大學(xué)物理課件：剛體定軸轉(zhuǎn)動

剛體定軸轉(zhuǎn)動教學(xué)基本要求一.理解描寫剛體定軸轉(zhuǎn)動的物理量：力矩、轉(zhuǎn)動慣量、角動量等概念；二.掌握剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定理；三.理解剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動動能，正確應(yīng)用機械能守恒定律；四.掌握運用剛體定軸轉(zhuǎn)動規(guī)律解決剛體簡單系統(tǒng)力學(xué)問題的方法.1.剛體：系統(tǒng)內(nèi)任意兩質(zhì)點間距保持不變；2.剛體的一般運動形式：平動＋轉(zhuǎn)動；剛體平動質(zhì)點運動平動：剛體中所有點的運動軌跡都保持完全相同，或剛體內(nèi)任意兩點間的連線總是平行于其初始位置的連線。3.剛體的定軸轉(zhuǎn)動：剛體的轉(zhuǎn)軸是一定直線；本節(jié)內(nèi)容：剛體運動學(xué)；4.1剛體定軸轉(zhuǎn)動的角量描述2.角位移

1.角坐標(biāo)

方向:右手螺旋方向；

（逆正、順負(fù)）<0q0>q規(guī)定：逆時針方向轉(zhuǎn)動：順時針方向轉(zhuǎn)動：(1)3.角速度矢量(2)4.1.1剛體定軸轉(zhuǎn)動的角速度和角加速度5.角加速度

4.剛體定軸轉(zhuǎn)動:轉(zhuǎn)動方向可用角速度的正負(fù)表示；(3)a.剛體上每一質(zhì)點均作圓周運動；b.剛體上任一質(zhì)點的角量均相同（線量一般不同）；c.剛體運動的描述僅需一個坐標(biāo)：；6.定軸轉(zhuǎn)動的特點:4.1.2剛體勻變速轉(zhuǎn)動公式

剛體定軸勻變速轉(zhuǎn)動質(zhì)點勻變速直線運動剛體勻變速轉(zhuǎn)動：其定軸轉(zhuǎn)動的角加速度為恒量；4.1.3.角量與線量的關(guān)系1.角量2.角量與線量關(guān)系例題4.1.1回轉(zhuǎn)工作臺是銑床的主要附件之一，可分別以立式與水平兩種方式安裝于主機工作臺?；剞D(zhuǎn)工作臺立式放置與尾座配合使用時，可對較復(fù)雜的工件進(jìn)行圓周分度鉆削或銑削，廣泛應(yīng)用于汽車零部件制造、機械加工等行業(yè)。設(shè)回轉(zhuǎn)工作臺以角加速度

由靜止?fàn)顟B(tài)加速轉(zhuǎn)動。試求：（1）工作臺轉(zhuǎn)足10圈需要多長時間；（2）何時工作臺轉(zhuǎn)速達(dá)到

。解利用表4.1中勻變速轉(zhuǎn)動公式即可求解此題（1）由

得：

解得：（2）由勻變速角加速度公式可得：例題4.1.2訓(xùn)練宇航員適應(yīng)高加速環(huán)境的離心機如圖所示，設(shè)宇航員所在處距離心機圓心

，試求（1）若宇航員法向加速度的值為

，離心機的恒定角速度多大？（2）若離心機在

內(nèi)由靜止勻加速到上述恒定角速度，宇航員的切向加速度多大？解（1）由于角速度恒定恒定，故有：（2）離心機的角加速度為：

姑離心機邊緣處的切向加速度為：1.力矩：使剛體產(chǎn)生角加速度的物理量；

2.轉(zhuǎn)動定律：剛體定軸轉(zhuǎn)動的動力學(xué)方程；3.轉(zhuǎn)動慣量：剛體定軸轉(zhuǎn)動慣性的量度；本節(jié)內(nèi)容：剛體動力學(xué)；4.2剛體定軸轉(zhuǎn)動定律

:力臂力矩：剛體繞Oz

軸旋轉(zhuǎn),力作用在剛體上點P,

且在轉(zhuǎn)動平面內(nèi),為由點O到力的作用點P的徑矢，則

對轉(zhuǎn)軸Z的力

1.力矩P*O(1)矩為：4.2.1剛體定軸轉(zhuǎn)動定律

注意：

1.若力不在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)，則可把力分解為平行、垂直于轉(zhuǎn)軸方向的兩個分量：其中對轉(zhuǎn)軸的力矩為零，故對轉(zhuǎn)軸的力矩為:O3.剛體內(nèi)力矩互相抵消：o注意：內(nèi)力矩對剛體動力學(xué)效應(yīng)無貢獻(xiàn)；2.合力矩等于各分力矩的矢量和：(2)例題4.2.1研磨專用動力卡盤是專門為精密研磨機所設(shè)計，如圖所示用于固定被加工工件，卡盤在繞垂直通過盤心的軸轉(zhuǎn)動時會與接觸工件產(chǎn)生滑動摩擦。試求卡盤轉(zhuǎn)動時受到的摩擦力矩。設(shè)其質(zhì)量

，半徑

，與工件間的滑動摩擦因數(shù)為

。解：分析

摩擦力矩在卡盤不同部位是不同的，如圖所示在卡盤上取一半徑為r、寬為dr的細(xì)圓環(huán)：細(xì)圓環(huán)的質(zhì)量:細(xì)圓環(huán)受到的摩擦力矩:則整個卡盤所受到的摩擦力矩

(1)(2)(3)O設(shè)質(zhì)點與轉(zhuǎn)軸剛性連接，F(xiàn)作用于轉(zhuǎn)動平面內(nèi)：O剛體質(zhì)元受外力，內(nèi)力，則有：外力矩內(nèi)力矩2剛體定軸轉(zhuǎn)動定律剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律：剛體定軸轉(zhuǎn)動的角加速度與其所受合外力矩成正比，與剛體對該定軸的轉(zhuǎn)動慣量成反比.

定義轉(zhuǎn)動慣量：剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律：例題4.2.2軸流式通風(fēng)機的葉輪以初角速度

繞過O點的轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動如圖所示。設(shè)葉輪所受空氣阻力矩大小與

的平方成正比，比例系數(shù)

。若葉輪對轉(zhuǎn)軸O的轉(zhuǎn)動慣量為

，軸與葉輪間的摩擦不計，試求：（1）經(jīng)過多長時間葉輪的

減為

的一半；（2）在該時間間隔內(nèi)葉輪轉(zhuǎn)過的轉(zhuǎn)數(shù)。解：分析

由剛體定軸轉(zhuǎn)動定律可解。（1）由題意知葉輪所受阻力矩方向與其轉(zhuǎn)動方向相反，其大小為：(1)由剛體定軸轉(zhuǎn)動定律得：對上式分離變量并積分得：得到所需時間為：(2)(4)(3)（2）由剛體定軸轉(zhuǎn)動定律得：對上式分離變量并積分得：得轉(zhuǎn)過的轉(zhuǎn)數(shù)為：(5)(6)例題4.2.3質(zhì)量

的兩物體分別懸掛在質(zhì)量

的定滑輪兩端如圖示。設(shè)定滑輪半徑

，且滑輪與繩索間無滑動，輪與軸承間的摩擦力及繩索質(zhì)量均忽略不計，試求（1）兩物體的加速度；（2）繩中的張力。解：分析

本題的研究對象由兩物體與定滑輪構(gòu)成剛體系。兩物體均可簡化為質(zhì)點，定滑輪簡化為定軸轉(zhuǎn)動圓盤，于是受力分析如圖所示。故由剛體定軸轉(zhuǎn)動定律及牛頓第二定律聯(lián)立可求解。對分別選豎直向下、上為正建立一維坐標(biāo)系，設(shè)：由兩物體受力分析圖示，應(yīng)用牛頓第二定律得：對定滑輪應(yīng)用定軸轉(zhuǎn)動定律得：且有：滑輪對其中心軸的轉(zhuǎn)動慣量：(2)(1)(3)于是得：(4)1.物理意義：轉(zhuǎn)動慣性的量度；(1)(1)質(zhì)量離散分布剛體的轉(zhuǎn)動慣量：(2)2.轉(zhuǎn)動慣量的計算方法：4.2.2

剛體的轉(zhuǎn)動慣量(2)質(zhì)量連續(xù)分布剛體的轉(zhuǎn)動慣量(3)(積分遍布整個剛體)注意：1.r是dm距離轉(zhuǎn)軸的垂距；

2.積分遍布整個剛體；

3.關(guān)于質(zhì)量元：（三種情況）；(2)對質(zhì)量面分布的剛體：：質(zhì)量面密度；(3)對質(zhì)量體分布的剛體：：質(zhì)量體密度；(1)對質(zhì)量線分布的剛體：：質(zhì)量線密度；例題4.2.4質(zhì)量為

，長度為

的均勻細(xì)桿，試求細(xì)桿對如下定軸的轉(zhuǎn)動慣量。（1）轉(zhuǎn)軸

過中心并與桿垂直；（2）轉(zhuǎn)軸

過桿的端點并與桿垂直。解

分析建如圖所示坐標(biāo)系，質(zhì)量連續(xù)分布，寫微元積分即可得結(jié)果。在

處取長為的質(zhì)元質(zhì)量為:

質(zhì)元對軸轉(zhuǎn)動慣量為：（1）細(xì)桿對軸轉(zhuǎn)動慣量細(xì)桿對軸轉(zhuǎn)動慣量為：（2）同理細(xì)桿對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量：討論：1.結(jié)論：同一剛體對不同轉(zhuǎn)軸，對應(yīng)不同轉(zhuǎn)動慣量，故該量有關(guān)于剛體，還有關(guān)于轉(zhuǎn)軸！

2.由上述結(jié)果看出：平行軸定理：質(zhì)量為

的剛體，如果對其質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量為

，則對任一與該軸平行，相距為

的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為：4.2.3平行軸定理由例題4.2.4結(jié)果：細(xì)桿對通過桿端點且與桿垂直轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為：4.3.1剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理

1.剛體對定軸的角動量定軸轉(zhuǎn)動時剛體上各質(zhì)元繞同一軸做圓周運動，各質(zhì)元的角動量為：剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量：結(jié)論：剛體對定軸的角動量等于剛體對定軸的轉(zhuǎn)動慣量與角速度的乘積。4.3剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量守恒定律2.剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理剛體對轉(zhuǎn)軸的角動量定理：作定軸轉(zhuǎn)動時剛體對轉(zhuǎn)軸的角動量隨時間的變化率，等于剛體相對同一轉(zhuǎn)軸所受外力的合力矩。剛體對定軸角動量定理的積分形式：轉(zhuǎn)動剛體所受

合外力矩的沖量矩，等于轉(zhuǎn)動剛體在該時間間隔內(nèi)角動量的增量。4.3.2剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量守恒定律1.剛體對定軸的角動量守恒定律，則若剛體對定軸的角動量守恒定律：定軸轉(zhuǎn)動的剛體所受對轉(zhuǎn)軸的合外力矩為零時,剛體對同一轉(zhuǎn)軸的角動量守恒。d.角動量守恒定律是自然界的基本定律；b.內(nèi)力矩不改變系統(tǒng)的角動量；c.在沖擊等問題中常量；不變，不變，不變.

變，也變，不變.a守恒條件:討論：剛體角動量守恒舉例：A.動量守恒定律；B.能量守恒定律；C.角動量守恒定律；D.電荷守恒定律；E.質(zhì)量守恒定律；F.宇稱守恒定律；a.花樣滑冰、花樣跳傘等；b.跳水運動；c.直升機的設(shè)計；自然界的守恒定律：

被中香爐慣性導(dǎo)航儀（陀螺）

角動量守恒定律在技術(shù)中的應(yīng)用

例題4.3.1機械動力傳遞技術(shù)常用摩擦嚙合器使兩個飛輪嚙合，以達(dá)到動力傳遞的目的。如圖所示C為摩擦嚙合器，忽略其質(zhì)量不計，若已知飛輪A、B的轉(zhuǎn)動慣量分別為

，且初始狀態(tài)A的轉(zhuǎn)速

，B靜止。設(shè)A、B兩飛輪嚙合后一起轉(zhuǎn)動，試求其角速度。設(shè)為兩飛輪嚙合后共同角速度：解：分析以飛輪A、B和嚙合器

C

作為剛體系統(tǒng)考慮。嚙合過程系統(tǒng)受到軸向正壓力、重力、支持力和嚙合器之間的切向摩擦力，前三者對轉(zhuǎn)軸的力矩為零，嚙合器之間的切向摩擦力對轉(zhuǎn)軸有力矩，但為系統(tǒng)內(nèi)力矩，系統(tǒng)受到的外力矩為零，故系統(tǒng)的角動量守恒。注意到嚙合器C質(zhì)量不計，因此有：例題4.3.2質(zhì)量

、半徑

的圓盤，繞過圓心

且垂直于盤面的水平光滑固定軸轉(zhuǎn)動，已知其角速度為

。如圖所示若有兩個質(zhì)量為相同、速度大小相同、方向相反并沿同一直線發(fā)射的子彈，且子彈同時射入圓盤并駐留盤內(nèi)一起轉(zhuǎn)動，已知

點到該直線的距離為

，試求子彈射入后瞬間圓盤的角速度。整理得：解：分析將圓盤與子彈視為剛體系統(tǒng)，由于兩子彈質(zhì)量相同，故當(dāng)子彈同時射入圓盤瞬間，作用于系統(tǒng)的合外力矩為零，即兩子彈所受重力的力矩為零，系統(tǒng)的角動量守恒，故得到：1、力矩的功2、力矩的功率(1)力矩的功：(2)(3)4.4剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的動能定理4.4.1

力矩的功4.4.2剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動動能2、剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的動能定理(4)(5)1、剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動動能剛體繞定軸轉(zhuǎn)動動能定理：合外力矩對定軸轉(zhuǎn)動剛體所作的功，等于剛體轉(zhuǎn)動動能的增量.(6)剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的機械能：(6)例題4.4.1

長

、質(zhì)量

的勻質(zhì)木棒如圖所示，可繞水平軸O在鉛直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，初態(tài)木棒自然鉛直懸垂，設(shè)質(zhì)量為的子彈以

的速率從A點射入棒中并與棒一起運動。已知A、O兩點間距

，試求：（1）棒開始運動時的；（2）棒的最大偏轉(zhuǎn)角度。解：分析將子彈與木棒視為剛體系，子彈射入木棒瞬間，系統(tǒng)所受重力及軸對木棒的約束力均過轉(zhuǎn)軸O，因此對轉(zhuǎn)軸的合外力矩為零，故系統(tǒng)角動量守恒。（1）設(shè)木棒鉛垂、子彈未射入時為剛體系初態(tài)，子彈射入棒開始運動時為剛體系末態(tài)，由角動量守恒定律得：解得棒開始運動時剛體系的角速度為：

（2）把木棒、子彈、地球視