第13講 重難點(diǎn)01三角形中“8”字模型（教師版）-七升八數(shù)學(xué)暑假銜接（人教版）

重難點(diǎn)01三角形中“8”字模型【知識梳理】一、“8”字模型三角形三個內(nèi)角的和等于180°對頂角相等【考點(diǎn)剖析】一．選擇題（共2小題）1．（2021秋?寧遠(yuǎn)縣校級期中）如圖所示，∠α的度數(shù)是（）A．10° B．20° C．30° D．40°【分析】根據(jù)對頂角的性質(zhì)以及三角形的內(nèi)角和定理即可求出答案．【解答】解：∵∠A+∠B+∠AOB＝∠C+∠D+∠COD，∠AOB＝∠COD，∴∠A+∠B＝∠C+∠D∴30°+20°＝40°+α，∴α＝10°故選：A．【點(diǎn)評】本題考查三角形的內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理，本題屬于基礎(chǔ)題型．2．（2022春?敘州區(qū)期末）如圖，BP平分∠ABC交CD于點(diǎn)F，DP平分∠ADC交AB于點(diǎn)E，若∠A＝45°，∠P＝40°，則∠C的度數(shù)為（）A．30° B．35° C．40° D．45°【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，得∠A+∠ADG＝∠C+∠GBC，∠A+∠ADE＝∠P+∠PBE．根據(jù)角平分線的定義，得到∠GBC＝2∠PBE，∠ADG＝2∠ADE，進(jìn)而推斷出∠A+∠C＝2∠P，從而解決此題．【解答】解：∵∠A+∠ADG+∠AGD＝180°，∠ABC+∠C+∠BGC＝180°，∴∠A+∠ADG+∠AGD＝∠ABC+∠C+∠BGC．又∵∠AGD＝∠BGC，∴∠A+∠ADG＝∠C+∠GBC．∴∠A﹣∠C＝∠GBC﹣∠ADG．同理可得，∠A+∠ADE＝∠P+∠PBE．∴∠A﹣∠P＝∠PBE﹣∠ADE．∵BP平分∠ABC交CD于點(diǎn)F，DP平分∠ADC交AB于點(diǎn)E，∴∠GBC＝2∠PBE，∠ADG＝2∠ADE．∴∠A﹣∠C＝2（∠A﹣∠P）．∴∠A+∠C＝2∠P．又∵∠A＝45°，∠P＝40°，∴∠C＝35°．故選：B．【點(diǎn)評】本題主要考查三角形內(nèi)角和定理以及角平分線的性質(zhì)，熟練掌握三角形內(nèi)角和定理以及角平分線的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．二．填空題（共13小題）3．（2021?黔東南州模擬）如圖，則∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度數(shù)是180°．【分析】由三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，得∠4＝∠A+∠2，∠2＝∠E+∠C，進(jìn)而利用三角形的內(nèi)角和定理求解．【解答】解：如圖可知：∵∠4是三角形的外角，∴∠4＝∠A+∠2，同理∠2也是三角形的外角，∴∠2＝∠E+∠C，在△BDG中，∵∠B+∠D+∠4＝180°，∴∠B+∠E+∠A+∠D+∠C＝180°．故答案為：180°．【點(diǎn)評】本題考查三角形外角的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和定理，解答的關(guān)鍵是溝通外角和內(nèi)角的關(guān)系．4．（2021秋?鐵東區(qū)校級月考）如圖所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H度數(shù)為360°．【分析】根據(jù)三角形的外角等于不相鄰的兩個內(nèi)角的和，以及多邊形的內(nèi)角和即可求解．【解答】解：∵∠1＝∠A+∠B，∠2＝∠C+∠D，∠3＝∠E+∠F，∠4＝∠G+∠H，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H＝∠1+∠2+∠3+∠4，又∵∠1+∠2+∠3+∠4＝360°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H＝360°．故答案為：360°．【點(diǎn)評】本題考查了三角形的外角的性質(zhì)以及多邊形的外角和定理，正確轉(zhuǎn)化為多邊形的外角和是關(guān)鍵．5．（2023春?侯馬市期末）如圖，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù)為360°【分析】根據(jù)三角形外角的性質(zhì)和四邊形內(nèi)角和等于360°可得∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù)．【解答】解：如圖，∵∠1＝∠2+∠F＝∠B+∠E+∠F，∠1+∠A+∠C+∠D＝360°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°，故答案為：360°．【點(diǎn)評】此題考查三角形的內(nèi)角和，角的和與差，掌握三角形的內(nèi)角和定理是解決問題的關(guān)鍵．6．（2020秋?河南期末）如圖，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°．【分析】如圖根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理可知∠1＝∠B+∠2，∠2＝∠D+∠E，∠A+∠1+∠C＝180°，由此不難證明結(jié)論．【解答】解：如圖，∵∠1＝∠B+∠2，∠2＝∠D+∠E，∠A+∠1+∠C＝180°，∴∠A+∠B+∠D+∠E+∠C＝180°，故答案為：180．【點(diǎn)評】本題考查三角形的外角的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用所學(xué)知識解決問題，屬于基礎(chǔ)題，中考?？碱}型．7．（2022秋?慶陽期中）如圖，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝540°．【分析】利用三角形外角性質(zhì)得到∠1＝∠B+∠F+∠C，然后利用五邊形的內(nèi)角和求∠A+∠B+∠C+∠F+∠D+∠E+∠G的度數(shù)．【解答】解：如圖，∵∠1＝∠B+∠2，而∠2＝∠F+∠C，∴∠1＝∠B+∠F+∠C，∵∠A+∠1+∠D+∠E+∠G＝∠A+∠B+∠C+∠F+∠D+∠E+∠G＝（5﹣2）×180°＝540°．故答案為540．【點(diǎn)評】本題考查了多邊形內(nèi)角與外角：多邊形內(nèi)角和定理：（n﹣2）?180（n≥3）且n為整數(shù)），此公式推導(dǎo)的基本方法是從n邊形的一個頂點(diǎn)出發(fā)引出（n﹣3）條對角線，將n邊形分割為（n﹣2）個三角形，這（n﹣2）個三角形的所有內(nèi)角之和正好是n邊形的內(nèi)角和．也考查了三角形外角性質(zhì)．8．（2022秋?汕尾校級月考）如圖，則∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝540°．【分析】根據(jù)五邊形的內(nèi)角和即可得到結(jié)論．【解答】解：連接AE，則∠1+∠2＝∠F+∠G，∴∠3+∠B+∠C+∠D+∠4+∠F+∠G＝∠3+∠B+∠C+∠D+∠4+∠1+∠2＝540°，故答案為：540°．【點(diǎn)評】本題考查三角形外角的性質(zhì)及多邊形的內(nèi)角和定理，解答的關(guān)鍵是溝通外角和內(nèi)角的關(guān)系．9．（2022秋?梁山縣月考）如圖，是由線段AB，CD，DF，BF，CA組成的平面圖形，∠D＝28°，則∠A+∠B+∠C+∠F的度數(shù)為208°．【分析】首先求出∠F+∠B＝∠D+∠EGD，然后證明出∠C+∠A+∠F+∠B﹣∠D＝180°，最后結(jié)合題干∠D＝28°求出∠A+∠B+∠C+∠F的度數(shù)．【解答】解：∵如圖可知∠BED＝∠F+∠B，∠CGE＝∠C+∠A，又∵∠BED＝∠D+∠EGD，∴∠F+∠B＝∠D+∠EGD，又∵∠CGE+∠EGD＝180°，∴∠C+∠A+∠F+∠B﹣∠D＝180°，又∵∠D＝28°，∴∠A+∠B+∠C+∠F＝180°+28°＝208°．故答案為：208°．【點(diǎn)評】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理的知識，解答本題的關(guān)鍵是求出∠C+∠A+∠F+∠B﹣∠D＝180°，此題難度不大．10．（2022秋?黔東南州月考）如圖，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝540度．【分析】連接DG、AC．根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理以及三角形的內(nèi)角和是180°進(jìn)行分析求解．【解答】解：連接DG、AC．在四邊形EFGD中，得∠E+∠F+∠EDG+∠DGF＝360°，又∠1+∠2＝∠3+∠4，∠5+∠6+∠B＝180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝540°．故答案為540．【點(diǎn)評】此題要能夠巧妙構(gòu)造四邊形，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理以及三角形的內(nèi)角和定理進(jìn)行求解．11．（2021秋?綦江區(qū)校級期中）如圖，則∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù)為360度．【分析】根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，以及四邊形的四個內(nèi)角的和是360°即可求解．【解答】解：∵∠1＝∠C+∠D，∠2＝∠A+∠B，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝∠1+∠2+∠E+∠F＝360°．故答案是：360°．【點(diǎn)評】本題考查的是三角形外角的性質(zhì)及三角形的外角和，熟知三角形的外角和是360度是解答此題的關(guān)鍵．12．（2023春?蓬萊區(qū)期中）如圖，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度數(shù)是180°．【分析】本題運(yùn)用三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角和，將已知角轉(zhuǎn)化在同一個三角形中，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求解．【解答】解：如圖，∵∠1＝∠B+∠E，∠2＝∠1+∠C，∠A+∠2+∠D＝180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°．故答案為：180°．【點(diǎn)評】本題考查三角形外角的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和定理，解答的關(guān)鍵是溝通外角和內(nèi)角的關(guān)系．13．（2022春?彭山區(qū)校級期中）如圖，則∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù)為360°．【分析】連接AD，利用三角形內(nèi)角和定理可得∠B+∠C＝∠1+∠2，然后利用四邊形內(nèi)角和為360°可得答案．【解答】解：連接AD，在△AOD和△BOC中，∵∠AOD＝∠BOC，∴∠B+∠C＝∠1+∠2，∴∠B+∠C+∠BAF+∠EDF＝∠1+∠2+∠BAF+∠EDF＝∠EDA+∠FAD，∵∠EDA+∠FAD+∠E+∠F＝360°，∴∠BAF+∠EDF+∠B+∠C+∠E+∠F＝360°，故答案為：360°．【點(diǎn)評】此題主要考查了多邊形的內(nèi)角與外角，關(guān)鍵是掌握四邊形內(nèi)角和為360°．14．（2022秋?濱海新區(qū)校級期中）如圖，則∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù)為360°．【分析】根據(jù)三角形的外角性質(zhì)和四邊形內(nèi)角和等于360°可得∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù)．【解答】解：如圖，∵∠1＝∠A+∠F，∠2＝∠1+∠E，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝∠B+∠C+∠D+∠2＝360°．故答案為：360°．【點(diǎn)評】此題考查三角形的外角性質(zhì)，四邊形內(nèi)角和，掌握三角形的外角性質(zhì)和四邊形內(nèi)角和等于360°是解決問題的關(guān)鍵．15．（2021秋?涵江區(qū)校級期中）如圖，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù)是360°．【分析】先根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出∠A+∠B＝∠1，∠E+∠F＝∠2，∠C+∠D＝∠3，再根據(jù)三角形的外角和是360°進(jìn)行解答．【解答】解：∵∠1是△ABG的外角，∴∠1＝∠A+∠B，∵∠2是△EFH的外角，∴∠2＝∠E+∠F，∵∠3是△CDI的外角，∴∠3＝∠C+∠D，∵∠1、∠2、∠3是△GIH的外角，∴∠1+∠2+∠3＝360°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°．故答案為：360°．【點(diǎn)評】本題考查的是三角形外角的性質(zhì)及三角形的外角和，熟知三角形的外角和是360度是解答此題的關(guān)鍵．三．解答題（共11小題）16．（2022秋?浉河區(qū)校級月考）如圖所示，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度數(shù)．【分析】由三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，得∠2＝∠A+∠1，∠1＝∠E+∠C，進(jìn)而利用三角形的內(nèi)角和定理求解．【解答】解：由圖可知：∵∠2是三角形的外角，∴∠2＝∠A+∠1，同理∠1也是三角形的外角，∴∠1＝∠E+∠C，在△BDF中，∠B+∠D+∠2＝180°，即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°．【點(diǎn)評】本題考查三角形外角的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和定理，解答的關(guān)鍵是溝通外角和內(nèi)角的關(guān)系．17．（2020秋?十堰期末）如圖，已知DO＝BO，∠A＝∠C，求證：AO＝CO．【分析】利用角角邊證明兩個三角形全等，再通過全等三角形的性質(zhì)得結(jié)論．【解答】證明：在△ADO和△CBO中，∴△ADO≌△CBO（AAS）．∴AO＝CO．【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法和性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．18．（2021秋?寧明縣期中）“8字”的性質(zhì)及應(yīng)用：（1）如圖①，AD、BC相交于點(diǎn)O，得到一個“8字”ABCD，求證：∠A+∠B＝∠C+∠D．（2）圖②中共有多少個“8字”？（3）如圖②，∠ABC和∠ADC的平分線相交于點(diǎn)E，利用（1）中的結(jié)論證明∠E＝（∠A+∠C）．【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和對頂角相等解答即可；（2）根據(jù)題中給出的“8字”的概念解答即可；（3）根據(jù)角平分線的定義和三角形的外角的性質(zhì)解答即可．【解答】解：（1）∵∠A+∠B+∠AOB＝180°，∠C+∠D+∠COD＝180°，又∠AOB＝∠COD，∴∠A+∠B＝∠C+∠D；（2）圖②中有：ABCD、BECD、ABED，BFDC、BFDH、ABHD6個“8字”；（3）∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∴∠ABE＝∠CBE＝ABC，∠CDE＝∠ADE＝∠ADC，∵∠A+∠ABE＝∠E+∠ADE，∠C+∠CDE＝∠E+∠CBE，∴∠E＝（∠A+∠C）．【點(diǎn)評】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理、三角形外角的性質(zhì)和對頂角相等的綜合運(yùn)用，掌握三角形內(nèi)角和等于180°和三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和是解題的關(guān)鍵．19．（2020秋?青島期末）閱讀材料，回答下列問題：【材料提出】“八字型”是數(shù)學(xué)幾何的常用模型，通常由一組對頂角所在的兩個三角形構(gòu)成．【探索研究】探索一：如圖1，在八字型中，探索∠A、∠B、∠C、∠D之間的數(shù)量關(guān)系為∠A+∠B＝∠C+∠D；探索二：如圖2，若∠B＝36°，∠D＝14°，求∠P的度數(shù)為25°；探索三：如圖3，CP、AG分別平分∠BCE、∠FAD，AG反向延長線交CP于點(diǎn)P，則∠P、∠B、∠D之間的數(shù)量關(guān)系為∠P＝．【模型應(yīng)用】應(yīng)用一：如圖4，延長BM、CN，交于點(diǎn)A，在四邊形MNCB中，設(shè)∠M＝α，∠N＝β，α+β＞180°，四邊形的內(nèi)角∠MBC與外角∠NCD的角平分線BP，CP相交于點(diǎn)P，則∠A＝α+β﹣180°（用含有α和β的代數(shù)式表示），∠P＝．（用含有α和β的代數(shù)式表示）應(yīng)用二：如圖5，在四邊形MNCB中，設(shè)∠M＝α，∠N＝β，α+β＜180°，四邊形的內(nèi)角∠MBC與外角∠NCD的角平分線所在的直線相交于點(diǎn)P，∠P＝．（用含有α和β的代數(shù)式表示）【拓展延伸】拓展一：如圖6，若設(shè)∠C＝x，∠B＝y(tǒng)，∠CAP＝∠CAB，∠CDP＝∠CDB，試問∠P與∠C、∠B之間的數(shù)量關(guān)系為∠P＝．（用x、y表示∠P）拓展二：如圖7，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的鄰補(bǔ)角∠BCE，猜想∠P與∠B、∠D的關(guān)系，直接寫出結(jié)論2∠P﹣∠B﹣∠D＝180°．【分析】探索一：根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，結(jié)合對頂角的性質(zhì)可求解；探索二：根據(jù)角平分線的定義可得∠BAP＝∠DAP，∠BCP＝∠DCP，結(jié)合（1）的結(jié)論可得2∠P＝∠B+∠D，再代入計算可求解；探索三：運(yùn)用探索一和探索二的結(jié)論即可求得答案；應(yīng)用一：如圖4，延長BM、CN，交于點(diǎn)A，利用三角形內(nèi)角和定理可得∠A＝α+β﹣180°，再運(yùn)用角平分線定義及三角形外角性質(zhì)即可求得答案；應(yīng)用二：如圖5，延長MB、NC，交于點(diǎn)A，設(shè)T是CB的延長線上一點(diǎn)，R是BC延長線上一點(diǎn)，利用應(yīng)用一的結(jié)論即可求得答案；拓展一：運(yùn)用探索一的結(jié)論可得：∠P+∠PAB＝∠B+∠PDB，∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP，∠B+∠CDB＝∠C+∠CAB，再結(jié)合已知條件即可求得答案；拓展二：運(yùn)用探索一的結(jié)論及角平分線定義即可求得答案．【解答】解：探索一：如圖1，∵∠AOB+∠A+∠B＝∠COD+∠C+∠D＝180°，∠AOB＝∠COD，∴∠A+∠B＝∠C+∠D，故答案為∠A+∠B＝∠C+∠D；探索二：如圖2，∵AP、CP分別平分∠BAD、∠BCD，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，由（1）可得：∠1+∠B＝∠3+∠P，∠2+∠P＝∠4+∠D，∴∠B﹣∠P＝∠P﹣∠D，即2∠P＝∠B+∠D，∵∠B＝36°，∠D＝14°，∴∠P＝25°，故答案為25°；探索三：由①∠D+2∠1＝∠B+2∠3，由②2∠B+2∠3＝2∠P+2∠1，①+②得：∠D+2∠B+2∠1+2∠3＝∠B+2∠3+2∠P+2∠1∠D+2∠B＝2∠P+∠B．∴∠P＝．故答案為：∠P＝．應(yīng)用一：如圖4，由題意知延長BM、CN，交于點(diǎn)A，∵∠M＝α，∠N＝β，α+β＞180°，∴∠AMN＝180°﹣α，∠ANM＝180°﹣β，∴∠A＝180°﹣（∠AMN+∠ANM）＝180°﹣（180°﹣α+180°﹣β）＝α+β﹣180°；∵BP、CP分別平分∠ABC、∠ACB，∴∠PBC＝∠ABC，∠PCD＝∠ACD，∵∠PCD＝∠P+∠PBC，∴∠P＝∠PCD﹣∠PBC＝（∠ACD﹣∠ABC）＝∠A＝，故答案為：α+β﹣180°，；應(yīng)用二：如圖5，延長MB、NC，交于點(diǎn)A，設(shè)T是CB的延長線上一點(diǎn)，R是BC延長線上一點(diǎn)，∵∠M＝α，∠N＝β，α+β＜180°，∴∠A＝180°﹣α﹣β，∵BP平分∠MBC，CP平分∠NCR，∴BP平分∠ABT，CP平分∠ACB，由應(yīng)用一得：∠P＝∠A＝，故答案為：；拓展一：如圖6，由探索一可得：∠P+∠PAB＝∠B+∠PDB，∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP，∠B+∠CDB＝∠C+∠CAB，∵∠C＝x，∠B＝y(tǒng)，∠CAP＝∠CAB，∠CDP＝∠CDB，∴∠CDB﹣∠CAB＝∠C﹣∠B＝x﹣y，∠PAB＝∠CAB，∠PDB＝∠CDB，∴∠P+∠CAB＝∠B+∠CDB，∠P+∠CDB＝∠C+∠CAB，∴2∠P＝∠C+∠B+（∠CDB﹣∠CAB）＝x+y+（x﹣y）＝，∴∠P＝，故答案為：∠P＝；拓展二：如圖7，∵AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的鄰補(bǔ)角∠BCE，∴∠PAD＝∠BAD，∠PCD＝90°+∠BCD，由探索一得：①∠B+∠BAD＝∠D+∠BCD，②∠P+∠PAD＝∠D+∠PCD，②×2，得：③2∠P+∠BAD＝2∠D+180°+∠BCD，③﹣①，得：2∠P﹣∠B＝∠D+180°，∴2∠P﹣∠B﹣∠D＝180°，故答案為：2∠P﹣∠B﹣∠D＝180°．【點(diǎn)評】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，三角形外角性質(zhì)，角平分線定義，熟練掌握三角形內(nèi)角和定理是解題關(guān)鍵．20．（2023?雁塔區(qū)一模）如圖①，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中點(diǎn)，E為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接ED并延長到F，使得ED＝DF，連接AF、CF．（1）求證：BE∥CF；（2）若∠EBD＝∠BAC，求證：AF2＝AB2+BE2；（3）如圖②連接，探索當(dāng)∠BEC與∠BAC滿足什么數(shù)量關(guān)系時，AC＝AF，并說明理由．【分析】（1）利用SAS證明△BDE≌△CDF，可得∠EBD＝∠FCD，運(yùn)用平行線判定定理即可證得結(jié)論；（2）由全等三角形性質(zhì)可得：BE＝CF，∠EBD＝∠FCD，由等腰三角形性質(zhì)可得∠ABC＝∠ACB＝，進(jìn)而可得∠ACF＝90°，運(yùn)用勾股定理即可得出答案；（3）如圖，連接BF，先證明四邊形BECF是平行四邊形，利用平行四邊形性質(zhì)可得∠BEC＝∠BFC，再運(yùn)用四邊形內(nèi)角和為360°即可求得答案．【解答】（1）證明：∵D是BC的中點(diǎn)，∴BD＝DC，∵ED＝DF，∠EDB＝∠CDF，∴△BDE≌△CDF（SAS），∴∠EBD＝∠FCD，∴BE∥CF；（2）證明：由（1）可知△BDE≌△CDF（SAS），∴BE＝CF，∠EBD＝∠FCD，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝，∵∠EBD＝∠BAC，∴∠FCD＝∠BAC，∴∠ACF＝∠ACB+∠FCD＝+∠BAC＝90°，∴AF2＝AC2+CF2＝AB2+BE2；（3）解：當(dāng)∠BEC＝180°﹣∠BAC時，AC＝AF．理由如下：如圖，連接BF，由（1）（2）可得：BE∥CF，BE＝CF，∴∠CBE＝∠BCF，在△BCE和△CBF中，，∴△BCE≌△CBF（SAS），∴∠BEC＝∠BFC，∵AC＝AF，AB＝AC，∴∠ABF＝∠AFB，∠AFC＝∠ACF，∵四邊形ABFC的內(nèi)角和為360°，∴∠BAC+∠ABF+∠AFB+∠AFC+∠ACF＝360°，∴∠BAC+2（∠AFB+∠AFC）＝360°，∴∠BAC+2∠BFC＝360°，∴∠BAC+2∠BEC＝360°，∴∠BEC＝180°﹣∠BAC．【點(diǎn)評】本題是三角形綜合題，考查了三角形內(nèi)角和定理，四邊形內(nèi)角和，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，勾股定理等，解決問題的關(guān)鍵是運(yùn)用全等三角形的判定與性質(zhì)和等腰三角形性質(zhì)．21．（2021秋?正陽縣期末）圖1，線段AB、CD相交于點(diǎn)O，連接AD、CB，我們把形如圖1的圖形稱之為“8字形”．如圖2，在圖1的條件下，∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點(diǎn)P，并且與CD、AB分別相交于M、N．試解答下列問題：（1）在圖1中，請直接寫出∠A、∠B、∠C、∠D之間的數(shù)量關(guān)系：∠A+∠D＝∠C+∠B；（2）仔細(xì)觀察，在圖2中“8字形”的個數(shù)：6個；（3）圖2中，當(dāng)∠D＝50度，∠B＝40度時，求∠P的度數(shù)．（4）圖2中∠D和∠B為任意角時，其他條件不變，試問∠P與∠D、∠B之間存在著怎樣的數(shù)量關(guān)系．（直接寫出結(jié)果，不必證明）．【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得出∠A+∠D＝∠C+∠B；（2）根據(jù)“8字形”的定義，仔細(xì)觀察圖形即可得出“8字形”共有6個；（3）先根據(jù)“8字形”中的角的規(guī)律，可得∠DAP+∠D＝∠P+∠DCP①，∠PCB+∠B＝∠PAB+∠P②，再根據(jù)角平分線的定義，得出∠DAP＝∠PAB，∠DCP＝∠PCB，將①+②，可得2∠P＝∠D+∠B，進(jìn)而求出∠P的度數(shù)；（4）同（3），根據(jù)“8字形”中的角的規(guī)律及角平分線的定義，即可得出2∠P＝∠D+∠B．【解答】解：（1）∵∠A+∠D+∠AOD＝∠C+∠B+∠BOC＝180°，∠AOD＝∠BOC，∴∠A+∠D＝∠C+∠B，故答案為：∠A+∠D＝∠C+∠B；（2）①線段AB、CD相交于點(diǎn)O，形成“8字形”；②線段AN、CM相交于點(diǎn)O，形成“8字形”；③線段AB、CP相交于點(diǎn)N，形成“8字形”；④線段AB、CM相交于點(diǎn)O，形成“8字形”；⑤線段AP、CD相交于點(diǎn)M，形成“8字形”；⑥線段AN、CD相交于點(diǎn)O，形成“8字形”；故“8字形”共有6個，故答案為：6；（3）∠DAP+∠D＝∠P+∠DCP，①∠PCB+∠B＝∠PAB+∠P，②∵∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點(diǎn)P，∴∠DAP＝∠PAB，∠DCP＝∠PCB，①+②得：∠DAP+∠D+∠PCB+∠B＝∠P+∠DCP+∠PAB+∠P，即2∠P＝∠D+∠B，又∵∠D＝50度，∠B＝40度，∴2∠P＝50°+40°，∴∠P＝45°；（4）關(guān)系：2∠P＝∠D+∠B．∠D+∠1＝∠P+∠3①∠B+∠4＝∠P+∠2②①+②得：∠D+∠1+∠4+∠B＝∠P+∠3+∠2+∠P，∵∠DAB和∠DCB的平分線AP和CP相交于點(diǎn)P，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4∴2∠P＝∠D+∠B．【點(diǎn)評】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義及閱讀理解與知識的遷移能力．（1）中根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出“8字形”中的角的規(guī)律；（2）是考查學(xué)生的觀察理解能力，需從復(fù)雜的圖形中辨認(rèn)出“8字形”；（3）（4）直接運(yùn)用“8字形”中的角的規(guī)律解題．22．（2022秋?天門期中）如圖，已知∠A＝50°，∠D＝40°（1）求∠1度數(shù)；（2）求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和可得∠1＝∠A+∠C，∠2＝∠B+∠D，然后利用三角形的內(nèi)角和定理列式計算即可得解．【解答】解：（1）∠1＝∠A+∠D＝90°；（2）∵∠1＝∠A+∠D，∠2＝∠B+∠E，∠1+∠2+∠C＝180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°．【點(diǎn)評】本題考查了三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確識圖是解題的關(guān)鍵．23．（2021秋?大興區(qū)期末）在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，點(diǎn)D是直線AC上一動點(diǎn)，連接BD并延長至點(diǎn)E，使ED＝BD．過點(diǎn)E作EF⊥AC于點(diǎn)F．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段AC上（點(diǎn)D不與點(diǎn)A和點(diǎn)C重合）時，此時DF與DC的數(shù)量關(guān)系是DF＝DC．（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段AC的延長線上時，依題意補(bǔ)全圖形，并證明：2AD＝AF+EF．（3）當(dāng)點(diǎn)D在線段CA的延長線上時，直接用等式表示線段AD，AF，EF之間的數(shù)量關(guān)系是AF＝2AD+EF．【分析】（1）由∠ACB＝90°、EF⊥AC得到∠EFD＝∠BCD，結(jié)合BD＝ED、∠EDF＝∠BDC得證△EDF≌△BDC，然后得到DF＝DC；（2）同（1）理得證△BDC≌△EDF，然后得到CD＝FD、BC＝EF，然后由AC＝BC得到2AD＝AF+EF；（3）同（1）理得證△DFE≌△DCB，然后得到EF＝BC、DF＝DC，再結(jié)合AC＝BC得到AF、AD、EF的數(shù)量關(guān)系．【解答】解：（1）∵EF⊥AC，∴∠EFD＝∠BCD＝90°，∵∠EDF＝∠BDC，ED＝BD，∴△EDF≌△BDC（AAS），∴DF＝DC．（2）圖形補(bǔ)充如圖（1），證明如下，同（1）理得，△BDC≌△EDF，∴BC＝EF，DC＝DF，∵AD＝AC+CD，AC＝BC，∴2AD＝AD+AC+CD＝AD+EF+DF＝AF+EF．（3）根據(jù)題意作出圖形如圖（2），由（1）得，△BDC≌△EDF，∴DF＝DC，EF＝BC，∵DC＝AD+CD，∴DF＝AD+AC＝AD+EF，∴AF＝DF+AD＝2AD+EF，故答案為：AF＝2AD+EF．【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知8字型全等三角形模型．24．（2021秋?訥河市期中）已知如圖1，線段AB、CD相交于點(diǎn)O，連接AD、CB，我們把形如圖1的圖形稱之為“8字形”．如圖2，在圖1的條件下，∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點(diǎn)P，并且與CD、AB分別相交于M、N．試解答下列問題：（1）在圖1中，請直接寫出∠A、∠B、∠C、∠D之間的數(shù)量關(guān)系：∠A+∠D＝∠C+∠B；（2）仔細(xì)觀察，在圖2中“8字形”的個數(shù)：六個；（3）在圖2中，若∠D＝40°，∠B＝36°，試求∠P的度數(shù)；（4）如果圖2中∠D和∠B為任意角時，其他條件不變，試問∠P與∠D、∠B之間存在著怎樣的數(shù)量關(guān)系．（直接寫出結(jié)論即可）【分析】∠A、∠B、∠C、∠D之間的數(shù)量關(guān)系根據(jù)這四個角分別是兩個三角形的內(nèi)角，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理就可以得到．根據(jù)以上的結(jié)論，以及角平分線的定義就可以求出∠P的度數(shù)．【解答】解：（1）結(jié)論：∠A+∠D＝∠C+∠B；（2）結(jié)論：六個；（3）由∠D+∠1+∠2＝∠B+∠3+∠4①（∵∠AOD＝∠COB），由∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴40°+2∠1＝36°+2∠3∴∠3﹣∠1＝2°（1）由∠ONC＝∠B+∠4＝∠P+∠2，②∴∠P＝∠B+∠4﹣∠2＝36°+2°＝38°；（4）由①∠D+2∠1＝∠B+2∠3，由②2∠B+2∠3＝2∠P+2∠1①+②得：∠D+2∠B+2∠1+2∠3＝∠B+2∠3+2∠P+2∠1∠D+2∠B＝2∠P+∠B．∴∠P＝．【點(diǎn)評】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理以及角平分線的定義就可以求出角的度數(shù)．25．（2022秋?江岸區(qū)期末）已知△ABC是等邊三角形．（1）如圖1，點(diǎn)D是AB邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P為射線AC上一動點(diǎn)，當(dāng)△CDP是軸對稱圖形時，∠APD的度數(shù)為15°，60°，105°；（2）如圖2，AE∥BC，點(diǎn)D在AB邊上，點(diǎn)F在射線AE上，且DC＝DF，作FG⊥AC于G，當(dāng)點(diǎn)D在AB邊上移動時，請同學(xué)們探究線段AD，AC，CG之間有什么數(shù)量關(guān)系，并對結(jié)論加以證明；（3）如圖3，點(diǎn)R在BC延長線上，連接AR，S為AR上一點(diǎn)，AS＝BC，連接BS交AC于T，若AT＝2n，SR＝n，直接寫出線段的值為．【分析】（1）先根據(jù)題意得到△CDP是等腰三角形，再分三種情況進(jìn)行討論：CP＝DP，CD＝CP，CD＝DP，分別畫出圖形進(jìn)行計算即可；（2）延長BA，過點(diǎn)F作FH⊥BH于H，連接CF；延長EA，過點(diǎn)D作DN⊥EN于點(diǎn)N，過點(diǎn)D作DM⊥AC于M．證明Rt△FAH≌Rt△FAG，即可得到AH＝AG；證明Rt△NDF≌Rt△MDC，即可得到∠NDF＝∠MDC；再根據(jù)∠FDC＝60°，即可證明△DCF是等邊三角形，進(jìn)而得到CF＝CD＝DF；最后證明Rt△FHD≌Rt△FGC，即可得出CG＝DH；再根據(jù)線段的和差關(guān)系即可得出結(jié)論；（3）過點(diǎn)R作DE∥AB交BS的延長線于點(diǎn)D，交AC的延長線于點(diǎn)E，在BC上截取BF＝CT，連接AF，先證明△ABF≌△BCT，得到∠BAF＝∠CBT；再證明∠FAR＝∠AFR，得到AR＝FR；證明△ECR為等邊三角形，設(shè)CE＝ER＝CR＝m，AB＝AC＝BC＝a，求出a＝m+n，證明△ABT≌△EDT，即可得到AT＝ET＝2n，求出m＝n，最后依據(jù)CT＝n，AR＝n，即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）∵等腰三角形為軸對稱圖形，∴當(dāng)△CDP為軸對稱圖形時，△CDP為等腰三角形，∵△ABC為等邊三角形，∴∠ACB＝60°，∵點(diǎn)D是AB邊的中點(diǎn)，∴CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD＝∠ACB＝30°；當(dāng)CP＝DP時，如圖所示：∴∠PDC＝∠PCD＝30°，∴∠APD＝∠PDC+∠PCD＝60°；當(dāng)CD＝CP，點(diǎn)P在線段AC上時，如圖所示：∴∠CDP＝∠CPD＝（180°﹣30°）＝75°，∴∠APD＝∠PDC+∠PCD＝105°；點(diǎn)P在線段AC的延長線上時，如圖所示：∵∠ACD＝30°，∴∠PCD＝180°﹣30°＝150°，∵CD＝CP，∴∠CDP＝∠CPD＝（180°﹣150°）＝15°，即∠APD＝15°，當(dāng)CD＝DP時，點(diǎn)P在CA的延長線上，不在射線AC上；綜上所述，∠APD的度數(shù)為15°，60°，105°．故答案為：15°，60°，105°．（2）解：AC+AD＝2CG．理由：延長BA，過F作FH⊥BH于H，連接CF，延長EA，過點(diǎn)D作DN⊥EN于N，過點(diǎn)D作DM⊥AC于M，如圖所示：∵△ABC為等邊三角形，∴∠ACB＝∠BAC＝60°，∵AE∥BC，∴∠EAC＝∠ACB＝60°，∴∠FAH＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠FAH＝∠EAC，∵FH⊥AH，F(xiàn)G⊥AC，∴FH＝FG，∵AF＝AF，∴Rt△FAH≌Rt△FAG（HL），∴AH＝AG，∵∠NAD＝∠HAF＝60°，∴∠NAD＝∠DAM＝60°，∵DN⊥AN，DM⊥AM，∴DN＝DM，∵DF＝DC，∴Rt△NDF≌Rt△MDC（HL），∴∠NDF＝∠MDC，∴∠NDF﹣∠MDF＝∠MDC﹣∠MDF，∴∠NDM＝∠FDC，∵∠ADN＝90°﹣∠NAD＝30°，∠ADM＝90°﹣∠DAM＝30°，∴∠NDM＝30°+30°＝60°，∴∠FDC＝60°，∵DF＝DC，∴△DCF是等邊三角形，∴CF＝CD＝DF，∵FH＝FG，F(xiàn)D＝FC，∴Rt△FHD≌Rt△FGC（HL），∴CG＝DH，∴CG＝DH＝AD+AH＝AD+AG，∴AG＝CG﹣AD，∴AC＝CG+AG＝CG+CG﹣AD＝2CG﹣AD，即AC+AD＝2CG；（3）過點(diǎn)R作DE∥AB交BS的延長線于點(diǎn)D，交AC的延長線于點(diǎn)E，在BC上截取BF＝CT，連接AF，如圖所示：在△ABF和△BCT中，，∴△ABF≌△BCT（SAS），∴∠BAF＝∠CBT，設(shè)∠BAF＝∠CBT＝α，則∠ABS＝60°﹣α，∵AS＝BC＝AB，∴∠ASB＝∠ABS＝60°﹣α，∴∠BA