12空間向量基本定理（四大題型）（講義）

1．2空間向量基本定理目錄TOC\o"12"\h\z\u【題型歸納目錄】 2【思維導圖】 2【知識點梳理】 2【典型例題】 3題型一：基底的判斷 3題型二：基底的運用 6題型三：正交分解 10題型四：用空間向量基本定理解決相關的幾何問題 13

【題型歸納目錄】【思維導圖】【知識點梳理】知識點01：空間向量基本定理及樣關概念的理解空間向量基本定理：如果空間中的三個向量，，不共面，那么對空間中的任意一個向量，存在唯一的有序實數(shù)組，使得.其中，空間中不共面的三個向量，，組成的集合{，，}，常稱為空間向量的一組基底.此時，，，都稱為基向量；如果，則稱為在基底{，，}下的分解式.知識點2：空間向量的正交分解單位正交基底：如果空間的一個基底中的三個基向量兩兩垂直，且長度都為1，那么這個基底叫做單位正交基底，常用表示.正交分解：把一個空間向量分解為三個兩兩垂直的向量，叫做把空間向量進行正交分解.知識點3：用空間向量基本定理解決相關的幾何問題用已知向量表示某一向量的三個關鍵點：(1)用已知向量來表示某一向量，一定要結合圖形，以圖形為指導是解題的關鍵．(2)要正確理解向量加法、減法與數(shù)乘運算的幾何意義，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始點指向末尾向量的終點的向量．(3)在立體幾何中三角形法則、平行四邊形法則仍然成立【典型例題】題型一：基底的判斷【典例11】（2024·高一·陜西西安·階段練習）已知為空間的一個基底，則下列各組向量中能構成空間的一個基底的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】對于A，設，則，所以共面，不能構成空間的一個基底，故A錯誤；對于B，設，則，無解，則不共面，能構成空間的一個基底，故B正確；對于C，設，則，則共面，不能構成空間的一個基底，故C錯誤；對于D，設，則，則共面，不能構成空間的一個基底，故D錯誤；故選：B【典例12】（2024·高三·江蘇南通·開學考試）若和都為基底，則不可以為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】若不是一組基底，則可設，對于A，若，則，方程組無解，為基底，A錯誤；對于B，若，則，方程組無解，為基底，B錯誤；對于C，若，則，解得：，不是一組基底，C正確；對于D，若，則，方程組無解，為基底，D錯誤.故選：C.【方法技巧與總結】空間向量基底．不共面的三個向量構成空間向量的基底．【變式11】（2024·高二·天津南開·期中）已知向量，若不能構成空間的一個基底，則實數(shù)m的值為（

）．A． B．0 C．5 D．【答案】C【解析】因為不能構成空間的一個基底，所以共面，故存在使得，即，故，解得.故選：C【變式12】（2024·高二·江蘇無錫·階段練習）若，，構成空間的一個基底，則下列向量能構成空間的一個基底的是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】對于A,假設共面,則可設方程組無解,不共面,可以作為空間一組基底,A正確;對于B,共面,不能作為空間一組基底,B錯誤;對于共面,不能作為空間一組基底,C錯誤;對于共面,不能作為空間一組基底,D錯誤.故選：A【變式13】（2024·高二·全國·課后作業(yè)）設向量，，不共面，則下列向量組可作為空間的一組基的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】A選項，由于與任意兩個向量共面，不能作為基底；B選項，，故三個向量共面，不能作為基底；C選項，設，向量，，不共面，上式顯然不成立，即與不共面，符合題意；D選項，，故三個向量共面，不能作為基底；故選：C.【變式14】（2024·高二·重慶·期末）正方體中的有向線段，不能作為空間中的基底的是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】A選項，共面，不能作為空間中的一組基底，A正確；B選項，不共面，能作為空間中的一組基底，B錯誤；C選項，不共面，能作為空間中的一組基底，C錯誤；D選項，因為，，設，即，，無解，故不共面，能作為空間中的一組基底，D錯誤.故選：A題型二：基底的運用【典例21】（2024·高二·黑龍江哈爾濱·期中）如圖，空間四邊形中，，，，點M在上，且，點N為中點，則等于（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】.故選：B.【典例22】（2024·高二·安徽馬鞍山·階段練習）在四面體中，，，，為的重心，在上，且，則（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】延長交于點，則點為的中點，因為，所以，所以，所以，所以，因為，，，所以，故選：C.【方法技巧與總結】1、空間中，任一向量都可以用一組基底表示，且只要基底確定，則表示形式是唯一的．2、用基底表示空間向量時，一般要結合圖形，運用向量加法、減法的平行四邊形法則、三角形法則，以及數(shù)乘向量的運算法則，逐步向基向量過渡，直至全部用基向量表示．3、在空間幾何體中選擇基底時，通常選取公共起點最集中的向量或關系最明確的向量作為基底，例如，在正方體、長方體、平行六面體、四面體中，一般選用從同一頂點出發(fā)的三條棱所對應的向量作為基底．【變式21】（2024·高二·山東濰坊·開學考試）如圖所示，在四面體A－BCD中，點E是CD的中點，記，，，則等于（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】連接AE，如圖所示，∵E是CD的中點，，，∴＝＝．在△ABE中，，又，∴.故選：A.【變式22】（2024·高二·江蘇揚州·期中）如圖，三棱柱中，G為棱AD的中點，若，，，則（

）

A． B．C． D．【答案】A【解析】，，，則．故選：A．【變式23】（2024·高二·河南鄭州·期中）空間四邊形中，，，，點在上，，點為的中點，則（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】如圖，連結，因，點為的中點，則，于是，.故選：B.【變式24】（2024·高二·湖北·階段練習）在平行六面體中，設，，，，分別是，的中點，則（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因為，分別是，的中點，所以，，所以.故選：C題型三：正交分解【典例31】（2024·高二·河南洛陽·階段練習）已知是空間的一個單位正交基底，向量，是空間的另一個基底，向量在基底下的坐標為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設，所以，解得，所以向量在基底下的坐標為.故選：A.【典例32】（2024·高二·山東煙臺·階段練習）設是單位正交基底，已知，若向量在基底下的坐標為，則向量在基底下的坐標是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因為向量在基底下的坐標為，所以，所以向量在基底下的坐標為.故選：C.【方法技巧與總結】正交基底的三個向量共起點【變式31】（2024·高二·河北保定·期中）定義：設是空間的一個基底，若向量，則稱實數(shù)組為向量在基底下的坐標.已知是空間的單位正交基底，是空間的另一個基底.若向量在基底下的坐標為，則向量在基底下的模長為（

）A．3 B． C．9 D．6【答案】A【解析】由題意得向量在基底下的坐標為：，則，所以向量在下的坐標為：，所以模長為，故A項正確.故選：A.【變式32】（2024·高二·湖北武漢·階段練習）向量是空間的一個單位正交基底，向量在基底，，下的坐標為，則在基底的坐標為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設；由題意可知，，解得；在基底下的坐標為．故選：A．【變式33】（2024·高二·湖北武漢·階段練習）已知是空間的一組單位正交基底，若向量在基底下用有序實數(shù)組表示為，則與向量同向的單位向量在基底下用有序實數(shù)組表示為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因為向量在基底下用有序實數(shù)組表示為，所以與向量同向的單位向量的有序實數(shù)組表示為，設與向量同向的單位向量在基底下有序實數(shù)組表示為，所以，又因為，所以，解得，則與向量同向的單位向量在基底下用有序實數(shù)組表示為.故選：C.【變式34】（2024·高二·全國·課后作業(yè)）在棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1中,AD1的中點為M，B1D1的中點為N，若以{}為單位正交基底,則的坐標為()A． B．C． D．【答案】C【解析】由，故.故選：C題型四：用空間向量基本定理解決相關的幾何問題【典例41】（2024·高二·江蘇宿遷·期中）如圖所示，在空間四邊形中，與成角，與成角，與成角，且，為的中點，為的中點，試求，間的距離．

【解析】以，，為基底，則，.又，所以，所以，即，間的距離為3.【典例42】（2024·高二·上?！ふn后作業(yè)）四棱柱的六個面都是平行四邊形，點在對角線上，且，點在對角線上，且．(1)設向量，，，用、、表示向量、；(2)求證：、、三點共線．【解析】（1）因為，則，所以，又因為，則，所以；（2）因為，且，所以，即、、三點共線．【方法技巧與總結】應用空間向量基本定理可以證明空間的線線垂直、線線平行，可求兩條異面直線所成的角等．首先根據(jù)幾何體的特點，選擇一個基底，把題目中涉及的兩條直線所在的向量用基向量表示．（1）若證明線線垂直，只需證明兩向量數(shù)量積為0；（2）若證明線線平行，只需證明兩向量共線；（3）若要求異面直線所成的角，則轉化為兩向量的夾角（或其補角）．【變式41】（2024·高二·江蘇常州·階段練習）如圖所示，平行六面體中，．(1)用向量表示向量，并求；(2)求．【解析】（1），則，所以.（2）由空間向量的運算法則，可得，因為且，所以，，則.【變式42】（2024·高二·安徽·期中）已知正三棱錐如圖所示，其中，，點D在平面內的投影為點E，點F為線段上靠近B的三等分點．(1)若，求的值；(2)求的值．【解析】（1），又，∴，，；（2）由余弦定理得，易知；故，∴．【變式43】（2024·高二·江蘇常州·階段練習）如圖，在底面為菱形的平行六面體中，分別在棱上，且，且.

(1)求證：共面；(2)當為何值時，；(3)若，且，求的長.【解析】（1）在平行六面體中，連接，因為，所以，，所以，即且，所以四邊形為平行四邊形，即共面.（2）當時，，理由如下，設，且與、與、與的夾角均為，因為底面為菱形，所以，，，

若，則，即，即，解得或舍去，所以時，（3），，，所以，所以的長為【變式44】（2024·高二·重慶九龍坡·階段練習）如圖，已知四棱錐的底面為平行四邊形，平面與直線、、分別交于點、、，且滿足.點在直線上，為棱的中點，且直線平面.(1)設，，，試用基底表示向量；(2)若點的軌跡長度與棱長的比值為，試討論是否為定值，若為定值，請求出，若不為定值，請說明理由.【解析】（1）因為四棱錐的底面為平行四邊形，所以，故；（2）由（1）知，，又，所以，則，，，設，又，則，因為平面，則存在實