安徽省泗縣鞏溝中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末檢測模擬試題含解析

安徽省泗縣鞏溝中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末檢測模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)（0,4）關(guān)于直線x－y+1＝0的對稱點(diǎn)為（）A.(－1,2) B.(2,－1)C.(1,3) D.(3,1)2．已知A，B，C是橢圓M：上三點(diǎn)，且A（A在第一象限，B關(guān)于原點(diǎn)對稱，，過A作x軸的垂線交橢圓M于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，若直線AC與BC的斜率之積為，則（）A.橢圓M的離心率為 B.橢圓M的離心率為C. D.3．命題“對任何實數(shù)，都有”的否定形式是（）A.，使得B.，使得C.，使得D.，使得4．直線的傾斜角，則其斜率的取值范圍為（）A. B.C. D.5．如圖，在直三棱柱中，AB＝BC，，若棱上存在唯一的一點(diǎn)P滿足，則（）A. B.1C. D.26．某學(xué)校隨機(jī)抽取了部分學(xué)生，對他們每周使用手機(jī)的時間進(jìn)行統(tǒng)計，得到如下的頻率分布直方圖.則下列說法：①；②若抽取100人，則平均用時13.75小時；③若從每周使用時間在，，三組內(nèi)的學(xué)生中用分層抽樣的方法選取8人進(jìn)行訪談，則應(yīng)從使用時間在內(nèi)的學(xué)生中選取的人數(shù)為3.其中正確的序號是（）A.①② B.①③C.②③ D.①②③7．已知數(shù)列是等差數(shù)列，下面的數(shù)列中必為等差數(shù)列的個數(shù)為（）①②③A.0 B.1C.2 D.38．在平面上有一系列點(diǎn)，對每個正整數(shù)，點(diǎn)位于函數(shù)的圖象上，以點(diǎn)為圓心的與軸都相切，且與彼此外切．若，且,,的前項之和為，則（）A. B.C. D.9．設(shè)等差數(shù)列的前n項和為，且，則（）A.64 B.72C.80 D.14410．定義在區(qū)間上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論不正確的是（）A.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增 B.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減C.函數(shù)在處取得極大值 D.函數(shù)在處取得極小值11．若實數(shù)滿足約束條件，則最小值為（）A.-2 B.-1C.1 D.212．△ABC的兩個頂點(diǎn)坐標(biāo)A（-4，0），B（4，0），它的周長是18，則頂點(diǎn)C的軌跡方程是（）A. B.（y≠0）C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，設(shè)正方形ABCD與正方形ABEF的邊長都為1，若平面ABCD，則異面直線AC與BF所成角的大小為______14．若與直線垂直，那么__________15．若橢圓的焦點(diǎn)在軸上，且長軸長是短軸長的2倍，則______.16．圓錐曲線的焦點(diǎn)在軸上，離心率為，則實數(shù)的值是__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，其中P為E的準(zhǔn)線上一點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，且（1）求拋物線E的方程；（2）過的直線與E交于C，D兩點(diǎn)，在x軸上是否存在定點(diǎn)，使得x軸平分？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由18．（12分）設(shè)數(shù)列的前項和為，且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）記，數(shù)列的前項和為，求不等式的解集.19．（12分）數(shù)列滿足，，.（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和.20．（12分）已知函數(shù)在處有極值.（1）求的值；（2）求函數(shù)在上的最大值與最小值.21．（12分）已知數(shù)列滿足各項均不為0，，且，.（1）證明：為等差數(shù)列，并求的通項公式；（2）令，，求.22．（10分）如圖，在正四棱柱中，是上的點(diǎn)，滿足為等邊三角形.（1）求證：平面；（2）求點(diǎn)到平面的距離.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】設(shè)出點(diǎn)(0,4)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)題意列出方程組，解方程組即可【詳解】解：設(shè)點(diǎn)(0,4)關(guān)于直線x－y+1＝0的對稱點(diǎn)是(a,b),則，解得：，故選：D2、C【解析】設(shè)出點(diǎn)，,的坐標(biāo)，將點(diǎn)，分別代入橢圓方程兩式作差，構(gòu)造直線和的斜率之積，得到，即可求橢圓的離心率，利用，求出，可知點(diǎn)在軸上，且為的中點(diǎn),則.【詳解】設(shè)，，，則，，，兩式相減并化簡得，即，則,則AB錯誤；∵，，∴，又∵，∴，即，解得，則點(diǎn)在軸上，且為的中點(diǎn)即，則正確.故選：C.3、B【解析】可將原命題變成全稱命題形式，而全稱命題的否定為特稱命題，即可選出答案.【詳解】命題“對任何實數(shù)，都有”，可寫成：，使得，此命題為全稱命題，故其否定形式為：，使得.故選：B.4、B【解析】根據(jù)傾斜角和斜率的關(guān)系，確定正確選項.【詳解】直線的傾斜角為，則斜率為，在上為增函數(shù).由于直線的傾斜角，所以其斜率的取值范圍為，即.故選：B【點(diǎn)睛】本小題主要考查傾斜角和斜率的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.5、D【解析】設(shè)，構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，令且，求出，，再由向量垂直的坐標(biāo)表示列方程，結(jié)合點(diǎn)P的唯一性有求參數(shù)a，即可得結(jié)果.【詳解】由題設(shè)，構(gòu)建如下圖空間直角坐標(biāo)系，若，則，，且，所以，，又存在唯一的一點(diǎn)P滿足，所以，則，故，可得，此時，所以.故選：D6、B【解析】根據(jù)頻率分布直方圖中小矩形的面積和為1可求出，再求出頻率分布直方圖的平均值，即為抽取100人的平均值的估計值，再利用分層抽樣可確定出使用時間在內(nèi)的學(xué)生中選取的人數(shù)為3.【詳解】，故①正確；根據(jù)頻率分布直方圖可估計出平均值為，所以估計抽取100人的平均用時13.75小時，②的說法太絕對，故②錯誤；每周使用時間在，，三組內(nèi)的學(xué)生的比例為，用分層抽樣的方法選取8人進(jìn)行訪談，則應(yīng)從使用時間在內(nèi)的學(xué)生中選取的人數(shù)為，故③正確.故選：B.7、C【解析】根據(jù)等差數(shù)列的定義判斷【詳解】設(shè)的公差為，則，是等差數(shù)列，，是常數(shù)列，也是等差數(shù)列，若，則不是等差數(shù)列，故選：C8、C【解析】根據(jù)兩圓的幾何關(guān)系及其圓心在函數(shù)的圖象上，即可得到遞推關(guān)系式，通過構(gòu)造等差數(shù)列求得的通項公式，得出，最后利用裂項相消，求出數(shù)列前項和，即可求出.詳解】由與彼此外切，則，，，又∵，∴，故為等差數(shù)列且，，則，，則，即，故答案選：.9、B【解析】利用等差數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)，求得，再用等差數(shù)列前項和公式即可求解.【詳解】根據(jù)等差數(shù)列的下標(biāo)和性質(zhì)，，解得，.故選：B.10、C【解析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的值的正負(fù)的關(guān)系，可判斷A,B的結(jié)論;根據(jù)函數(shù)的極值點(diǎn)和函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可判斷、的結(jié)論【詳解】函數(shù)在上，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，故正確；根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)圖象，函數(shù)在時，，故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，故正確；由A的分析可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，故不是函數(shù)的極值點(diǎn)，故錯誤；根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故函數(shù)處取得極小值，故正確，故選：11、B【解析】由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，把最優(yōu)解的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)得答案【詳解】由約束條件作出可行域如圖，聯(lián)立，解得，由，得，由圖可知，當(dāng)直線過時，直線在軸上的截距最小，有最小值為故選：B12、D【解析】根據(jù)三角形的周長得出，再由橢圓的定義得頂點(diǎn)C的軌跡為以A，B為焦點(diǎn)的橢圓，去掉A，B，C共線的情況，可求得頂點(diǎn)C的軌跡方程.【詳解】因為，所以，所以頂點(diǎn)C的軌跡為以A，B為焦點(diǎn)的橢圓，去掉A，B，C共線的情況，即，所以頂點(diǎn)C的軌跡方程是，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的定義，由定義求得動點(diǎn)的軌跡方程，求解時，注意去掉不滿足的點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、##【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求出異面直線所成角；【詳解】解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則、、、，所以，，設(shè)直線與所成角為，則，因為，所以；故答案為：14、【解析】由兩條直線垂直知，得15、4【解析】根據(jù)橢圓焦點(diǎn)在軸上方程的特征進(jìn)行求解即可.【詳解】因為橢圓的焦點(diǎn)在軸上，所以有，因為長軸長是短軸長的2倍，所以有，故答案為：416、【解析】根據(jù)圓錐曲線焦點(diǎn)在軸上且離心率小于1，確定a,b求解即可.【詳解】因為圓錐曲線的焦點(diǎn)在軸上，離心率為，所以曲線為橢圓，且，所以，解得，故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）存在；【解析】（1）設(shè)，利用向量坐標(biāo)運(yùn)算求出p即可；（2）設(shè)直線MC，MD的斜率分別為，，利用坐標(biāo)計算恒成立，即可求解.【小問1詳解】拋物線的焦點(diǎn)為，設(shè)，則，因為，所以，得所以拋物線E的方程為【小問2詳解】假設(shè)在x軸上存在定點(diǎn)，使得x軸平分設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)，，聯(lián)立，可得∵恒成立，∴，設(shè)直線MC，MD的斜率分別為，，則由定點(diǎn)，使得x軸平分，則，所以把根與系數(shù)的關(guān)系代入可得，得故存在滿足題意．綜上所述，在x軸上存在定點(diǎn)，使得x軸平分18、（1）（2）【解析】（1）利用與的關(guān)系求解即可；（2）首先利用裂項求和得到，從而得到，再解不等式即可.【小問1詳解】令，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，也符合上式，即數(shù)列的通項公式為.【小問2詳解】由（1）得，則，所以故可化為：，故，故不等式的解集為.19、(1)證明見解析；(2)【解析】（1）將的兩邊同除以，得到，由等差數(shù)列的定義，即可作出證明；（2）有（1）求出，利用錯位相減法即可求解數(shù)列的前項和.試題解析：(1)證明：由已知可得＝＋1，即－＝1.所以是以＝1為首項，1為公差的等差數(shù)列(2)由(1)得＝1＋(n－1)·1＝n，所以an＝n2.從而bn＝n·3n.Sn＝1·31＋2·32＋3·33＋…＋n·3n，①3Sn＝1·32＋2·33＋…＋(n－1)·3n＋n·3n＋1.②①－②得－2Sn＝31＋32＋…＋3n－n·3n＋1＝－n·3n＋1＝.所以Sn＝.點(diǎn)睛：本題主要考查了等差數(shù)列的定義、等差數(shù)列的判定與證明和數(shù)列的求和，著重考查了學(xué)生分析問題和解答問題的能力，本的解答中利用等差數(shù)列的定義得到數(shù)列為等差數(shù)列，求解的表達(dá)式，從而化簡得到，利用乘公比錯位相減法求和中，準(zhǔn)確計算是解答的一個難點(diǎn).20、（1），；（2）最大值為，最小值為【解析】（1）對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)在處取極值得出，再由極值為，得出，構(gòu)造一個關(guān)于的二元一次方程組，便可解出的值；（2）由（1）可知，求出，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在上的單調(diào)性，比較極值和端點(diǎn)值的大小，即可得出在上的最大值與最小值.【詳解】解：（1）由題可知，，的定義域為，，由于在處有極值，則，即，解得：，，（2）由（1）可知，其定義域是，，令，而，解得，由，得；由，得，則在區(qū)間上，，，的變化情況表如下：120單調(diào)遞減單調(diào)遞增可得，，，由于，則，所以，函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為.【點(diǎn)睛】本題考查已知極值求參數(shù)值和函數(shù)在閉區(qū)間內(nèi)的最值問題，考查利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)在給定閉區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性，以及通過比較極值和端點(diǎn)值確定函數(shù)在閉區(qū)間內(nèi)的最值，考查運(yùn)算能力.21、（1）證明見解析，，（2）【解析】（1）根據(jù)題意，結(jié)合遞推公式，易知，即可求證；（2）根據(jù)題意，結(jié)合錯位相減法，即可求解.【小問1詳解】∵，∴，，∴等差