2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)解答題提優(yōu)思路(新高考專用)專題02圓錐曲線中的中點弦問題(點差法+聯(lián)立法)練習(xí)(學(xué)生版+解析)

專題02圓錐曲線中的中點弦問題（點差法+聯(lián)立法）目錄TOC\o"1-2"\h\u一、必備秘籍 1二、典型題型 2題型一：求直線方程 2題型二：求離心率 3題型三：求弦中點的軌跡方程 4題型四：求曲線方程 6題型五：處理存在性問題 7題型六：確定參數(shù)的取值范圍 9題型七：定值問題 11三、專項訓(xùn)練 13一、必備秘籍1、相交弦中點（點差法）直線與曲線相交，涉及到交線中點的題型，多數(shù)用點差法。按下面方法整理出式子，然后根據(jù)實際情況處理該式子。主要有以下幾種問題：（1）求中點坐標(biāo)；（2）求中點軌跡方程；（3）求直線方程；（4）求曲線；中點，，2、點差法設(shè)直線和曲線的兩個交點，，代入橢圓方程，得；；將兩式相減，可得；；最后整理得：同理，雙曲線用點差法，式子可以整理成：設(shè)直線和曲線的兩個交點，，代入拋物線方程，得；；將兩式相減，可得；整理得：二、典型題型題型一：求直線方程1．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知斜率為的直線與橢圓交于，兩點，為坐標(biāo)原點，以，為鄰邊作平行四邊形，點恰好在上．若線段的中點在直線上，則直線的方程為（

）A． B． C． D．2．（23-24高二上·山東·期中）已知中心在原點，半焦距為4的橢圓（，，）被直線方程截得的弦的中點橫坐標(biāo)為，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B．C．或 D．或3．（23-24高二上·廣東深圳·期中）已知橢圓方程為，其右焦點為，過點的直線交橢圓與，兩點．若的中點坐標(biāo)為，則橢圓的方程為（

）A． B． C． D．4．（23-24高二上·重慶·期中）已知直線與雙曲線交于、兩點，若弦的中點為，則直線的方程為.5．（2024高三·全國·專題練習(xí)）以為中點的雙曲線的弦所在直線的方程為.6．（23-24高二上·江蘇連云港·階段練習(xí)）已知拋物線，過點的直線交拋物線于兩點，若為的中點，則直線的方程為.題型二：求離心率1．（2023高三·全國·專題練習(xí)）設(shè)是橢圓上不關(guān)于坐標(biāo)軸對稱的兩點，是線段的中點，是坐標(biāo)原點，若直線與直線的斜率之積為，則橢圓的離心率為.2．（23-24高二上·云南昭通·期末）斜率為的直線與橢圓交于A，B兩點，為線段的中點，則橢圓的離心率為．3．（23-24高二上·黑龍江哈爾濱·期中）已知直線與橢圓相交于兩點，且線段的中點在直線上，則此橢圓的離心率為．4．（2024·福建廈門·二模）不與x軸重合的直線l過點N（,0）（xN≠0），雙曲線C：（a＞0，b＞0）上存在兩點A、B關(guān)于l對稱，AB中點M的橫坐標(biāo)為．若，則C的離心率為．5．（23-24高三·重慶渝中·階段練習(xí)）已知雙曲線的左、右焦點分別為，，過作直線l與雙曲線的左、右兩支分別交于A，B兩點，設(shè)P為線段AB的中點，若，則雙曲線的離心率為．6．（23-24高三下·江蘇南京·開學(xué)考試）已知F1，F(xiàn)2分別為雙曲線C:的左右焦點，過點F1且斜率存在的直線L與雙曲線C的漸近線相交于AB兩點，且點AB在x軸的上方，AB兩個點到x軸的距離之和為，若，則雙曲線的離心率題型三：求弦中點的軌跡方程1．（2024高三下·全國·專題練習(xí)）求證：橢圓中斜率為的平行弦的中點軌跡必過橢圓中心.2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）設(shè)橢圓方程為，過點的直線交橢圓于點A、B，O是坐標(biāo)原點，點P滿足，當(dāng)l繞點M旋轉(zhuǎn)時，求動點P的軌跡方程．3．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知曲線上一動點到兩定點，的距離之和為，過點的直線與曲線相交于點，．(1)求曲線的方程；(2)動弦滿足：，求點的軌跡方程；4．（23-24高二·全國·課后作業(yè)）已知橢圓．(1)過橢圓的左焦點引橢圓的割線，求截得的弦的中點的軌跡方程；(2)求斜率為2的平行弦的中點的軌跡方程；5．（23-24高三上·上海寶山·開學(xué)考試）已知曲線上一動點到兩定點，的距離之和為，過點的直線與曲線相交于點，．(1)求曲線的方程；(2)動弦滿足：，求點的軌跡方程；6．（2024高三下·全國·專題練習(xí)）已知為拋物線的焦點，點在該拋物線上且位于軸的兩側(cè)，（其中為坐標(biāo)原點）.直線在繞著定點轉(zhuǎn)動的過程中，求弦中點的軌跡方程.7．（23-24高二上·全國·課前預(yù)習(xí)）已知拋物線，過點作一條直線交拋物線于，兩點，試求弦的中點軌跡方程.題型四：求曲線方程1．（23-24高二上·云南玉溪·期末）已知橢圓C的中心為坐標(biāo)原點，一個焦點為，過F的直線l與橢圓C交于A，B兩點．若的中點為，則橢圓C的方程為（

）A． B． C． D．2．（23-24高三上·天津西青·階段練習(xí)）已知雙曲線的中心為原點，是的焦點，過的直線與相交于，兩點，且的中點為，則的方程為（

）A． B．C． D．3．（23-24高二下·河北滄州·階段練習(xí)）已知雙曲線的中心在原點且一個焦點為，直線與其相交于M，N兩點，若MN中點的橫坐標(biāo)為，則此雙曲線的方程是（

）A． B． C． D．4．（2024高三下·江蘇·專題練習(xí)）已知O為坐標(biāo)原點，點在橢圓C：上，直線l：與C交于A，B兩點，且線段AB的中點為M，直線OM的斜率為，則C的方程為.5．（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·一模）已知橢圓與直線交于兩點，且線段的中點為，則橢圓的方程為.6．（2024·上海楊浦·一模）已知拋物線的焦點為，第一象限的、兩點在拋物線上，且滿足，.若線段中點的縱坐標(biāo)為4，則拋物線的方程為.題型五：處理存在性問題1．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）已知，直線不過原點且不平行于坐標(biāo)軸，與有兩個交點，線段中點為.（1）若，點在橢圓上，分別為橢圓的兩個焦點，求的取值范圍；（2）若過點，射線與橢圓交于點，四邊形能否為平行四邊形？若能，求出此時直線的斜率；若不能，請說明理由.2．（23-24高二下·安徽宿州·期末）已知橢圓：的左、右焦點為，，點在橢圓上，且面積的最大值為，周長為6.（1）求橢圓的方程，并求橢圓的離心率；（2）已知直線：與橢圓交于不同的兩點，若在軸上存在點，使得與中點的連線與直線垂直，求實數(shù)的取值范圍3．（23-24高二下·上海浦東新·期中）已知雙曲線.(1)若離心率為，求b的值，的頂點坐標(biāo)、漸近線方程；(2)若，是否存在被點平分的弦?如果存在，求弦所在的直線方程；如不存在，請說明理由．4．（23-24高二上·河南洛陽·階段練習(xí)）已知雙曲線M與橢圓有相同的焦點，且M與圓相切．(1)求M的虛軸長．(2)是否存在直線l，使得l與M交于A，B兩點，且弦AB的中點為？若存在，求l的斜率；若不存在，請說明理由.題型六：確定參數(shù)的取值范圍1．（23-24高二上·安徽合肥·期末）設(shè)圓與兩圓中的一個內(nèi)切，另一個外切．(1)求圓心的軌跡的方程；(2)已知直線與軌跡交于不同的兩點，且線段的中點在圓上，求實數(shù)的值．2．（23-24高二上·山東菏澤·期中）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，動圓P和圓：內(nèi)切，且與圓：外切，記動圓P的圓心軌跡為E．(1)求軌跡E的方程；(2)若直線l：與E交于不同的兩點M、N，線段MN的中點記為A，且線段MN的垂直平分線過定點，求k的取值范圍．3．（23-24高二上·河南·階段練習(xí)）已知橢圓的離心率為，點在橢圓C上.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知直線與橢圓C交于P，Q兩點，點M是線段PQ的中點，直線過點M，且與直線l垂直.記直線與y軸的交點為N，求的取值范圍.4．（23-24高二上·廣東·階段練習(xí)）已知中心在原點的雙曲線的右焦點為，右頂點為．（）求雙曲線的方程；（）若直線與雙曲線交于不同的兩點，，且線段的垂直平分線過點，求實數(shù)的取值范圍．題型七：定值問題1．（23-24高二上·陜西西安·期末）已知橢圓的一個頂點為，橢圓上任一點到兩個焦點的距離之和．(1)求橢圓C的方程；(2)是否存在實數(shù)m，使直線與橢圓有兩個不同的交點M、N，并使，若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．2．（23-24高二上·遼寧盤錦·期中）已知橢圓的焦距為4，且離心率為．(1)求橢圓C的方程；(2)若直線與橢圓C交于不同的兩點M，N，且線段MN的中點P在圓上，求m的值．3．（2024·云南·模擬預(yù)測）設(shè)圓與兩圓中的一個內(nèi)切，另一個外切.(1)求圓心的軌跡的方程；(2)已知直線與軌跡交于不同的兩點，且線段的中點在圓上，求實數(shù)的值.4．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知傾斜角為45°的直線l過點A(1,-2)和點B，B在第一象限，.（1）求點B的坐標(biāo)；（2）若直線與雙曲線相交于E,F兩點，且線段EF的中點坐標(biāo)為，求a的值.5．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知長為的線段的中點為原點，圓經(jīng)過兩點且與直線相切，圓心的軌跡為曲線.(1)求曲線的方程；(2)過點且互相垂直的直線分別與曲線交于點和點，且，四邊形的面積為，求實數(shù)的值.三、專項訓(xùn)練一、單選題1．（23-24高二上·安徽六安·期末）已知橢圓的右焦點為，過點的直線交橢圓于兩點，若的中點坐標(biāo)為，則橢圓的方程為（

）A． B．C． D．2．（23-24高二上·河北石家莊·期末）已知橢圓，是橢圓的一條弦的中點，點在直線上，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．3．（23-24高二上·山西太原·期末）在橢圓中，以點為中點的弦所在的直線方程為（

）A． B． C． D．三、解答題12．（23-24高二下·北京·開學(xué)考試）已知橢圓的離心率，橢圓上任意一點到橢圓的兩個焦點的距離之和為4.若直線過點，且與橢圓相交于不同的兩點.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若線段中點的縱坐標(biāo)，求直線的方程.13．（23-24高二上·江蘇連云港·期中）已知雙曲線E：的左、右焦點分別為，，斜率為2的直線l與E的一條漸近線垂直，且交E于A，B兩點，.(1)求E的方程；(2)設(shè)點P為線段AB的中點，求直線OP的方程.14．（2023·陜西漢中·模擬預(yù)測）已知拋物線的焦點為，點在拋物線上，且．(1)求拋物線的方程；(2)已知直線交拋物線于兩點，且點為線段的中點，求直線的方程．專題02圓錐曲線中的中點弦問題（點差法+聯(lián)立法）目錄TOC\o"1-2"\h\u一、必備秘籍 1二、典型題型 2題型一：求直線方程 2題型二：求離心率 6題型三：求弦中點的軌跡方程 11題型四：求曲線方程 17題型五：處理存在性問題 21題型六：確定參數(shù)的取值范圍 25題型七：定值問題 31三、專項訓(xùn)練 35一、必備秘籍1、相交弦中點（點差法）直線與曲線相交，涉及到交線中點的題型，多數(shù)用點差法。按下面方法整理出式子，然后根據(jù)實際情況處理該式子。主要有以下幾種問題：（1）求中點坐標(biāo)；（2）求中點軌跡方程；（3）求直線方程；（4）求曲線；中點，，2、點差法設(shè)直線和曲線的兩個交點，，代入橢圓方程，得；；將兩式相減，可得；；最后整理得：同理，雙曲線用點差法，式子可以整理成：設(shè)直線和曲線的兩個交點，，代入拋物線方程，得；；將兩式相減，可得；整理得：二、典型題型題型一：求直線方程1．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知斜率為的直線與橢圓交于，兩點，為坐標(biāo)原點，以，為鄰邊作平行四邊形，點恰好在上．若線段的中點在直線上，則直線的方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意，利用點差法得到，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及點在橢圓上得到，求出k和點M的坐標(biāo)，結(jié)合直線的點斜式方程即可求解.【詳解】設(shè)，，，則，兩式相減，得，故，即①．又四邊形為平行四邊形，為線段的中點，所以為線段的中點，所以，又P在橢圓上，所以，即②．由①②，得，故直線的方程為，即．故選：B．2．（23-24高二上·山東·期中）已知中心在原點，半焦距為4的橢圓（，，）被直線方程截得的弦的中點橫坐標(biāo)為，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B．C．或 D．或【答案】B【分析】由點差法可得弦的中點坐標(biāo)與弦所在直線的斜率關(guān)系，運(yùn)算可得解.【詳解】設(shè)直線與橢圓相交于兩點，弦的中點坐標(biāo)是，則，直線的斜率.由，得，得，所以，即，，，，，所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：B.3．（23-24高二上·廣東深圳·期中）已知橢圓方程為，其右焦點為，過點的直線交橢圓與，兩點．若的中點坐標(biāo)為，則橢圓的方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】計算，設(shè)，，代入橢圓方程相減得到，解得答案.【詳解】的中點坐標(biāo)為，則，設(shè)，，則，，相減得到：，即，，又，，解得，，橢圓的方程為.故選：C.4．（23-24高二上·重慶·期中）已知直線與雙曲線交于、兩點，若弦的中點為，則直線的方程為.【答案】【分析】利用點差法可求出直線的斜率，利用點斜式可得出直線的方程.【詳解】若直線軸，則的中點在軸上，不合乎題意，設(shè)點、，因為若弦的中點為，則，因為，可得，即，所以，，因此，直線的方程為，即.聯(lián)立可得，，所以，直線與雙曲線有兩個交點，合乎題意，因此，直線的方程為，故答案為：.5．（2024高三·全國·專題練習(xí)）以為中點的雙曲線的弦所在直線的方程為.【答案】【分析】利用點差法先求得弦所在直線的斜率，再利用點斜式即可求得直線的方程，再驗算一下與雙曲線是否有兩個交點可保萬無一失.【詳解】設(shè)是雙曲線的弦的中點，且，則，因為在雙曲線上，所以，兩式相減，得，故，所以，故以中點的雙曲線的弦所在的直線方程為，即，聯(lián)立，消去，得，因為，所以以為中點的雙曲線的弦所在的直線方程為.故答案為：.6．（23-24高二上·江蘇連云港·階段練習(xí)）已知拋物線，過點的直線交拋物線于兩點，若為的中點，則直線的方程為.【答案】【分析】設(shè)出，的坐標(biāo)，代入拋物線方程，利用作差法，結(jié)合中點坐標(biāo)公式代入先求出直線的斜率，再利用點斜式方程即可得到結(jié)論.【詳解】設(shè)，，由題意，因為，在拋物線上，所以，，兩式相減得，，整理得，，即直線的斜率，直線的中點為，，，所以直線的方程為，化簡得.故答案為：.

題型二：求離心率1．（2023高三·全國·專題練習(xí)）設(shè)是橢圓上不關(guān)于坐標(biāo)軸對稱的兩點，是線段的中點，是坐標(biāo)原點，若直線與直線的斜率之積為，則橢圓的離心率為.【答案】/【分析】利用點差法即可得到，最后利用離心率公式即可.【詳解】設(shè)點，則，把，的坐標(biāo)代入橢圓方程可得:，兩式作差可得：，即，所以，即，所以橢圓的離心率為，故答案為：.2．（23-24高二上·云南昭通·期末）斜率為的直線與橢圓交于A，B兩點，為線段的中點，則橢圓的離心率為．【答案】/【分析】令，應(yīng)用點差法及直線斜率、中點坐標(biāo)得，即可求離心率.【詳解】令，則，可得，所以，又為線段的中點，且直線斜率為，所以，則.故答案為：3．（23-24高二上·黑龍江哈爾濱·期中）已知直線與橢圓相交于兩點，且線段的中點在直線上，則此橢圓的離心率為．【答案】/【分析】聯(lián)立，得到線段的中點為，設(shè)與的交點分別為，，利用點差法能求出橢圓的離心率.【詳解】聯(lián)立得：，所以直線與直線的交點坐標(biāo)為，所以線段的中點為，設(shè)與的交點分別為，，所以，，則，，分別把，代入到橢圓得：，兩式相減得：，因為直線為：，所以，且，所以，所以，即，所以，所以，所以，所以.故答案為：4．（2024·福建廈門·二模）不與x軸重合的直線l過點N（,0）（xN≠0），雙曲線C：（a＞0，b＞0）上存在兩點A、B關(guān)于l對稱，AB中點M的橫坐標(biāo)為．若，則C的離心率為．【答案】2【分析】由點差法得，結(jié)合得，代入斜率公式化簡并利用可求得離心率.【詳解】設(shè)，則，兩式相減得，即，即，所以，因為是AB垂直平分線，有，所以，即，化簡得，故.故答案為：25．（23-24高三·重慶渝中·階段練習(xí)）已知雙曲線的左、右焦點分別為，，過作直線l與雙曲線的左、右兩支分別交于A，B兩點，設(shè)P為線段AB的中點，若，則雙曲線的離心率為．【答案】/【分析】由可得點P，求得,由點差法得,可求得離心率.【詳解】如圖:,由,,可得點P的坐標(biāo)為，則直線OP斜率為,直線AB斜率為，另一方面，設(shè)則,兩式相減得,整理得,即，故．故答案為:6．（23-24高三下·江蘇南京·開學(xué)考試）已知F1，F(xiàn)2分別為雙曲線C:的左右焦點，過點F1且斜率存在的直線L與雙曲線C的漸近線相交于AB兩點，且點AB在x軸的上方，AB兩個點到x軸的距離之和為，若，則雙曲線的離心率【答案】【分析】根據(jù)得為直角三角形，進(jìn)而根據(jù)點差法得中點弦的性質(zhì)即可求解.【詳解】設(shè),，設(shè)的中點為，由于，故,因此為直角三角形，故，由于，所以，進(jìn)而可得，故或，由在雙曲線漸近線上，所以，進(jìn)而，當(dāng)時，,，所以，當(dāng)時，,，所以不符合題意，舍去，綜上：故離心率為，故答案為：題型三：求弦中點的軌跡方程1．（2024高三下·全國·專題練習(xí)）求證：橢圓中斜率為的平行弦的中點軌跡必過橢圓中心.【答案】證明見解析.【分析】根據(jù)點差法可求出平行弦的中點的軌跡方程為，顯然直線經(jīng)過橢圓中心原點.【詳解】設(shè)斜率為1的直線與橢圓交于點兩點，.中點坐標(biāo)為，所以，，所以，，作差得，，即有，即，因為弦的中點在橢圓內(nèi)部，所以，即，解得，故平行弦的中點的軌跡方程為，，過原點，所以橢圓中斜率為1的平行弦的中點軌跡過橢圓中心.2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）設(shè)橢圓方程為，過點的直線交橢圓于點A、B，O是坐標(biāo)原點，點P滿足，當(dāng)l繞點M旋轉(zhuǎn)時，求動點P的軌跡方程．【答案】【分析】設(shè)出直線的方程，A，B的坐標(biāo)，聯(lián)立直線與橢圓的方程，利用韋達(dá)定理表示出，利用直線方程表示出，然后利用，求得的坐標(biāo)，設(shè)出P的坐標(biāo)，然后聯(lián)立方程消去參數(shù)k，求得x和y的關(guān)系式，即為P點軌跡方程．【詳解】直線過點，設(shè)其斜率為k，則的方程為記、，化簡得，，所以，，于是設(shè)點P的坐標(biāo)為則，消去參數(shù)k得③當(dāng)k不存在時，A、B中點為坐標(biāo)原點，也滿足方程③，所以點P的軌跡方程為3．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知曲線上一動點到兩定點，的距離之和為，過點的直線與曲線相交于點，．(1)求曲線的方程；(2)動弦滿足：，求點的軌跡方程；【答案】(1)(2)；【分析】(1)根據(jù)橢圓的定義，可以直接寫出動點P的軌跡方程；(2)由條件可知M是線段AB的中點，按照圓錐曲線中點弦的思路，運(yùn)用點差法即可求解.【詳解】（1）因為動點到兩定點，的距離之和為，所以曲線是以，為焦點的橢圓，，，所以，，所以曲線的方程為；（2）因為，所以為中點，設(shè)，當(dāng)?shù)男甭蚀嬖谇也粸?時，將，代入橢圓方程中得：兩式相減得，即，所以，即，，整理得；當(dāng)?shù)男甭什淮嬖诨驗?時，有或，也滿足；所以點的軌跡方程是；綜上，曲線的方程為，點的軌跡方程是.4．（23-24高二·全國·課后作業(yè)）已知橢圓．(1)過橢圓的左焦點引橢圓的割線，求截得的弦的中點的軌跡方程；(2)求斜率為2的平行弦的中點的軌跡方程；【答案】(1)（在橢圓內(nèi)部分）(2)（在橢圓內(nèi)部分）【分析】（1）設(shè)弦與橢圓兩交點坐標(biāo)分別為、，設(shè)，進(jìn)而分和，結(jié)合點差法求解即可；（2）結(jié)合（1）中(*)式，代入，，整理即可；【詳解】（1）解：設(shè)弦與橢圓兩交點坐標(biāo)分別為、，設(shè)，當(dāng)時，．當(dāng)時，，兩式相減得，即(*)，因為，，，所以，代入上式并化簡得，顯然滿足方程.所以點P的軌跡方程為（在橢圓內(nèi)部分）．（2）解：設(shè)，在（1）中式子里，將，，代入上式并化簡得點Q的軌跡方程為（在橢圓內(nèi)部分）．所以，點的軌跡方程（在橢圓內(nèi)部分）.5．（23-24高三上·上海寶山·開學(xué)考試）已知曲線上一動點到兩定點，的距離之和為，過點的直線與曲線相交于點，．(1)求曲線的方程；(2)動弦滿足：，求點的軌跡方程；【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)橢圓的定義即可求解，（2）根據(jù)點差法和中點弦即可根據(jù)斜率關(guān)系進(jìn)行求解，【詳解】（1）因為動點到兩定點，的距離之和為，所以曲線是以，為焦點的橢圓，，，所以，，所以曲線的方程為；（2）因為，所以為中點，設(shè)，當(dāng)?shù)男甭蚀嬖谇也粸?時，將，代入橢圓方程中得：兩式相減得，故故得，所以，所以，整理得；當(dāng)?shù)男甭什淮嬖诨驗?時，或，出滿足；所以點的軌跡方程是；6．（2024高三下·全國·專題練習(xí)）已知為拋物線的焦點，點在該拋物線上且位于軸的兩側(cè)，（其中為坐標(biāo)原點）.直線在繞著定點轉(zhuǎn)動的過程中，求弦中點的軌跡方程.【答案】【分析】求出直線過的定點，設(shè)出三點的坐標(biāo)，利用點差法求得三個坐標(biāo)之間的關(guān)系將定點坐標(biāo)代入化簡可得中點的軌跡方程.【詳解】設(shè)直線為，設(shè)，由，得，因為點在拋物線上，所以，所以，解得或（舍去），由，得，由，得，則，得，所以直線恒過定點，設(shè)，則，因為點在拋物線上，所以，兩式相減得，當(dāng)時，，即，因為直線恒過定點，所以，所以，所以，當(dāng)，亦滿足上式所以所求為.7．（23-24高二上·全國·課前預(yù)習(xí)）已知拋物線，過點作一條直線交拋物線于，兩點，試求弦的中點軌跡方程.【答案】.【分析】方法1：利用點差法，設(shè)點作差，要考慮斜率不存在的情況；方法2：可設(shè)出直線的方程，將其與拋物線方程聯(lián)立，可得一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系及中點坐標(biāo)公式，消參即可得軌跡方程，同時要考慮斜率不存在的情況.【詳解】方法1：設(shè)，，弦的中點為，則，當(dāng)直線的斜率存在時，.因為兩式相減，得.所以，即，即.當(dāng)直線斜率不存在，即軸時，的中點為，適合上式，故所求軌跡方程為.方法2：當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為（），由得.所以所以.設(shè)，，的中點為，則，.所以.所以消去參數(shù)，得.當(dāng)直線的斜率不存在時，即軸時，的中點為，適合上式，故所求軌跡方程為.題型四：求曲線方程1．（23-24高二上·云南玉溪·期末）已知橢圓C的中心為坐標(biāo)原點，一個焦點為，過F的直線l與橢圓C交于A，B兩點．若的中點為，則橢圓C的方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意涉及到中點弦，采用點差法求解即可.【詳解】不妨設(shè)橢圓方程為，由題意得：，兩式作差得：，整理得：，因為AB的中點為，，所以，所以，所以，又因為，所以.故選：A．2．（23-24高三上·天津西青·階段練習(xí)）已知雙曲線的中心為原點，是的焦點，過的直線與相交于，兩點，且的中點為，則的方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】求出直線的方程，并設(shè)出雙曲線的方程，再聯(lián)立并借助中點坐標(biāo)即可計算作答.【詳解】直線的方程為：，即，設(shè)雙曲線的方程為：，由消去y并整理得：，，因弦的中點為，于是得，即，而，解得，滿足，所以雙曲線的方程為，即.故選：C3．（23-24高二下·河北滄州·階段練習(xí)）已知雙曲線的中心在原點且一個焦點為，直線與其相交于M，N兩點，若MN中點的橫坐標(biāo)為，則此雙曲線的方程是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)雙曲線的方程為，，，，，運(yùn)用點差法，以及中點坐標(biāo)公式和直線的斜率公式，可得，的方程，結(jié)合，，的關(guān)系，解方程可得，，進(jìn)而得到所求雙曲線的方程．【詳解】解：設(shè)雙曲線的方程為，由題意可得，①設(shè)，，，，可得，，兩式相減可得，由題意可得的中點坐標(biāo)為，直線的斜率為，則，②由①②解得，，所以雙曲線的方程為．故選：A．4．（2024高三下·江蘇·專題練習(xí)）已知O為坐標(biāo)原點，點在橢圓C：上，直線l：與C交于A，B兩點，且線段AB的中點為M，直線OM的斜率為，則C的方程為.【答案】【分析】根據(jù)點差法，結(jié)合斜率公式可得，進(jìn)而根據(jù)橢圓經(jīng)過點，即可求解.【詳解】設(shè)，則∵在橢圓上，則兩式相減得，整理得∴，即，則又∵點在橢圓C：上，則聯(lián)立解得∴橢圓C的方程為故答案為：5．（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·一模）已知橢圓與直線交于兩點，且線段的中點為，則橢圓的方程為.【答案】【分析】代入直線，求得直線斜率，然后利用點差法化簡計算即可得出結(jié)果．【詳解】代入直線，可得：，，所以直線方程為：.設(shè)，代入橢圓方程得，兩式相減得：，即,又，所以，又因為直線的斜率為，所以，解得：.所以橢圓的方程為.故答案為：.6．（2024·上海楊浦·一模）已知拋物線的焦點為，第一象限的、兩點在拋物線上，且滿足，.若線段中點的縱坐標(biāo)為4，則拋物線的方程為.【答案】【分析】先根據(jù)焦半徑公式得到的關(guān)系，然后根據(jù)弦長公式求解出，結(jié)合兩點間斜率公式以及點在拋物線上求解出的值，則拋物線方程可求.【詳解】設(shè)，因為，所以，所以，又因為，所以，因為都在第一象限，所以，又因為且，所以，所以，所以拋物線方程為，故答案為：.題型五：處理存在性問題1．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）已知，直線不過原點且不平行于坐標(biāo)軸，與有兩個交點，線段中點為.（1）若，點在橢圓上，分別為橢圓的兩個焦點，求的取值范圍；（2）若過點，射線與橢圓交于點，四邊形能否為平行四邊形？若能，求出此時直線的斜率；若不能，請說明理由.【答案】（1）；（2）能，.【分析】（1）求得焦點坐標(biāo)，設(shè)，運(yùn)用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，結(jié)合橢圓的范圍，可得所求范圍；（2）設(shè)A，B的坐標(biāo)分別為運(yùn)用中點坐標(biāo)公式和點差法，直線的斜率公式，結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)，即可得到所求斜率.【詳解】（1）當(dāng)時，橢圓，橢圓的兩個焦點.設(shè)，則，即，所以，所以因為，所以所以的范圍是.（2）設(shè)A，B的坐標(biāo)分別為可得.則，兩式相減可得，即.又設(shè)，直線，即直線的方程為，從而代入橢圓方程可得，.由與聯(lián)立得.若四邊形OAPB為平行四邊形，那么M也是OP的中點，所以，即，整理可得，解得.經(jīng)檢驗滿足題意，所以當(dāng)時，四邊形OAPB為平行四邊形.2．（23-24高二下·安徽宿州·期末）已知橢圓：的左、右焦點為，，點在橢圓上，且面積的最大值為，周長為6.（1）求橢圓的方程，并求橢圓的離心率；（2）已知直線：與橢圓交于不同的兩點，若在軸上存在點，使得與中點的連線與直線垂直，求實數(shù)的取值范圍【答案】（1），橢圓的離心率（2）【分析】（1）利用基本量法，列方程，求解即可．（2）聯(lián)立方程組，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出的中點的坐標(biāo)，根據(jù)與中點的連線與直線垂直得出點橫坐標(biāo)的表達(dá)式，利用基本不等式得出的取值范圍．【詳解】（1）由題意得，解之得，，，所以橢圓的方程為，橢圓的離心率；（2）由得，設(shè)，，則，，所以線段中點的坐標(biāo)為，則，整理得，因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時上式取得等號，此時取得最小值，因為，所以，所以實數(shù)的取值范圍是.【點睛】本題考查了橢圓的性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．3．（23-24高二下·上海浦東新·期中）已知雙曲線.(1)若離心率為，求b的值，的頂點坐標(biāo)、漸近線方程；(2)若，是否存在被點平分的弦?如果存在，求弦所在的直線方程；如不存在，請說明理由．【答案】(1)，頂點坐標(biāo)，漸近線；(2)不存在，理由見解析.【分析】(1)根據(jù)離心率和a、b、c的關(guān)系即可求出b，根據(jù)雙曲線的性質(zhì)可求其頂點坐標(biāo)和漸近線方程；(2)假設(shè)存在被M平分的弦，利用點差法求出弦的斜率和方程，將弦的方程代入雙曲線方程判斷是否有兩個解即可．【詳解】（1），a＝1，故雙曲線頂點為，漸近線方程為；（2）當(dāng)時，雙曲線為，假設(shè)雙曲線存在被點平分的弦，設(shè)弦的兩個端點為，，則，，∵A、B在雙曲線上，∴，①－②得：，則，∴弦AB所在直線方程為：，代入雙曲線方程得，∵，故AB與雙曲線無交點，假設(shè)不成立．故不存在被點平分的弦．4．（23-24高二上·河南洛陽·階段練習(xí)）已知雙曲線M與橢圓有相同的焦點，且M與圓相切．(1)求M的虛軸長．(2)是否存在直線l，使得l與M交于A，B兩點，且弦AB的中點為？若存在，求l的斜率；若不存在，請說明理由.【答案】(1)(2)存在，2【分析】（1）根據(jù)題意得出雙曲線方程后求解；（2）中點弦問題，可用點差法，化簡后得到斜率，然后代回檢驗.【詳解】（1）因為橢圓的焦點坐標(biāo)為所以可設(shè)M的方程為．因為M與圓相切，所以，則，故M的虛軸長．（2）由（1）知，M的方程為．設(shè)A，B兩點的坐標(biāo)分別為，，則兩式相減得，假設(shè)存在直線l滿足題意．則所以，因此l的方程為，代入M的方程，整理得，，l與M相交，故存在直線l滿足題意，且l的斜率為2．題型六：確定參數(shù)的取值范圍1．（23-24高二上·安徽合肥·期末）設(shè)圓與兩圓中的一個內(nèi)切，另一個外切．(1)求圓心的軌跡的方程；(2)已知直線與軌跡交于不同的兩點，且線段的中點在圓上，求實數(shù)的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系結(jié)合雙曲線的定義分析求解；（2）聯(lián)立方程結(jié)合韋達(dá)定理運(yùn)算求解.【詳解】（1）圓的圓心為，半徑為1，圓的圓心為，半徑為1，設(shè)圓的半徑為，若圓與圓內(nèi)切，與圓外切，則，可得；若圓與圓內(nèi)切，與圓外切，則，可得；綜上所述：，可知：圓心的軌跡是以、為焦點的雙曲線，且，可得，所以圓心的軌跡的方程.（2）聯(lián)立方程，消去y得，則，可知直線與雙曲線相交，設(shè)，線段的中點為，

可得，即，且在圓上，則，解得，所以實數(shù)的值為.2．（23-24高二上·山東菏澤·期中）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，動圓P和圓：內(nèi)切，且與圓：外切，記動圓P的圓心軌跡為E．(1)求軌跡E的方程；(2)若直線l：與E交于不同的兩點M、N，線段MN的中點記為A，且線段MN的垂直平分線過定點，求k的取值范圍．【答案】(1);(2)或.【分析】（1）由圓的內(nèi)切，外切位置關(guān)系可得，，即，由橢圓的定義，分析即得解；（2）聯(lián)立直線與橢圓，結(jié)合韋達(dá)定理求解弦中點坐標(biāo)，用斜率表示直線的垂直關(guān)系可得，代入，求解即可.【詳解】（1）由題意，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，圓心，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心，不妨設(shè)動圓P的半徑為，動圓P和圓內(nèi)切，故；動圓P和圓外切，故，即，又，故動圓P的圓心軌跡是以為焦點的橢圓，，即軌跡E的方程是：.（2）由題意，聯(lián)立直線與橢圓：，可得，不妨設(shè)，則，即，，線段MN的中點橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)，線段MN的垂直平分線過定點，故，即，代入可得，，即即，解得或.3．（23-24高二上·河南·階段練習(xí)）已知橢圓的離心率為，點在橢圓C上.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知直線與橢圓C交于P，Q兩點，點M是線段PQ的中點，直線過點M，且與直線l垂直.記直線與y軸的交點為N，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）求出后可得橢圓的方程.（2）聯(lián)立直線的方程和橢圓方程，消去后利用韋達(dá)定理可用表示，利用換元法和二次函數(shù)的性質(zhì)可求的取值范圍.【詳解】（1）由題意可得，解得，.故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)，，.聯(lián)立，整理得，則，解得，從而，.因為M是線段PQ的中點，所以，則，故.直線的方程為，即.令，得，則，所以.設(shè)，則，故.因為，所以，所以.4．（23-24高二上·廣東·階段練習(xí)）已知中心在原點的雙曲線的右焦點為，右頂點為．（）求雙曲線的方程；（）若直線與雙曲線交于不同的兩點，，且線段的垂直平分線過點，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2）.【詳解】試題分析：（1）由雙曲線的右焦點為，右頂點為求出和,進(jìn)而根據(jù)求得,則雙曲線方程可得；（2）把直線方程與雙曲線方程聯(lián)立，消去，利用判別式大于求得和的不等式關(guān)系，設(shè)的中點為，根據(jù)韋達(dá)定理表示出和，根據(jù)，可知的斜率為，進(jìn)而求得和的關(guān)系，最后綜合可求得的范圍.試題解析：（）設(shè)雙曲線方程為．由已知得，，，∴．故雙曲線的方程為．（）聯(lián)立，整理得．∵直線與雙曲線有兩個不同的交點，∴，可得．（）設(shè)、，的中點為．則，，．由題意，，∴．整理得．（）將（）代入（），得，∴或．又，即．∴的取值范圍是．【方法點晴】本題主要考查待定系數(shù)求橢圓方程以及直線與橢圓的位置關(guān)系，屬于難題.用待定系數(shù)法求橢圓方程的一般步驟；①作判斷：根據(jù)條件判斷橢圓的焦點在軸上，還是在軸上，還是兩個坐標(biāo)軸都有可能；②設(shè)方程：根據(jù)上述判斷設(shè)方程或；③找關(guān)系：根據(jù)已知條件，建立關(guān)于、、的方程組；④得方程：解方程組，將解代入所設(shè)方程，即為所求.題型七：定值問題1．（23-24高二上·陜西西安·期末）已知橢圓的一個頂點為，橢圓上任一點到兩個焦點的距離之和．(1)求橢圓C的方程；(2)是否存在實數(shù)m，使直線與橢圓有兩個不同的交點M、N，并使，若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)不存在，理由見解析【分析】（1）結(jié)合橢圓的定義，結(jié)合頂點坐標(biāo)，即可求橢圓方程；（2）首先求線段的中垂線方程，根據(jù)點在中垂線上，求，并判斷是否滿足.【詳解】（1）橢圓的一個頂點為得橢圓上任一點到兩個焦點的距離之和得即所以橢圓的方程為（2）設(shè)直線l與橢圓C兩個不同的交點∵所以，點A在線段的中垂線，下面求的方程聯(lián)立方程去y，可得由，解得設(shè)的中點為，有則的方程為即由于點A在直線的中垂線上，解得又∵所以不存在實數(shù)m滿足題意．2．（23-24高二上·遼寧盤錦·期中）已知橢圓的焦距為4，且離心率為．(1)求橢圓C的方程；(2)若直線與橢圓C交于不同的兩點M，N，且線段MN的中點P在圓上，求m的值．【答案】(1)(2)【分析】(1)由題列出關(guān)于a、b、c的方程組即可求橢圓方程；(2)聯(lián)立直線方程和橢圓方程，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求得P的坐標(biāo)，代入圓的方程即可求得m.【詳解】（1）由題意，得，解得，所以橢圓C的方程為．（2）設(shè)點M，N的坐標(biāo)分別為，，線段MN的中點為，由消y，得，，解得．所以，，所以，，因為點在圓上，所以，解得，滿足．∴．3．（2024·云南·模擬預(yù)測）設(shè)圓與兩圓中的一個內(nèi)切，另一個外切.(1)求圓心的軌跡的方程；(2)已知直線與軌跡交于不同的兩點，且線段的中點在圓上，求實數(shù)的值.【答案】(1)；(2)7.【分析】（1）根據(jù)給定信息，結(jié)合兩圓內(nèi)切、外切的定義列式求出軌跡即可得解.（2）聯(lián)立直線與軌跡的方程，并求出線段的中點坐標(biāo)即可求解.【詳解】（1）圓的圓心為，半徑為1，圓的圓心為，半徑為1，設(shè)圓的半徑為，若圓與圓內(nèi)切，與圓外切，則，得；若圓與圓內(nèi)切，與圓外切，則，得，因此，則圓心的軌跡是以為焦點的雙曲線，且實半軸長，半焦距，虛半軸長，所以圓心的軌跡的方程為.（2）由消去得：，顯然，設(shè)，線段的中點，于是，即，由在圓上，得，解得，又，所以實數(shù)的值為7.

4．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知傾斜角為45°的直線l過點A(1,-2)和點B，B在第一象限，.（1）求點B的坐標(biāo)；（2）若直線與雙曲線相交于E,F兩點，且線段EF的中點坐標(biāo)為，求a的值.【答案】（1）(4,1).（2）2【分析】（1）根據(jù)直線的傾斜角、點坐標(biāo)以及，求得點的坐標(biāo).（2）利用點差法列方程，解方程求得的值.【詳解】(1)依題意，所以點B的坐標(biāo)為(4,1).(2)設(shè)直線與曲線交于兩點，的中點為，則有E、F既在直線上又在曲線上，則；；（1）-（2）并化簡得：，即，代入點(4,1)，得，因為，可得a=2.【點睛】本小題主要考查雙曲線中的中點弦問題求解，屬于基礎(chǔ)題.5．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知長為的線段的中點為原點，圓經(jīng)過兩點且與直線相切，圓心的軌跡為曲線.(1)求曲線的方程；(2)過點且互相垂直的直線分別與曲線交于點和點，且，四邊形的面積為，求實數(shù)的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）直接寫出圓心符合的等量關(guān)系式，進(jìn)而得到曲線的方程；（2）先用點差法求出方程，再聯(lián)立曲線，用弦長公式求，根據(jù)垂直，同理可求，再表示面積即可求出實數(shù)的值.【詳解】（1）由題意知圓心在線段的垂直平分線上，則,設(shè)，圓的半徑為，則，又圓與直線相切，故，于是，化簡得，所以曲線的方程為.（2）設(shè)，根據(jù)可得為的中點，則，得，即，所以直線.聯(lián)立方程，得，得，由，得，所以，所以.設(shè)，因為互相垂直，易知直線，聯(lián)立方程，得，得，由，得，所以，所以.則四邊形的面積為.令，化簡得，解得（舍）或，符合，所以.三、專項訓(xùn)練一、單選題1．（23-24高二上·安徽六安·期末）已知橢圓的右焦點為，過點的直線交橢圓于兩點，若的中點坐標(biāo)為，則橢圓的方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】點差法得到，從而得到，結(jié)合，求出，得到橢圓方程.【詳解】由題意，設(shè)，代入橢圓方程，可得兩式相減可，變形可得，又過點的直線交橢圓于兩點，且的中點為，所以，代入上式可得，，又，解得，所以橢圓的方程為.故選：C2．（23-24高二上·河北石家莊·期末）已知橢圓，是橢圓的一條弦的中點，點在直線上，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，求出直線的方程，與橢圓的方程聯(lián)立結(jié)合韋達(dá)定理求出的關(guān)系計算即得.【詳解】依題意，直線的斜率，直線的方程為，即，由消去并整理得：，則，即，設(shè)，則，而弦的中點為，即，于是，解得，此時所以橢圓的離心率.故選：C3．（23-24高二上·山西太原·期末）在橢圓中，以點為中點的弦所在的直線方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先確定點在橢圓內(nèi)部，設(shè)交點為，代入橢圓方程做差，然后整理可得直線斜率，利用點斜式可得直線方程.【詳解】因為，故點在橢圓內(nèi)部，過點的直線恒與橢圓有兩個交點，設(shè)交點為，則，又，兩式相減得，整理得，所以以點為中點的弦所在的直線方程為，即.故選：C.4．（23-24高二上·湖南衡陽·期末）已知斜率為2的直線與橢圓交于兩點，為線段的中點，為坐標(biāo)原點，若的斜率為，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用點差法求解.【詳解】設(shè)，則，兩式作差可得，因為，又，所以，所以的離心率為.故選：D5．（2024·陜西寶雞·模擬預(yù)測）已知直線與雙曲線交于兩點，點是弦的中點，則雙曲線的離心率為（

）A．2 B． C． D．3【答案】A【分析】利用點差法可求的關(guān)系，從而可求雙曲線的離心率.【詳解】設(shè)，則，且，所以，整