2024八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第十七章特殊三角形練素養(yǎng)3.運(yùn)用勾股定理解決最短路徑問題習(xí)題課件新版冀教版

冀教版八年級(jí)上第十七章特殊三角形集訓(xùn)課堂練素養(yǎng)3.運(yùn)用勾股定理解決最短路徑問題幾何體中最短路徑常見模型

類型1圓柱表面的最短路徑問題1.

如圖，有一個(gè)圓柱形油罐，其底面周長是12

m，高

AB

為

5

m，現(xiàn)在要以點(diǎn)

A

為起點(diǎn)環(huán)繞油罐表面建梯子，終點(diǎn)正

好建在點(diǎn)

A

正上方的點(diǎn)

B

處，則梯子最短需要(

D

)A.10

mB.11

mC.12

mD.13

m(第1題)D123452.

如圖，圓柱形玻璃杯高為14

cm，底面周長為32

cm，在杯

內(nèi)壁離杯底5

cm的點(diǎn)

B

處有一滴蜂蜜，此時(shí)一只螞蟻正好

在杯外壁，離杯上沿3

cm與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn)

A

處，則螞蟻從

外壁

A

處爬行到內(nèi)壁

B

處的最短距離為

cm.(杯壁厚

度不計(jì))20

(第2題)12345【點(diǎn)撥】如圖.將杯子側(cè)面的一半展開，作

A

關(guān)于

EC

的對(duì)稱點(diǎn)A'，

連接A'B，交

CE

于點(diǎn)

F

，則A'B的長即為最短距離，過點(diǎn)

A'作A'D⊥

BE

，交

BE

的延長線于

D

，所以A'B2＝A'D2＋

BD2＝(32÷2)2＋(14－5＋3)2＝400，所以A'B＝20

cm.故答案為20.12345類型2臺(tái)階中的最短路徑問題3.

如圖是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)臺(tái)階的長、寬、高分別

為20

dm，3

dm，2

dm，

A

和

B

是這個(gè)臺(tái)階兩個(gè)相對(duì)的端

點(diǎn)，點(diǎn)

A

處有一只螞蟻，想要爬行到點(diǎn)

B

處去吃可口的食

物，則螞蟻沿著臺(tái)階面爬行到點(diǎn)

B

的最短路程是多少？12345【解】如圖，三級(jí)臺(tái)階的平面展開圖為長方形，長為20

dm，寬為(2＋3)×3＝15(dm)，連接

AB

，則螞蟻沿著臺(tái)

階面爬行到點(diǎn)

B

的最短路程是

AB

的長.由勾股定理得

AB2＝202＋152＝252，∴

AB

＝25

dm.答：螞蟻沿著臺(tái)階面爬行到點(diǎn)

B

的最短路程是25

dm.12345類型3長方體表面的最短路徑問題4.

如圖，長方體盒子的長為15

cm，寬為10

cm，高為20

cm，點(diǎn)

B

距離

C

點(diǎn)5

cm.(1)一只螞蟻如果要沿著盒子的表面從點(diǎn)

A

到點(diǎn)

B

，那么螞蟻爬行的最短距離

是

cm.25

12345①只要把長方體的右側(cè)表面剪開與前面這個(gè)側(cè)面形成一個(gè)長方形，連接

AB

，如圖①.∵長方體的寬為10

cm，高為20

cm，點(diǎn)

B

離點(diǎn)

C

的距離是5

cm，∴

BD

＝

CD

＋

BC

＝10＋5＝15(cm)，

AD

＝20(cm).在直角三角形

ABD

中，根據(jù)勾股定理，得【點(diǎn)撥】

12345②只要把長方體的右側(cè)表面剪開與上面這個(gè)側(cè)面

形成一個(gè)長方形，連接

AB

，如圖②.∵長方體的寬為10

cm，高為20

cm，點(diǎn)

B

離點(diǎn)

C

的距離是5

cm，∴

BD

＝

CD

＋

BC

＝20＋5＝25(cm)，

AD

＝10

cm.在直角三角形

ABD

中，根據(jù)勾股定理，得

12345③只要把長方體的上表面剪開與后面這個(gè)側(cè)面形

成一個(gè)長方形，連接

AB

，如圖③.∵長方體的寬為10

cm，高為20

cm，點(diǎn)

B

離點(diǎn)

C

的距離是5

cm，12345∴

AC

＝

CD

＋

AD

＝20＋10＝30(cm).在直角三角形

ABC

中，根據(jù)勾股定理，得

∴螞蟻爬行的最短距離是25

cm.故答案為25.12345(2)若從

C

處向盒子里面插入一根吸管，要使吸管不落入

盒子中，吸管應(yīng)不少于

cm.【點(diǎn)撥】

當(dāng)吸管、長方體的高及底面對(duì)角線的長正好構(gòu)成

直角三角形時(shí)，插入盒子內(nèi)的吸管長度最長，

123455.

如圖，有一個(gè)長方體紙盒，小明所在的數(shù)學(xué)合作小組研究

長方體的底面頂點(diǎn)

A

到長方體與

A

相對(duì)的頂點(diǎn)

B

的表面最

短距離.若該長方體的長為12

cm，寬為9

cm，高為5

cm，

請(qǐng)你幫助該小組求出

A

點(diǎn)到

B

點(diǎn)的表面最短距離.(結(jié)果精

確到1

cm.參考數(shù)據(jù)：21.592≈466，18.442≈340，

19.242≈370)12345【解】將長方形

ACDF

與長方形

FDBG

在同一平面上展

開，如圖①所示，連接

AB

.

在Rt△

ACB

中，根據(jù)勾股定

理，得

AB2＝

AC2＋

BC2＝122＋(5＋9)2＝340.將長方形

ACDF

與長方形

DCEB

在同一平面上展開，如圖

②所示，連接

AB

.

在Rt△

AEB

中，根據(jù)勾股定理，得

AB2＝

BE2＋

AE2＝52＋(12＋9)2＝466.12345將長方形

AHGF

與長方形

FDBG

在同一平面上展開，如

圖③所示，連接

AB

.

在Rt△

ADB

中，根據(jù)勾股定理，得

AB2＝

AD2＋

BD2＝(5＋12)2＋92＝370.因?yàn)?40＜370＜466，所以

A

點(diǎn)到

B

點(diǎn)的表面距離最短是

如圖①所示的情況，此時(shí)

AB

≈18

cm.故

A

點(diǎn)到

B

點(diǎn)的表

面最短距離約為18

cm.12345【點(diǎn)方法】求空間幾何體表面的最短距離問題，通?？蓪缀?/p>