高中數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第一冊(cè)課件：2.1等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)

2.1等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)第二章一元二次函數(shù)、方程和不等式學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.通過(guò)具體情境，感受在現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中存在大量的數(shù)量關(guān)系.2.了解不等式（組）的實(shí)際背景.3.了解不等式一些基本的性質(zhì).教學(xué)重點(diǎn)：1.用不等式（組）表示實(shí)際問(wèn)題中的不等關(guān)系，并用不等式（組）研究含有不等關(guān)系的問(wèn)題.2.理解不等式（組）對(duì)于刻畫(huà)不等關(guān)系的意義和價(jià)值.教學(xué)難點(diǎn)：用不等式（組）正確表示出不等關(guān)系.探究一：不等關(guān)系及其表示事實(shí)上，在客觀世界中，量與量之間的不等關(guān)系是普遍存在的，我們用數(shù)學(xué)符號(hào)“≠”“＞”“＜”“≥”“≤”連接兩個(gè)數(shù)或代數(shù)式，以表示它們之間的不等關(guān)系.含有這些不等號(hào)的式子，叫做不等式.在上述所有的不等號(hào)中，要特別注意“≤”“≥”兩個(gè)符號(hào)的含義.如果a,b是兩個(gè)實(shí)數(shù)，那么a≥b即為a＞b或a＝b；a≤b即為a＜b或a＝b.問(wèn)題1

你能用不等式或不等式組表示下列問(wèn)題中的不等關(guān)系嗎？(1)某路段限速40km/h；解：對(duì)于(1)，設(shè)在該路段行駛的汽車(chē)的速度為vkm/h，“限速40km/h”就是v的大小不能超過(guò)40，于是0＜v≤40.(2)某品牌酸奶的質(zhì)量檢查規(guī)定，酸奶中脂肪的含量f應(yīng)該不少于2.5%，蛋白質(zhì)的含量p應(yīng)不少于2.3%；對(duì)于(2)，由題意，得

（半個(gè)大括號(hào)表示同時(shí).）(3)三角形兩邊之和大于第三邊、兩邊之差小于第三邊；對(duì)于(3)，設(shè)?ABC的三條邊為a，b，c，則a＋b＞c，a﹣b＜c.(4)連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短.對(duì)于(4)，如圖2.1-1，設(shè)C是線段AB外的任意一點(diǎn)，CD垂直于AB，垂足為D，E是線段AB上不同于D的任意一點(diǎn)，則CD＜CE.問(wèn)題2某種雜志原以每本2.5元的價(jià)格銷(xiāo)售，可以售出8萬(wàn)本.據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，雜志的單價(jià)每提高0.1元，銷(xiāo)售量就可能減少2000本.如何定價(jià)才能使提價(jià)后的銷(xiāo)售總收入不低于20萬(wàn)元？分析：首先要統(tǒng)一單位，第一句是從“元”到“萬(wàn)”，所以第二句中的2000應(yīng)該改為0.2萬(wàn).解：設(shè)提價(jià)后每本雜志的定價(jià)為x元，則銷(xiāo)售總收入為

萬(wàn)元.于是，不等關(guān)系“銷(xiāo)售總收入不低于20萬(wàn)元”可以用不等式表示為

①求出不等式①的解集，就能知道滿足條件的雜志的定價(jià)范圍.探究二：實(shí)數(shù)的大小比較初中學(xué)過(guò)的不等式性質(zhì)性質(zhì)1：不等式兩邊加（或減）同一個(gè)數(shù)（或式子），不等號(hào)的方向不變性質(zhì)2：不等式兩邊乘（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變性質(zhì)3：不等式兩邊乘（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變由于數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)一一對(duì)應(yīng)，所以可以利用數(shù)軸上點(diǎn)的位置關(guān)系來(lái)規(guī)定實(shí)數(shù)的大小關(guān)系：如圖2.1-2，設(shè)a，b是兩個(gè)實(shí)數(shù)，它們?cè)跀?shù)軸上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別是A，B.那么，當(dāng)點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊時(shí)，a＜b；當(dāng)點(diǎn)A在點(diǎn)B的右邊時(shí)，a＞b.（說(shuō)明：當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)B重合時(shí)，a＝b）關(guān)于實(shí)數(shù)a，b大小的比較，有以下基本事實(shí)：如果a-b是正數(shù)，那么a＞b；如果a-b等于0，那么a＝b；如果a-b是負(fù)數(shù)，那么a＜b，反過(guò)來(lái)也對(duì).這個(gè)基本事實(shí)可以表示為

；

；.從上述基本事實(shí)可知，要比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小，可以轉(zhuǎn)化為比較它們的差與0的大小.總結(jié)：1.要比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小，可以考察這兩個(gè)實(shí)數(shù)的差，這是我們研究不等關(guān)系的一個(gè)出發(fā)點(diǎn).2.差大于0時(shí)，被減數(shù)不大于減數(shù)；差等于0時(shí)，被減數(shù)等于減數(shù)；差小于0時(shí)，被減數(shù)小于減數(shù).例1

比較(x+2)(x+3)和(x+1)(x+4)的大小.分析：通過(guò)考察這兩個(gè)多項(xiàng)式的差與0的大小關(guān)系，可以得出它們的大小關(guān)系.解：因?yàn)?x+2)(x+3)－(x+1)(x+4)=(x2+5x+6)－(x2+5x+4)=2＞0，

所以(x+2)(x+3)>(x+1)(x+4).這里，我們借助多項(xiàng)式減法運(yùn)算，得出了一個(gè)明顯大于0的數(shù)(式).這是解決不等式問(wèn)題的常用方法（也叫作差法）.探究三：一個(gè)重要不等式圖2.1-3是在北京召開(kāi)的第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)，會(huì)標(biāo)是根據(jù)中國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計(jì)的，顏色的明暗使它看上去像一個(gè)風(fēng)車(chē)，代表中國(guó)人民熱情好客.你能在這個(gè)圖中找出一些相等關(guān)系和不等關(guān)系嗎？答：相等關(guān)系為直角三角形為等腰直角三角形時(shí)，4個(gè)三角

形的面積和等于正方形的面積.

不等關(guān)系為直角邊不相等時(shí)，4個(gè)三角形的面積和小于

正方形的面積.將圖中2.1-3中的“風(fēng)車(chē)”抽象成圖2.1-4在正方形ABCD中有4個(gè)全等的直角三角形.設(shè)直角三角形的兩條直角邊的長(zhǎng)為a，b（a≠b），那么正方形的邊長(zhǎng)為.這樣，4個(gè)直角三角形的面積和為2ab，正方形的面積為a2+b2.由于正方形ABCD的面積大于4個(gè)直角三角形的面積和，我們就得到了一個(gè)不等式a2+b2＞2ab.當(dāng)直角三角形變?yōu)榈妊苯侨切?，即a＝b時(shí)，正方形EFGH縮為一個(gè)點(diǎn)，這時(shí)有a2+b2=2ab.于是就有a2+b2≥2ab.一般地，

，有a2+b2≥2ab當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立.事實(shí)上，利用完全平方差公式，得a2+b2-2ab=(a-b)2.因?yàn)?/p>

，(a-b)2≥0，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立，所以a2+b2-2ab≥0.因此，由兩個(gè)實(shí)數(shù)大小關(guān)系的基本事實(shí)，得a2+b2≥2ab，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立.探究四：等式的性質(zhì)性質(zhì)1如果a＝b，那么b＝a；（對(duì)稱性）性質(zhì)2如果a＝b，b＝c，那么a＝c；（傳遞性）性質(zhì)3如果a＝b，那么a±c＝b±c；（同加性，同減性）性質(zhì)4如果a＝b，那么ac＝bc；（同乘性）性質(zhì)5如果a＝b，c≠0，那么.（同除性）可以發(fā)現(xiàn)，性質(zhì)1，2反映了相等關(guān)系自身的特性，性質(zhì)3，4，5是從運(yùn)算的角度提出的，反映了等式在運(yùn)算中保持的不變形.由性質(zhì)3可進(jìn)一步得到，如果a＝b，c＝d，那么a＋c＝b＋d；由性質(zhì)4可進(jìn)一步得到，如果a＝b，c＝d，那么ac＝bd；以及a＝b可得到an＝bn（n≥2，n∈N）探究五：不等式的性質(zhì)類(lèi)比等式的性質(zhì)1,2，可以猜想不等式有如下性質(zhì)：性質(zhì)1

如果a＞b，那么b＜a；如果b＜a，那么a＞b.即性質(zhì)2

如果a＞b，b＞c，那么a＞c.即.性質(zhì)2

如果a＞b，b＞c，那么a＞c.即

.證明：由兩個(gè)實(shí)數(shù)大小關(guān)系的基本事實(shí)知說(shuō)明：如果性質(zhì)2中的兩個(gè)不等式只有一個(gè)帶等號(hào)，那么等號(hào)是傳遞不過(guò)去的.例如：如果a≥b且b＞c，那么a＞c；如果a＞b，且b≥c，那么a＞c.如果兩個(gè)不等式都帶有等號(hào)，即若a≥b且b≥c，則a≥c，其中a＝c時(shí)必須有a＝b且b＝c，否則a＝c不成立.性質(zhì)3

如果a＞b，那么a+c＞b+c.性質(zhì)4如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc；如果a＞b，c＜0，

那么ac＜bc.性質(zhì)5

如果a＞b，c＞d，那么a+c＞b+d.類(lèi)比等式的性質(zhì)3~5，可以猜想不等式還有如下性質(zhì)：性質(zhì)3

如果a＞b，那么a+c＞b+c.文字語(yǔ)言：不等式的兩邊都加上同一個(gè)實(shí)數(shù)，所得不等式與

原不等式同向.如圖2.1-5，把數(shù)軸上的兩個(gè)點(diǎn)A與B同時(shí)沿相同方向移動(dòng)相等的距離，得到另兩個(gè)點(diǎn)A1與B1，A與B和A1與B1的左右位置關(guān)系不會(huì)改變.用不等式的語(yǔ)言表示，就是上述性質(zhì)3.由性質(zhì)3可得，這表明，不等式中任何一項(xiàng)可以改變符號(hào)后移到不等號(hào)的另一邊.性質(zhì)4如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc；如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc.文字語(yǔ)言：不等式兩邊同乘一個(gè)正數(shù)，所得不等式與原不等式

同向；不等式兩邊同乘一個(gè)負(fù)數(shù)，所得不等式與原

不等式反向.利用這些基本性質(zhì)，我們還可以推導(dǎo)出其他一些常用的不等式性質(zhì).例如，利用性質(zhì)2,3可以推出：性質(zhì)5

如果a＞b，c＞d，那么a+c＞b+d.事實(shí)上，由a＞b和性質(zhì)3，得a+c＞b+c；由c＞d和性質(zhì)3，得b+c＞b+d.在根據(jù)性質(zhì)2，即得a+c＞b+d.說(shuō)明：(1)性質(zhì)5稱為不等式的同向可加性(2)性質(zhì)5說(shuō)明，兩個(gè)同向不等式相加，所得不等式與原不

等式同向.(3)性質(zhì)5可簡(jiǎn)記為：“大+大＞小+小”

(4)這一性質(zhì)可以推廣到任意有限個(gè)同向不等式兩邊分別相

加，即若a1＞b1，a2＞b2，…，an＞bn，n∈N*，則

a1+a2+…+an＞b1+b2+…bn.這就是說(shuō)，兩個(gè)或者更多個(gè)同向

不等式兩邊分別相加，所得不等式與原不等式同向.

利用性質(zhì)4和性質(zhì)2可以推出：

性質(zhì)6

如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么ac＞bd.說(shuō)明：(1)它可以推廣到任意有限個(gè)同向不等式兩邊分別

相乘，即若a1＞b1＞0，a2＞b2＞0，…，an＞bn＞0，

n∈N*，則a1a2…an＞b1b2…bn.(2)性質(zhì)6說(shuō)明，兩邊都是正數(shù)的同向不等式兩邊分別相乘，所得的不等式和原不等式同向.性質(zhì)7如果a＞b＞0，那么an＞bn（n∈N，n≥2）.說(shuō)明：當(dāng)不等式的兩邊都是正數(shù)時(shí)，不等式兩邊同時(shí)乘方所得的不等式和原不等式同向.證明：因?yàn)?/p>

個(gè)，根據(jù)性質(zhì)6，得an＞bn.例2已知a＞b＞0，c＜0，求證分析：要證明，因?yàn)閏＜0，所以可以先證明

利用已知a＞b＞0和性質(zhì)3，即可證明證明：因?yàn)閍＞b＞0，所以ab＞0，

于是，

即由c＜0，得練一練1.用不等式或不等式組表示下面的不等關(guān)系：(1)某高速公路規(guī)定通過(guò)車(chē)輛的車(chē)貨總高度h從地面算起不能超過(guò)4m；注意：限高、限速、限重實(shí)質(zhì)上是“不超過(guò)”，但需要注意實(shí)際意義.解：（1）0＜h≤4；練一練1.用不等式或不等式組表示下面的不等關(guān)系：(2)a與b的和是非負(fù)實(shí)數(shù)；注意：“非負(fù)數(shù)”是“大于或等于0的數(shù)”，“非正數(shù)”是“小于或等于0的數(shù)”解：（2）a+b≥0；練一練1.用不等式或不等式組表示下面的不等關(guān)系：(3)如圖，在一個(gè)面積小于350m2的矩形地基的中心位置上建造一個(gè)倉(cāng)庫(kù)，倉(cāng)庫(kù)的四周建成綠地，倉(cāng)庫(kù)的長(zhǎng)L大于寬W的4倍.解：（3）練一練2.比較(x+3)(x+7)和(x+4)(x+6)的大小.解：因?yàn)?x+3)(x+7)－(x+4)(x+6)

＝(x2+10x+21)－(x2+10x+24)

＝－3＜0，所以(x+3)(x+7)＜(x+4)(x+6).練一練3.已知a＞b，證明證明：因?yàn)閍＞b，所以a-b＞0，b-a＜0，所以

所以因?yàn)樗跃C上知，a＞b時(shí)，練一練4.證明不等式性質(zhì)1，3，4，6.證明:(1)∵a＞b，∴a-b＞0，∴－(a－b)＜0，

∴b－a＜0，∴b＜a.(2)∵b＜a，∴b－a＜0，∴－(b－a)＞0，∴a－b＞0，

∴a＞b.由(1)(2)知不等式性質(zhì)1成立.性質(zhì)1

如果a＞b，那么b＜a；如果b＜a，那么a＞b.即練一練4.證明不等式性質(zhì)1，3，4，6.證明：因?yàn)閍＞b，所以a－b＞0.

因此(a+c)－(b+c)=a+c-b-c=a-b＞0,

即(a+c)-(b+c)＞0.因此a+c＞b+c.性質(zhì)3

如果a＞b，那么a+c＞b+c.練一練4.證明不等式性質(zhì)1，3，4，6.證明:(1)(2)∵a＞b，∴a-b＞0.又c＜0，根據(jù)異號(hào)相乘得負(fù)，

∴性質(zhì)4如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc；如果a＞b，c＜0，那么

ac＜bc.練一練4.