出二面角的平面角，利用余弦定理結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求解正切值，對(duì)于D，先找到球心，利用勾股定理得到半徑，求解球的表面積即可.【詳解】對(duì)于A，如圖，取中點(diǎn)，且連接，因?yàn)榉謩e是棱的中點(diǎn)，由中位線定理得，，所以，而，，所以四邊形是平行四邊形，所以，所以，因?yàn)?，，所以四邊形是平行四邊形，所以，因?yàn)槊?，面，所以面，因?yàn)槊?，面，所以面，而，所以面面，又是正方形?nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且平面，面和面相交，是交線，所以的軌跡為線段，由勾股定理得，故A錯(cuò)誤，對(duì)于B，如圖，若，此時(shí)面，所以，由勾股定理得，所以的軌跡為在面內(nèi)，以為圓心，為半徑的圓弧，所以的軌跡長(zhǎng)度為，故B正確，對(duì)于C，如圖，作，連接，連接，因?yàn)檎襟w，分別是棱的中點(diǎn)，也把的中點(diǎn)記為，所以是的中位線，所以，而，所以，而由正方體性質(zhì)得面，所以，而，面，故面，，，而由勾股定理得，，由三線合一性質(zhì)得是的中點(diǎn)，故是的中點(diǎn)，即是靠近的四等分點(diǎn)，所以由勾股定理得，，，而，，面面，所以是二面角的平面角，且設(shè)該角為，在中，由余弦定理得，易得，所以，而，解得(負(fù)根舍去)，所以，所以二面角的正切值為，故C正確，對(duì)于D，如圖，取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，因?yàn)槭抢獾闹悬c(diǎn)，分別是棱的中點(diǎn)，所以，由勾股定理得，而，所以，所以，而，所以點(diǎn)到的距離相等，因?yàn)?，由正方體性質(zhì)得面，所以面，所以三棱錐的外接球的球心在上，設(shè)球心為，，則，又，設(shè)三棱錐的外接球的半徑為，則，在直角三角形中，由勾股定理得，在直角三角形中，由勾股定理得，解得，，所以三棱錐的外接球的表面積為，故D正確.故選：BCD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查立體幾何，解題關(guān)鍵是確定球心的位置，然后利用勾股定理求出球的半徑，得到所要求的表面積即可．第Ⅱ卷（非選擇題共92分）三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.___________.【答案】【解析】【分析】由兩角和的正切公式可得，代入所求代數(shù)式化簡(jiǎn)可得結(jié)果.【詳解】由化簡(jiǎn)可得.故答案為：.13.已知直四棱柱高為，底面四邊形中，，，，，則四棱柱外接球的表面積是_____________.【答案】【解析】【分析】由已知可得底面四邊形的外接圓圓心及為的外接圓圓心，根據(jù)余弦定理及正弦定理可得底面外接圓半徑，進(jìn)而可得四棱柱外接球半徑，即可得外接球表面積.【詳解】如圖所示，由底面四邊形中，，所以四邊形的外接圓圓心即為的外接圓圓心，在中點(diǎn)，連接，又，，，所以在中，由余弦定理得，即，所以四邊形及的外接圓半徑，設(shè)四邊形的外接圓圓心為，四邊形的外接圓圓心為，則，，直四棱柱的外接球球心為中點(diǎn)，即，且，所以外接球半徑，所以外接球表面積.故答案為：14.某同學(xué)在學(xué)習(xí)和探索三角形相關(guān)知識(shí)時(shí)，發(fā)現(xiàn)了一個(gè)有趣的性質(zhì)：將銳角三角形三條邊所對(duì)的外接圓的三條圓?。踊。┭刂切蔚倪呥M(jìn)行翻折，則三條圓弧交于該三角形內(nèi)部一點(diǎn)，且此交點(diǎn)為該三角形的垂心（即三角形三條高線的交點(diǎn)）如圖，已知銳角外接圓的半徑為4，且三條圓弧沿三邊翻折后交于點(diǎn).若，則_____________；若，則的值為_____________.【答案】①.##0.75②.【解析】【分析】第一空：由正弦定理求得，利用三角形垂心性質(zhì)結(jié)合三角形誘導(dǎo)公式推得，即得答案；第二空：設(shè)，由余弦定理求得它們的余弦值，然后由垂心性質(zhì)結(jié)合正弦定理表示出，即可求得答案.【詳解】設(shè)外接圓半徑為，則，由正弦定理，可知，即，由于是銳角，故，又由題意可知P為三角形ABC的垂心，即,故，所以；設(shè)，則，由于，不妨假設(shè)，由余弦定理知，設(shè)AD,CE,BF為三角形的三條高，由于,故,則得，所以，同理可得，所以，故答案為：；.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題關(guān)鍵在于：涉及到三角形垂心的性質(zhì)的應(yīng)用，解答時(shí)要能靈活地結(jié)合垂心性質(zhì)尋找角之間的關(guān)系，應(yīng)用正余弦定理，解決問(wèn)題.四、解答題（本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）15.如圖所示，，，為山腳兩側(cè)共線的三點(diǎn)，在山頂處測(cè)得三點(diǎn)的俯角分別為，，．計(jì)劃沿直線開通穿山隧道，請(qǐng)根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，計(jì)算：（1）的長(zhǎng)度（2）隧道的長(zhǎng)度．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由求出，從而可求出，然后在中利用正弦定理可求出；（2）在中利用正弦定理求出，從而可求出.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，為銳角，所以，所以，在中，，所以由正弦定理得，所以；【小問(wèn)2詳解】因?yàn)椋谥?，，所以由正弦定理得，則，所以，所以隧道的長(zhǎng)度為.16.正方體的棱長(zhǎng)為，是線段上的動(dòng)點(diǎn).（1）求證：平面平面；（2）與平面所成的角的余弦值為，求的長(zhǎng)．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意可得，，進(jìn)而可證平面，即可得結(jié)果；（2）設(shè)在平面上的射影點(diǎn)為，連接，利用等體積法可得，結(jié)合線面夾角可得，再利用余弦定理計(jì)算可得.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)槠矫?，且平面，可得，四邊形為正方形，則，且平面，所以平面，又平面，所以平面平面.【小問(wèn)2詳解】設(shè)在平面上的射影點(diǎn)為，連接，可知是以邊長(zhǎng)為的等邊三角形，則，因?yàn)?，即，解得，設(shè)與平面所成的角的大小為，因?yàn)?，則，則，可得，在中，由余弦定理得，即，解得.17.在平面直角坐標(biāo)系中，已知四邊形是等腰梯形，，點(diǎn)滿足，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)（包括端點(diǎn)），如圖所示.（1）當(dāng)點(diǎn)為線段中點(diǎn)時(shí)，將繞原點(diǎn)沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到的位置，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求的余弦值；（3）是否存在實(shí)數(shù)，使？若存在，求出實(shí)數(shù)的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）（2）（3）存在，【解析】【分析】（1）根據(jù)題意的，根據(jù)在三角形中可求得答案；（2）根據(jù)三角形中余弦定理運(yùn)算公式可求得答案；（3）設(shè)，其中，根據(jù)，可得，分類討論可求得的范圍.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)榈妊菪?，，，點(diǎn)為線段中點(diǎn)所以，則，將繞原點(diǎn)沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到的位置，如圖所示.作軸于點(diǎn),,可得,，，,所以點(diǎn)的坐標(biāo)為【小問(wèn)2詳解】在中，，所以,因此的余弦值；【小問(wèn)3詳解】設(shè)，其中．若，則，即，可得．若，則不存在，若，則故．18.如圖1，在矩形中，是線段上（包括端點(diǎn)）的一動(dòng)點(diǎn)，如圖2，將沿著折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，滿足點(diǎn)平面.（1）如圖2，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)是線段上點(diǎn)的，平面，求的值；（2）如圖2，若點(diǎn)在平面內(nèi)的射影落在線段上.①是否存在點(diǎn)，使得平面，若存在，求的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；②當(dāng)三棱錐的體積最大值時(shí)，求點(diǎn)到平面的距離.【答案】（1）（2）①存在，，②【解析】【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，則由面面平行的判定定理可證得平面∥平面，再利用面面平行的性質(zhì)可得∥，從而可求得結(jié)果；（2）①當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，平面，由已知條件可證得平面，則，再利用線面垂直的判定定理可證得結(jié)論；②在矩形中作于，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，折起后得，設(shè)，由∽，可得，在中，表示出，然后表示出，利用基本不等式可求出其最大值，從而可點(diǎn)到平面的距離.【小問(wèn)1詳解】取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，所以，因?yàn)椤?，所以四邊形為平行四邊形，所以∥，因?yàn)槠矫?，平面，所以∥平面，因?yàn)椤纹矫妫?，平面，所以平面∥平面，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，所以∥，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以；【小問(wèn)2詳解】①存在點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合，即時(shí)，平面，理由如下：當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，則，因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫?，因?yàn)椋?，平面，所以平面，即?dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合，時(shí)，平面；②在矩形中作于，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，折起后得，設(shè)，則，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以∽，得，即，得，所以，因?yàn)?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以，所以點(diǎn)與點(diǎn)重合，因?yàn)橐沟命c(diǎn)的射影落在線段上，所以，則，解得，在中，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，則是的中點(diǎn)，所以點(diǎn)到平面的距離為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：