北師大版數(shù)學九年級下冊第二章測試題及答案解析（一）

北師大版數(shù)學九年級下冊第二章測試題（一）

（二次函數(shù)）

一、選擇題

1.已知m,n,k為非負實數(shù)，且m-k+l=2k+n=l,則代數(shù)式2k2-8k+6的最小

值為（）

A.-2B.0C.2D.2.5

2.當-2WxWl時，二次函數(shù)y=-（x-m）2+m2+l有最大值4,則實數(shù)m的

值為（）

A.一工B.e或2或D.2或

44

3.定義符號min{a,b}的含義為：當a2b時min{a,b}=b；當a<b時

min{a,b}=a.如:min{1,-3}=-3.min{-4,-2}=-4.則min{-x2+l,

-x）的最大值是（）

A.B.痣+1C.1D.0

22

4.如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經過點（0,-2）,與x軸交點的橫坐標

5.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線所表示的函數(shù)解析式為y=-2（x-h）

2+k,則下列結論正確的是（）

A.h>0,k>0B.h<0,k>0C.h<0,k<0D.h>0,k<0

6.如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a#0)的圖象的頂點在第一象限，且過點

(0,1)和(-1,0).下列結論：①ab<0,②b2>4a,③0<a+b+c<2,④0

<b<l,⑤當x>-l時，y>0,其中正確結論的個數(shù)是()

A.5個B.4個C.3個D.2個

7.二次函數(shù)y=ax2+bx+c(aNO)的圖象如圖所示，則下列結論中正確的是

A.a>0B.當-1VXV3時，y>0

C.c<0D.當x》l時，y隨x的增大而增大

8.二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，則下列結論正確的是()

a<0,b<0,c>0,b2-4ac>0B.a>0,b<0,c>0,b2-4ac<0

a<0,b>0,c<0,b2-4ac>0D.a<0,b>0,c>0,b2-4ac>0

9.已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(aWO)的圖象經過點(xi，0)、(2,0),且-2V

xi<-1,與y軸正半軸的交點在(0,2)的下方，則下列結論：①abcVO；②

b2>4ac；③2a+b+l<0；④2a+c>0.則其中正確結論的序號是()

A.①②B.②③C.①②④D.①②③④

10.已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(aWO)的圖象如圖所示，則下列結論中正確的

是()

B.3是方程ax2+bx+c=O的一個根

C.a+b+c=O

D.當xVl時，y隨x的增大而減小

11.在反比例函數(shù)y=2中，當x>0時，y隨x的增大而增大，則二次函數(shù)

x

y=mx2+mx的圖象大致是圖中的()

12.二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a#0)的圖象如圖所示，下列結論正確的是

C.當-lVx<3時，y>0D.一'=1

2a

13.已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(aWO)的圖象如圖所示，則下列五個結論中:

①a+b+cVO；②a-b+c>0；③2a-b<0；@abc<0；⑤4a+2b+c>0,錯誤的個

數(shù)有()

14.如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與y軸正半軸相交，其頂點的坐標為

(―,1),下列結論：①c>0；②b?-4ac>0；③a+b=O；?4ac-b2>4a,其中

2

A.①B.②C.③D.④

15.如圖，已知二次函數(shù)的圖象與x軸的兩個交點分別為(-1,0),(3,0),

對于下列結論：①2a+b=0；②abcVO；③a+b+c>0；④當x>l時，y隨x的增

16.二次函數(shù)y=ax2+bx+c(aWO)的圖象如圖所示，則下列說法不正確的是

A.b2-4ac>0B.a>0C.c>0D.^<0

二、填空題

17.用一根長為32cm的鐵絲圍成一個矩形，則圍成矩形面積的最大值是

____cm2.

18.把二次函數(shù)y=x2-12x化為形如y=a(x-h)2+k的形式.

19.如圖，P是拋物線y=-x2+x+2在第一象限上的點，過點P分別向x軸和y

軸引垂線，垂足分別為A,B,則四邊形。APB周長的最大值為.

20.二次函數(shù)y=-x2+bx+c的圖象如圖所示，則一次函數(shù)y=bx+c的圖象不經過

第

三、解答題

21.已知二次函數(shù)y=x2+mx+n的圖象經過點P(-3,1),對稱軸是經過(-

1,0)且平行于y軸的直線.

⑴求m、n的值；

(2)如圖，一次函數(shù)y=kx+b的圖象經過點P,與x軸相交于點A,與二次函數(shù)的

圖象相交于另一點B,點B在點P的右側，PA：PB=1：5,求一次函數(shù)的表達

式.

22.如圖，在平面直角坐標系中，正方形OABC的邊長為4,頂點A、C分別在

x軸、y軸的正半軸，拋物線y=-L<2+bx+c經過B、C兩點，點D為拋物線的頂

2

點，連接AC、BD、CD.

⑴求此拋物線的解析式.

(2)求此拋物線頂點D的坐標和四邊形ABCD的面積.

23.已知拋物線y=-x2+bx+c經過點A(3,0),B(-1,0).

⑴求拋物線的解析式；

⑵求拋物線的頂點坐標.

24.如圖，拋物線y=ax2+2x+c經過點A(0,3),B(-1,0),請解答下列問

題：

⑴求拋物線的解析式；

(2)拋物線的頂點為點D,對稱軸與x軸交于點E,連接BD,求BD的長.

注：拋物線y=ax?+bx+c(aWO)的頂點坐標是(-二，4ac-b).

2a4a

25.已知二次函數(shù)圖象的頂點坐標為(1,-1),且經過原點(0,0),求該函

數(shù)的解析式.

26.如圖①，已知拋物線y=ax2+bx+c經過點A(0,3),B(3,0),C(4,3).

⑴求拋物線的函數(shù)表達式；

(2)求拋物線的頂點坐標和對稱軸；

⑶把拋物線向上平移，使得頂點落在x軸上，直接寫出兩條拋物線、對稱軸和

y軸圍成的圖形的面積S(圖②中陰影部分).

參考答案與試題解析

1.已知m,n,k為非負實數(shù)，且m-k+l=2k+n=l,則代數(shù)式2k2-8k+6的最

小值為()

A.-2B.0C.2D.2.5

【考點】H7：二次函數(shù)的最值.

【專題】選擇題

【分析】首先求出k的取值范圍，進而利用二次函數(shù)增減性得出k=工時，代數(shù)

2

式2k2-8k+6的最小值求出即可.

【解答】解：；m,n,k為非負實數(shù)，且m-k+l=2k+n=l,

Am,n,k最小為0,當n=0時，k最大為：—,

2

V2k2-8k+6=2(k-2)2-2,

/.a=2>0,，kW2時,代數(shù)式2k2-8k+6的值隨k的增大而減小，

.?.k=工時，代數(shù)式2k2-8k+6的最小值為：2X(±)2-8X1+6=2.5.

222

故選D.

【點評】此題主要考查了二次函數(shù)的最值求法以及二次函數(shù)增減性等知識，根

據二次函數(shù)增減性得出kJj寸，代數(shù)式2k2-8k+6的最小值是解題關鍵.

2

2.當-2<xWl時，二次函數(shù)y=-(x-m)2+m2+l有最大值4,則實數(shù)m

的值為()

A.-工B.2或D.2或愿或工

44

【考點】H7：二次函數(shù)的最值.

【專題】選擇題

【分析】根據對稱軸的位置，分三種情況討論求解即可.

【解答】解：二次函數(shù)的對稱軸為直線x=m,

①mV-2時，x=-2時二次函數(shù)有最大值，

止匕時一(-2-m)2+m2+l=4,

解得m=-工，與mV-2矛盾，故m值不存在；

4

②當時，x=m時，二次函數(shù)有最大值，

此時，m2+l=4,

解得m=-m=?(舍去)；

③當m>l時，x=l時二次函數(shù)有最大值，

此時,-(1-m)2+m2+l=4>

解得m=2,

綜上所述，m的值為2或一行.

故選C.

【點評】本題考查了二次函數(shù)的最值問題，難點在于分情況討論.

3.定義符號min{a,b}的含義為：當a2b時min{a,b}=b；當a<b時

min{a,b}=a.如：min{1,-3}=-3,min{-4,-2}=-4.則min{-x2+l,

-x}的最大值是()

A.返IB..近+1C.1D.0

22

【考點】H7：二次函數(shù)的最值；F6：正比例函數(shù)的性質.

【專題】選擇題

【分析】理解min{a,b}的含義就是取二者中的較小值，畫出函數(shù)圖象草圖，

利用函數(shù)圖象的性質可得結論.

【解答】解：在同一坐標系xOy中，畫出函數(shù)二次函數(shù)y=-x2+l與正比例函數(shù)

y=-x的圖象，如圖所示.設它們交于點A、B.

令-x2+l=-x,即x2-x-l=0,解得：x=±t近或上匹，

22

...A（上&辰-I）,B退運,二造）.

2222

觀察圖象可知：

①當x＜士YG時，min{-x2+l,-x}=-x2+l,函數(shù)值隨x的增大而增大，其最

_2

大值為近工；

2_

2

②當為5Vx〈上班時，min{-x+l（-x}=-x,函數(shù)值隨x的增大而減小，

22

其最大值為返工；

2

③當X》上班時，min{-x2+l,-x}=-x2+l,函數(shù)值隨x的增大而減小，最大

2

值為土叵

2_

綜上所示，min（-x2+l,-x}的最大值是叵L

【點評】本題考查了二次函數(shù)與正比例函數(shù)的圖象與性質，充分理解定義

min{a,b}和掌握函數(shù)的性質是解題的關鍵.

4.如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經過點（0,-2）,與x軸交點的橫坐標

【考點】H4：二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系；HA：拋物線與x軸的交點.

【專題】選擇題

【分析】由開口方向，可確定a>0；由當x=-1時，y=a-b+c>0,可確定B

錯誤；由對稱軸在v軸右側且在直線x=l左側，可確定x=-且VI；由二次函

2a

數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經過點（0,-2）,對稱軸在y軸右側，a>0,可得最小

值：4ac-b2<_2,即可確定D正確.

4a

【解答】解:A、???開口向上，???a>0,故本選項錯誤;

B、;當x=-1時，y=a-b+c>0,故本選項錯誤；

C、?.?對稱軸在y軸右側且在直線x=l左側，...xn-旦VI,故本選項錯誤；

2a

D、?.?二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經過點（0,-2）,對稱軸在y軸右側，a>

0,

.?.最小值：4ac-b2<-2,

4a

.".4ac-b2<-8a.

故本選項正確.

故選D.

【點評】此題考查了圖象與二次函數(shù)系數(shù)之間的關系.此題難度適中，注意掌

握數(shù)形結合思想的應用.

5.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線所表示的函數(shù)解析式為y=-2（x-h）

2+k,則下列結論正確的是（)

A.h>0,k>0B.h<0,k>0C.h<0,k<0D.h>0,k<0

【考點】H4：二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系.

【專題】選擇題

【分析】根據拋物線所的頂點坐標在x軸的上方即可得出結論.

【解答】解：二?拋物線y=-2（x-h）2+k的頂點坐標為（h,k）,由圖可知，

拋物線的頂點坐標在第一象限，

/.h>0,k>0.

故選A.

【點評】本題考查的是二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關系，熟知二次函數(shù)的頂點式

是解答此題的關鍵.

6.如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+c（aWO）的圖象的頂點在第一象限，且過點

（0,1）和（-1,0）.下列結論：①abVO,②b2>4a,③0Va+b+cV2,④0

<b<l,⑤當x>-l時，y>0,其中正確結論的個數(shù)是（)

A.5個B.4個C.3個D.2個

【考點】H4：二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系.

【專題】選擇題

【分析】由拋物線的對稱軸在y軸右側，可以判定a、b異號，由此確定①正

確；

由拋物線與x軸有兩個交點得到b2-4ac>0,又拋物線過點（0,1）,得出

C=l,由此判定②正確；

由拋物線過點（-1,0）,得出a-b+c=o,即2=13-1,由a<0得出b<l；由a

<0,及ab<0,得出b>0,由此判定④正確；

由a-b+c=O,及b>0得出a+b+c=2b>0；由b<l,c=l,a<0,得出a+b+c<

a+l+l<2,由此判定③正確；

由圖象可知，當自變量x的取值范圍在一元二次方程ax2+bx+c=O的兩個根之間

時，函數(shù)值y>0,由此判定⑤錯誤.

【解答】解：?.?二次函數(shù)y=ax2+bx+c（aWO）過點（0,1）和（-1,0）,

/.c=l,a-b+c=O.

①：拋物線的對稱軸在y軸右側，，x=--L>0,

2a

與b異號，，abVO,正確；

②???拋物線與X軸有兩個不同的交點，，b2-4ac>0,

Vc=l,b2-4a>0,b2>4a,正確；

④：拋物線開口向下，??.aVO,

Vab<0,.*.b>0.

Va-b+c=O,c=l,a=b-1,

Va<0,Ab-l<0,b<l,

；.0<b<l,正確；

（3）Va-b+c=O,/.a+c=b,

.\a+b+c=2b>0.

Vb<l,c=l,aVO,

「?a+b+c=a+b+1Va+l+l=a+2<0+2=2,

.*.0<a+b+c<2,正確；

2

⑤拋物線y=ax+bx+c與x軸的一個交點為（-1,0）,設另一個交點為（x0,

0）,則x0>0,

由圖可知，當xo>x>-l時，y>0,錯誤；

綜上所述，正確的結論有①②③④.

故選B.

【點評】本題主要考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)之間的關系，不等式的性質，難度

適中.二次函數(shù)y=ax2+bx+c(aWO),a的符號由拋物線開口方向決定；b的符

號由對稱軸的位置及a的符號決定；c的符號由拋物線與y軸交點的位置決

定；拋物線與x軸的交點個數(shù)，決定了b2-4ac的符號，此外還要注意二次函

數(shù)與方程之間的轉換.

7.二次函數(shù)y=ax2+bx+c(aWO)的圖象如圖所示，則下列結論中正確的是

()

A.a>0B.當-1<XV3時，y>0

C.c<0D.當x21時，y隨x的增大而增大

【考點】H4：二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系.

【專題】選擇題

【分析】由拋物線的開口方向判斷a與0的關系，由拋物線與y軸的交點判斷

c與0的關系，然后根據對稱軸及拋物線與x軸交點情況進行推理，進而對所

得結論進行判斷.

【解答】解：A、拋物線的開口方向向下，則a<0.故A選項錯誤；

B、根據圖示知，拋物線的對稱軸為x=l,拋物線與x軸的一交點的橫坐標是-

1,則拋物線與x軸的另一交點的橫坐標是3,

所以當-1VXV3時，y>0.故B選項正確；

C、根據圖示知，該拋物線與y軸交于正半軸，則c>0.故C選項錯誤；

D、根據圖示知，當xel時，y隨x的增大而減小，故D選項錯誤.

故選B.

【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系.二次函數(shù)y=ax2+bx+c系數(shù)符

號由拋物線開口方向、對稱軸、拋物線與y軸的交點拋物線與x軸交點的個數(shù)

確定.

8.二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，則下列結論正確的是()

A.a<0,b<0,c>0,b2-4ac>0B.a>0,b<0,c>0,b2-4ac<0

C.a<0,b>0,c<0,b2-4ac>0D.a<0,b>0,c>0,b2-4ac>0

【考點】H4：二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系.

【專題】選擇題

【分析】由拋物線的開口方向判斷a與0的關系，再結合拋物線的對稱軸與y

軸的關系判斷b與0的關系，由拋物線與y軸的交點判斷c與0的關系，根據

拋物線與x軸交點的個數(shù)判斷b2-4ac與0的關系.

【解答】解：???拋物線的開口向下，

/.a<0,

?.?對稱軸在y軸右邊，

...a,b異號即b>0,

?.?拋物線與y軸的交點在正半軸，

/.c>0,

?.?拋物線與x軸有2個交點，

b2-4ac>0.

故選D.

【點評】二次函數(shù)y=ax2+bx+c系數(shù)符號的確定：

(l)a由拋物線開口方向確定：開口方向向上，則a>0；否則aVO.

(2)b由對稱軸和a的符號確定：由對稱軸公式x=上判斷符號.

2a

(3)c由拋物線與y軸的交點確定：交點在y軸正半軸，則c>0；否則cVO.

(4)b2-4ac由拋物線與x軸交點的個數(shù)確定：2個交點，b2-4ac>0；1個交

點,b2-4ac=0；沒有交點,b2-4ac<0.

9.已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(aWO)的圖象經過點(Xi,0)、(2,0),且-2<

xi<-1,與y軸正半軸的交點在(0,2)的下方，則下列結論：①abcVO；②

b2>4ac；③2a+b+lV0；?2a+c>0.則其中正確結論的序號是()

A.①②B.②③C.①②④D.①②③④

【考點】H4：二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系.

【專題】選擇題

【分析】由于拋物線過點(xi，0)、(2,0),且-2Vxi<-1,與y軸正半軸相

交，則得到拋物線開口向下，對稱軸在y軸右側，于是可判斷a<0,b>0,c

>0,所以abc<0；利用拋物線與x軸有兩個交點得到b2-4ac>0,即b2>

4ac；由于x=2時，y=0,即4a+2b+c=0,變形得2a+b+&0,則根據0VcV2得

2

2a+b+l>0；根據根與系數(shù)的關系得到2xi=S,即k=上，所以-2〈上V-1,

a2a2a

變形即可得到2a+c>0.

【解答】解：如圖，

?.,二次函數(shù)y=ax2+bx+c(aWO)的圖象經過點(xi，0)、(2,0),且-2VxiV

-1,與y軸正半軸相交，

，aV0,c>0,對稱軸在y軸右側，即*=>0,

2a

Ab>0,

Aabc<0,所以①正確；

?.?拋物線與X軸有兩個交點，

b2-4ac>0,BPb2>4ac,所以②正確；

當x=2時，y=0,即4a+2b+c=0,

2a+b+&=0,

2

V0<c<2,

.,.2a+b+l>0,所以③錯誤；

,二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a#0)的圖象經過點(xi，0)、(2,0),

二方程ax2+bx+c=0(a#0)的兩根為Xi,2,

2XI=￡>,即xi=-2_,

a2a

而-2Vxi<-1,

，-2V上V-1,

2a

Va<0,

-4a>c>-2a,

/.2a+c>0,所以④正確.

【點評】本題考查了二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關系：二次函數(shù)y=ax2+bx+c(aW

0)的圖象為拋物線，當a>0,拋物線開口向上；對稱軸為直線x=-互；拋物

2a

線與y軸的交點坐標為(0,c)；當b2-4ac>0,拋物線與x軸有兩個交點；當

b2-4ac=0,拋物線與x軸有一個交點；當b2-4ac<0,拋物線與x軸沒有交

點.

10.已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(aWO)的圖象如圖所示，則下列結論中正確的

是()

A.a>0

B.3是方程ax2+bx+c=0的一個根

C.a+b+c=O

D.當xVl時，y隨x的增大而減小

【考點】H4：二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系；H3：二次函數(shù)的性質.

【專題】選擇題

【分析】根據拋物線的開口方向可得a<0,根據拋物線對稱軸可得方程

ax2+bx+c=O的根為x=-1,x=3；根據圖象可得x=l時，y>0；根據拋物線可直

接得到xVl時，y隨x的增大而增大.

【解答】解：A、因為拋物線開口向下，因此aVO,故此選項錯誤；

B、根據對稱軸為x=l,一個交點坐標為（-1,0）可得另一個與x軸的交點坐

標為（3,0）因此3是方程ax2+bx+c=0的一個根，故此選項正確；

C、把x=l代入二次函數(shù)y=ax2+bx+c（aWO）中得：y=a+b+c,由圖象可得，y>

0,故此選項錯誤；

D、當xVl時，y隨x的增大而增大，故此選項錯誤；

故選B.

【點評】此題主要考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系，關鍵是從拋物線中的得

到正確信息.

①二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小.

當a>0時，拋物線向上開口；當aVO時，拋物線向下開口；lai還可以決定開

口大小，lai越大開口就越小.

②一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置.

當a與b同號時（即ab>0）,對稱軸在y軸左；當a與b異號時（即ab<

0）,對稱軸在y軸右.（簡稱：左同右異）

③常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點.拋物線與y軸交于（0,c）.

④拋物線與x軸交點個數(shù).△=b2-4ac>0時，拋物線與x軸有2個交點；△

=b2-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點；△=b2-4ac<0時，拋物線與x軸沒

有交點.

11.在反比例函數(shù)y=獨中，當x>0時，y隨x的增大而增大，則二次函數(shù)

X

y=mx2+mx的圖象大致是圖中的（）

【考點】H4：二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系；G4：反比例函數(shù)的性質.

【專題】選擇題

【分析】根據反比例函數(shù)圖象的性質確定出m<0,則二次函數(shù)y=mx2+mx的圖

象開口方向向下，且與y軸交于負半軸，即可得出答案.

【解答】解：?.?反比例函數(shù)y=2,中，當x>0時，y隨x的增大而增大，

X

...根據反比例函數(shù)的性質可得m<0；

該反比例函數(shù)圖象經過第二、四象限，

...二次函數(shù)y=mx2+mx的圖象開口方向向下，且與y軸交于負半軸.

,只有A選項符合.

故選A.

【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象、反比例函數(shù)圖象.利用反比例函數(shù)的性

質，推知mVO是解題的關鍵，體現(xiàn)了數(shù)形結合的思想.

12.二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a#O)的圖象如圖所示，下列結論正確的是

A.a<0B.b2-4ac<0

C.當-1VXV3時，y>0D.--L=1

2a

【考點】H4：二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系.

【專題】選擇題

【分析】根據二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關系對各選項進行逐一分析即可.

【解答】解：A、?.?拋物線的開口向上，...a〉。，故選項A錯誤；

B、?.?拋物線與x軸有兩個不同的交點，.?.△=b2-4ac>0,故選項B錯誤；

C、由函數(shù)圖象可知，當-1VXV3時，y<0,故選項C錯誤；

D、?.?拋物線與x軸的兩個交點分別是(-1,0),(3,0),.?.對稱軸x=-

—些行1,故選項D正確.

2a2

故選D.

【點評】本題考查的是二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關系，能利用數(shù)形結合求解是

解答此題的關鍵.

13.已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(aWO)的圖象如圖所示，則下列五個結論中：

①a+b+c<0；②a-b+c>0；③2a-b<0；④abc<0；⑤4a+2b+c>0,錯誤的個

數(shù)有()

A.1個B.2個C.3個D.4個

【考點】H4：二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系.

【專題】選擇題

【分析】分別結合圖象判定出x=l,-1,2時對應y的值，再利用對稱軸位置

以及拋物線與坐標軸交點得出答案.

【解答】解：如圖所示：當x=l時，y=a+b+cVO,故①a+b+cVO正確；

當x=-l時，y=a+b+c<0,故②a-b+c>0,錯誤；

③；--L>-1,

2a

2a

b>2a,

即2a-b<0,故此選項正確;

?.?拋物線開口向下，，a<0,

vo>--L>-1,

2a

.,.b<0,

?.?拋物線與y軸交與負半軸，

/.c<0,

.*.abc<0,

故選項④正確；

當x=2時，⑤y=4a+2b+cV0,故此選項錯誤，

故錯誤的有2個.

故選B.

【點評】此題主要考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系，熟練利用數(shù)形結合得出

是解題關鍵.

14.如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與y軸正半軸相交，其頂點的坐標為

（工，1）,下列結論：①c>0；②b2-4ac>0；③a+b=O；?4ac-b2>4a,其中

2

【考點】H4：二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系.

【專題】選擇題

【分析】①根據拋物線與y軸的交點坐標即可確定；

②根據拋物線與x軸的交點情況即可判定；

③根據拋物線的對稱軸即可判定；

④根據拋物線的頂點縱坐標即可判定.

【解答】解：①拋物線與y軸正半軸相交，，c>0,故①正確;

②拋物線與x軸相交于兩個交點，...b2-4ac>0,故②正確；

③?.?拋物線的對稱軸為x二1/二-上；L,.?.a+b=O,故③正確；

22a2

2

④?.?拋物線頂點的縱坐標為1，.m-b=i,.-.4ac-b2=4a,故④錯誤；

4a

其中錯誤的是④.

故選D.

【點評】此題主要考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)之間的關系，會利用對稱軸的范圍

求2a與b的關系，以及二次函數(shù)的自變量與對應的函數(shù)值，頂點坐標的熟練運

用.

15.如圖，已知二次函數(shù)的圖象與x軸的兩個交點分別為(-1,0),(3,0),

對于下列結論：①2a+b=0；②abcVO；③a+b+c>0；④當x>l時，y隨x的增

【考點】H4：二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系.

【專題】選擇題

【分析】根據拋物線的對稱性得到拋物線的對稱軸為直線x=l,根據拋物線對

稱軸方程得到一且=1,則可對①進行判斷；由拋物線開口方向得到aVO,由

2a

b=-2a得到b>0,由拋物線與y軸的交點在x軸上方得到c>0,則可對②進

行判斷；利用x=l時，y>0可對③進行判斷；根據二次函數(shù)的性質對④進行判

斷.

【解答】解：?.?二次函數(shù)的圖象與x軸的兩個交點分別為(-1,0),(3,0),

...拋物線的對稱軸為直線x=l,

A--L=l,即2a+b=0,所以①正確；

2a

?.?拋物線開口向下，

.,.aVO,

b=-2a,

/.b>0,

?.?拋物線與y軸的交點在x軸上方，

.,.c>0,

/.abc<0,所以②正確；

,.?x=l時，y>0,

a+b+c>0,所以③正確；

???拋物線的對稱軸為直線x=l,拋物線開口向下，

.?.當x>l時，y隨x的增大而減小，所以④正確.

故選D.

【點評】本題考查了二次函數(shù)與系數(shù)的關系：對于二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a#

0）,二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大?。寒攁>0時，拋物線向上開

口；拋物線向下開口；一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置：

當a與b同號時（即ab>0）,對稱軸在y軸左；當a與b異號時（即abVO）,

對稱軸在y軸右.常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點：拋物線與y軸交于（0,

c）.拋物線與x軸交點個數(shù)由△決定：△=b2-4ac>0時，拋物線與x軸有2個

交點；Z\=b2-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點；Z\=b2-4ac<0時,拋物線

與x軸沒有交點.

16.二次函數(shù)y=ax2+bx+c（aWO）的圖象如圖所示，則下列說法不正確的是

B.a>0C.c>0D.上<0

2a

【考點】H4：二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系.

【專題】選擇題

【分析】由拋物線的開口方向判斷a與0的關系，由拋物線與y軸的交點判斷

C與0的關系，然后根據對稱軸及拋物線與x軸交點情況進行推理，進而對所

得結論進行判斷.

【解答】解：A、正確，???拋物線與x軸有兩個交點，.?.△=b2-4ac>0；

B、正確，?.?拋物線開口向上，，a>0；

C、正確，?.?拋物線與y軸的交點在y軸的正半軸，，c>0；

D、錯誤，二?拋物線的對稱軸在x的正半軸上，-互>0.

2a

故選D.

【點評】主要考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)之間的關系，以及二次函數(shù)與方程之間

的轉換，根的判別式的熟練運用.

17.用一根長為32cm的鐵絲圍成一個矩形，則圍成矩形面積的最大值是/

cm2.

【考點】H7：二次函數(shù)的最值.

【專題】填空題

【分析】設矩形的一邊長是xcm,則鄰邊的長是(16-x)cm,則矩形的面積S

即可表示成x的函數(shù)，根據函數(shù)的性質即可求解.

【解答】解：設矩形的一邊長是xcm,則鄰邊的長是(16-x)cm.

則矩形的面積S=x(16-x),BPS=-x2+16x,

當*=-旦=-區(qū)8時，S有最大值是：64.

2a-2

故答案是:64.

【點評】本題考查了二次函數(shù)的性質，求最值得問題常用的思路是轉化為函數(shù)

問題，利用函數(shù)的性質求解.

18.把二次函數(shù)y=x2-12x化為形如y=a(x-h)2+k的形式Y=(x-6)?-

36.

【考點】H9：二次函數(shù)的三種形式.

【專題】填空題

【分析】由于二次項系數(shù)為1，所以直接加上一次項系數(shù)的一半的平方來湊完

全平方式，把一般式轉化為頂點式.

【解答】解：y=x2-12x=(x2-12x+36)-36=(x-6)2-36,即y=(x-6)2

-36.

故答案為y=(x-6)2-36.

【點評】本題考查了二次函數(shù)解析式的三種形式:

⑴一般式：y=ax2+bx+c(a#0,a^b、c為常數(shù))；

(2)頂點式:y=a(x-h)2+k；

交點式(與軸):

(3)xy=a(x-xi)(x-x2).

19.如圖，P是拋物線y=-x2+x+2在第一象限上的點，過點P分別向x軸和y

軸引垂線，垂足分別為A,B,則四邊形OAPB周長的最大值為6.

【考點】H7：二次函數(shù)的最值；H5：二次函數(shù)圖象上點的坐標特征.

【專題】填空題

【分析】設P(x,y)(2>x>0,y>0),根據矩形的周長公式得到C=-2(x-

1)2+6.根據二次函數(shù)的性質來求最值即可.

【解答】M：*.*y=-x2+x+2,

?■?當y=0時,-x2+x+2=0BP-(x-2)(x+1)=0>

解得x=2或x=-1

故設P(x,y)(2>x>0,y>0),

C=2(x+y)=2(x-x2+x+2)=-2(x-1)2+6.

當x=l時,C/大值=6,.

即：四邊形OAPB周長的最大值為6.

故答案是：6.

【點評】本題考查了二次函數(shù)的最值，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征.求二次

函數(shù)的最大(小)值有三種方法，第一種可由圖象直接得出，第二種是配方

法，第三種是公式法.本題采用了配方法.

20.二次函數(shù)y=-x?+bx+c的圖象如圖所示，則一次函數(shù)y=bx+c的圖象不經過

第四象限.

【考點】H4：二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系；F7：一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系.

【專題】填空題

【分析】由拋物線的對稱軸在y軸右側，得到a與b異號，根據拋物線開口向

下得到a小于0,故b大于0,再利用拋物線與y軸交點在y軸正半軸，得到c

大于0,利用一次函數(shù)的性質即可判斷出一次函數(shù)y=bx+c不經過的象限.

【解答】解：根據圖象得：a<0,b>0,c>0,

故一次函數(shù)y=bx+c的圖象不經過第四象限.

故答案為：四.

【點評】此題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系，以及一次函數(shù)圖象與系數(shù)的

關系，熟練掌握一次、二次函數(shù)的圖象與性質是解本題的關鍵.

21.已知二次函數(shù)y=x2+mx+n的圖象經過點P(-3,1),對稱軸是經過(-

1,0)且平行于y軸的直線.

(1)求m^n的值；

(2)如圖，一次函數(shù)y=kx+b的圖象經過點P,與x軸相交于點A,與二次函數(shù)的

圖象相交于另一點B,點B在點P的右側，PA：PB=1：5,求一次函數(shù)的表達

、

式__I.

【考點】H8：待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；FA：待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析

式.

【專題】解答題

【分析】(1)利用對稱軸公式求得m,把P(-3,1)代入二次函數(shù)y=x2+mx+n

得出n=3m-8,進而就可求得n；

(2)根據⑴得出二次函數(shù)的解析式，根據已知條件，利用平行線分線段成比例定

理求得B的縱坐標，代入二次函數(shù)的解析式中求得B的坐標，然后利用待定系

數(shù)法就可求得一次函數(shù)的表達式.

【解答】解：(I；?對稱軸是經過(-1,0)且平行于y軸的直線，

/.-—~=-1,

2X1

m=2,

??,二次函數(shù)y=x2+mx+n的圖象經過點P(-3,1),

/.9-3m+n=l,得出n=3m-8.

/?n=3m-8=-2；

(2)Vm=2,n=-2,

二次函數(shù)為y=x?+2x-2,

作PCJ_x軸于C,BDJ_x軸于D,則PC〃BD,

???-P-C-_-P-A,

BDAB

VP(-3,1),

：.PC=1,

VPA：PB=1：5,

?-?-1-,1-,

BD6

，BD=6,

，B的縱坐標為6,

代入二次函數(shù)為y=x?+2x-2得，6=x2+2x-2,

解得xi=2,X2=-4(舍去)，

AB(2,6),

.J-3k+b=l,解得,k=l,

l2k+b=6lb=4

,一次函數(shù)的表達式為y=x+4.

【點評】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式和一次函數(shù)的解析式，根

據已知條件求得B的坐標是解題的關鍵.

22.如圖，在平面直角坐標系中，正方形OABC的邊長為4,頂點A、C分別在

x軸、y軸的正半軸，拋物線y=-L<2+bx+c經過B、C兩點，點D為拋物線的頂

點，連接AC、BD、CD.

⑴求此拋物線的解析式.

(2)求此拋物線頂點D的坐標和四邊形ABCD的面積.

【考點】H8：待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；H5：二次函數(shù)圖象上點的坐標特

征.

【專題】解答題

【分析】(1)根據題意確定出B與C的坐標，代入拋物線解析式求出b與c的

值，即可確定出解析式；

⑵把拋物線解析式化為頂點形式，找出頂點坐標，四邊形ABDC面積=三角形

ABC面積+三角形BCD面積，求出即可.

【解答】解：(1)由已知得：C(0,4),B(4,4),

把B與C坐標代入y=-L<2+bx+c得：［4b+c=12,

2Ic=4

解得：b=2,c=4,

則解析式為y=--i-x2+2x+4；

2

(2)*.'y=--5-X2+2X+4=-—(x-2)2+6,

22

???拋物線頂點坐標為(2,6),

貝US四邊形ABDC=SMBC+SMCD=LX4X4+Lx4X2=8+4=12.

22

【點評】此題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，以及二次函數(shù)圖象上點的

坐標特征，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關鍵.

23.已知拋物線y=-x2+bx+c經過點A(3,0),B(-1,0).

⑴求拋物線的解析式；

(2)求拋物線的頂點坐標.

【考點】H8：待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；H3：二次函數(shù)的性質.

【專題】解答題

【分析】⑴根據拋物線y=-x2+bx+c經過點A(3,0),B(-1,0),直接得出

拋物線的解析式為；y=-(x-3)(x+1),再整理即可，

⑵根據拋物線的解析式為y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,即可得出答案.

【解答】解：⑴?.?拋物線y=-x2+bx+c經過點A