華東師大版九年級數(shù)學(xué)上冊壓軸題攻略專題12難點(diǎn)探究專題：相似三角形中動點(diǎn)問題壓軸題六種模型全攻略(原卷版+解析)

專題12難點(diǎn)探究專題：相似三角形中動點(diǎn)問題壓軸題六種模型全攻略【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點(diǎn)一相似三角形動點(diǎn)中求時間多解問題（利用分類討論思想）】 1【考點(diǎn)二相似三角形動點(diǎn)中求線段長多解問題（利用分類討論思想）】 6【考點(diǎn)三相似三角形動點(diǎn)中求線段及線段和最值問題】 14【考點(diǎn)四相似三角形中的動點(diǎn)問題與函數(shù)圖像問題】 24【考點(diǎn)五相似三角形中的動點(diǎn)問題與幾何綜合問題】 31【考點(diǎn)六相似三角形中的動點(diǎn)探究應(yīng)用問題】 38【典型例題】【考點(diǎn)一相似三角形動點(diǎn)中求時間多解問題（利用分類討論思想）】例題：如圖，在中，，，，若點(diǎn)是邊上的一個動點(diǎn)，以每秒3個單位的速度按照從運(yùn)動，同時點(diǎn)從以每秒1個單位的速度運(yùn)動，當(dāng)一個動點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時，另一個動點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動，在運(yùn)動過程中，設(shè)運(yùn)動時間為，若△BPQ與相似，則的值為．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·安徽安慶·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在鈍角中，，，動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)運(yùn)動到點(diǎn)停止，動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)運(yùn)動到點(diǎn)停止．點(diǎn)運(yùn)動的速度為，點(diǎn)運(yùn)動的速度為．如果兩點(diǎn)同時運(yùn)動，那么當(dāng)以點(diǎn)，，為頂點(diǎn)的三角形與相似時，運(yùn)動的時間是秒．

2．（2023·上?！ぞ拍昙壖倨谧鳂I(yè)）如圖，厘米，厘米，動點(diǎn)、分別以2厘米/秒和1厘米/秒的速度同時開始運(yùn)動，其中點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿邊一直移動到點(diǎn)為止，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿邊一直移動到點(diǎn)為止．經(jīng)過多長時間后，與相似？3．（2022·遼寧·燈塔市第一初級中學(xué)九年級期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知點(diǎn)A（0，6）、點(diǎn)B（8，0），動點(diǎn)P從點(diǎn)A開始在線段AO上以每秒1個單位長度的速度向點(diǎn)O移動，同時動點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始在線段BA上以每秒2個單位長度的速度向點(diǎn)A移動，設(shè)點(diǎn)P、Q移動的時間為t秒．(1)當(dāng)t為何值時，△APQ與△AOB相似？(2)當(dāng)t為何值時，△APQ的面積為？【考點(diǎn)二相似三角形動點(diǎn)中求線段長多解問題（利用分類討論思想）】例題：（2023·黑龍江佳木斯·統(tǒng)考一模）在矩形中，，，點(diǎn)在邊上．且，是射線ED上的一個動點(diǎn)．若是等腰直角三角形，則的長為．【變式訓(xùn)練】1．（2023·河南洛陽·統(tǒng)考一模）矩形中，，，點(diǎn)E是的動點(diǎn)，若，則的長為．2．（2023春·江蘇無錫·八年級宜興市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在矩形中，，，連接，點(diǎn)M，N分別是邊，上的動點(diǎn)，連接，將沿折疊，使點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)P始終落在上，當(dāng)為直角三角形時，線段的長為．3．（2023·江蘇鹽城·?？家荒＃┤鐖D，在中，，，，點(diǎn)是邊上一動點(diǎn)，過點(diǎn)作交邊于點(diǎn)，將沿直線翻折，點(diǎn)落在線段上的處，連接，當(dāng)為等腰三角形時，的長為．4．（2023·山東濟(jì)寧·統(tǒng)考一模）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)E在邊上，且，點(diǎn)P是直線上的一個動點(diǎn)．若是直角三角形，則的長為．【考點(diǎn)三相似三角形動點(diǎn)中求線段及線段和最值問題】例題：（2023·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考二模）如圖，在直角中，，，，點(diǎn)P是邊上的動點(diǎn)，過點(diǎn)P作交于點(diǎn)H，則的最小值為．

【變式訓(xùn)練】1．（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考一模）如圖，在矩形中，，點(diǎn)E是邊的中點(diǎn)，將沿翻折得，點(diǎn)F落在四邊形內(nèi)，點(diǎn)P是線段上的動點(diǎn)，過點(diǎn)P作，垂足為Q，連接，則的最小值為．2．（2023·湖北襄陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，矩形中，，，E是BC中點(diǎn)，CD上有一動點(diǎn)M，連接、，將沿著翻折得到，連接，，則的最小值為．

3．（2023春·安徽·九年級專題練習(xí)）如圖，在正方形中，，E是上的一點(diǎn)，且，F(xiàn)，G是上的動點(diǎn)，且，，連接，當(dāng)?shù)闹底钚r，的長為．

4．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考三模）已知，如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)為線段上的一個動點(diǎn)，連接，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，且，連接，當(dāng)?shù)闹底钚r，的長為．

【考點(diǎn)四相似三角形中的動點(diǎn)問題與函數(shù)圖像問題】例題：（2023春·河南安陽·九年級統(tǒng)考期末）如圖，正方形一邊在直線l上，P是直線l上點(diǎn)A左側(cè)的一點(diǎn)，，E為邊上一動點(diǎn)，過點(diǎn)P，E的直線與正方形的邊交于點(diǎn)F，連接，若設(shè)，的面積為S，則能反映S與x之間函數(shù)關(guān)系的圖象是（）A． B．C． D．1．（2023·山西運(yùn)城·統(tǒng)考二模）如圖1，在中，，動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿折線勻速運(yùn)動至點(diǎn)停止．點(diǎn)的運(yùn)動速度為，設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動時間為（），的長度為（），與的函數(shù)圖像如圖2所示．當(dāng)恰好平分時，的長為（

）A． B． C． D．2．（2023·河南焦作·統(tǒng)考二模）如圖，在中，，點(diǎn)P為邊上一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線，交折線于點(diǎn)Q．設(shè)，則y關(guān)于x的函數(shù)圖象大致是（

）

A．

B．

C．

D．

3．（2023·安徽合肥·校聯(lián)考二模）如圖，在正方形中，，動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿方向在和上勻速移動，連接交或的延長線于，記點(diǎn)移動的距離為，為，則關(guān)于的函數(shù)圖像大致是（

）A．B．C． D．4．（2023·黑龍江·模擬預(yù)測）如圖，已知直線是線段的中垂線，與相交于點(diǎn)C，D是位于直線下方的上的一動點(diǎn)（點(diǎn)D不與點(diǎn)C重合），連接，過點(diǎn)A作，過點(diǎn)B作于點(diǎn)E，若，設(shè)，，則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系用圖像可以大致表示為（

）．

A．

B．

C．

D．

【考點(diǎn)五相似三角形中的動點(diǎn)問題與幾何綜合問題】例題：（2023春·山東濟(jì)寧·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，矩形的兩邊分別在x軸和y軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，現(xiàn)有兩動點(diǎn)P，Q，點(diǎn)P以每秒3個單位的速度從點(diǎn)O出發(fā)向終點(diǎn)A運(yùn)動，同時點(diǎn)Q以每秒2個單位的速度從點(diǎn)A出發(fā)向終點(diǎn)B運(yùn)動，連接，，．設(shè)運(yùn)動時間為t秒．

(1)點(diǎn)P的坐標(biāo)為______，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為______（用含t的代數(shù)式表示）；(2)請判斷四邊形的面積是否會隨時間t的變化而變化，并說明理由；(3)若A，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與相似時，請求出t的值．【變式訓(xùn)練】1．（2019秋·廣東佛山·九年級佛山市禪城區(qū)瀾石中學(xué)校考期中）如圖1，，，，動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，在邊上以每秒的速度向定點(diǎn)運(yùn)動，同時動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，在邊上以每秒的速度向點(diǎn)運(yùn)動，運(yùn)動時間為t秒（），連接．

(1)________；__________．(2)若與相似，求的值；(3)連接，如圖2，若，求的值．2．（2023春·江蘇蘇州·八年級統(tǒng)考期末）（1）如圖1，四邊形是正方形，點(diǎn)E是邊上的一個動點(diǎn)，以為邊在的右側(cè)作正方形，連接，，則與的數(shù)量關(guān)系是______．（2）如圖2，四邊形是矩形，，，點(diǎn)E是邊上的一個動點(diǎn)，以為邊在的右側(cè)作矩形，且，連接，．判斷線段與，有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由；（3）如圖3，在（2）的條件下，點(diǎn)E是從點(diǎn)A運(yùn)動D點(diǎn)，則點(diǎn)G的運(yùn)動路徑長度為______；（4）如圖3，在（2）的條件下，連接BG，則的最小值為______．

【考點(diǎn)六相似三角形中的動點(diǎn)探究應(yīng)用問題】例題：（2023·遼寧錦州·統(tǒng)考一模）探究完成以下問題：【初步認(rèn)識】(1)如圖1，在四邊形中，，連接，，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)．求證：；【特例研究】(2)如圖2，若四邊形中，，（1）中的其它條件不變，取，的中點(diǎn)M，F(xiàn)，連接．①求證：；②N為的中點(diǎn)，連接，猜想與的位置關(guān)系，并證明你的猜想；【拓展應(yīng)用】(3)如圖3，在矩形中，對角線，相交于點(diǎn)O，E是射線上一動點(diǎn)，過點(diǎn)作交射線于點(diǎn)，當(dāng)，，時，請直接寫出的長．

【變式訓(xùn)練】1．（2023·湖北武漢·?？寄M預(yù)測）一次數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動課上．小慧發(fā)現(xiàn)并證明了關(guān)于三角形角平分線的一個結(jié)論．如圖1，是的角平分線，可以證明【基礎(chǔ)鞏固】（1）參照小慧提供時思路，利用圖（2）請證明上述結(jié)論；（2）A、B、C、是同一直線l上從左到右順次的點(diǎn)，點(diǎn)P是直線外一動點(diǎn)，平分；【嘗試應(yīng)用】①若，，延長至D，使，若的長為定值，請求出這個值；【拓展提高】②拓展：若，，，P點(diǎn)在l外運(yùn)動時，使為定值，直接寫出的長為___________（用含m、n的式子表示）．2．（2023春·江蘇無錫·八年級統(tǒng)考期末）（1）特殊發(fā)現(xiàn)：如圖1，正方形與正方形的頂B重合，、分別在、邊上，連接，則有：①______；②直線與直線所夾的銳角等于______度；（2）理解運(yùn)用將圖1中的正方形繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)，連接、，①如圖2，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請說明理由；②如圖3，若D、F、G三點(diǎn)在同一直線上，且過邊的中點(diǎn)O，，直接寫出的長等于______；（3）拓展延伸如圖4，點(diǎn)P是正方形的邊上一動點(diǎn)（不與A、B重合），連接，沿將翻折到位置，連接并延長，與的延長線交于點(diǎn)F，連接，若，則的值是否是定值？請說明理由．

專題12難點(diǎn)探究專題：相似三角形中動點(diǎn)問題壓軸題六種模型全攻略【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點(diǎn)一相似三角形動點(diǎn)中求時間多解問題（利用分類討論思想）】 1【考點(diǎn)二相似三角形動點(diǎn)中求線段長多解問題（利用分類討論思想）】 6【考點(diǎn)三相似三角形動點(diǎn)中求線段及線段和最值問題】 14【考點(diǎn)四相似三角形中的動點(diǎn)問題與函數(shù)圖像問題】 24【考點(diǎn)五相似三角形中的動點(diǎn)問題與幾何綜合問題】 31【考點(diǎn)六相似三角形中的動點(diǎn)探究應(yīng)用問題】 38【典型例題】【考點(diǎn)一相似三角形動點(diǎn)中求時間多解問題（利用分類討論思想）】例題：如圖，在中，，，，若點(diǎn)是邊上的一個動點(diǎn)，以每秒3個單位的速度按照從運(yùn)動，同時點(diǎn)從以每秒1個單位的速度運(yùn)動，當(dāng)一個動點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時，另一個動點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動，在運(yùn)動過程中，設(shè)運(yùn)動時間為，若△BPQ與相似，則的值為．【答案】或或【分析】根據(jù)題意可知，分和兩種情形討論即可求解．【詳解】解：∵在中，，，，∴，①當(dāng)時，，，若，∴則，∴，解得：；若，∴則∴，解得：②當(dāng)時，，，同理可得或解得：（舍去）或綜上所述，或或，故答案為：或或．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，分類討論是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·安徽安慶·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在鈍角中，，，動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)運(yùn)動到點(diǎn)停止，動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)運(yùn)動到點(diǎn)停止．點(diǎn)運(yùn)動的速度為，點(diǎn)運(yùn)動的速度為．如果兩點(diǎn)同時運(yùn)動，那么當(dāng)以點(diǎn)，，為頂點(diǎn)的三角形與相似時，運(yùn)動的時間是秒．

【答案】或【分析】如果以點(diǎn)、、為頂點(diǎn)的三角形與相似，由于與對應(yīng)，那么分兩種情況：①與對應(yīng)；②與對應(yīng)．根據(jù)相似三角形的性質(zhì)分別作答．【詳解】解：如果兩點(diǎn)同時運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動秒時，以點(diǎn)、、為頂點(diǎn)的三角形與相似，則，，．①當(dāng)與對應(yīng)時，有．，，；②當(dāng)與對應(yīng)時，有．，，．當(dāng)以點(diǎn)、、為頂點(diǎn)的三角形與相似時，運(yùn)動的時間是秒或秒．故答案為：秒或秒．【點(diǎn)睛】本題考查的是相似三角形的判定定理，相似三角形的對應(yīng)邊成比例的性質(zhì)．本題分析出以點(diǎn)、、為頂點(diǎn)的三角形與相似，有兩種情況是解決問題的關(guān)鍵．2．（2023·上?！ぞ拍昙壖倨谧鳂I(yè)）如圖，厘米，厘米，動點(diǎn)、分別以2厘米/秒和1厘米/秒的速度同時開始運(yùn)動，其中點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿邊一直移動到點(diǎn)為止，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿邊一直移動到點(diǎn)為止．經(jīng)過多長時間后，與相似？【答案】或【分析】分和兩種情況討論求解即可．【詳解】解：設(shè)兩動點(diǎn)運(yùn)動時間為，則，，．當(dāng)時，則有，即，解得：．當(dāng)時，則有，即，解得：．故答案為：或【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解決三角形相似問題時，一定要注意確立好對應(yīng)關(guān)系，題目沒有明確說明的前提下，則需要進(jìn)行分類討論，三角形比例關(guān)系不確定，且有相等夾角時，實(shí)際上只需要將相應(yīng)比例關(guān)系順序變換一下即可．3．（2022·遼寧·燈塔市第一初級中學(xué)九年級期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知點(diǎn)A（0，6）、點(diǎn)B（8，0），動點(diǎn)P從點(diǎn)A開始在線段AO上以每秒1個單位長度的速度向點(diǎn)O移動，同時動點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始在線段BA上以每秒2個單位長度的速度向點(diǎn)A移動，設(shè)點(diǎn)P、Q移動的時間為t秒．(1)當(dāng)t為何值時，△APQ與△AOB相似？(2)當(dāng)t為何值時，△APQ的面積為？【答案】(1)；(2)2或3．【分析】（1）由AO=6，BO=8得AB=10，①當(dāng)∠PAQ=∠AOB時，△APQ∽△AOB．利用其對應(yīng)邊成比例解t；②當(dāng)∠AQP=∠AOB時，△AQP∽△AOB，利用其對應(yīng)邊成比例解得t．（2）過點(diǎn)Q作QE垂直AO于點(diǎn)E，利用QEBO證明△AEQ∽△AOB，從而得到，從而得出==，再利用三角形面積解得t即可．（1）解：由AO=6，BO=8，，所以，所以AP=t，AQ=，①當(dāng)∠APQ=∠AOB時，△APQ∽△AOB所以，所以，解得(秒)②當(dāng)∠AQP=∠AOB時，△AQP∽△AOB所以，所以解得(秒)∴當(dāng)t為或時，△AQP與△AOB相似．（2）過點(diǎn)Q作QE⊥AO于點(diǎn)E，∵QE⊥AO，BO⊥AO，∴QEBO，∴△AEQ∽△AOB，∴∴==，=解得：∴當(dāng)t=2或3時，△APQ的面積為個平方單位．【點(diǎn)睛】此題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)值，解直角三角形等知識點(diǎn)，有一定的拔高難度，屬于難題．【考點(diǎn)二相似三角形動點(diǎn)中求線段長多解問題（利用分類討論思想）】例題：（2023·黑龍江佳木斯·統(tǒng)考一模）在矩形中，，，點(diǎn)在邊上．且，是射線ED上的一個動點(diǎn)．若是等腰直角三角形，則的長為．【答案】或【分析】如圖1，當(dāng)時，如圖2，當(dāng)時，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，，過P作PQLBC于Q，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論．【詳解】如圖1，當(dāng)時，四邊形是矩形，，，，，，，，，，，過作于，，在與中，，，，，，；如圖2，當(dāng)時，四邊形是矩形，，，，，，，，，，，過作于，，在與中，，，，，，；綜上所述，的長為或，故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，分類討論是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023·河南洛陽·統(tǒng)考一模）矩形中，，，點(diǎn)E是的動點(diǎn)，若，則的長為．【答案】2或8【分析】由矩形的性質(zhì)，垂直的定義推出，即可證明，得到，設(shè)，列出關(guān)于x的方程，求出x的值即可．【詳解】解：設(shè)，∵四邊形是矩形，∴，，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，即，整理得，∴或8，∴的長是2或8．故答案為：2或8．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，關(guān)鍵是由條件證明，并注意有兩個答案．2．（2023春·江蘇無錫·八年級宜興市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在矩形中，，，連接，點(diǎn)M，N分別是邊，上的動點(diǎn)，連接，將沿折疊，使點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)P始終落在上，當(dāng)為直角三角形時，線段的長為．【答案】或【分析】分兩種情形：如圖1中，當(dāng)時，四邊形是正方形，設(shè)．證明，利用相似三角形的性質(zhì)列式計(jì)算即可；如圖2中，當(dāng)時，點(diǎn)N與D重合，設(shè)．利用勾股定理求解即可．【詳解】解：如圖1中，當(dāng)時，則四邊形是正方形，設(shè)．∵，∴，∴，∴，∴，∴；如圖2中，當(dāng)時，則點(diǎn)N與D重合，設(shè)．∵，，，∴，由折疊的性質(zhì)得，∴，∵，∴，∴，∴，綜上所述，的值為或．故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)，相似三角形，翻折變換等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用分類討論的思想思考問題，屬于中考?？碱}型．3．（2023·江蘇鹽城·?？家荒＃┤鐖D，在中，，，，點(diǎn)是邊上一動點(diǎn)，過點(diǎn)作交邊于點(diǎn)，將沿直線翻折，點(diǎn)落在線段上的處，連接，當(dāng)為等腰三角形時，的長為．【答案】或或【分析】由翻折變換的性質(zhì)得：，設(shè)，則；分三種情況討論：①時，②當(dāng)時，在的垂直平分線上，③當(dāng)時，作于，得出，根據(jù)的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：由翻折變換的性質(zhì)得：，，，，∴，設(shè)，則；分三種情況討論：①時，，解得：，；②當(dāng)時，在的垂直平分線上，為的中點(diǎn)，，，解得：，；③當(dāng)時，作于，如圖所示：則，，又，，，，即，解得：；綜上所述：當(dāng)為等腰三角形時，的長為：或或；故答案為：或或．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的性質(zhì)與判定，垂直平分線的性質(zhì)，綜合運(yùn)用以上知識是解題的關(guān)鍵．4．（2023·山東濟(jì)寧·統(tǒng)考一模）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)E在邊上，且，點(diǎn)P是直線上的一個動點(diǎn)．若是直角三角形，則的長為．【答案】或或6【分析】通過直角三角形未確定直角分三種情況進(jìn)行討論，利用互余關(guān)系，得到三角形相似，得到邊長比例關(guān)系進(jìn)行求解即可．【詳解】解：是直角三角形，有以下3種情況：①如圖1，，∴，∵矩形，∴，∴，∴，∴，∴，∴；②如圖2，，∵，同理得到，∴，∴，；③如圖3，，設(shè)，則，同理得：，∴，∴，∴；綜上的長是或或，故答案為或或．【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形的相似問題，在不確定直角的情況下需要分類討論分類計(jì)算，靈活利用相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)三相似三角形動點(diǎn)中求線段及線段和最值問題】例題：（2023·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考二模）如圖，在直角中，，，，點(diǎn)P是邊上的動點(diǎn)，過點(diǎn)P作交于點(diǎn)H，則的最小值為．

【答案】【分析】作點(diǎn)C關(guān)于的對稱點(diǎn)，與交于點(diǎn)D，則垂直平分，，由勾股定理可求得，根據(jù)三角形的面積可求得解得，，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)H，交于點(diǎn)P，則，，可知此時有最小值，最小值為，再根據(jù)相似三角形的判定，可證得，據(jù)此即可求解．【詳解】解：如圖：作點(diǎn)C關(guān)于的對稱點(diǎn)，與交于點(diǎn)D，則垂直平分，，由勾股定理得：，，，，解得，，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)H，交于點(diǎn)P，

則，，，此時，，有最小值，最小值為，，，又，，，得，解得，故的最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對稱圖形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理，平行線的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，作出輔助線是解決本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考一模）如圖，在矩形中，，點(diǎn)E是邊的中點(diǎn)，將沿翻折得，點(diǎn)F落在四邊形內(nèi)，點(diǎn)P是線段上的動點(diǎn)，過點(diǎn)P作，垂足為Q，連接，則的最小值為．【答案】【分析】過點(diǎn)B作于點(diǎn)，交于，過F作于N，交于M，連接，利用矩形的性質(zhì)和折疊性質(zhì)，結(jié)合相似三角形的判定證明，得到，設(shè)，，可得，求解可得，由可知，當(dāng)B，P，Q共線時，最小，即最小，此時Q與重合，P與重合，最小值為的長度，證明得到即可求解．【詳解】解：過點(diǎn)B作于點(diǎn)，交于，過F作于N，交于M，連接，如圖：∵，點(diǎn)E是邊的中點(diǎn)，∴，∵四邊形是矩形，∴，∵沿翻折得，∴，，，，∴，∵，∴，∴，∴，，設(shè)，，則，，∵，，∴，解得，∴，∵，∴當(dāng)B，P，Q共線時，最小，即最小，此時Q與重合，P與重合，最小值為的長度，∵，，，∴，∴，∴最小值為的長度，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查矩形中的翻折問題，涉及相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，解二元一次方程組、最短路徑等知識，解題的關(guān)鍵是掌握翻折的性質(zhì)，作出輔助線，構(gòu)造相似三角形．2．（2023·湖北襄陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，矩形中，，，E是BC中點(diǎn)，CD上有一動點(diǎn)M，連接、，將沿著翻折得到，連接，，則的最小值為．

【答案】【分析】取的中點(diǎn)，連接和，沿著翻折得到，，為的中點(diǎn)，，可得到，可證明，可得，故，從而得到，當(dāng)點(diǎn)三點(diǎn)共線時，有最小值為．【詳解】解：取的中點(diǎn)，連接和，如圖所示：

∵沿著翻折得到，∴，∵，E是BC中點(diǎn)，∴，∴，∵為的中點(diǎn)，∴，∵，,∴，∵，∴，∴，∴，∴，當(dāng)點(diǎn)三點(diǎn)共線時，有最小值為，∵四邊形是矩形，∴，∵，∴，在中，，∴，則的最小值為．故填：．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形和相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握矩形的性質(zhì)和相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·安徽·九年級專題練習(xí)）如圖，在正方形中，，E是上的一點(diǎn)，且，F(xiàn)，G是上的動點(diǎn)，且，，連接，當(dāng)?shù)闹底钚r，的長為．

【答案】3【分析】由勾股定理得，，可知當(dāng)最小時，的值最小，如圖，以為鄰邊作平行四邊形，則，，，則當(dāng)三點(diǎn)共線時，最短，證明，則，證明，則，解得，由，可得，設(shè)，則，，證明，則，即，計(jì)算求解即可．【詳解】解：∵正方形，，，∴，，∵，∴，當(dāng)最小時，的值最小，如圖，以為鄰邊作平行四邊形，則，，

∴，∴當(dāng)三點(diǎn)共線時，最短，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，∵，∴，，∴，∴，解得，∵，∴，設(shè)，則，，∵，，∴，∴，即，解得，故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)．解題的關(guān)鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運(yùn)用．4．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考三模）已知，如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)為線段上的一個動點(diǎn)，連接，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，且，連接，當(dāng)?shù)闹底钚r，的長為．

【答案】【分析】如圖所示，作點(diǎn)A關(guān)于的對稱點(diǎn)F，連接，過點(diǎn)Q作交于G，過點(diǎn)D作且，連接，先證明是等腰直角三角形，得到，由軸對稱的性質(zhì)可得，則，由此可得，，是等腰直角三角形，則；設(shè)與y軸交于N，過點(diǎn)E作軸于M，證明，得到，則，，證明四邊形是平行四邊形，得到；證明是等腰直角三角形，得到，則；由軸對稱的性質(zhì)可得，則，，故當(dāng)最小時，最小，即最小，即當(dāng)E、F、G三點(diǎn)共線時，最小，求出直線解析式為，同理可得直線的解析式為，則當(dāng)最小時點(diǎn)P的坐標(biāo)為，利用勾股定理求出，，則．【詳解】解：如圖所示，作點(diǎn)A關(guān)于的對稱點(diǎn)F，連接，過點(diǎn)Q作交于G，過點(diǎn)D作且，連接，∵，∴，，∴是等腰直角三角形，∴，∵點(diǎn)F與點(diǎn)A關(guān)于直線對稱，∴，∴，∴，，是等腰直角三角形，∴，設(shè)與y軸交于N，過點(diǎn)E作軸于M，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，又∵，∴四邊形是平行四邊形，∴，∵，，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∴；由軸對稱的性質(zhì)可得，∴，∴，∵要使最小，即要使最小，∴當(dāng)最小時，最小，即最小，∴當(dāng)E、F、G三點(diǎn)共線時，最小，設(shè)直線解析式為，∴，∴，∴直線解析式為，同理可得直線的解析式為，聯(lián)立，解得，∴當(dāng)最小時點(diǎn)P的坐標(biāo)為，∴，，∴，∴，故答案為：．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)與幾何綜合，平行四邊形的性質(zhì)與判定，勾股定理，軸對稱的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判斷，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定等等，正確作出輔助線確定最小的情形是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)四相似三角形中的動點(diǎn)問題與函數(shù)圖像問題】例題：（2023春·河南安陽·九年級統(tǒng)考期末）如圖，正方形一邊在直線l上，P是直線l上點(diǎn)A左側(cè)的一點(diǎn)，，E為邊上一動點(diǎn)，過點(diǎn)P，E的直線與正方形的邊交于點(diǎn)F，連接，若設(shè)，的面積為S，則能反映S與x之間函數(shù)關(guān)系的圖象是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】分別求出點(diǎn)F在邊上時，點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時時，點(diǎn)F在邊上時，S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，即可求解．【詳解】解：，∴∵四邊形是正方形，∴點(diǎn)F在邊上時，，∴，點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時時，，∵四邊形是正方形，∴，∴，∴，解得x＝，點(diǎn)F在邊上時，∵，∴，即，∴，∴，∴當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，∴能反映S與x之間函數(shù)關(guān)系的圖象是B，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是動點(diǎn)圖象問題，涉及到一次函數(shù)、平行線分線段成比例定理，正方形的性質(zhì)，分類思想的利用是解題的關(guān)鍵．1．（2023·山西運(yùn)城·統(tǒng)考二模）如圖1，在中，，動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿折線勻速運(yùn)動至點(diǎn)停止．點(diǎn)的運(yùn)動速度為，設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動時間為（），的長度為（），與的函數(shù)圖像如圖2所示．當(dāng)恰好平分時，的長為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】作的平分線交于點(diǎn)，先證，再證，利用相似三角形的性質(zhì)得出，即可求得．【詳解】解：如圖1，作的平分線交于點(diǎn)，由題意中的函數(shù)圖像知，，，，平分，，，，，，，，，，，解得：或（舍），，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)等，解題的關(guān)鍵是證明．2．（2023·河南焦作·統(tǒng)考二模）如圖，在中，，點(diǎn)P為邊上一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線，交折線于點(diǎn)Q．設(shè)，則y關(guān)于x的函數(shù)圖象大致是（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)Q在時，當(dāng)點(diǎn)Q在時，結(jié)合相似三角形的判定和性質(zhì)，即可求解．【詳解】解：∵，∴，當(dāng)點(diǎn)Q在時，∵直線，∴，∵，∴，∴，即，解得：；當(dāng)點(diǎn)Q在時，如圖，

∵直線，∴，∵，∴，∴，即，解得：；綜上所述，y關(guān)于x的函數(shù)圖象大致是：

故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，利用分類討論思想解答是解題的關(guān)鍵．3．（2023·安徽合肥·校聯(lián)考二模）如圖，在正方形中，，動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿方向在和上勻速移動，連接交或的延長線于，記點(diǎn)移動的距離為，為，則關(guān)于的函數(shù)圖像大致是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分三種情況討論得出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式即可得出答案．【詳解】解：①當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時，在正方形中，，∴與或的延長線沒有交點(diǎn)，不符合題意；②當(dāng)點(diǎn)在線段之間（點(diǎn)不與點(diǎn)、點(diǎn)重合），∵四邊形是正方形，，∴，，∴，，∴，∴，∵點(diǎn)移動的距離為，為，∴，，，∴，∴，它的圖像是反比例函數(shù)圖像的一部分；②當(dāng)點(diǎn)在線段之間（點(diǎn)可與點(diǎn)、點(diǎn)重合），此時點(diǎn)與點(diǎn)重合，∵，，又∵，∴，它的圖像是一條線段；∴動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿方向在和上勻速移動時所對應(yīng)函數(shù)關(guān)系式為：，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查動點(diǎn)問題函數(shù)圖像，考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，反比例函數(shù)及一次函數(shù)的圖像．解題的關(guān)鍵和難點(diǎn)在于根據(jù)點(diǎn)的位置分情況討論．4．（2023·黑龍江·模擬預(yù)測）如圖，已知直線是線段的中垂線，與相交于點(diǎn)C，D是位于直線下方的上的一動點(diǎn)（點(diǎn)D不與點(diǎn)C重合），連接，過點(diǎn)A作，過點(diǎn)B作于點(diǎn)E，若，設(shè)，，則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系用圖像可以大致表示為（

）．

A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】根據(jù)得，根據(jù)直線是線段的中垂線可得，，再證，然后根據(jù)相似三角形列比例式化簡可得，再結(jié)合確定函數(shù)圖像即可即可解答．【詳解】解：∵，∴，∵直線是線段的中垂線，∴，，，∵，∴，∴，∴∴，即，可得，即函數(shù)圖像為B選項(xiàng)．故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了動點(diǎn)問題的函數(shù)圖像，證得得到是解答本題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)五相似三角形中的動點(diǎn)問題與幾何綜合問題】例題：（2023春·山東濟(jì)寧·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，矩形的兩邊分別在x軸和y軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，現(xiàn)有兩動點(diǎn)P，Q，點(diǎn)P以每秒3個單位的速度從點(diǎn)O出發(fā)向終點(diǎn)A運(yùn)動，同時點(diǎn)Q以每秒2個單位的速度從點(diǎn)A出發(fā)向終點(diǎn)B運(yùn)動，連接，，．設(shè)運(yùn)動時間為t秒．

(1)點(diǎn)P的坐標(biāo)為______，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為______（用含t的代數(shù)式表示）；(2)請判斷四邊形的面積是否會隨時間t的變化而變化，并說明理由；(3)若A，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與相似時，請求出t的值．【答案】(1)，(2)四邊形的面積不會隨時間t的變化而變化，理由見解析(3)或【分析】（1）根據(jù)題意和坐標(biāo)與圖形性質(zhì)直接求解即可；（2）根據(jù)求解即可；（3）分和兩種情況，利用相似三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）解：根據(jù)題意，，，又點(diǎn)B的坐標(biāo)為，則點(diǎn)P坐標(biāo)為，點(diǎn)Q坐標(biāo)為，故答案為：，；（2）解：四邊形的面積不會隨時間t的變化而變化，理由：∵點(diǎn)B坐標(biāo)為，四邊形是矩形，∴，，則四邊形的面積；（3）解：當(dāng)時，∴，即，解得：，當(dāng)時，∴，即，解得：或（不合題意，舍去），綜上所述：或．【點(diǎn)睛】本題考查坐標(biāo)與圖形、相似三角形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)，分類討論是解答的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2019秋·廣東佛山·九年級佛山市禪城區(qū)瀾石中學(xué)?？计谥校┤鐖D1，，，，動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，在邊上以每秒的速度向定點(diǎn)運(yùn)動，同時動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，在邊上以每秒的速度向點(diǎn)運(yùn)動，運(yùn)動時間為t秒（），連接．

(1)________；__________．(2)若與相似，求的值；(3)連接，如圖2，若，求的值．【答案】(1)，(2)的值為或(3)的值【分析】（1）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，求出的值，根據(jù)點(diǎn)的運(yùn)動，即可求解；（2）根據(jù)點(diǎn)的運(yùn)動，分類討論，①當(dāng)；②當(dāng)；根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，圖形結(jié)合分析即可求解；（3）如圖所示，過點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)三角形函數(shù)值的計(jì)算分別求出的值，再證，根相似三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）解：在，，，∴，∵動點(diǎn)從點(diǎn)到點(diǎn)的速度為每秒，動點(diǎn)從點(diǎn)到點(diǎn)的速度為每秒，運(yùn)動時間為t秒（），∴，，∴，故答案為：，．（2）解：①當(dāng)，∴，即，垂足為點(diǎn)，由（1）可知，，，，，∵，∴，即，解得，，符合題意；②當(dāng)，∴，即，垂足為點(diǎn)，∴，即，解得，，符合題意；綜上所述，與相似，的值為或．（3）解：如圖所示，過點(diǎn)作于點(diǎn)，

在中，，，∵，，，∴在中，，即，，即，∴，∵，，∴，，∴，且，∴，∴，即，解得，或，∵運(yùn)動時間為t秒（），∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查動點(diǎn)與直角三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)的計(jì)算方法等知識的綜合，掌握以上知識的靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·江蘇蘇州·八年級統(tǒng)考期末）（1）如圖1，四邊形是正方形，點(diǎn)E是邊上的一個動點(diǎn)，以為邊在的右側(cè)作正方形，連接，，則與的數(shù)量關(guān)系是______．（2）如圖2，四邊形是矩形，，，點(diǎn)E是邊上的一個動點(diǎn)，以為邊在的右側(cè)作矩形，且，連接，．判斷線段與，有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由；（3）如圖3，在（2）的條件下，點(diǎn)E是從點(diǎn)A運(yùn)動D點(diǎn)，則點(diǎn)G的運(yùn)動路徑長度為______；（4）如圖3，在（2）的條件下，連接BG，則的最小值為______．

【答案】（1）；（2）．理由見解析；（3）2；（4）【分析】（1）通過證明全等，得到；（2）通過證明得到，，延長相交于點(diǎn)H．可以證明；（3）作于點(diǎn)N，交的延長線于點(diǎn)M，交的延長線于點(diǎn)J，證明，得出，求出，得出點(diǎn)G的運(yùn)動軌跡是直線，當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)A運(yùn)動到點(diǎn)D的過程中，點(diǎn)G從點(diǎn)J運(yùn)動到點(diǎn)M，求出結(jié)果即可；（4）作點(diǎn)D關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，連接交于G，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，得出此時的值最小，最小值為，根據(jù)，得出，即，從而得出的最小值就是的最小值．【詳解】（1）解：∵正方形，∴，∵正方形，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴；故答案為：；（2）解：．理由如下：延長相交于點(diǎn)H．

∵矩形、矩形，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，，∴，∵矩形，∴，∴，，∴，∴；（3）解：作于點(diǎn)N，交的延長線于點(diǎn)M，交的延長線于點(diǎn)J，如圖所示：

則，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴四邊形為矩形，∴，∴，∴點(diǎn)G的運(yùn)動軌跡是直線，當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)A運(yùn)動到點(diǎn)D的過程中，點(diǎn)G從點(diǎn)J運(yùn)動到點(diǎn)M，∵，∴四邊形為矩形，∴，∴點(diǎn)G的運(yùn)動路徑長度為2，故答案為：2．（4）解：作點(diǎn)D關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，連接交于G，如圖所示：

根據(jù)解析（3）可知，點(diǎn)G的運(yùn)動軌跡是直線，∵，∴，∵兩點(diǎn)之間線段最短，∴此時的值最小，最小值為，由（2）知，，∴，∴，∴的最小值就是的最小值，∵，∴，∴，∴的最小值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)．在判斷全等和相似時出現(xiàn)“手拉手”模型證角相等．這里注意利用三邊關(guān)系來轉(zhuǎn)化線段的數(shù)量關(guān)系求出最小值．【考點(diǎn)六相似三角形中的動點(diǎn)探究應(yīng)用問題】例題：（2023·遼寧錦州·統(tǒng)考一模）探究完成以下問題：【初步認(rèn)識】(1)如圖1，在四邊形中，，連接，，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)．求證：；【特例研究】(2)如圖2，若四邊形中，，（1）中的其它條件不變，取，的中點(diǎn)M，F(xiàn)，連接．①求證：；②N為的中點(diǎn)，連接，猜想與的位置關(guān)系，并證明你的猜想；【拓展應(yīng)用】(3)如圖3，在矩形中，對角線，相交于點(diǎn)O，E是射線上一動點(diǎn)，過點(diǎn)作交射線于點(diǎn)，當(dāng)，，時，請直接寫出的長．

【答案】(1)證明見解析；(2)①證明見解析；②，理由見解析；(3)或4．【分析】（1）根據(jù)題可得、，然后根據(jù)同角的余角相等即可證明結(jié)論；（2）①先證明可得，再說明是的中位線可得，再結(jié)合即可證明結(jié)論；②先說明和都是等腰直角三角形，進(jìn)而得到，再說明可得可得、，即可得，進(jìn)而得到即可證明結(jié)論；（3）當(dāng)點(diǎn)E在線段的延長線上時，過點(diǎn)O作于點(diǎn)F，于點(diǎn)H，與交于點(diǎn)K，證明，由相似三角形的性質(zhì)得即可求出的長，進(jìn)而求得的長；當(dāng)點(diǎn)E在線段上時，過點(diǎn)O作于點(diǎn)F，于點(diǎn)H，同理解答即可【詳解】（1）證明：，．．，．．

（2）①．，即．，由（1）知，．．∵M(jìn)，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)，是的中位線．．．②，理由如下：連接，，由①知，，．，，∴和都是等腰直角三角形．，．．又為中點(diǎn)，M為中點(diǎn)，，．．．，．，．．．．．．

（3）解：①如圖：當(dāng)點(diǎn)E在線段的延長線上時，過點(diǎn)O作于點(diǎn)F，于點(diǎn)H，與交于點(diǎn)K，

,∴∵四邊形是矩形，∴，∴∴四邊形是矩形，,∵，O為的中點(diǎn)，∴，同理：，，，又，∴，∴，即，解得：∴；②如圖：當(dāng)點(diǎn)E在線段上時，過點(diǎn)O作于點(diǎn)F，于點(diǎn)H，

同理可得，即，解得：，∴．綜上，的長為或4．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)等知識點(diǎn)，靈活應(yīng)用相關(guān)判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023·湖北武漢·?？寄M預(yù)測）一次數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動課上．小慧發(fā)現(xiàn)并證明了關(guān)于三角形角平分線的一個結(jié)論．如圖1，是的角平分線，可以證明【基礎(chǔ)鞏固】（1）參照