高等代數(shù)第6章線性空間小結(jié)太原理工大學(xué)

高等代數(shù)第6章線性空間小結(jié)太原理工大學(xué)

線性空間是線性代數(shù)的中心內(nèi)容，是幾何空間的抽象和推廣，線性空間的概念具體展示了代數(shù)理論的抽象性和應(yīng)用的廣泛性.線性空間小結(jié)下頁(yè)返回一、線性空間1.線性空間的概念2.線性空間的性質(zhì)(1)線性空間的零元，每個(gè)元素的負(fù)元都是唯一的；(2)(–1)α=-α，kα=0<＝>k=0，或α=0上頁(yè)下頁(yè)返回二、基、維數(shù)和坐標(biāo)1．基本概念：線性表示（組合）；向量組等價(jià)；線性相關(guān)(無(wú)關(guān))；基、維數(shù)和坐標(biāo)；過(guò)渡矩陣.2．基本結(jié)論(1)線性相關(guān)性的有關(guān)結(jié)論.(2)在n維線性空間V中，任意n個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量都作成V的一個(gè)基；任意個(gè)m(m<n)線性無(wú)關(guān)的向量都可擴(kuò)充為V的一個(gè)基；任意s(s>n)個(gè)向量都是線性相關(guān)的.上頁(yè)下頁(yè)返回(3)若在線性空間V中有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量α1,α2,…,αn，且V中任意向量都可由它線性表示，則V是n維的，而α1,α2,…,αn就是V的一個(gè)基.

(4)設(shè)α1,α2,…,αn和β1,β2,…,βn是n維線性空間V的兩個(gè)基，A是由基α1,α2,…,αn到基β1,β2,…,βn的過(guò)渡矩陣，(x1,x2,…,xn)和(y1,y2,…,yn)分別是向量α在這兩個(gè)基下的坐標(biāo)，則A是可逆的，且坐標(biāo)關(guān)系為.上頁(yè)下頁(yè)返回三、線性子空間及其形式1．基本概念：子空間；生成子空間；子空間的和與直和.

2．基本結(jié)論：(1)線性空間V的非空子集合W作成V的子空間<＝>

W對(duì)于V的兩種運(yùn)算封閉；(2)線性空間V的兩個(gè)子空間的交與和仍為子空間.(3)(維數(shù)公式)若V1,V2是線性空間V的兩個(gè)有限維子空間，則上頁(yè)下頁(yè)返回(4)dimL(α1,α2,…,αn)=rank(α1,α2,…,αn)L(α1,α2,…,αn)=L(β1,β2,…,βm)<＝>向量組

α1,α2,…,αn與β1,β2,…,βm等價(jià).

(5)

設(shè)U是線性空間V的一個(gè)子空間，則存在一個(gè)子空間W，使得V=U⊕W

，此時(shí)稱(chēng)W為U的一個(gè)余子空間.

上頁(yè)下頁(yè)返回(6)設(shè)V1,V2,…,Vs是線性空間V的子空間，下面這些條件等價(jià)：①W=∑Vi

是直和；②零向量的表示法唯一；④dim(W)=∑dim(Vi).③;上頁(yè)下頁(yè)返回3.同構(gòu)映射的基本性質(zhì)：(1)線性空間的同構(gòu)映射保持零元，負(fù)元，線性組合，線性相關(guān)性；(2)同構(gòu)映射把子空間映成子空間；(3)線性空間的同構(gòu)關(guān)系具有反身性，對(duì)稱(chēng)性和傳遞性；(4)數(shù)域P上兩個(gè)有限維線性空間同構(gòu)<＝>它們有相同的維數(shù)，因而，數(shù)域P上的每一個(gè)n維線性空間都與n元數(shù)組所成的線性空間Pn同構(gòu).上頁(yè)下頁(yè)返回

本章的重點(diǎn)是線性空間的概念，子空間的和，基與維數(shù)；

難點(diǎn)是線性空間定義的抽象性，線性相關(guān)和子空間的直和.

本章的基本題型主要有：線性空間，子空間的判定或證明，線性相關(guān)與無(wú)關(guān)的判定或證明，基與維數(shù)的確定，過(guò)渡矩陣和坐標(biāo)的求法，直和及同構(gòu)的判定或證明