大學(xué)物理課件：氣體動(dòng)理論

氣體動(dòng)理論7.1氣體系統(tǒng)熱運(yùn)動(dòng)的微觀特征7.2理想氣體的壓強(qiáng)7.3溫度的微觀解釋7.4能量均分原理7.5麥克斯韋速率分布定律7.6玻耳茲曼分布律7.7氣體分子的平均自由程7.1氣體系統(tǒng)熱運(yùn)動(dòng)的微觀特征氣體(理想氣體)一、研究對(duì)象二、研究方法

從物質(zhì)的微觀模型出發(fā)，應(yīng)用力學(xué)規(guī)律和統(tǒng)計(jì)方法研究大量粒子熱運(yùn)動(dòng)規(guī)律的微觀理論,揭示粒子的微觀運(yùn)動(dòng)與宏觀熱現(xiàn)象之間的深刻聯(lián)系。揭示宏觀熱現(xiàn)象的微觀本質(zhì)。分子運(yùn)動(dòng)的基本觀點(diǎn):1.宏觀物體由大量粒子(分子、原子等)組成。2.分子在永不停息地作無(wú)序熱運(yùn)動(dòng)。(布朗運(yùn)動(dòng))不同結(jié)構(gòu)的分子其尺度不一樣。例如標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)氧分子直徑阿伏伽德羅常數(shù)1mol物質(zhì)含有的分子個(gè)數(shù)。

分子有單原子分子、雙原子分子、多原子分子和千萬(wàn)個(gè)原子構(gòu)成的高分子。3.分子間存在相互作用力。分子力與分子間距離的關(guān)系f(r)r0~10-9mr/mo合力引力斥力當(dāng)時(shí),

當(dāng)r<r0

時(shí),分子力主要表現(xiàn)為斥力；當(dāng)r>r0

時(shí),分子力主要表現(xiàn)為引力。r0—平衡位置

一切宏觀物體都是由大量分子組成的，分子都在永不停息地作無(wú)序熱運(yùn)動(dòng)，分子之間有相互作用的分子力。三、氣體分子運(yùn)動(dòng)的規(guī)律2.氣體分子間的相互碰撞是非常頻繁的。大量分子都在不停地作無(wú)規(guī)熱運(yùn)動(dòng),在常溫常壓情況下,一個(gè)氣體分子在1s的時(shí)間里大約經(jīng)歷10億次碰撞,每個(gè)分子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)都有一定的偶然性。1.氣體中分子間的距離相對(duì)較大，分子之間、分子與器壁之間產(chǎn)生瞬間碰撞，分子在兩次碰撞之間的運(yùn)動(dòng)可以看作是在慣性支配下的自由運(yùn)動(dòng)。分子運(yùn)動(dòng)是無(wú)序的。

通過(guò)對(duì)大量分子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的觀察，發(fā)現(xiàn)有一定的規(guī)律性。例如，在平衡態(tài)時(shí)，容器內(nèi)各處的溫度、密度和壓強(qiáng)都是均勻分布。這表明，在大量的偶然、無(wú)序的分子運(yùn)動(dòng)中包含一種規(guī)律性，稱(chēng)為統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。四、氣體分子熱運(yùn)動(dòng)滿(mǎn)足的統(tǒng)計(jì)規(guī)律

1.在忽略重力和其他外力作用的條件下，每一個(gè)分子在容器中任意位置出現(xiàn)的概率是相等的。3.速度分量vx、v

y、vz平方的平均平衡狀態(tài)時(shí)，氣體分子沿各方向運(yùn)動(dòng)的概率相等，則2.分子速度分量的統(tǒng)計(jì)平均值氣體在平衡狀態(tài)時(shí)，分子沿各方向運(yùn)動(dòng)的概率相等，故1.分子線度與分子間距相比較可忽略,分子被看做質(zhì)點(diǎn)。2.由于分子力的作用距離很短，可以認(rèn)為氣體分子之間除了分子碰撞的瞬間外,其相互作用力可忽略不計(jì)。3.氣體分子在運(yùn)動(dòng)中遵守經(jīng)典力學(xué)規(guī)律，假設(shè)碰撞為彈性碰撞。

按照這三條假設(shè)，可以把理想氣體看成一個(gè)質(zhì)點(diǎn)系，這些看成質(zhì)點(diǎn)的理想氣體分子除了碰撞的瞬間外,都在做自由的慣性運(yùn)動(dòng)。也就是說(shuō)，理想氣體分子好像是一個(gè)沒(méi)有大小，并且除碰撞的瞬間外沒(méi)有相互作用的彈性球。一、理想氣體的微觀模型7.2理想氣體的壓強(qiáng)二、理想氣體的壓強(qiáng)公式容器器壁單位面積上所受的正壓力。壓強(qiáng)

P宏觀量

微觀上看，氣體作無(wú)規(guī)熱運(yùn)動(dòng)，氣體的壓強(qiáng)等于大量分子在單位時(shí)間內(nèi)施加在單位面積器壁上的平均沖量。如何求得F?如何求得

?為了討論方便，我們把N個(gè)分子分為若干組，每組分子具有相同的速度。設(shè)第i組分子的速度為：第i

組分子的分子數(shù)密度為：一定質(zhì)量的處于平衡態(tài)的某種理想氣體，被封閉在體積為V的任意形狀的容器中，氣體分子的質(zhì)量為

，容器內(nèi)分子總數(shù)為N，分子數(shù)密度為。任意一個(gè)分子速度：第i組分子的分子數(shù)為?Nix設(shè)器壁上面積元dA法向?yàn)閤軸,速度為的分子碰撞器壁一次所受的沖量等于它的動(dòng)量的增量：由牛頓第三定律，受分子碰撞一次,器壁所受的沖量：在dt時(shí)間內(nèi)與dA碰撞的分子數(shù)（即斜柱體內(nèi)的分子）：這些分子在dt時(shí)間內(nèi)對(duì)dA的總沖量為：所有分子在dt時(shí)間內(nèi)對(duì)dA的總沖量為：氣體對(duì)器壁的宏觀壓強(qiáng)為：則定義:分子平均平動(dòng)動(dòng)能3.顯示了宏觀量與微觀量的關(guān)系，是力學(xué)原理與統(tǒng)計(jì)方法相結(jié)合得出的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。2.壓強(qiáng)是大量分子對(duì)時(shí)間、對(duì)面積的統(tǒng)計(jì)平均結(jié)果。討論

統(tǒng)計(jì)關(guān)系式宏觀可測(cè)量量微觀量的統(tǒng)計(jì)平均值1.氣體對(duì)容器器壁的壓強(qiáng)正比于氣體的分子數(shù)密度n和氣體分子的平均平動(dòng)動(dòng)能。例1

體積V=10-3m3的容器中貯有理想氣體，其分子總數(shù)N=1023，每個(gè)分子質(zhì)量,分子方均根速率。求：（1）分子總平均平動(dòng)動(dòng)能。（2）氣體的壓強(qiáng)。解（1）（2）理想氣體物態(tài)方程若分子總數(shù)為N玻爾茲曼常數(shù)則7.3溫度的微觀解釋所以（1）處于平衡態(tài)的理想氣體，分子的平均平動(dòng)動(dòng)能與氣體的溫度成正比。同一溫度下,各種氣體分子平均平動(dòng)動(dòng)能均相等。比較與壓強(qiáng)公式得(3)溫度是統(tǒng)計(jì)概念,是大量分子熱運(yùn)動(dòng)的集體表現(xiàn)。對(duì)于少量的分子，溫度的概念就失去了意義。說(shuō)明(2)溫度的本質(zhì)是物體內(nèi)部分子熱運(yùn)動(dòng)劇烈程度的標(biāo)志。是分子熱運(yùn)動(dòng)平均平動(dòng)動(dòng)能的度量。例1.容積V的容器中裝有N1個(gè)氧分子和N2個(gè)氮分子的混合氣體，混合氣體的壓強(qiáng)P，求：（1）分子的平均平動(dòng)動(dòng)能；（2）混合氣體的溫度。解：（1）由壓強(qiáng)公式（2）自由度（i）

:確定一個(gè)物體在空間的位置所必需的獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)目。7.4能量均分原理一、自由度的概念i=3i=2i=1t平動(dòng)自由度；r轉(zhuǎn)動(dòng)自由度。v

振動(dòng)自由度。

自由度數(shù)目1.單原子分子(看作質(zhì)點(diǎn))t=3.i=3

既有平動(dòng)，又有轉(zhuǎn)動(dòng)。平動(dòng)可看作質(zhì)心的平動(dòng)。

兩個(gè)被看作質(zhì)點(diǎn)的原子被一質(zhì)量不計(jì)的剛性桿相連。xyzμ1μ2C2.剛性雙單原子分子t=3,r=2，i=5。3.多原子分子六個(gè)自由度水蒸氣、甲烷等t=3,r=3，i=6。三個(gè)或三個(gè)以上原子構(gòu)成的分子。剛性分子自由度633多原子分子523雙原子分子303單原子分子總i轉(zhuǎn)動(dòng)r平動(dòng)t分子自由度分子的平均平動(dòng)動(dòng)能：二、能量按自由度均分定理能量均分定理在溫度為T(mén)的平衡態(tài)下，物質(zhì)分子的每個(gè)自由度都具有相同的平均動(dòng)能，其值為。自由度為i的分子的平均動(dòng)能：?jiǎn)卧臃肿佣嘣臃肿与p原子分子理想氣體的內(nèi)能：分子動(dòng)能和分子內(nèi)原子間的勢(shì)能之和。

1mol

理想氣體的內(nèi)能

νmol理想氣體的內(nèi)能三、理想氣體的內(nèi)能

理想氣體的內(nèi)能只是溫度的函數(shù)，與熱力學(xué)溫度成正比。例1體積為V的鋼瓶中盛有氧氣，使用一段時(shí)間后，測(cè)瓶中氣體壓強(qiáng)為P。求:

此時(shí)氧氣的內(nèi)能。

解:內(nèi)能利用理想氣體物態(tài)方程得氧氣的內(nèi)能例2在容積為V的容器內(nèi)盛有質(zhì)量不等的兩種單原子分子理想氣體，設(shè)處于平衡狀態(tài)時(shí)，它們的內(nèi)能相等，且均為E，求混合氣體的壓強(qiáng)。

解:設(shè)兩種氣體的物質(zhì)的量分別為和

混合氣體物態(tài)方程兩種氣體的內(nèi)能分別聯(lián)立可得一、速率分布函數(shù)在平衡態(tài)下，0℃空氣分子數(shù)按速率的分布100200300400500600700m/s5%10%15%20%25%0每一速率區(qū)間內(nèi)分子數(shù)取決于速率和速率區(qū)間間隔大小。7.5麥克斯韋速率分布定律1、速率分布函數(shù)

平衡態(tài)下，在v~v

+dv

區(qū)間內(nèi)分子數(shù)dN占總分子數(shù)N比率為，由于和速率區(qū)間dv有關(guān)，dv越大，則越大，通常用來(lái)反映分子的速率分布，它與所取區(qū)間無(wú)關(guān)，而僅與速率v有關(guān)。我們把這個(gè)比值定義為平衡態(tài)下的速率分布函數(shù)物理意義：在速率v附近單位速率間隔內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率。2、速率分布曲線Ovf(v)f(v)以v為橫軸，f(v)為縱軸，作出的分布函數(shù)f(v)的曲線，稱(chēng)為分布曲線。它反映了平衡態(tài)下氣體分子數(shù)按速率的分布規(guī)律。窄條面積：總面積：歸一化條件：部分面積：Ovf(v)v+dvvf(v)vf(v)OOvv1v2速率分布曲線下的面積

v~v

+dv區(qū)間的分子數(shù)在總數(shù)中占的比率v1~v

2區(qū)間的分子數(shù)在總數(shù)中占的比率Ovf(v)dvvf(v)f(v)dv二、速率分布函數(shù)的應(yīng)用利用速率分布函數(shù)可求出：1.v~v

+dv區(qū)間的分子數(shù)v~v

+dv區(qū)間內(nèi)分子數(shù)：dN總分子數(shù)：N3.v~v

+dv區(qū)間的分子數(shù)在總數(shù)中占的比率2.v1~v

2區(qū)間的分子數(shù)4.v1~v

2區(qū)間的分子數(shù)在總數(shù)中占的比率5.v1~v

2區(qū)間分子的平均速率

v1~v

2區(qū)間內(nèi)分子平均速率：

v1~v

2內(nèi)任取

v~v

+dv

區(qū)間，其中。該區(qū)間內(nèi)的分子個(gè)數(shù)因?yàn)閐v很小，可近似認(rèn)為dN個(gè)分子的速率相等，均為v，于是dN個(gè)分子的速率之和為：

v1~v

2內(nèi)的分子速率之和為：

v1~v

2內(nèi)的分子總數(shù)：

v1~v

2內(nèi)的分子的平均速率6.v1~v

2區(qū)間分子的方均速率

v1~v

2區(qū)間內(nèi)分子方均速率：

v1~v

2內(nèi)任取

v~v

+dv

區(qū)間，其中。該區(qū)間內(nèi)的分子個(gè)數(shù)因?yàn)閐v很小，可近似認(rèn)為dN個(gè)分子的速率相等，均為v，于是dN個(gè)分子的速率的平方的和為：

v1~v

2內(nèi)的分子速率的平方的和為：

v1~v

2內(nèi)的分子總數(shù)：

v1~v

2內(nèi)的分子的方均速率7.分子的平均速率8.分子的方均速率9.最概然速率vp（1）定義：速率分布函數(shù)曲線（f(v)~v)曲線峰值所對(duì)應(yīng)的速率。（2）意義：在vp附近單位速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占系統(tǒng)總分子數(shù)的比率最大。分子的平均速率，方均根速率和最概然速率

vp統(tǒng)稱(chēng)為速率分布的特征速率。Ovf(v)例1有N個(gè)粒子，其速率分布曲線如下圖，則求常數(shù)a等于:()O解：(A)(B)速率分布函數(shù)的歸一化條件為：即速率分布曲線下的總面積等于1，即(C)(D)答案為（C）例2有N個(gè)粒子，其速率分布函數(shù)為：(1)作速率分布曲線并求常數(shù)a；(2)求速率區(qū)間在(

，

）內(nèi)分子的平均速率；(3)求速率區(qū)間在(0

，

）之間的分子數(shù)解(1)由歸一化條件，得O(2)(3)三、麥克斯韋速率分布定律1.麥克斯韋速率分布定律其中，m為分子質(zhì)量，

T為溫度，k=1.38×10-23J/K是玻耳茲曼常量。早在1859年，麥克斯韋應(yīng)用統(tǒng)計(jì)概念和力學(xué)原理導(dǎo)出在平衡態(tài)下氣體分子速率分布函數(shù)的具體形式2.麥克斯韋速率分布曲線的性質(zhì)氣體分子速率可取的一切值，但v

很小和v很大的分子所占比率小，具有中等速率分子所占比率大。

Ovf(v)vp3.三個(gè)統(tǒng)計(jì)平均值(1)平均速率

(2)方均根速率

利用公式

(3)最概然速率,

vp在vp時(shí),分布函數(shù)應(yīng)有極大值。利用公式

三種統(tǒng)計(jì)速率比較f(v

)vf(vP)研究碰撞討論分布計(jì)算平均平動(dòng)動(dòng)能O同溫度下不同氣體速率分布N2分子在不同溫度下的速率分布1.

vp

與溫度

T的關(guān)系:2.

vp

與分子質(zhì)量

的關(guān)系:討論氫氣分子氧氣分子例3計(jì)算在27oC時(shí)，氫氣和氧氣分子的方均根速率。解例4如圖示兩條曲線分別表示氫氣和氧氣在同一溫度下的麥克斯韋速率分布曲線，從圖上數(shù)據(jù)求出兩氣體最概然速率.2000解:49507.6玻耳茲曼分布律一定量的氣體處于平衡態(tài)時(shí)，若不計(jì)外力場(chǎng)的作用，其分子將均勻分布，分子數(shù)密度和溫度都是處處相等的。當(dāng)考慮外力場(chǎng)對(duì)氣體作用時(shí)，其分子數(shù)密度和壓強(qiáng)將不再是均勻分布了。1877年玻耳茲曼求出了在外力場(chǎng)中氣體分子按能量分布的規(guī)律——玻耳茲曼分布律。51一、玻耳茲曼分布律由麥克斯韋速率分布律式中因子指數(shù)是一個(gè)與分子平動(dòng)動(dòng)能有關(guān)的量：故麥克斯韋速率分布律可以表示為52麥克斯韋速率分布律

玻耳茲曼將分布推廣到分子在外力場(chǎng)（如重力場(chǎng)）中的情況，認(rèn)為分子總能量為動(dòng)能勢(shì)能

平衡態(tài)下溫度為T(mén)的氣體中，位置在x~x+dx，y~y+dy，

z~z+dz

中，且速度在vx~vx+dvx,vy~vy+dvy,vz~vz+dvz區(qū)間分子數(shù)為53式中n0表示勢(shì)能為零處單位體積內(nèi)含有各種速度的分子數(shù)。

上式反映了氣體分子按能量的分布規(guī)律，稱(chēng)為玻耳茲曼能量分布律。54二、重力場(chǎng)中粒子按高度的分布在重力場(chǎng)中，分子受到兩種作用：一是分子熱運(yùn)動(dòng)，使得分子趨于均勻分布；二是重力作用，使得分子趨于向地面降落。當(dāng)這兩種作用共同存在而達(dá)到平衡時(shí)，氣體分子在空間形成一種非均勻穩(wěn)定分布，氣體分子數(shù)密度和壓強(qiáng)都將隨高度而減小。55

在x~x+dx，y~y+dy，z~z+dz

區(qū)間中的分子數(shù)為分子按勢(shì)能分布規(guī)律括號(hào)內(nèi)積分為1，所以56兩邊與dV=dxdydz相比，得勢(shì)能為處單位體積內(nèi)含有各種速度的分子數(shù)—分子按勢(shì)能的分布律。在重力場(chǎng)中，地球表面附近分子的勢(shì)能為57分子在重力場(chǎng)中按勢(shì)能分布為式中n0、n分別為h=0和h=h處分子數(shù)密度。說(shuō)明

（1）分子數(shù)密度n隨高度的增大按照指數(shù)減小。

（3）氣體溫度越高（分子熱運(yùn)動(dòng)劇烈），n就減小的越緩慢。

（2）分子質(zhì)量

越大（重力的作用顯著），n就減小的越迅速。58三、氣壓公式將地球表面的大氣看作理想氣體，有代入式子，得氣壓公式結(jié)論：大氣壓強(qiáng)隨高度增加按照指數(shù)減小。氣體分子平均速率空氣分子在270C時(shí)的平均速率為476m/s.矛盾克勞修斯指出：氣體分子的速度雖然很大，但前進(jìn)中要與其他分子作頻繁的碰撞，每碰一次，分子運(yùn)動(dòng)方向就發(fā)生改變，所走的路程非常曲折。分子運(yùn)動(dòng)論佯謬:在常溫下，空氣分子速率400~500米/秒，如果在講臺(tái)上打開(kāi)一瓶香水，后排的同學(xué)立刻就可聞到香水味。但實(shí)際需要1~2分鐘才能聞到，擴(kuò)散與分子速率102m/s矛盾.7.7氣體分子的平均自由程

單位時(shí)間內(nèi)分子與其他分子碰撞的平均次數(shù)。一、分子的平均碰撞頻率dA

研究分子碰撞規(guī)律時(shí)，可把氣體分子看作相互間無(wú)吸引力的有效直徑為d的彈性小球。分子之間的碰撞為完全彈性碰撞。

跟蹤分子A,觀察它在

t時(shí)間內(nèi)與多少分子相碰。

圓柱體的