湖南省沅江三中2025屆數學高二上期末調研模擬試題含解析

湖南省沅江三中2025屆數學高二上期末調研模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知a，b為正數，，則下列不等式一定成立的是（）A. B.C. D.2．已知p：，那么p的一個充分不必要條件是（）A. B.C. D.3．已知向量，，則下列向量中，使能構成空間的一個基底的向量是（）A. B.C. D.4．在的展開式中，的系數為（）A. B.5C. D.105．已知點、是雙曲線C：的左、右焦點，P是C左支上一點，若直線的斜率為2，且為直角三角形，則雙曲線C的離心率為()A.2 B.C. D.6．由于受疫情的影響，學校停課，同學們通過三種方式在家自主學習，現學校想了解同學們對假期學習方式的滿意程度，收集如圖1所示的數據；教務處通過分層抽樣的方法抽取4%的同學進行滿意度調查，得到的數據如圖2.下列說法錯誤的是（）A.樣本容量為240B.若，則本次自主學習學生的滿意度不低于四成C.總體中對方式二滿意學生約為300人D.樣本中對方式一滿意的學生為24人7．某地為響應總書記關于生態(tài)文明建設的號召，大力開展“青山綠水”工程，造福于民，擬對該地某湖泊進行治理，在治理前，需測量該湖泊的相關數據.如圖所示，測得角∠A＝23°，∠C＝120°，米，則A，B間的直線距離約為（參考數據）（）A.60米 B.120米C.150米 D.300米8．古希臘數學家阿基米德利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積，已知橢圓的面積為，、分別是的兩個焦點，過的直線交于、兩點，若的周長為，則的離心率為（）A. B.C. D.9．直線分別與軸，軸交于，兩點，點在圓上，則面積的取值范圍是A. B.C. D.10．已知拋物線的方程為，則此拋物線的準線方程為（）A. B.C. D.11．雙曲線的焦距是（）A.4 B.C.8 D.12．下邊程序框圖的算法思路源于我國古代數學名著《九章算術》中的“更相減損術”.執(zhí)行該程序框圖，如果輸入a=102，b=238，則輸出的a的值為（）A.17 B.34C.36 D.68二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，已知橢圓C1和雙曲線C2交于P1、P2、P3、P4四個點，F1和F2分別是C1的左右焦點，也是C2的左右焦點，并且六邊形是正六邊形.若橢圓C1的方程為，則雙曲線方程為______.14．直線與直線的夾角大小等于_______15．已知拋物線的焦點為F，過F的直線l交拋物線C于AB兩點，且，則p的值為______16．數據：1，1，3，4，6的方差是______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓C：（）過點，且離心率為（1）求橢圓C的方程；（2）過點（）的直線l（不與x軸重合）與橢圓C交于A，B兩點，點C與點B關于x軸對稱，直線AC與x軸交于點Q，試問是否為定值？若是，請求出該定值，若不是，請說明理由18．（12分）記為數列的前項和，且（1）求的通項公式；（2）設，求數列的前項和19．（12分）已知函數（1）當時，求曲線在點（0，f（0））處的切線方程；（2）若存在，使得不等式成立，求m的取值范圍20．（12分）已知數列中，，___________，其中.（1）求數列的通項公式；（2）設，求證：數列是等比數列；（3）求數列的前n項和.從①前n項和，②，③且，這三個條件中任選一個，補充在上面的問題中并作答.21．（12分）在直角坐標系中，曲線C的參數方程為，（為參數），以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系.（1）寫出曲線C的極坐標方程；（2）已知直線與曲線C相交于A，B兩點，求.22．（10分）已知橢圓的長軸長與短軸長之比為2,、分別為其左、右焦點．請從下列兩個條件中選擇一個作為已知條件,完成下面的問題:①過點且斜率為1的直線與橢圓E相切;②過且垂直于x軸的直線與橢圓在第一象限交于點P,且的面積為．(只能從①②中選擇一個作為已知)（1）求橢圓E的方程;（2）過點的直線l與橢圓E交于A,B兩點,與直線交于H點,若,．證明:為定值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】構造新函數，以函數單調性把不等式轉化為整式不等式即可解決.【詳解】不等式可化為：令，則則函數為單調增函數.由可得故選：A2、C【解析】按照充分不必要條件依次判斷4個選項即可.【詳解】A選項：，錯誤；B選項：，錯誤；C選項：，，正確；D選項：，錯誤.故選：C.3、D【解析】根據向量共面基本定理只需無解即可滿足構成空間向量基底，據此檢驗各選項即可得解.【詳解】因為，所以A中的向量不能與，構成基底；因為，所以B中的向量不能與，構成基底；對于，設，則，解得，，所以，故，，為共面向量，所以C中的向量不能與，構成基底；對于，設，則，此方程組無解，所以，，不共面，故D中的向量與，可以構成基底.故選：D4、C【解析】首先寫出展開式的通項公式，然后結合通項公式確定的系數即可.【詳解】展開式的通項公式為：，令可得：，則的系數為：.故選：C.【點睛】二項式定理的核心是通項公式，求解此類問題可以分兩步完成：第一步根據所給出的條件(特定項)和通項公式，建立方程來確定指數(求解時要注意二項式系數中n和r的隱含條件，即n，r均為非負整數，且n≥r，如常數項指數為零、有理項指數為整數等)；第二步是根據所求的指數，再求所求解的項5、B【解析】根據雙曲線的定義和勾股定理利用即可得離心率.【詳解】∵直線的斜率為2，為直角三角形，∴，又，∴，.∵，即，∴故選：B.6、B【解析】利用扇形統計圖和條形統計圖可求出結果【詳解】選項A，樣本容量為，該選項正確；選項B，根據題意得自主學習的滿意率，錯誤；選項C，樣本可以估計總體，但會有一定的誤差，總體中對方式二滿意人數約為，該選項正確；選項D，樣本中對方式一滿意人數為，該選項正確.故選：B【點睛】本題主要考查了命題真假的判斷，考查扇形統計圖和條形統計圖等基礎知識，考查運算求解能力，屬于中檔題7、C【解析】應用正弦定理有，結合已知條件即可求A，B間的直線距離.【詳解】由題設，，在△中，，即，所以米.故選：C8、A【解析】本題首先可根據題意得出，然后根據的周長為得出，最后根據求出的值，即可求出的離心率.【詳解】因為橢圓的面積為，所以長半軸長與短半軸長的乘積，因為的周長為，所以根據橢圓的定義易知，，，，則的離心率，故選：A.9、A【解析】分析：先求出A，B兩點坐標得到再計算圓心到直線距離，得到點P到直線距離范圍，由面積公式計算即可詳解：直線分別與軸，軸交于，兩點,則點P在圓上圓心為（2，0），則圓心到直線距離故點P到直線的距離的范圍為則故答案選A.點睛：本題主要考查直線與圓，考查了點到直線的距離公式，三角形的面積公式，屬于中檔題10、A【解析】由拋物線的方程直接寫出其準線方程即可.【詳解】由拋物線的方程為，則其準線方程為：故選：A11、C【解析】根據，先求半焦距，再求焦距即可.【詳解】解：由題意可得，，∴，故選：C【點睛】考查求雙曲線的焦距，基礎題.12、B【解析】根據程序框圖所示代入運行即可.【詳解】初始輸入：；第一次運算：；第二次運算：；第三次運算：；第四次運算：；結束，輸出34.故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】先根據橢圓的方程求得焦點坐標，然后根據為正六邊形求得點的坐標，即點在雙曲線上，然后解出方程即可【詳解】設雙曲線的方程為：根據橢圓的方程可得：又為正六邊形，則點的坐標為：則點在雙曲線上，可得：又解得：故答案為：14、##【解析】根據直線的傾斜角可得答案.【詳解】直線是與軸平行的直線，直線的斜率為1，即與軸的夾角為角，故直線與直線的夾角大小等于.故答案為：.15、3【解析】根據拋物線焦點弦性質求解，或聯立l與拋物線方程，表示出，求其最值即可.【詳解】已知，設，，，則，∵，所以，，∴，當且僅當m=0時，取..故答案為：3.16、##3.6【解析】先計算平均數，再計算方差.【詳解】該組數據的平均數為，方差為故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）為定值【解析】（1）由題意可得解方程組求出，從而可得橢圓方程，（2）設直線AB：，，代入橢圓方程，消去，利用根與系數關系，再表示出直線AC的方程，從而可求出點Q的坐標，從而可表示出，然后化簡可得結論【小問1詳解】由題意得解得故橢圓C的方程為；【小問2詳解】設直線AB：，，聯立消去y得，設，，得，，因為點C與點B關于x軸對稱，所以，所以直線AC的斜率為，直線AC的方程，令，解得可得，所以，因為，所以，所以為定值【點睛】關鍵點點睛：此題考查橢圓方程的求法，考查直線與橢圓的位置關系，解題的關鍵是將直線AB的方程代入橢圓方程中化簡，利用根與系數關系，結合已知條件表示出直線AC的方程，從而可求出點Q的坐標，考查計算能力，屬于中檔題18、（1）（2）【解析】（1）利用，再結合等比數列的概念，即可求出結果；（2）由（1）可知數列是以為首項，公差為的等差數列，根據等差數列的前項和公式，即可求出結果.【小問1詳解】解：當時，，解得；當且時，所以所以是以為首項，為公比的等比數列所以；【小問2詳解】解：由（1）可知，所以，又,所以數列是以為首項，公差為的等差數列，所以數列的前項和.19、（1）（2）【解析】（1）利用導數求出切線斜率，即可求出切線方程；（2）把題意轉化為：存在，使得不等式成立，構造新函數，對m進行分類討論，利用導數求，解不等式，即可求出m的范圍.【小問1詳解】當時，,定義域為R，.所以，.所以曲線在點（0，f（0））處的切線方程為：，即.【小問2詳解】不等式可化為：，即存在，使得不等式成立.構造函數，則.①當時，恒成立，故在上單調遞增，故，解得：，故；②當時，令，解得：令，解得：故在上單調遞減，在上單調遞增，又，故，解得：，這與相矛盾，舍去；③當時，恒成立，故在上單調遞減，故，不符合題意，應舍去.綜上所述：m的取值范圍為：.20、（1）（2）見解析（3）【解析】（1）選①，根據與的關系即可得出答案；選②，根據與的關系結合等差數列的定義即可得出答案；選③，利用等差中項法可得數列是等差數列，再求出公差，即可得解；（2）求出數列的通項公式，再根據等比數列的定義即可得證；（3）求出數列的通項公式，再利用錯位相減法即可得出答案.【小問1詳解】解：選①，當時，，當時，也成立，所以；選②，因為，所以，所以數列是以為公差的等差數列，所以；選③且，因為，所以數列是等差數列，公差，所以；【小問2詳解】解：由（1）得，則，所以數列是以為首項，為公比的等比數列；【小問3詳解】解：，，①，②由①②得，所以.21、（1）；（2）.【解析】（1）首先將圓的參數方程華為普通方程，再轉化為極坐標方程即可.（2）首先聯立得到，再求的長度即可.【詳解】（1）將曲線C的參數方程，（為參數）化為普通方程，得，極坐標方程為.（2）聯立方程組，消去得，設點A，B對應的極徑分別為，，則，，所以.22、（1）（2）證明見解析【解析】(1)選①:直線與橢圓聯立,利用判別式為0求解;選②:利用通徑公