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文檔簡介
27.1.1圓的認識
教學(xué)目標1.使學(xué)生理解圓、等圓、等弧、圓心角等概念,
2.讓學(xué)生深刻認識圓中的基本概念。
教學(xué)重點圓中的基本概念的認識。
教學(xué)難點對等弧概念的理解。
教學(xué)過程
(一)情境導(dǎo)入:圓是如何形成的?
請同學(xué)們畫一個圓,并從畫圓的過程中闡述圓是如何形成的。如
右圖,線段OA繞著它固定的一個端點O旋轉(zhuǎn)一周,另一個端點A
隨之旋轉(zhuǎn)所形成的圖形。
同學(xué)們想一想,如何在操場上畫出一個很大的圓?說說你的方法。
由以上的畫圓與解答問題的過程中,讓同學(xué)們思考圓的位置是由什么
決定的?
而大小又是由誰決定的?(圓的位置由圓心決定,圓的大小由半徑長
度決定)
(二)問題:
據(jù)統(tǒng)計,某個學(xué)校的同學(xué)上學(xué)方式是,有50%的同學(xué)步行上學(xué),有20%
的同學(xué)坐公共汽車上學(xué),其他方式上學(xué)的同學(xué)有30%,請你用扇形統(tǒng)
計圖反映這個學(xué)校學(xué)生的上學(xué)方式。
我們是用圓規(guī)畫出一個圓,再將圓劃分成一個個扇形,右上圖28.1.1
就是反映學(xué)校學(xué)生上學(xué)方式的扇子形統(tǒng)計圖。
如圖28.1.2,線段OA、OB、0c都是圓的半徑,線段AB為直徑,.
這個以點。為圓心的圓叫作“圓O”,記為“。。”。
線段AB、BC、AC都是圓O中的弦,曲線BC、BAC都是圓中的
弧,分別記為、,其中像弧這樣小于半圓周的圓弧叫做劣弧,
像弧.這樣的大于半圓周的圓弧叫做優(yōu)弧。
NAOB、ZAOC>NBOC就是圓心角。
結(jié)合上面的扇形統(tǒng)計圖,進一步闡述圓心角、優(yōu)弧、劣弧等圓中的基
本兀素。
三、課堂練習
1、直徑是弦嗎?弦是直徑嗎?
2、半圓是弧嗎?弧是半圓嗎?
3、半徑相等的兩個圓是等圓,而兩段弧相等需要什么條件呢?
4、比較右圖中的三條弧,先估計它們所在圓的半徑的大小關(guān)系,
再用圓規(guī)驗證你的結(jié)論是否正確。
5、說出上右圖中的圓心角、優(yōu)弧、劣弧。
6、直徑是圓中最長的弦嗎?為什么?
(四)課后小結(jié)
小結(jié)本節(jié)課我們認識了圓中的一些元素,同學(xué)應(yīng)能從具體的圖形中對
這些元素加以識別。
課后作業(yè):
教學(xué)反思:
27.1.2圓的對稱性
教學(xué)目標:1.使學(xué)生知道圓是中心對稱圖形與軸對稱圖形,并能運用
其特有的性質(zhì)推出在同一個圓中,圓心角、弧、弦之間的關(guān)系,
2.能運用這些關(guān)系解決問題,培養(yǎng)學(xué)生善于從實驗中獲取知識的
科學(xué)的方法。
教學(xué)重點:由實驗得到同一個圓中,圓心角、弧、弦三者之間的關(guān)系。
教學(xué)難點:運用同一個圓中,圓心角、弧、弦三者之間的關(guān)系解決問
題。
教學(xué)過程:
(一)情境導(dǎo)入
要同學(xué)們畫兩個等圓,并把其中一個圓剪下,讓兩個圓的圓心重合,
使得其中一個圓繞著圓心旋轉(zhuǎn),可以發(fā)現(xiàn),兩個圓都是互相重合的。
如果沿著任意一條直徑所在的直線折疊,圓在這條直線兩旁的部分會
完全重合。
由以上實驗,同學(xué)們發(fā)現(xiàn)圓是中心對稱圖形嗎?對稱中心是哪一
點?圓不僅是中心對稱圓形,而且還是軸對稱圖形,過圓心的每一條
直線都是圓的對稱軸。
(二)實踐與探索1
(1)、同一個圓中,相等的圓心角所對的弧相等、所對的弦相等。
實驗1、將圖形28.1.3中的扇形AOB繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)某個角度,
得到圖28.L4中的圖形,同學(xué)們可以通過比較前后兩個圖形,發(fā)現(xiàn)
ZAOB=ZAOB,AB=AB,AB=ABo
實質(zhì)上,ZAOB確定了扇形AOB的大小,所以,在同一個圓中,
如果圓心角相等,則它所對的弧相等,所對的弦相等。
問題:在同一個圓中,如果弧相等,則所對的圓心角,所對的弦是否
相等呢?
在同一個圓中,如果弦相等,則所對的圓心角,所對的弧是否相等呢?
(三)應(yīng)用與拓展思考:如圖,在一個半徑為6米的圓形花壇里,
準備種植六種不同顏色的花卉,要求每種花卉的種植面積相等,請你
幫助設(shè)計種植方案。
(2)如圖28.1.5,在。O中,AC=BC,Zl=45°,
求N2的度數(shù)。
(3)如圖,在。。中,=,NB=70°.求NC度數(shù).
O(4)如圖,48是直徑,==,ZB(9C=40°,求
/石的度數(shù)
(四)課后小結(jié)
本節(jié)課我們通過實驗得到了圓不僅是中心對稱圖形,而且還是軸對
稱圖形,而由圓的對稱性又得出許多圓的許多性質(zhì),即(1)同一個
圓中,相等的圓心角所對弧相等,所對的弦相等。(2)在同一個圓
中,如果弧相等,則所對的圓心角,所對的弦相等。(3)在同一個
圓中,如果弦相等,則所對的圓心角,所對的弧相等。
課后作業(yè):
教學(xué)反思:
27.1.2圓的對稱性⑵
教學(xué)目標1.知道圓是軸對稱圖形,并會用它推導(dǎo)出垂徑定理。
2.能運用垂徑定理解決問題,培養(yǎng)學(xué)生善于從實驗中獲取知
識的科學(xué)的方法。
教學(xué)重點:知道圓是軸對稱圖形,并會用它推導(dǎo)出垂徑定理
教學(xué)難點:能運用垂徑定理解決問題
教學(xué)過程
(一)實驗情境導(dǎo)入
我們知道圓是軸對稱圖形,它的任意一條直徑所在的直線都是它的對
稱軸,由此我們可以如圖28.1.6那樣十分簡捷地將一個圓2等分、
4等分、8等分.
試一試
如圖如果在圖形紙片上任意畫一條垂直于直徑CD的弦垂
足為尸,再將紙片沿著直徑對折,比較力尸與尸B、與,你能發(fā)
現(xiàn)什么結(jié)論?
你的結(jié)論是:____________________________________________
這就是我們這節(jié)課要研究的問題。
(二)應(yīng)用與拓展
例1、如圖,是。。的直徑,弦COIN后于M
1、=1cm,=4cm,貝i」=cm,=cm,0O
的周長為cm.
2、若CD=8,AB=10,則OM=
3、若BM=1,CD=8,貝iJOC=
例2、如圖已知以點O為公共圓心的兩個同心圓,大/<Z?\
圓的弦AB交小圓于點C、D(1)試說明線段AC與人士g4
BD的大小關(guān)系。圖4-4-6
(2)若AB=8,CD=4,求圓環(huán)的面積。
例3、在直徑為10的圓柱形油桶內(nèi)裝入一些油后,截面如圖示,如
果油面寬AB=8,則油的最大深度是
(三)課后小結(jié)
課后作業(yè):
教學(xué)反思:
27.1.3圓周角
教學(xué)目標:
1.知道什么樣的角是圓周角
2.了解圓周角與圓心角的關(guān)系,直徑所對的圓周角的特征
3.能應(yīng)用圓心角與圓周角的關(guān)系、直徑所對的圓周角的特征解
決相關(guān)問題
4.通過對圓心角與圓周角關(guān)系的探索,培養(yǎng)學(xué)生運用已有知識,
進行實驗、猜想、論證,從而得到新知。進一步體會分類討論的思
想。
教學(xué)重點:1、了解圓周角與圓心角的關(guān)系,直徑所對的圓周角的特
征
2、能應(yīng)用圓心角與圓周角的關(guān)系、直徑所對的圓周角的特
征解決相關(guān)問題
教學(xué)難點:對圓心角與圓周角關(guān)系的探索,分類思想的應(yīng)用。
教學(xué)過程:
(一)情境導(dǎo)入
如下圖,同學(xué)們能找到圓心角嗎?它具有什么樣的特征?(頂點
在圓心,兩邊與圓相交的角叫做圓心角),今天我們要學(xué)習圓中的另
一種特殊的角,它的名稱叫做圓周角。
如下圖,同學(xué)們能找到圓心角嗎?它具有什么樣的特征?(頂點在圓
心,兩邊與圓相交的角叫做圓心角),今天我們要學(xué)習圓中的另一種
特殊的角,它的名稱叫做圓周角。
(二)實踐與探索1:圓周角
究竟什么樣的角是圓周角呢?像圖(3)中的解就叫做圓周角,而
圖(2)、(4)、(5)中的角都不是圓周角。同學(xué)們可以通過討論歸
納如何判斷一個角是不是圓周角。(頂點在圓上,兩邊與圓相交的角
叫做圓周角)練習:試找出圖中所有相等的圓周角。
(三)實踐與探索2:
圓周角的度數(shù)
(一)探究半圓或直徑所對的圓周角等于多少度?而90。的圓周角所
對的弦是否是直徑
如圖28.L9,線段AB是。。的直徑,點C是。。上任意一點(除
點A、B),那么,NZCg就是直徑力石所對的圓周角.想想看,
NZC石會是怎么樣的角?為什么呢?
啟發(fā)學(xué)生用量角器量出ZAGB的度數(shù),而后讓同學(xué)們再畫幾個直徑AB
所對的圓周角,并測量出它們的度數(shù),通過測量,同學(xué)們感性認識
到直徑所對的圓周角等于90。(或直角),進而給出嚴謹?shù)恼f明。
證明:因為OA=OB=OC,所以△力都是等腰三角形,
所以ZOBC=ZOCB.又ZZOBC
+/ZCB=180°,所以ZACB=ZOCA+ZOCB==
90°.因此,不管點。在。。上何處(除點Z、B),NZCB總等于
90°,即
半圓或直徑所對的圓周角都相等,都等于90°(直角)。反過來也是
成立的,即90°的圓周角所對的弦是圓的直徑
(二)探究同一條弧所對的圓周角與圓心角的關(guān)系
1、分別量一量圖28.1.10中弧AB所對的兩個圓周角的度數(shù)比較
一下.再變動點。在圓周上的位置,看看圓周角的度數(shù)有沒有變化.
你發(fā)現(xiàn)其中有什么規(guī)律嗎?
(2)分別量出圖28.L10中弧48所對的圓周角
C
與圓心角的度數(shù),比較一下,你發(fā)現(xiàn)什么?
我們可以發(fā)現(xiàn),圓周角的度數(shù)沒有變化.并且圓周
圖28」」。角的度數(shù)恰好為同弧所對的圓心角的度數(shù)的一半。
由上述操作可以猜想:在一個圓中,一條弧所對的任意一個圓周
角的大小都等于該弧所對的圓心角的一半。
為了驗證這個猜想,如圖28.1.11所示,可將圓對折,使折痕經(jīng)
過圓心。與圓周角的頂點G這時可能出現(xiàn)三種情況:(1)折痕是
圓周角的一條邊,(2)折痕在圓周角的內(nèi)部,(3)折痕在圓周角
的外部。
(三)應(yīng)用與拓展
1、在同一個圓中,同弧或等弧所對的圓周角相等嗎?為什么?相等
的圓周角所對的弧相等嗎,為什么?
2、你能找出右圖中相等的圓周角嗎?
3、這是一個圓形的零件,你能告訴我,它的圓心的位置嗎?
你有什么簡捷的辦
法?
圖28.1.12
1、如圖,如圖28.1.12,40是。。的直徑,/4=80°.求
/40。的度數(shù).
在圓中,一條弧所對的圓心角與圓周角分別為(2x+100)°與(5x
-30)°,求這條弧所對的圓心角與圓周角的度數(shù).
(四)課后小結(jié)本節(jié)課我們一同探究了同圓或等圓中,一條弧所對的
圓周角等于這條弧所對的圓心角的一半;由這個結(jié)論進一步得到:同
圓或等圓中,同弧或等弧所對的圓周角相等,都等于該弧所對的圓心
角的一半;相等的圓周角所對的弧相等;半圓或直徑所對的圓周角
都相等,都等于90°(直角)。90°(直角)的圓周角所對的弦是
圓的直徑等結(jié)論,希望同學(xué)們通過復(fù)習,記住這些知識,并能做到靈
活應(yīng)用他們解決相關(guān)問題。
課后作業(yè):課本43頁習題6、7
教學(xué)反思:
27.2.1點與圓的位置關(guān)系
教學(xué)目標:
1.了解點與圓的三種位置關(guān)系,能夠用數(shù)量關(guān)系來判斷點與圓的
位置關(guān)系
2.掌握不在一條直線上的三點確定一個圓,能畫出三角形的外接
圓,求出特殊三角形的外接圓的半徑
3.滲透方程思想,分類討論思想。
教學(xué)重點:用數(shù)量關(guān)系判斷點與圓的位置關(guān)系,用尺規(guī)作三角形的外
接圓,求直角三角形、等邊三角形與等腰三角形的半徑。
教學(xué)難點:運用方程思想求等腰三角形的外接圓半徑。
教學(xué)過程:
(一)情境導(dǎo)入
同學(xué)們看過奧運會的射擊比賽嗎?射擊的靶子是由許
多圓組成的,射擊的成績是由擊中靶子不同位置所決定
的;右圖是一位運動員射擊10發(fā)子彈在靶上留下的痕
跡。你知道這個運動員的成績嗎?請同學(xué)們算一算。(擊中最里面的
圓的成績?yōu)?0環(huán),依次為9、8、…、1環(huán))
這一現(xiàn)象表達了平面上的點與圓的位置關(guān)系,如何判斷點與圓的位
置關(guān)系呢?這就是本節(jié)課研究的課題。
(二)實踐與探索1:點與圓的位置關(guān)系
我們知道圓上的所有點到圓心的距離都等于半徑,若點在圓上,
則這個點到圓心的距離等于半徑,若點在圓外,則這個點到圓心的距
離大于半徑,若點在圓內(nèi),則這個點到圓心的距離小于半徑。
如圖28.2.1,設(shè)OO的半徑為r,4點在圓內(nèi),8點在圓上,。點在
圓外,那OA<r,OB=r,OC>r.反過來也成立,
即
若點A在O&芮OA<r
若點A在。&壬OA^r
若點A在。G喬OA>r
思考與練習
1、。。的半徑廠=55,圓心。到直線的AB距離d=OD=35。在直
線AB上有P、Q、R三點,且有PZ)=4cvn,QD>4cm,RD<4cm。P、
Q、R三點對于。。的位置各是怎么樣的?
2、放中,NC=90。,CD±AB,AB=13,4c=5,對C點為圓
心,魯為半徑的圓與點A、B、D的位置關(guān)系是怎樣的?
(三)實踐與探索2:不在一條直線上的三點確定一個圓
問題與思考:平面上有一點A,經(jīng)過A點的圓有幾個?圓心在哪里?
平面上有兩點A、B,經(jīng)過A、B點的圓有幾個?圓心在哪里?平面
上有三點A、B、C,經(jīng)過A、B、C三點的圓有幾個?圓心在哪里?。
從以上的圖形可以看到,經(jīng)過平面上一點的圓有無數(shù)個,這些
圓的圓心分布在整個平面;經(jīng)過平面上兩點的圓也有無數(shù)個,這些圓
的圓心是在線段AB的垂直平分線上。經(jīng)過A、B、C三點能否畫圓
呢?同學(xué)們想一想,畫圓的要素是什么?(圓心確定圓的位置,半徑
決定圓的大?。?,所以關(guān)鍵的問題是定其加以與半徑。
如圖28.2.4,如果4、B、。三點不在一條直線上,則經(jīng)過2、
8兩點所畫的圓的圓心在線段48的垂直平分線上,而經(jīng)過A。兩
點所畫的圓的圓心在線段石。的垂直平分線上,此時,這兩條垂直平
分線一定相交,設(shè)交點為則04=。'=。。,于是以。為圓心,
。4為半徑畫圓,便可畫出經(jīng)過Z、B、。三點的圓.
思考:如果A、B、C三點在一條直線上,能畫出經(jīng)過三點的圓嗎?
為什么?
即有:不在同一條直線上的三個點確定一個圓
也就是說,經(jīng)過三角形三個頂點可以畫一個圓,并且只能畫一
個.經(jīng)過三角形三個頂點的圓叫做三角形的外接圓.三角形外接圓的
圓心叫做這個三角形的外心.這個三角形叫做這個圓的內(nèi)接三角
形.三角形的外心就是三角形三條邊的垂直平分線的交點,它到三角
形三個頂點的距離相等。
思考:隨意畫出四點,其中任何三點都不在同一條直線上,是否一定
可以畫一個圓經(jīng)過這四點?請舉例說明。
(四)應(yīng)用與拓展
例1、如圖,已知用AABC中,NC=90。,若AC=5ca,\
BC=12cm,求AABC的外接圓半徑。例?
解:略
例2、如圖,已知等邊三角形ABC中,邊長為6cm,求它的外接圓
半徑。
解:略
例3、如圖,等腰AABC中,AB=AC=13cm,BC=10cm,求AABC夕卜
接圓的半徑。
(四)課后小結(jié)本節(jié)課我們學(xué)習了用數(shù)量關(guān)系判斷點與圓的位置關(guān)系
與不在同一直線上的三點確定一個圓,求解了特殊三角形直角三角
形、等邊三角形、等腰三角形的外接圓半徑,在求解等腰三角形外接
圓半徑時,運用了方程的思想,希望同學(xué)們能夠掌握這種方法,領(lǐng)會
其思想。
課后作業(yè):習題1、2、3、4
教學(xué)反思:
27.2.2直線與圓的位置關(guān)系
教學(xué)目標1、使學(xué)生掌握直線與圓的位置關(guān)系,能用數(shù)量來判斷直線
與圓的位置關(guān)系。
2、進一步體會分類討論思想。
教學(xué)重點用數(shù)量關(guān)系(圓心到直線的距離)判斷直線與圓的位置關(guān)
系
教學(xué)難點用數(shù)量關(guān)系(圓心到直線的距離)判斷直線與圓的位置關(guān)
系
教學(xué)過程
(一)情境導(dǎo)入:用移動的觀點認識直線與圓的位置關(guān)系
1、同學(xué)們也許看過海上日出,如右圖中,如果我們把太陽看作一個
圓,則太陽在升起的艇中,它與海平面就有右圖中的三種位置關(guān)
系。
2、請同學(xué)在紙上畫一條直線,把硬幣的邊緣看作圓,在紙上移動硬
幣,你能發(fā)現(xiàn)直線與圓的公共點個數(shù)的變化情況嗎?公共點個數(shù)最
少時有幾個?最多時有幾個?
(二)實驗與探究1:
數(shù)量關(guān)系判斷直線與圓的位置關(guān)系從以上的兩個例子,可以看到,
直線與圓的位置關(guān)系只有以下三種,如下圖所示:如果一條直線與一
個圓沒有公共點,則就說這條直線與這個圓相離,如圖28.2.6(1)
所示.如果一條直線與一個圓只有一個公共點,則就說這條直線與
這個圓相切,如圖28.2.6(2)所示.此時這條直線叫做圓的切線,
這個公共點叫做切點.如果一條直線與一個圓有兩個公共點,則就說
這條直線與這個圓相交,如圖28.2.6(3)所示.此時這條直線叫做
圓的割線.
如何用數(shù)量來表達圓與直線的位置關(guān)系呢?
如上圖,設(shè)。。的半徑為r,圓心。到直線/的
如何用數(shù)量來表達圓與直線的位置關(guān)系呢?
如上圖,設(shè)O。的半徑為心圓心。到直線/的距離為a從圖中可
以看出:
若〃>/?一直線/與。。相離;
若直線/與0。相切;
若d<r直線/與。。相交;
所以,若要判斷圓與直線的位置關(guān)系,必須對圓心到直線的距離與
圓的半徑進行比較大小,由比較的結(jié)果得出結(jié)論。
(三)應(yīng)用與拓展
練習1、已知圓的半徑等于5厘米,圓心到直線/的距離是:
(1)4厘米;(2)5厘米;(3)6厘米.
直線/與圓分別有幾個公共點?分別說出直線/與圓的位置關(guān)系。
練習2、已知圓的半徑等于10厘米,直線與圓只有一個公共點,求
圓心到直線的距離.
練習3、如果。。的直徑為10厘米,圓心。到直線的距離為
10厘米,則。。與直線AB有怎樣的位置關(guān)系?
例1、RtAABC中,ZC=90°,AC=3,BC=4,CM1AB于M,以
C為圓心,CM為半徑作。C,則點A、B、C、AB的中點E與OC
的位置關(guān)系分別是、、、。
解略
(四)課后小結(jié)本節(jié)課我們學(xué)習了直線與圓的位置關(guān)系,當我們判斷
直線與圓的位置關(guān)系時,應(yīng)該用數(shù)量關(guān)系(圓心到直線的距離)來表
達,即上面講解的圓心到直線的距離與圓的半徑進行比較大小,從而
斷定是哪種關(guān)系。
若4>/一直線/與。。相離;
若4=廠口直線/與。。相切;
若直線/與。。相交;
習題5、6、7
課后作業(yè):
教學(xué)反思
27.2.3切線(1)
教學(xué)目標:1、使學(xué)生掌握切線的識別方法,并能初步運用它解決有
關(guān)問題;2、通過切線識別方法的學(xué)習,培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、歸納
問題的能力
教學(xué)重點:切線的識別方法
教學(xué)難點:方法的理解及實際運用
教學(xué)過程:
(一)復(fù)習情境導(dǎo)入:1、復(fù)習、回顧直線與圓的三種位置關(guān)系.
2、請學(xué)生判斷直線與圓的位置關(guān)系.
學(xué)生判斷的過程,提問:你是怎樣判斷出圖中的直線與圓相切的?
根據(jù)學(xué)生的回答,繼續(xù)提出問題:如何界定直線與圓是否只有一個
公共點?教師指出,根據(jù)切線的定義可以識別一條直線是不是圓的
切線,但有時使用定義識別很不方便,為此我們還要學(xué)習識別切線
的其它方法.(板書課題)
(二)實踐與探索1:圓的切線的判斷方法1、由上面的復(fù)習,我們可
以把上節(jié)課所學(xué)的切線的定義作為識別切線的方法1——定義法:與
圓只有一個公共點的直線是圓的切線.
2、當然,我們還可以由上節(jié)課所學(xué)的用圓心到直線的距離〃與半徑一
之間的關(guān)系來判斷直線與圓是否相切,即:當d=〃時,直線與圓的位
置關(guān)系是相切.以此作為識別切線的方法2——數(shù)量關(guān)系法:圓心到
直線的距離等于半徑的直線是圓的切線.
3、實驗:作。。的半徑OA,過A作1_LOA可以發(fā)現(xiàn):(1)直線/
經(jīng)過半徑。1的外端點A;(2)直線/垂直于半廠一^
徑。A.這樣我們就得到了從位置上來判斷直線11°;
是圓的切線的方法3——位置關(guān)系法:經(jīng)過半一—
徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切
線.
三、課堂練習
思考:現(xiàn)在,任意給定一個圓,你能不能作出圓的切線?應(yīng)該如何作?
請學(xué)生回顧作圖過程,切線/是如何作出來的它滿足哪些條件引導(dǎo)學(xué)
生總結(jié)出:①經(jīng)過半徑外端;②垂直于這條半徑.
請學(xué)生繼續(xù)思考:這兩個條件缺少一個行不行(學(xué)生畫出反例圖)
(圖1)(圖2)圖(3)
圖⑴中直線/經(jīng)過半徑外端,但不與半徑垂直;圖⑵中直線/與半
徑垂直,但不經(jīng)過半徑外端.從以上兩個反例可以看出,只滿足其
中一個條件的直線不是圓的切線.
最后引導(dǎo)學(xué)生分析,方法3實際上是從前一節(jié)所講的“圓心到直線
的距離等于半徑時直線與圓相切”這個結(jié)論直接得出來的,只是為
了便于應(yīng)用把它改寫成“經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線
是圓的切線”這種形式.
(四)應(yīng)用與拓展:
例1、如圖,已知直線AB經(jīng)過。O上的點A,并且AB=OA,
OBA=45,直線AB是。O的切線嗎?為什么?
例2、如圖,線段AB經(jīng)過圓心O,交。。于點A、C,BAD=
B=30,邊BD交圓于點D.BD是。。的切線嗎?為什么?
分析:欲證BD是。。的切線,由于BD過圓上點D,若連結(jié)OD,
則BD過半徑OD的外端,因此只需證明BDJ_OD,因OA=OD,
BAD=B,易證BD_LOD.
教師板演,給出解答過程及格式.
課堂練習:課本練習1—4
(四)課后小結(jié)識別一條直線是圓的切線,有三種方法:
⑴根據(jù)切線定義判定,即與圓只有一個公共點的直線是圓的切線;
⑵根據(jù)圓心到直線的距離來判定,即與圓心的距離等于圓的半徑的
直線是圓的切線;
⑶根據(jù)直線的位置關(guān)系來判定,即經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半
徑的直線是圓的切線,
說明一條直線是圓的切線,常常需要作輔助線,如果已知直線過圓上
某一點,則作出過這一點的半徑,證明直線垂直于半徑即可(如例
2).
課后作業(yè):
27.2.4切線(2)
教學(xué)目標:通過探究,使學(xué)生發(fā)現(xiàn)、掌握切線長定理,并初步長定理,
并初步學(xué)會應(yīng)用切線長定理解決問題,同時通過從三角形紙片中剪出
最大圓的實驗的過程中發(fā)現(xiàn)三角形內(nèi)切圓的畫法,能用內(nèi)心的性質(zhì)解
決問題。
教學(xué)重點:切線長定理及其應(yīng)用,三角形的內(nèi)切圓的畫法與內(nèi)心的性
質(zhì)。
教學(xué)難點:三角形的內(nèi)心及其半徑的確定。
教學(xué)過程
(一)復(fù)習導(dǎo)入:
請同學(xué)們回顧一下,如何判斷一條直線是圓的切線?圓的切線具
有什么性質(zhì)?(經(jīng)過半徑外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切
線;圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑。)
你能說明以下這個問題?如右圖所示,PA
是ABAC的平分線,AB是。。的切線,切/丫/i
點E,則AC是。。的切線嗎?為什么?
AE
(二)實踐與探索問題1、從圓外一點可以
作圓的幾條切線?請同學(xué)們畫一畫。
2、請問:這一點與切點的兩條線段的長度相等嗎?為什么?
3、切線長的定義是什么?通過以上幾個問題的解決,使同
學(xué)們得出以下的結(jié)論:
從圓外一點可以引圓的兩條切線,切線長相等。這一點與圓心
的連線
平分兩條切線的夾角。
(三)拓展與應(yīng)用例:右圖,PA、PB是,切點分別是A、B,直線EF
也是。。的切線,切點為P,交PA、PB為E、F點,a/
已知PA=12s,ZP=70°,(1)求△尸所的周長;(2)/V7o)
P
FB
求NEOE的度數(shù)。
解:(1)連結(jié)PA、PB、EF是。O的切線
所以PA=P3,EA=EQ,FQ=FB
所以APEF的周長=OE+EP+PF+FB=PA+PB=24cm
(2)因為PA、PB、EF是。O的切線
所以如,04,PBLOB,EFLOQ
所以ZAOB=180°—NP=110°,ZEOF=;NAOB=55°
(四)課后小結(jié)
27.2.5圓與圓的位置關(guān)系
教學(xué)目標使學(xué)生了解圓與圓位置關(guān)系的定義,掌握用數(shù)量關(guān)系來識
別圓與圓的位置關(guān)系。
教學(xué)重點用數(shù)量關(guān)系識別圓與圓的位置關(guān)系
教學(xué)難點用數(shù)量關(guān)系識別圓與圓的位置關(guān)系
教學(xué)過程
(一)情境導(dǎo)入:
在現(xiàn)實生活中,圓與圓有不同的位置關(guān)系,如下圖所示:
圓與圓的位置關(guān)系除了以上幾種外,還有其他的位置關(guān)系嗎?我們
如何判斷圓與圓的位置關(guān)系呢?這些問題待學(xué)習完這節(jié)課后就可以
得到解決。
(二)實踐與探索:
圓與圓的位置關(guān)系請同學(xué)們在紙上畫一個圓,把一枚硬幣當作另
一個圓,紙上移動這枚硬幣,觀察兩圓的位置關(guān)系與公共點的個數(shù)。
如圖23.2.14(1)、(2)、(3)
所示,兩個圓沒有公共點,則就
說兩個圓相離,其中(1)又叫做
外離,(2)、(3)又叫做內(nèi)含。(3)
中兩圓的圓心相同,這兩個圓還
可以叫做同心圓。如果兩個圓只有一個公共點,則就說這兩個圓相
切,如圖23.2.14(4)、(5)所示.其中(4)又叫做外切,(5)
又叫做內(nèi)切。如果兩個圓有兩個公共點,則就說這兩個圓相交,如
圖23.2.14(6)所示。
(三)實踐與探索:用數(shù)量關(guān)系識別兩圓的位置關(guān)系思考:如果兩圓
的半徑分別為3與5,圓心距(兩圓圓心的距離)d為9,你能確定
他們的位置關(guān)系嗎?若圓心距d分別為8、6、4、2、1、0時,它們
的位置關(guān)系又如何呢?
利用以上的思考題讓同學(xué)們畫圖或想象,概括出兩圓的位置關(guān)系與圓
心距、兩圓的半徑具有什么關(guān)系。
(1)兩圓外離od>R+r;
(2)兩圓外切od=R+r;
(3)兩圓外離OH-r<d<R+r;
(4)兩圓外離od=R-r;
(5)兩圓夕卜離oOWd<H—r;
為了使學(xué)生對兩圓的位置關(guān)系用數(shù)量關(guān)系表達有更深刻的理解以
及更牢的記憶,教師可有以下數(shù)軸的形式讓學(xué)生加以理解。
要判斷兩圓的位置關(guān)系,要牢牢抓住兩個特殊點,即外切與內(nèi)切兩
點,當圓心距剛好等于兩圓的半徑與時,兩圓外切,等于兩圓的半
徑差時,兩圓內(nèi)切。若圓心距處于半徑與與半徑差之間時,兩圓相
交,大于兩圓半徑與時,兩圓外離,小于兩圓半徑差時
(四)應(yīng)用與拓展例1、已知。4相切,圓心距為10cm,
其中的半徑為4cm,求。B的半徑。
分析:兩圓相切,有可能兩圓外切,也有可能兩圓內(nèi)切,所以
。夕的半徑就有兩種情況。
解設(shè)。8的半徑為凡
(1)如果兩圓外切,則d=10=4+7?,尺=6.
(2)如果兩圓內(nèi)切,則小=|R—4|=10,7?=-6(舍去),
7?=14,
所以。石的半徑為6cm或14cm
例2、兩圓的半徑的比為2:3,內(nèi)切時的圓心距等于85,則這
兩圓相交時圓心距的范圍是多少?
解:設(shè)其中一個圓的半徑為2r,則另一個圓的半徑為3廠因為內(nèi)切時
圓心距等于8所以3—2r=8所以r=8當兩圓相交時,圓心距的取值
范圍是8<"<40(5)(五)課后小結(jié)
就好象識別點與圓、直線與圓的位置關(guān)系一樣,這節(jié)課我們同樣也
用數(shù)量關(guān)系來表達圓與圓的位置關(guān)系。在識別圓與圓的位置關(guān)系時,
關(guān)系式比較多,也難于忘記,如果同學(xué)們能夠掌握教師上課時講的
用數(shù)軸來表達圓與圓的位置關(guān)系,理解起來就會更深刻,記憶也會
更容易。
課后作業(yè):習題8、9
教學(xué)反思:
27.3.1弧長與扇形的面積
教學(xué)目標認識扇形,會計算弧長與扇形的面積,通過弧長與扇形面
積的發(fā)現(xiàn)與推導(dǎo),培養(yǎng)學(xué)生運用已有知識探究問題獲得新知的能力。
教學(xué)重點弧長與扇形面積公式,準確計算弧長與扇形的面積。
教學(xué)難點運用弧長與扇形的面積公式計算比較復(fù)雜圖形的面積。
教學(xué)過程
(一)情境與探究1:弧長公式
如圖23.3.1是圓弧形狀的鐵軌示意圖,其中鐵軌的半徑為100
米,圓心角為90°.你能求出這段鐵軌的長度嗎(取3.14)我們
容易看出這段鐵軌是圓周長的所以鐵軌的長度h2x3,00=
44
圖2331
157.0(米).
問題:上面求的是90。的圓心角所對的弧長,若圓心角為〃。,如何計
算它所對的弧長呢?
請同學(xué)們計算半徑為3ca,圓心角分別為180。、90。、45。、1。、〃。所
對的弧長。
等待同學(xué)們計算完畢,與同學(xué)們一起總結(jié)出弧長公式(這里關(guān)鍵是1。
圓心角所對的弧長是多少,進而求出〃。的圓心角所對的弧長。)
弧長的計算公式為
練習:已知圓弧的半徑為50厘米,圓心角為60°,求此圓弧的長
度。
㈡
情境與探究2:扇形的面積。如圖23.3.3,由組成圓心
角的兩條半徑與圓心角所對的弧所圍成的圖形叫做扇形
問:右圖中扇形有幾個?圖23.3.3
同求弧長的思維一樣,要求扇形的面積,應(yīng)思考圓心角為1。的扇形面
積圓
面積的幾分之幾?進而求出圓心角〃的扇形面積。
如果設(shè)圓心角是"的扇形面積為S,圓的半徑為
扇形的面積為
因此扇形面積的計算公式為
時21
Sc=---S=—lr
3切或2
練習:1、如果扇形的圓心角是230°,則這個扇形的面積等于這個扇
形所在圓的面積的
2
2、扇形的面積是它所在圓的面積的這個扇形的圓心角的度數(shù)是
3、扇形的面積是S,它的半徑是r,這個扇形的弧長是
(三)應(yīng)用與拓展
例1如圖23.3.5,圓心角為60°的扇形的半徑為10厘米,
求這個扇形的面積與周長.5-3.14)
例2、右圖是某工件形狀,圓弧BC的度數(shù)為60。,AB=6cm,
點B到點C的距離等于AB,za4c=30。,求工件的面積。
(四)課后小結(jié)本節(jié)課我們共同探尋了弧長與扇形面積的計算公
式,一方面,要理解公式的由來,另一方面,能夠應(yīng)用它們計算有關(guān)
問題,在計算力求準確無誤。
課后作業(yè):習題1、2
教學(xué)反思:
27.3.2圓錐的側(cè)面積與全面積
教學(xué)目標:通過實驗使學(xué)生知道圓錐的側(cè)面積展開圖是扇形,知道
圓錐各部分的名稱,能夠計算圓錐的側(cè)面積與全面積。
教學(xué)重點:圓錐的側(cè)面展開圖,計算圓錐的側(cè)面積與全面積。
教學(xué)難點:圓錐的側(cè)面展開圖,計算圓錐的側(cè)面積與全面積。
教學(xué)過程:
(一)情境探究:由具體的模型認識圓錐的側(cè)面展開圖,認識圓錐各
個部分的名稱:把一個課前準備好的圓錐模型沿著母線剪開,讓學(xué)生
觀察圓錐的側(cè)面展開圖,學(xué)生容易看出,圓錐的側(cè)面展開圖是一個扇
形。如圖23.3.6,我們把圓錐底面圓周上的任意一點與圓錐頂點的
連線叫做圓錐的母線,連結(jié)頂點與底面圓心的線段叫做圓錐的高,如
圖中。,而〃就是圓錐的高。
問題:圓錐的母線有幾條?
(二)實踐與探索:圓錐的側(cè)面積與全面積的計算方法
問題;1、沿著圓錐的母線,把一個圓錐的側(cè)面展開,得到一Z
圖23.3.6
個扇形,這個扇形的弧長與底面的周長有什么關(guān)系?
2、圓錐側(cè)面展開圖是扇形,這個扇形的半徑與圓錐中的哪一條
線段相等?
待學(xué)生思考后加以闡述。
圓錐的底面周長就是其側(cè)面展開圖扇形的弧長,圓錐的母線就是
其側(cè)面展開圖扇形的半徑。
圓錐的側(cè)面積就是弧長為圓錐底面的周長、半徑為圓錐的一條母
線的長的扇形面積,而圓錐的全面積就是它的側(cè)面積與它的底面積的
與。
(三)應(yīng)用與拓展:
例1、一個圓錐形零件的母線長為處底面的半徑為r,求這個圓錐
形零件的側(cè)面積與全面積.
解圓錐的側(cè)面展開后是一個扇形,該扇形的半徑為a,扇形
的弧長為24,所以
S側(cè)=2X2冗rXa=nra;
S底
S=nra+兀?.
答:這個圓錐形零件的側(cè)面積為加3,全面積為乃ra+乃r2
(難)例2、已知:在R/AABC中,ZC=90°,AB=13cm,BC=5cm,求
以AB為軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的幾何體的全面積。
分析:以AB為軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的幾何體是由公共底面的兩個
圓錐所組成的幾何體,因此求全面積就是求兩個圓錐的側(cè)
面積。
解:過c點作COL43,垂足為D點因為三角形ABC是
Rt^ABC,Z-C-90°,AB=13cm,BC-5cm,
所以AC=12cmCD=心反?5年若底面周長為
AB
c601204
27----=-------
1313
1120萬41120乃c1020萬
所以S仝=---------5H--------2=(cm)2
21321313
1020萬
答:這個幾何體的全面積為(cm)2
13
(四)課后小結(jié)本節(jié)課我們認識了圓錐的側(cè)面展開圖,學(xué)
會計算圓錐的側(cè)面積與全面積,在認識圓錐的側(cè)面積展開圖時,應(yīng)知
道圓錐的底面周長就是其側(cè)面展開圖扇形的弧長。圓錐的母線就是其
側(cè)面展開圖扇形的半徑,這樣在計算側(cè)面積與全面積時才能做到熟
練、準確。
課后作業(yè):習題3、4
教學(xué)反思:
圓復(fù)習課
教學(xué)目標:
1、解圓及其有關(guān)概念,了解弧、弦、圓心角的關(guān)系。
2、握圓周角與圓心角的關(guān)系,直徑所對圓周角的特征;會利用垂
徑定理解題;會判定點與圓的位置關(guān)系。
3、深入理解“轉(zhuǎn)化”、“分類討論”的數(shù)學(xué)思想,并培養(yǎng)自主探究
積極參與的學(xué)習習慣。
教學(xué)重點:
1、解圓及其有關(guān)概念,了解弧、弦、圓心角的關(guān)系。
3、握圓周角與圓心角的關(guān)系,直徑所對圓周角的特征;會利用垂
徑定理解題;會判定點與
教學(xué)難點:
握圓周角與圓心角的關(guān)系,直徑所對圓周角的特征;會利用垂徑
定理解題;會判定點與
教學(xué)過程:
(一)題組探究復(fù)習回顧舊知,并知識建構(gòu)。
先回顧舊知,再搶答。并互相補充知識點,進一步完善知識結(jié)構(gòu)。
相對應(yīng)的練習題應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生說出相應(yīng)的知識點及思路。
基礎(chǔ)練習:
1、觀察下圖,回答問題:寫出
(1)一條直徑四條半徑
(2)三條弦四個圓周角
(3)三個圓心角一條優(yōu)弧
2、在。。中,=,/1=45°,求N2的度數(shù).
3、如圖,的直徑AB垂直于弦CD,AB、CD相交于點E,
ZCOD=100°,則NCOE=/DOE=
4、如圖,是。。的圓周角,ZA=40°,則/06。的度數(shù)
5、已知圓的半徑等于5厘米,圓心到直線/的距離是
4厘米;(2)5厘米;(3)6厘米.直線/與圓分別有幾個公共點?
分別說出直線/與圓的位置關(guān)系.
6、如圖AB是。O的的直徑,弦CD,AB于E,CD=8、
BE=2,則。OR的半徑的長是
教師在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上與學(xué)生一起梳理知識結(jié)構(gòu),并板書。
(二)自主探究與合作交流研究圓周角與圓心角的關(guān)系,直徑所對圓
周角的特征,
垂徑定理等知識。
學(xué)生審題,自主探究解法后,交流。指名學(xué)生代表回答。本題有多
種解法,培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力、比較思維能力。
分組解,選小組代表板演。
學(xué)生先自主探究,再交流想法。
例1:如圖4—4—3,AB是。。的直徑,C、D是。。上兩
點,ZD=130°,貝ij(1)ZACB=°
(2)ZBAC的度數(shù)為。
教法:由學(xué)生分析后板演。
例2如圖4—4—4,OO的半徑為5,弦AB的長為8,M是
弦AB的動點,則線段OM長的最小值是
教法:學(xué)生合作交流,共同探討解法。
(三)應(yīng)用與拓展
本部分內(nèi)容作為課堂檢測用,時間為15分鐘。小組內(nèi)互批。當時知
道結(jié)果,有利于學(xué)生的學(xué)習。
達標測評:
1、一條弦分一圓為2cm與6cm兩部分,若此弦與直徑成45°
角,則該弦長為
2、如圖4一4一9,AB、CD是。O的直徑,DF、BE是弦,
且DF=BE。
求證:ZD=ZB
3、如圖4一4—10,在OO中,弦AB=2cm,圓周角/AC
B=30°,求。。的直徑。
4、如圖4一4一7,直線AB交圓于點A、B兩點,點M在圓上,
點P在圓外,且點M,P在AB的同側(cè),
ZAMB=50°,設(shè)AMB=x。,當點P移動時,求x的變化范圍。
(四)小結(jié)與作業(yè)
小結(jié):談一下你有哪些收獲?
作業(yè):復(fù)習資料上相關(guān)題
(五)板書設(shè)計
課題:圓(1)
(基本概念:弧、弦、圓心角、圓周角
r中心對嬴弦、圓心角、圓周
j角的泰
圓對稱性
軸對稱垂徑定理一?
點與圓的位置關(guān)系
圓知識點歸納
一、圓的定義。
1、以定點為圓心,定長為半徑的點組成的圖形。
2、在同一平面內(nèi),到一個定點的距離都相等的點組成的圖形。
二、圓的各元素。
1、半徑:圓上一點與圓心的連線段。
2、直徑:連接圓上兩點有經(jīng)過圓心的線段。
3、弦:連接圓上兩點線段(直徑也是弦)。
4、弧:圓上兩點之間的曲線部分。半圓周也是弧。
(1)劣?。盒∮诎雸A周的弧。
(2)優(yōu)?。捍笥诎雸A周的弧。
5、圓心角:以圓心為頂點,半徑為角的邊。
6、圓周角:頂點在圓周上,圓周角的兩邊是弦。
7、弦心距:圓心到弦的垂線段的長。
三、圓的基本性質(zhì)。
1、圓的對稱性。
(1)圓是軸對稱圖形,它的對稱軸是直徑所在的直線。
(2)圓是中心對稱圖形,它的對稱中心是圓心。
(3)圓是旋轉(zhuǎn)對稱圖形。
2、垂徑定理。
(1)垂直于弦的直徑平分這條弦,且平分這條弦所對的兩條弧。
(2)推論:
>平分弦(非直徑)的直徑,垂直于弦且平分弦所對的兩條弧。
>平分弧的直徑,垂直平分弧所對的弦。
3、圓心角的度數(shù)等于它所對弧的度數(shù)。圓周角的度數(shù)等于它所
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