2020-2021學(xué)年江西省上饒市高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

試卷第=page22頁，共=sectionpages44頁2020-2021學(xué)年江西省上饒市高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1．設(shè)集合A＝{x|－1＜x＜2}，集合B＝{x|1＜x＜3}，則A∪B＝A．{x|－1＜x＜3} B．{x|－1＜x＜1} C．{x|1＜x＜2} D．{x|2＜x＜3}【答案】A【詳解】由已知，集合A＝（－1，2），B＝（1，3），故A∪B＝（－1，3），選A【解析】本題主要考查集合的概念，集合的表示方法和并集運(yùn)算.2．已知函數(shù)，則（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用函數(shù)的解析式由內(nèi)到外逐層計(jì)算得出的值.【詳解】，，則.故選：C.3．函數(shù)的定義域是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)解析式，求出使解析式有意義的自變量的范圍，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，解得，即函?shù)的定義域是.故選：B.4．過點(diǎn)且平行于直線的直線方程為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意可設(shè)所求直線為，把點(diǎn)代入即可.【詳解】由題意可設(shè)所求直線為，點(diǎn)代入得：,解得：，∴所求直線為.故選：C【點(diǎn)睛】直線系的設(shè)法：(1)過定點(diǎn)(x0,y0)的直線可設(shè)為：y-y0=k(x-x0)；(2)與Ax+By+C=0平行的直線可設(shè)為Ax+By+λ=0；(3)與Ax+By+C=0垂直的直線可設(shè)為Bx-Ay+λ=0．5．若函數(shù)在區(qū)間是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出函數(shù)的增區(qū)間為，由條件有可得答案.【詳解】二次函數(shù)，開口向上，對稱軸方程為，所以增區(qū)間為函數(shù)在區(qū)間是增函數(shù),則，所以，即故選：A6．函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先得到函數(shù)在上連續(xù)且單調(diào)遞減，再分別計(jì)算，，，，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理，即可得出結(jié)果.【詳解】當(dāng)時，與都是減函數(shù)，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減；又，，，，因?yàn)楹瘮?shù)在上連續(xù)，所以根據(jù)零點(diǎn)存在性定理可得，ABD都不正確，只有C正確.故選：C.7．設(shè)，，，則（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，分別比較、、與0和1的大小關(guān)系，即可得到、、的大小關(guān)系.【詳解】由，，，得.故選：D.8．已知直線l，m和平面，則下列命題正確的是（）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則【答案】B【分析】根據(jù)線面關(guān)系的判定定理和性質(zhì)分別判斷即可.【詳解】對A，若，，則或，故A錯誤；對B，若，，則由線面垂直的性質(zhì)可得，故B正確；對C，若，，則或異面，故C錯誤；對D，若，，則或，故D錯誤.故選：B.9．當(dāng)時，函數(shù)與函數(shù)在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖象可能是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性，以及二次函數(shù)的特征，即可確定出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋允窃龊瘮?shù)；排除AB選項(xiàng)；二次函數(shù)開口向上，對稱軸，排除C選項(xiàng)；即D正確；故選：D.10．某三棱柱的底面為正三角形，其三視圖如圖所示，該三棱柱的表面積為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)幾何體的三視圖還原幾何體，再根據(jù)表面積公式計(jì)算即可.【詳解】根據(jù)三視圖得該三棱柱的底面邊長為，高為，如圖，所以三棱柱的表面積為：.故選：C.11．唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河.”詩中隱含著一個有趣的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短?在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營所在位置為，若將軍從點(diǎn)處出發(fā)，河岸線所在直線方程為.則“將軍飲馬“的最短總路程為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】作出圖形，求出點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)，在直線上取點(diǎn)，利用、、三點(diǎn)共線時取得最小值即可得解.【詳解】如下圖所示，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，由題意可得，解得，即點(diǎn)，在直線上取點(diǎn)，由對稱性可得，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)、、三點(diǎn)共線時，等號成立，因此，“將軍飲馬“的最短總路程為.故選：C.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查“將軍飲馬”最短路徑問題，求解此類問題的基本思路就是求得動點(diǎn)關(guān)于所在直線的對稱點(diǎn)后，利用三角形兩邊之和大于第三邊的特點(diǎn)，利用三點(diǎn)共線時求得最值來求解.12．已知函數(shù)，若方程有四個不同的實(shí)數(shù)解，，，且，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】畫出函數(shù)的圖象，根據(jù)題中條件，結(jié)合圖形，得出，，化所求式子為，再確定的范圍，構(gòu)造函數(shù)，（），判定其單調(diào)性，由單調(diào)性求出值域，即可得出結(jié)果.【詳解】作出函數(shù)的圖象如下：因?yàn)榉匠逃兴膫€不同的解，，，，且，所以有，，故，再由可得或，即，令，（），任取，則，，所以，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，又，，所以.即的取值范圍是.故選：B.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)(方程根的個數(shù))求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.二、填空題13．已知集合A=，若，則實(shí)數(shù)的值是____________.【答案】【分析】根據(jù)題意，可得或，然后根據(jù)結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證即可．【詳解】由題可知：集合，所以或，則或當(dāng)時，，不符合集合元素的互異性，當(dāng)時，，符合題意所以故答案為：14．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為__________.【答案】【分析】求出函數(shù)定義域，在討論的單調(diào)性，再由是增函數(shù)可得．【詳解】設(shè)，由，得或，所以函數(shù)的定義域?yàn)?又因?yàn)樵谄涠x域內(nèi)為增函數(shù)，且在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以函數(shù)在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù).所以其單調(diào)遞增區(qū)間為.故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，解題第一步應(yīng)先求函數(shù)定義域，然后結(jié)合復(fù)合函數(shù)單調(diào)性求得單調(diào)區(qū)間．15．點(diǎn)到直線距離的最大值______.【答案】【分析】先得到直線過點(diǎn)，求出點(diǎn)與之間距離，結(jié)合圖形，即可求出最大值.【詳解】因?yàn)橹本€顯然過點(diǎn)，即，，連接，若，則點(diǎn)到直線的距離為；若不垂直，則點(diǎn)到直線的距離必小于，綜上，點(diǎn)到直線距離的最大值.故答案為：.16．點(diǎn)A、B、C、D在同一個球的球面上，，若四面體體積的最大值為，則這個球的表面積為______.【答案】【分析】先由題意，得到的面積，以及外接圓的半徑，記的外接圓圓心為，為使四面體體積最大，只需與面垂直，由此求出，設(shè)球心為，半徑為，根據(jù)為直角三角形，由勾股定理列出等式，求出球的半徑，即可得出結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意知，是一個等邊三角形，其面積為，外接圓的半徑為，記的外接圓圓心為，則；由于底面積不變，高最大時體積最大，所以與面垂直時體積最大，最大值為，，設(shè)球心為，半徑為，則在直角中，，即，，則這個球的表面積為：.故答案為：.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：求解幾何體與球外接問題時，一般需要先確定底面外接圓的圓心位置，求出底面外接圓的半徑，根據(jù)球的性質(zhì)，結(jié)合題中條件確定球心位置，求出球的半徑，進(jìn)而即可求解.三、解答題17．已知全集，集合，或，（1）求；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】(1)根據(jù)題意，畫出數(shù)軸即可得到；(2)現(xiàn)根據(jù)題意，求出，再結(jié)合，即可求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】(1)根據(jù)題意得，.(2)根據(jù)題意得，或，因此，又因，所以，解得.18．已知點(diǎn)，直線.（1）求直線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)；（2）求過點(diǎn)，且與直線l垂直的直線方程.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）聯(lián)立兩直線方程，直接求解，即可得出交點(diǎn)坐標(biāo)；（2）先由垂直關(guān)系，設(shè)出所求直線方程，再由過點(diǎn)，即可求出結(jié)果.【詳解】(1)由，直線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)；(2)設(shè)與直線垂直的直線方程為，又因?yàn)檫^點(diǎn)，所以，則，故所求直線方程為.19．已知指數(shù)函數(shù)（，且）的圖象過點(diǎn).（1）求函數(shù)的解析式；（2）設(shè)函數(shù)，，求函數(shù)的值域.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)指數(shù)函數(shù)過點(diǎn)，求出，即可得出函數(shù)解析式；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，得到，判斷出單調(diào)性，即可得出值域.【詳解】（1）因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)（，且）的圖象過點(diǎn)，所以，解得，所以；（2）由（1）可知，由函數(shù)為減函數(shù)可知：函數(shù)為減函數(shù)，當(dāng)時，；又，∴，所以的值域?yàn)?0．已知二次函數(shù)滿足，且的圖象經(jīng)過點(diǎn).（1）求的解析式：（2）若對任意，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）先設(shè)，根據(jù)題中條件，列出等量關(guān)系，根據(jù)對應(yīng)系數(shù)相等，即可求出待定系數(shù)，得出解析式；（2）設(shè)，根據(jù)題中條件，結(jié)合一次函數(shù)的性質(zhì)，列出不等式求解，即可得出結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)，則，因?yàn)?，，得，，又因?yàn)榈膱D象經(jīng)過點(diǎn)，，則，故；（2）設(shè)，，因?yàn)楫?dāng)時，不等式恒成立，，即，解得.故的取值范圍是21．如圖，圓柱的軸截面是長方形，點(diǎn)E是底面圓周上異于A，B的一點(diǎn)，，F(xiàn)是垂足.（1）證明：；（2）若，，當(dāng)三棱錐體積最大時，求點(diǎn)C到平面的距離.【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）根據(jù)題中條件，由線面垂直的判定定理，證明平面；即可推出；（2）先由題意，得到是等腰直角三角形時，三棱錐體積最大，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由，根據(jù)等體積法，即可求出結(jié)果.【詳解】（1）平面，，是圓柱底面的直徑，點(diǎn)在圓周上，，又，平面，平面，平面，平面，，又，且，平面，平面，平面，平面，；（2），，當(dāng)最大時，即最大，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)相等時，等號成立；即是等腰直角三角形時，的面積最大；，，，，點(diǎn)到平面的距離，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，即，解得：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解空間中點(diǎn)到面的距離的常用方法：（1）等體積法：先設(shè)所求點(diǎn)到面的距離，根據(jù)幾何體中的垂直關(guān)系，由同一幾何體的不同的側(cè)面（或底面）當(dāng)作底，利用體積公式列出方程，即可求解；（2）空間向量法：先建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求出平面的一個法向量，以及平面的一條斜線所對應(yīng)的向量，則點(diǎn)到面的距離即為.22．2020年初，新冠肺炎疫情襲擊全國，對人民生命安全和生產(chǎn)生活造成嚴(yán)重影響.為降低疫情影響，某廠家擬盡快加大力度促進(jìn)生產(chǎn).已知該廠家生產(chǎn)某種產(chǎn)品的年固定成木為100萬元，每生產(chǎn)x千件，需另投入成本為（萬元），當(dāng)年產(chǎn)量不足80千件時，（萬元）.當(dāng)年產(chǎn)量不小于80千件時，（萬元），每件商品售價為0.05萬元.通過市場分析，該廠生產(chǎn)的商品能全部售完.（1）寫出年利潤（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量x（千件）的函數(shù)解析式；（2）當(dāng)年產(chǎn)量為多少千件時，該廠在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤最大?最大利潤是多少?【答案】（1）；（2）40千件，700萬元.【分析】（1）根據(jù)條件可知年利潤=收入-成本，分段求函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)（1）的解析式，分段求函數(shù)的最大值，比較兩段的最大值，最后再比較求