2020-2021學年江西省南昌市高一下學期期末數(shù)學試題（解析版）

試卷第=page22頁，共=sectionpages44頁2020-2021學年江西省南昌市高一下學期期末數(shù)學試題一、單選題1．已知，則與同方向的單位向量是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】設所求單位向量為，根據(jù)，且即可求出得值，進而可得單位向量的坐標.【詳解】設與同方向的單位向量為，則，即，由可得：，解得：，因為，所以，所以，所以與同方向的單位向量是，故選：A.2．下列函數(shù)既是定義域上的偶函數(shù)，又是上增函數(shù)的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性的定義和反比例函數(shù)的性質(zhì)，可判定A正確；根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可判定B不正確；根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，可判定C不正確；根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可判定D不正確.【詳解】對于A中，函數(shù)的定義域為關(guān)于原點對稱，且滿足，所以函數(shù)為定義域上的偶函數(shù)，又由當時，可得，可得函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，符合題意；對于B中，當時，函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，不符合題意；對于C中，函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，不符合題意；對于D中，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，可得函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，不符合題意.故選：A.3．對兩變量間的關(guān)系，下列論述正確的是（）A．任何兩個變量都具有相關(guān)關(guān)系B．正方形的面積與該正方形的邊長具有相關(guān)關(guān)系C．農(nóng)作物的產(chǎn)量與施化肥量之間是一種確定性關(guān)系D．一個學生的數(shù)學成績與物理成績之間是一種非確定性的關(guān)系【答案】D【分析】由兩個變量之間相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系之間的定義及區(qū)別即可求解.【詳解】解：對A：當兩個變量之間具有確定關(guān)系時，兩個變量之間是函數(shù)關(guān)系，而不是相關(guān)關(guān)系，所以A錯誤；對B：正方形的面積與該正方形的邊長之間是函數(shù)關(guān)系，所以B錯誤；對C：農(nóng)作物的產(chǎn)量與施化肥量之間是相關(guān)關(guān)系，是非確定性的關(guān)系，所以C錯誤；對D：學生的數(shù)學成績與物理成績之間是相關(guān)關(guān)系，是非確定性的關(guān)系，所以D正確；故選：D.4．在中，若滿足，則（）A．30° B．60°C．120° D．150°【答案】C【分析】利用正弦定理將已知條件角化邊，然后再利用余弦定理即可求解.【詳解】解：在中，因為，所以由正弦定理得，即，所以由余弦定理有，因為，所以，故選：C.5．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的值為A．6 B． C． D．【答案】D【詳解】由程序框圖可知輸出.故本題選.點睛:本題主要考查程序框圖中的循環(huán)結(jié)構(gòu).循環(huán)結(jié)構(gòu)中都有一個累計變量和計數(shù)變量,累計變量用于輸出結(jié)果,計算變量用于記錄循環(huán)次數(shù),累計變量用于輸出結(jié)果,計數(shù)變量和累計變量一般是同步執(zhí)行的,累加一次計數(shù)一次,哪一步終止循環(huán)或不能準確地識別表示累計的變量,都會出現(xiàn)錯誤.計算程序框圖的有關(guān)的問題要注意判斷框中的條件,同時要注意循環(huán)結(jié)構(gòu)中的處理框的位置的先后順序,順序不一樣,輸出的結(jié)果一般不會相同.6．某公司有2000名員工，將這些員工編號為1，2，3，…，2000，從這些員工中使用系統(tǒng)抽樣的方法抽取100人進行“學習強國”的問卷調(diào)查，若104號被抽到，則下面被抽到序號是（）A．54 B．294 C．1196 D．1984【答案】D【分析】由系統(tǒng)抽樣的定義和方法，求出分段間隔即可求解.【詳解】解：由題意，分段間隔為，因為104號被抽到，而，所以第一段抽到的是4號，根據(jù)系統(tǒng)抽樣的方法，每一段被抽到的號為，，因為，所以1984號被抽到.故選：D.7．某班班委由3名男同學和2名女同學組成，從中選擇2名班委成員去參加交通值勤，則選出2名班委中至少有一名女同學的概率是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】所有選法有種，其中選出2名班委中沒有女同學有種，利用間接法即可求解.【詳解】解：由題意，所有選法有種，其中選出2名班委中沒有女同學有種，所以選出2名班委中至少有一名女同學的概率為，故選：D.8．已知，則（）A．1 B．2 C．3 D．15【答案】A【分析】根據(jù)分段函數(shù)的定義，先求內(nèi)層函數(shù)的值，然后再求外層函數(shù)的值.【詳解】解：因為，所以，所以，故選：A.9．已知，則a，b，c的大小關(guān)系是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】分別作出函數(shù)和的圖象，結(jié)合圖象，即可求解.【詳解】由題意知，可得，且，分別作出函數(shù)和的圖象，如圖所示，結(jié)合圖象，可得.故選：B.10．已知實數(shù)b為a，的等差中項，若，b，成等比數(shù)列，則此等比數(shù)列的公比為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)等差中項公式有，等比中項公式有，聯(lián)立可求得的值，即等比數(shù)列公比的值，從而即可求解.【詳解】解：因為實數(shù)b為a，的等差中項，所以①，又，b，成等比數(shù)列，所以②，聯(lián)立①②得，即，所以，解得，設等比數(shù)列的公比為，由題意，，所以，故選：B.11．記不等式?解集分別為、，中有且只有兩個正整數(shù)解，則a的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出集合，由分析知，求出集合，進而得出中有且只有兩個正整數(shù)解的等價條件，列不等式組即可求解.【詳解】由可得：或，所以或，因為中有且只有兩個正整數(shù)解，所以，對于方程，判別式，所以方程的兩根分別為：，，所以，若中有且只有兩個正整數(shù)解，則即，可得，所以，當時，解得，此時，不符合題意，綜上所述：a的取值范圍為，故選：B.12．在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，則（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先利用兩角和的正弦公式展開，再將代入，由正弦定理化邊為角即可求解.【詳解】由可得，因為，所以，由正弦定理可得：，即，即，因為，所以，可得：，因為，所以，故選：C.二、填空題13．銳角A，B滿足，則___________【答案】【分析】利用誘導公式，化簡得且，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)，求得，代入即可求解.【詳解】由，且，可得且，又由函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)遞增函數(shù)，所以，即，所以.故答案為：.14．兩變量x，y具有相關(guān)關(guān)系，根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算得出回歸方程是，已知樣本數(shù)據(jù)兩變量的均值分別為，，則___________.【答案】【分析】根據(jù)樣本中心點在回歸直線上即可求解.【詳解】因為回歸方程過本中心點，所以，即，故答案為：.15．馬蕓的某次語數(shù)外考試成績都是兩位數(shù)，成績單被色彩筆弄臟，只能看到語文十位數(shù)字是8，數(shù)學成績個位數(shù)字是7，英語成績95，若他平均成績是93，則他的數(shù)學成績是___________.【答案】97【分析】設語文成績?yōu)榉郑瑪?shù)學成績?yōu)榉?，根?jù)平均數(shù)的計算公式，列出方程求得，得到的值，即可求解.【詳解】設他的語文成績?yōu)榉?，?shù)學成績?yōu)榉?，其中，且，因為他平均成績是，可得，解得，所以，所以其?shù)學成績?yōu)?故答案為：.16．已知a，b，時，有，利用分拆?重組?配對使用基本不等式求出最值.依此啟示，當a，b，時，的最小值為___________.【答案】【分析】給每個式子配常數(shù)1，之后運用柯西不等式求解即可.【詳解】故答案為：三、解答題17．在平面直角坐標系中，以x軸的非負半軸為角的始邊，如果角的終邊與單位圓交于點，角的終邊所在射線經(jīng)過點.（1）求的值；（2）求.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)的定義求和的值，即可求解.（2）利用誘導公式化簡，再化弦為切即可求解.【詳解】（1）點到原點O的距離，由三角函數(shù)定義知由角的終邊所在射線經(jīng)過點，由知，由三角函數(shù)定義知，，則所以.（2）由三角函數(shù)定義知，，所以且所以原式.18．已知等差數(shù)列的前n項和為，且，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列滿足：，求數(shù)列的前n項和.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）設等差數(shù)列的公差為，根據(jù)題意列出方程組，求得，即可得到數(shù)列的通項公式；（2）由（1）知，求得，得到，利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式，即可求解.【詳解】（1）設等差數(shù)列的公差為，因為，，可得，解得，所以數(shù)列的通項公式.（2）由（1）知，可得，又由，可得所以.19．為打造天藍水碧生態(tài)之城，在“十四五”期間，某市將深入打好污染防治攻堅戰(zhàn)，持續(xù)改善生態(tài)環(huán)境質(zhì)量.該市生態(tài)環(huán)境局統(tǒng)計了某月(30天)空氣質(zhì)量指數(shù)，繪制成如下頻率分布直方圖.已知空氣質(zhì)量等級與空氣質(zhì)量指數(shù)對照如下表：空氣質(zhì)量指數(shù)300以上空氣質(zhì)量等級一級(優(yōu))二級(良)三級(輕度污染)四級(中度污染)五級(重度污染)六級(嚴重污染)（1）求該月空氣質(zhì)量指數(shù)的平均數(shù)(視每組中點為該組平均指數(shù))；（2）現(xiàn)從質(zhì)量指數(shù)為，，三組中分別抽取一天分析其它環(huán)境指數(shù)，則指數(shù)為的某指定的一天被抽取到的概率是多少？【答案】（1）；（2）.【分析】（1）先求出空氣質(zhì)量指數(shù)為的頻率，然后再根據(jù)在頻率分布直方圖中平均數(shù)的求法求出該月空氣質(zhì)量指數(shù)的平均數(shù)即可；（2）由題意可知，空氣質(zhì)量指數(shù)為，，的天數(shù)分別為6，2，1，再利用古典概型求出指數(shù)為的某指定的一天被抽取到的概率即可.【詳解】（1）設空氣質(zhì)量指數(shù)為的頻率為x，則，故該月空氣質(zhì)量指數(shù)的平均數(shù)為：.（2）由題意可知，空氣質(zhì)量指數(shù)為，，的天數(shù)分別為6，2，1，空氣質(zhì)量指數(shù)為，設為第A，B，C，D，E，F(xiàn)天，且指定為第A天，空氣質(zhì)量指數(shù)為，設為第a，b天空氣質(zhì)量指數(shù)為，設為第天，則抽取的組合為：；；；；；；；；；；；，共計12種，滿足要求的共2種，故所求概率為.20．已知銳角的內(nèi)角的所對邊分別為，其中，.（Ⅰ）若，求角；（Ⅱ）求面積的最大值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）由，求得，再由正弦定理求得，即可求得角A；（Ⅱ）由余弦定理和基本不等式，求得，再由三角形的面積公式，即可求解．【詳解】（Ⅰ）由題意，知，即，故，即，又由正弦定理可得，解得，又因為，所以，所以.（Ⅱ）在中，由余弦定理，得，得，所以，當且僅當時，即三角形為等邊三角形時，上式等號成立，所以的面積的最大值為.【點睛】本題主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面積公式的應用，其中在解有關(guān)三角形的題目時，要抓住題設條件和利用某個定理的信息，合理應用正弦定理和余弦定理求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎題．21．某工廠調(diào)試壹號?貳號?叁號三條生產(chǎn)線各自獨立地生產(chǎn)同一種零件，已知壹號生產(chǎn)線生產(chǎn)的零件是合格品且貳號生產(chǎn)線生產(chǎn)的零件是非合格品的概率為，貳號生產(chǎn)線生產(chǎn)的零件是合格品且叁號生產(chǎn)線生產(chǎn)的零件也是合格品的概率為，壹號生產(chǎn)線生產(chǎn)的零件是合格品且叁生產(chǎn)線生產(chǎn)的零件也是合格品的概率為，記事件A，B，C分別為壹號?貳號?叁號三條生產(chǎn)線各自生產(chǎn)的零件是合格品.（1）分別求出事件A，B，C的概率，，；（2）從壹?貳?叁三條生產(chǎn)線上生產(chǎn)的同一種零件中隨機各取1個進行檢驗，記事件D，E分別為三個零件中合格品為1個?2個，分別求出事件D，E的概率，.【答案】（1），，；（2），.【分析】（1）記事件A，B，C分別為壹號?貳號?叁號三條生產(chǎn)線各自生產(chǎn)的零件是合格品，事件，，分別為壹號?貳號?叁號三條生產(chǎn)線各自生產(chǎn)的零件是非合格品，由相互獨立事件概率乘法公式及對立事件的概率求法，列方程組解方程組即可.（2）由題意，，根據(jù)相互獨立事件的概率乘法公式即可求解.【詳解】解:（1）事件A，B，C分別為壹號?貳號?叁號三條生產(chǎn)線各自生產(chǎn)的零件是合格品，事件，，分別為壹號?貳號?叁號三條生產(chǎn)線各自生產(chǎn)的零件是非合格品，由題意，即，解得，，；（2）由（1）知，，，，所以，，.22．數(shù)列可以看作是定義在正整數(shù)集的特殊函數(shù)，具有函數(shù)的性質(zhì)特征，有些周期性的數(shù)列和三角函數(shù)緊密相連.記數(shù)列