2019高三數(shù)學(xué)文北師大版一輪教師用書第8章第7節(jié)雙曲線

第七節(jié)雙曲線[考綱]1.了解雙曲線的實(shí)際背景，了解雙曲線在刻畫現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問題中的作用.2.了解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程，知道其簡單的幾何性質(zhì)(范圍、對稱性、頂點(diǎn)、離心率、漸近線).3.理解數(shù)形結(jié)合思想.4.了解雙曲線的簡單應(yīng)用．(對應(yīng)學(xué)生用書第125頁)[基礎(chǔ)知識填充]1．雙曲線的定義 (1)平面內(nèi)到兩定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之差的絕對值等于常數(shù)(大于零且小于|F1F2|)的點(diǎn)的集合叫作雙曲線．這兩個定點(diǎn)F1，F(xiàn)2叫作雙曲線，兩焦點(diǎn)之間的距離叫作 其中a，c為常數(shù)且a＞0，c＞0. (2)集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝ 其中a，c為常數(shù)且a>0，c>0. ①當(dāng)2a<|F1F2|時， ②當(dāng)2a＝|F1F2|時， ③當(dāng)2a>|F1F2|時，2．雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)圖形條件2a＜2c，c2＝a2＋b2，a＞0，b＞0，范圍x≥a或x≤－a且y∈Ry≥a或y≤－a且x∈R對稱性對稱軸坐標(biāo)軸、對稱中心原點(diǎn)頂點(diǎn)A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)焦點(diǎn)F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)漸近線y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)x實(shí)軸、虛軸線段A1A2叫作雙曲線的實(shí)軸，它的長度|A1A2|＝2a；a叫做雙曲線的實(shí)半軸長．線段B1B2叫作雙曲線的虛軸，它的長度|B1B2|＝2b；b叫做雙曲線的虛半軸長．焦距|F1F2|＝2c(c2＝a2＋b離心率e＝eq\f(c,a)∈(1，＋∞)，e越接近于＋∞時，雙曲線開口越大；e越接近于1時，雙曲線開口越小3.等軸雙曲線 實(shí)軸和虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙曲線，其漸近線方程為y＝±x，離心率為e＝eq\r(2).[知識拓展]1．巧設(shè)雙曲線方程 (1)與雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)有共同漸近線的方程可設(shè)為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0) (2)等軸雙曲線可設(shè)為x2－y2＝λ(λ≠0) (3)過已知兩個點(diǎn)的雙曲線方程可設(shè)為eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1(mn＜0)2．焦點(diǎn)三角形的面積 雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)上一點(diǎn)P(x0，y0)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的焦點(diǎn)三角形F1PF2中，若∠F1PF2＝θ，則S△F1PF2＝eq\f(1,2)|PF1|·|PF2|·sinθ＝eq\f(sinθ,1－cosθ)·b2.3．離心率與漸近線的斜率的關(guān)系 e2＝1＋eq\f(b2,a2)，其中eq\f(b,a)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或\f(a,b)))是漸近線的斜率．4．過焦點(diǎn)垂直于實(shí)軸的弦長 過焦點(diǎn)垂直于實(shí)軸的半弦長為eq\f(b2,a).[基本能力自測]1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)平面內(nèi)到點(diǎn)F1(0,4)，F(xiàn)2(0，－4)距離之差的絕對值等于8的點(diǎn)的軌跡是雙曲線．() (2)方程eq\f(x2,m)－eq\f(y2,n)＝1(mn>0)表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線．() (3)雙曲線eq\f(x2,m2)－eq\f(y2,n2)＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的漸近線方程是eq\f(x2,m2)－eq\f(y2,n2)＝0，即eq\f(x,m)±eq\f(y,n)＝0.() (4)等軸雙曲線的漸近線互相垂直，離心率等于eq\r(2).() [答案](1)×(2)×(3)√(4)√2．(教材改編)已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,3)＝1(a>0)的離心率為2，則a＝() A．2 B．eq\f(\r(6),2) C．eq\f(\r(5),2) D．1 D[依題意，e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(a2＋3),a)＝2，∴eq\r(a2＋3)＝2a，則a2＝1，a＝1.]3．(2017·福州質(zhì)檢)若雙曲線E：eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在雙曲線E上，且|PF1|＝3，則|PF2|等于() A．11 B．9 C．5 D．3 B[由題意知a＝3，b＝4，∴c＝5.由雙曲線的定義||PF1|－|PF2||＝|3－|PF2||＝2a＝6，∴|PF24．(2017·全國卷Ⅰ)已知F是雙曲線C：x2－eq\f(y2,3)＝1的右焦點(diǎn)，P是C上一點(diǎn)，且PF與x軸垂直，點(diǎn)A的坐標(biāo)是(1,3)，則△APF的面積為() A．eq\f(1,3) B．eq\f(1,2) C．eq\f(2,3) D．eq\f(3,2) D[因?yàn)镕是雙曲線C：x2－eq\f(y2,3)＝1的右焦點(diǎn)，所以F(2,0)． 因?yàn)镻F⊥x軸，所以可設(shè)P的坐標(biāo)為(2，yP)． 因?yàn)镻是C上一點(diǎn)，所以4－eq\f(y\o\al(2,P),3)＝1，解得yP＝±3， 所以P(2，±3)，|PF|＝3. 又因?yàn)锳(1,3)，所以點(diǎn)A到直線PF的距離為1， 所以S△APF＝eq\f(1,2)×|PF|×1＝eq\f(1,2)×3×1＝eq\f(3,2). 故選D．]5．(2016·北京高考改編)已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一條漸近線為2x＋y＝0，一個焦點(diǎn)為(eq\r(5)，0)，則雙曲線的方程為__________.【導(dǎo)學(xué)號：00090297】 x2－eq\f(y2,4)＝1[由于2x＋y＝0是eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的一條漸近線， ∴eq\f(b,a)＝2，即b＝2a， ① 又∵雙曲線的一個焦點(diǎn)為(eq\r(5)，0)，則c＝eq\r(5)， 由a2＋b2＝c2，得a2＋b2＝5， ② 聯(lián)立①②得a2＝1，b2＝4. ∴所求雙曲線的方程為x2－eq\f(y2,4)＝1.](對應(yīng)學(xué)生用書第126頁)雙曲線的定義及應(yīng)用(1)(2018·長春模擬)已知雙曲線x2－eq\f(y2,24)＝1的兩個焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，P為雙曲線右支上一點(diǎn)．若|PF1|＝eq\f(4,3)|PF2|，則△F1PF2的面積為() A．48 B．24 C．12 D．6 (2)已知圓C1：(x＋3)2＋y2＝1和圓C2：(x－3)2＋y2＝9，動圓M同時與圓C1及圓C2相外切，則動圓圓心M的軌跡方程為________.【導(dǎo)學(xué)號：00090298】 (1)B(2)x2－eq\f(y2,8)＝1(x≤－1)[(1)由雙曲線的定義可得 |PF1|－|PF2|＝eq\f(1,3)|PF2|＝2a＝2， 解得|PF2|＝6，故|PF1|＝8，又|F1F2 由勾股定理可知三角形PF1F2為直角三角形，因此S△PF1F2＝eq\f(1,2)|PF1|×|PF2|＝24. (2)如圖所示，設(shè)動圓M與圓C1及圓C2分別外切于A和B，動圓M的半徑為r，根據(jù)兩圓外切的條件得 |MC1|＝1＋r |MC2|＝3＋r 所以|MC2|－|MC1|＝2 所以點(diǎn)M到兩定點(diǎn)C1、C2的距離的差是常數(shù)且小于|C1C2 又根據(jù)雙曲線的定義，得動點(diǎn)M的軌跡為雙曲線的左支(點(diǎn)M與C2的距離大，與C1的距離小)， 其中a＝1，c＝3，則b2＝8. 故點(diǎn)M的軌跡方程為x2－eq\f(y2,8)＝1(x≤－1)．] [規(guī)律方法]1.應(yīng)用雙曲線的定義需注意的問題： 在雙曲線的定義中，要注意雙曲線上的點(diǎn)(動點(diǎn))具備的幾何條件，即“到兩定點(diǎn)(焦點(diǎn))的距離之差的絕對值為一常數(shù)，且該常數(shù)必須小于兩定點(diǎn)間的距離”．若定義中的“絕對值”去掉，點(diǎn)的軌跡是雙曲線的一支．同時需注意定義的轉(zhuǎn)化應(yīng)用． 2．在焦點(diǎn)三角形中，注意定義、余弦定理的活用，常將||PF1|－|PF2||＝2a平方，建立與|PF1|·|PF2[變式訓(xùn)練1](1)已知雙曲線C的離心率為2，焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)A在C上．若|F1A|＝2|F2A|，則cos∠AF2 A．eq\f(1,4) B．eq\f(1,3) C．eq\f(\r(2),4) D．eq\f(\r(2),3) (2)已知F1，F(xiàn)2為雙曲線eq\f(x2,5)－eq\f(y2,4)＝1的左，右焦點(diǎn)，P(3,1)為雙曲線內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)A在雙曲線上，則|AP|＋|AF2|的最小值為() A．eq\r(37)＋4 B．eq\r(37)－4 C．eq\r(37)－2eq\r(5) D．eq\r(37)＋2eq\r(5) (1)A(2)C[(1)由e＝eq\f(c,a)＝2得c＝2a，如圖，由雙曲線的定義得|F1A|－|F2A|＝2A 又|F1A|＝2|F2A|，故|F1A |F2A|＝2a，∴cos∠AF2F1＝eq\f(4a2＋2a2－4a2,2×4a×2a)＝eq\f(1,4). (2)由題意知，|AP|＋|AF2|＝|AP|＋|AF1|－2a 要求|AP|＋|AF2|的最小值，只需求|AP|＋|AF1|的最小值， 當(dāng)A，P，F(xiàn)1三點(diǎn)共線時，取得最小值， |AP|＋|AF1|＝|PF1|＝eq\r(37)， ∴|AP|＋|AF2|的最小值為|AP|＋|AF1|－2a＝eq\r(37)－2eq\r(5).故選C．]雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)(2017·天津高考)已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A在雙曲線的漸近線上，△OAF是邊長為2的等邊三角形(O為原點(diǎn))，則雙曲線的方程為() A．eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1 B．eq\f(x2,12)－eq\f(y2,4)＝1 C．eq\f(x2,3)－y2＝1 D．x2－eq\f(y2,3)＝1 (2)(2016·天津高考)已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的焦距為2eq\r(5)，且雙曲線的一條漸近線與直線2x＋y＝0垂直，則雙曲線的方程為() A．eq\f(x2,4)－y2＝1 B．x2－eq\f(y2,4)＝1 C．eq\f(3x2,20)－eq\f(3y2,5)＝1 D．eq\f(3x2,5)－eq\f(3y2,20)＝1 (1)D(2)A[(1)根據(jù)題意畫出草圖如圖所示 eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(不妨設(shè)點(diǎn)A在漸近線y＝\f(b,a)x上)). 由△AOF是邊長為2的等邊三角形得到∠AOF＝60°，c＝|OF|＝2. 又點(diǎn)A在雙曲線的漸近線y＝eq\f(b,a)x上， ∴eq\f(b,a)＝tan60°＝eq\r(3). 又a2＋b2＝4，∴a＝1，b＝eq\r(3)， ∴雙曲線的方程為x2－eq\f(y2,3)＝1. 故選D． (2)由焦距為2eq\r(5)得c＝eq\r(5).因?yàn)殡p曲線的一條漸近線與直線2x＋y＝0垂直，所以eq\f(b,a)＝eq\f(1,2). 又c2＝a2＋b2，解得a＝2，b＝1， 所以雙曲線的方程為eq\f(x2,4)－y2＝1.] [規(guī)律方法]1.確定雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程需要一個“定位”條件，兩個“定量”條件．“定位”是指確定焦點(diǎn)在哪條坐標(biāo)軸上；“定量”是指確定a，b的值，常用待定系數(shù)法．若雙曲線的焦點(diǎn)位置不能確定時，可設(shè)其方程為Ax2＋By2＝1(AB<0)． 2．對于共焦點(diǎn)、共漸近線的雙曲線方程，可靈活設(shè)出恰當(dāng)?shù)男问角蠼猓粢阎獫u近線方程為mx＋ny＝0，則雙曲線方程可設(shè)為m2x2－n2y2＝λ(λ≠0)．[變式訓(xùn)練2](1)(2015·全國卷Ⅱ)已知雙曲線過點(diǎn)(4，eq\r(3))，且漸近線方程為y＝±eq\f(1,2)x，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為__________.【導(dǎo)學(xué)號：00090299】 (2)設(shè)橢圓C1的離心率為eq\f(5,13)，焦點(diǎn)在x軸上且長軸長為26，若曲線C2上的點(diǎn)到橢圓C1的兩個焦點(diǎn)的距離的差的絕對值等于8，則曲線C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為__________． (1)eq\f(x2,4)－y2＝1(2)eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1[(1)∵雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(1,2)x，∴可設(shè)雙曲線的方程為x2－4y2＝λ(λ≠0)． ∵雙曲線過點(diǎn)(4，eq\r(3))，∴λ＝16－4×(eq\r(3))2＝4， ∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,4)－y2＝1. (2)由題意知橢圓C1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1(－5,0)，F(xiàn)2(5,0)，設(shè)曲線C2上的一點(diǎn)P，則||PF1|－|PF2||＝8. 由雙曲線的定義知：a＝4，b＝3. 故曲線C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,42)－eq\f(y2,32)＝1，即eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1.]雙曲線的簡單幾何性質(zhì)(1)(2016·全國卷Ⅱ)已知F1，F(xiàn)2是雙曲線E：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)M在E上，MF1與x軸垂直，sin∠MF2F1＝eq\f(1,3)，則E的離心率為() A．eq\r(2) B．eq\f(3,2) C．eq\r(3) D．2 (2)(2017·石家莊調(diào)研)設(shè)雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)是F，左、右頂點(diǎn)分別是A1，A2，過F作A1A2的垂線與雙曲線交于B，C兩點(diǎn)．若A1B⊥A2C，則該雙曲線的漸近線方程為__________． (1)A(2)x±y＝0[(1)如圖，因?yàn)镸F1⊥x軸，所以|MF1|＝eq\f(b2,a). 在Rt△MF1F2中，由sin∠MF2F1＝eq\f(1,3)得 tan∠MF2F1＝eq\f(\r(2),4). 所以eq\f(|MF1|,2c)＝eq\f(\r(2),4)，即eq\f(b2,2ac)＝eq\f(\r(2),4)，即eq\f(c2－a2,2ac)＝eq\f(\r(2),4)， 整理得c2－eq\f(\r(2),2)ac－a2＝0，兩邊同除以a2得e2－eq\f(\r(2),2)e－1＝0. 解得e＝eq\r(2)(負(fù)值舍去)． (2)由題設(shè)易知A1(－a,0)，A2(a,0)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，\f(b2,a)))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，－\f(b2,a))). 因?yàn)锳1B⊥A2C，所以eq\f(\f(b2,a),c＋a)·eq\f(－\f(b2,a),c－a)＝－1，整理得a＝B． 因此該雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x，即x±y＝0.] [規(guī)律方法]1.(1)求雙曲線的漸近線，要注意雙曲線焦點(diǎn)位置的影響；(2)求離心率的關(guān)鍵是確定含a，b，c的齊次方程，但一定注意e>1這一條件． 2．雙曲線中c2＝a2＋b2，可得雙曲線漸近線的斜率與離心率的關(guān)系eq\f(b,a)＝eq\r(e2－1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(e＝\f(c,a))).抓住雙曲線中“六點(diǎn)”“四線”“兩三角形”，研究a，b，c，e間相互關(guān)系及轉(zhuǎn)化，簡化解題過程．[變式訓(xùn)練3](1)(2015·全國卷Ⅱ)已知A，B為雙曲線E的左，右頂點(diǎn)，點(diǎn)M在E上，△ABM為等腰三角形，且頂角為120°，則