大學(xué)物理課件：質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)

質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)2.1牛頓運(yùn)動(dòng)定律及其應(yīng)用2.2慣性系力學(xué)相對(duì)性原理2.3功和能2.4功能原理與機(jī)械能守恒定律2.5動(dòng)量定理與動(dòng)量守恒定律質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)主要研究引起物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)變化的原因和由此引發(fā)的效果。2.1.1牛頓運(yùn)動(dòng)定律

任何物體都要保持其靜止或勻速直線運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，直到外力迫使它改變運(yùn)動(dòng)狀態(tài)為止。注意：牛頓第一定律提出兩個(gè)力學(xué)基本概念：慣性和力1.牛頓第一定律

第一定律指出，任何物體都有保持其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)不變的性質(zhì)，這個(gè)性質(zhì)叫做慣性（其大小用質(zhì)量量度）。所以第一定律也成為慣性定律。

第一定律還表明，正是由于物體具有慣性，所以要使物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生變化，一定要有其它物體對(duì)它作用，這種作用稱(chēng)之為力。另一表述：自由物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)永不改變2.1牛頓運(yùn)動(dòng)定律及其應(yīng)用2.牛頓第二定律：

理解：A.牛頓第二定律是實(shí)驗(yàn)定律B.給出了質(zhì)量是慣性的量度以及力的量度C.牛頓第二定律的瞬時(shí)性、矢量性、獨(dú)立性。瞬時(shí)性：力和加速度同時(shí)存在，同時(shí)消失。

獨(dú)立性：每個(gè)力對(duì)物體產(chǎn)生的加速度，與是否存在別的力無(wú)關(guān)或：多個(gè)力對(duì)同一物體產(chǎn)生的加速度，等于每一個(gè)力單獨(dú)對(duì)物體產(chǎn)生的加速度的矢量和。矢量性：牛頓第二定律滿足矢量的合成與分解。直角坐標(biāo)系：自然坐標(biāo)系：3.牛頓第三運(yùn)動(dòng)定律：兩物體間的相互作用力總是等值反向，且在同一直線上。FF1–2FF2–1又稱(chēng)為：作用力與反作用力定律2.1.2常見(jiàn)的幾種力1.萬(wàn)有引力、重力：質(zhì)量為m1和m2的兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)相距為r，則這兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)之間存在相互吸引力，大小為：

稱(chēng)為萬(wàn)有引力由于萬(wàn)有引力常數(shù)的數(shù)量級(jí)很小，所以一般物體間的萬(wàn)有引力極其微弱．其中稱(chēng)為萬(wàn)有引力常數(shù)例如，地球上相距一米的兩個(gè)人之間的引力不足所以地球表面物體主要是受地球的吸引力，也就是重力（Ｐ）：所以重力加速度為：式中ｍ，Ｍ分別是物體和地球的質(zhì)量，Ｒ為地球半徑2.彈性力：當(dāng)兩個(gè)物體相互接觸發(fā)生形變時(shí)，物體因形變而產(chǎn)生的恢復(fù)力稱(chēng)為彈性力。彈性力產(chǎn)生的先決條件是彈性形變，彈性力的大小取決于形變的程度。彈性力的表現(xiàn)形式有很多種，常見(jiàn)的彈性力有：彈簧被拉伸或壓縮時(shí)產(chǎn)生的彈簧彈性力；繩索被拉緊時(shí)產(chǎn)生的張力；重物放在支承面上產(chǎn)生的正壓力（作用于支承面）和支持力（作用于物體上）等均為彈性力。3.摩擦力：

兩個(gè)相互接觸的物體在沿接觸面有相對(duì)滑動(dòng)時(shí)，或者有相對(duì)滑動(dòng)的趨勢(shì)時(shí)，在接觸面之間會(huì)產(chǎn)生一對(duì)阻止相對(duì)運(yùn)動(dòng)的力，叫做摩擦力。

(1)相互接觸的兩個(gè)物體在外力作用下，有相對(duì)滑動(dòng)的趨勢(shì)但尚未產(chǎn)生相對(duì)滑動(dòng)，這時(shí)的摩擦力叫靜摩擦力。靜摩擦力沿接觸面作用并與相對(duì)運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)相反。靜摩擦力的大小視外力大小而定，介于零和最大靜摩擦力之fS間，實(shí)驗(yàn)證明，最大靜摩擦力正比于正壓力N，即(2)當(dāng)外力超過(guò)最大靜摩擦力時(shí)，物體間產(chǎn)生相對(duì)滑動(dòng)，這時(shí)的摩擦力叫做滑動(dòng)摩擦力?；瑒?dòng)摩擦力的方向總是與物體相對(duì)運(yùn)動(dòng)的方向相反，實(shí)驗(yàn)證明，滑動(dòng)摩擦力也與正壓力N成正比，即*在相對(duì)速度不太大時(shí)，為計(jì)算簡(jiǎn)單起見(jiàn)，可認(rèn)為滑動(dòng)摩擦系數(shù)略小于靜摩擦系數(shù),在一般計(jì)算時(shí)，除非特別指明，可認(rèn)為它們是相等的。

叫做靜摩擦系數(shù)，它與接觸面的材料和表面狀況有關(guān)。叫做滑動(dòng)摩擦系數(shù)，它也與接觸面的材料和表面狀況有關(guān)，還與兩接觸物體的相對(duì)速度有關(guān)。2.1.3牛頓定律應(yīng)用牛頓運(yùn)動(dòng)定律解決動(dòng)力學(xué)問(wèn)題一般可分為兩類(lèi)：一類(lèi)是已知運(yùn)動(dòng)求力，另一類(lèi)是已知力求運(yùn)動(dòng)，即微分法和積分法的應(yīng)用。這些式子既體現(xiàn)了力的疊加原理，也體現(xiàn)了運(yùn)動(dòng)的疊加原理。

式（2-2）是牛頓第二定律的矢量式。實(shí)際應(yīng)用常用到分量式。如：或者：應(yīng)用牛頓第二定律常用的分析方法與步驟：定對(duì)象——查受力——看運(yùn)動(dòng)——列方程例2-1一滑輪組如圖2-1，A為定滑輪，B為動(dòng)滑輪，繩子不能伸長(zhǎng)，?；喗M及繩的質(zhì)量、軸的摩擦均可忽略。

求：(1)重物的加速度;(2)繩中的張力(3)定滑輪軸承的支反力圖2-1的受力如圖，設(shè)的加速度為，

繩子的張力為，則的加速度為

對(duì)有：對(duì)有：解：解得：定滑輪軸承的支撐反力

例2-2質(zhì)量為m的小船在平靜的水面上以速度v0航行。以小船關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)為計(jì)時(shí)起點(diǎn)，設(shè)水的阻力和小船的速度之間的關(guān)系是求：

1.發(fā)動(dòng)機(jī)關(guān)閉后小船的速率與時(shí)間的關(guān)系以及小船的運(yùn)行時(shí)間；

2.發(fā)動(dòng)機(jī)關(guān)閉后小船的速率和通過(guò)的路程之間的關(guān)系,

以及小船到停止時(shí)行駛的全部路程；

3.在小船的速率減少到初速的1/n時(shí)間內(nèi)的平均速率。（其中r是常量）解：（1）小船共受到三個(gè)力的作用：阻力、重力和浮力，重力和浮力為一對(duì)平衡力，不改變小船的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，故只有阻力對(duì)小船的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)產(chǎn)生影響。分離變量并兩邊積分，注意兩邊積分的上下限對(duì)應(yīng)，可得：

當(dāng)v=0時(shí)的時(shí)刻即為航行時(shí)間實(shí)際上當(dāng)t遠(yuǎn)大于時(shí)，V趨于0。（2）由此步驟為關(guān)鍵，因?yàn)榍笏俾逝c路程的關(guān)系，所以讓式子中出現(xiàn)ds，并消去dt分離變量，并兩邊積分，注意到時(shí)，；時(shí)，故得：

v=0時(shí)的S即為全部路程，則全部路程為：

因?yàn)椋?）設(shè)時(shí)所經(jīng)歷的時(shí)間為t’，則有：

0——t’時(shí)間內(nèi)船行駛的路程：

解：對(duì)小球進(jìn)行受力分析例2-3已知小球質(zhì)量為水對(duì)小球的浮力為B，水對(duì)小球運(yùn)動(dòng)的粘滯阻力為，式中的是與水的粘滯性、小球的半徑有關(guān)的常數(shù)，計(jì)算小球在水中豎直沉降的速度。取向下為正方向，由牛頓第二定律：設(shè)時(shí)，小球初速度為零，此時(shí)加速度有最大值當(dāng)小球速度逐漸增加時(shí)，加速度逐漸減小，當(dāng)增加到足夠大時(shí)，趨近于零此時(shí)趨近于一個(gè)極限速度，稱(chēng)為收尾速度，用表示，令于是有對(duì)上式積分得小球沉降速度隨變化的函數(shù)關(guān)系分析：當(dāng)時(shí)，；而當(dāng)時(shí)，

時(shí)，就可以認(rèn)為，小球即以收尾速度勻速下降解：，小球位于最低點(diǎn)，速率為，在時(shí)刻，小球位于點(diǎn)輕繩與鉛直線成此時(shí)小球受力為：重力、繩拉力，根據(jù)牛頓第二定律有：法向加速度切向加速度例2-3長(zhǎng)為的輕繩，一端系質(zhì)量為的小球，另一端系于定點(diǎn)，開(kāi)始時(shí)小球處于最低位置。若使小球獲得如圖所示的速度，小球?qū)⒃阢U直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，求小球在任一位置時(shí)的速率及繩的張力。選取自然坐標(biāo)系，過(guò)點(diǎn)與速度同向的切線方向?yàn)檩S，過(guò)點(diǎn)指向圓心的法線方向?yàn)檩S，則分量式為：由角速度定義以及角速度與線速度之間關(guān)系，得到：于是得到：將上式積分代入初始條件：

小球在從最低點(diǎn)向上升的過(guò)程中，繩對(duì)小球的張力隨角度增大而減小，到達(dá)最高點(diǎn)張力最小

小球在從最低點(diǎn)向下降的過(guò)程中，張力逐漸增大，到達(dá)最低點(diǎn)張力最大分析：小球速率與位置有關(guān)，在之間，速率隨角度增大而減?。辉谥g速率隨角度增大而增大。做變速率圓周運(yùn)動(dòng)。例2-5在半徑為R的固定于桌面上的光滑半球面頂點(diǎn)A處放一質(zhì)量為m的小物體。物體由靜止開(kāi)始沿球面滑下。如圖2-4（a）所示。求物體開(kāi)始離開(kāi)球面的角位置圖2-4物體在球面上下滑解：研究對(duì)象是質(zhì)量為m的小物體。取它下滑過(guò)程中，在離開(kāi)球面C處之前的任意一個(gè)位置B，分析其受力情況。小物體可視為質(zhì)點(diǎn)、空氣阻力忽略，球面光滑，沒(méi)有摩擦。在B點(diǎn)它只受到兩個(gè)力的作用：

重力mg和支承力N，它們的方向如圖2-4（b）所示。這兩個(gè)力的合力使它在AC圓弧上作變速圓周運(yùn)動(dòng)。根據(jù)牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律在法向與切向的分量式得：可以列出法向、切向運(yùn)動(dòng)方程分別為

小物體離開(kāi)球面時(shí)候，。則有

由于未知數(shù)多于方程數(shù)不可解，為此先設(shè)法消去ｔ，由（2-13）得：從而只剩下變量v、，分離變量并兩邊積分得：代入（2-12）得：簡(jiǎn)化得：所以動(dòng)力學(xué)兩類(lèi)問(wèn)題vv((((rr求已知或及00tt時(shí)的rr00和vv00FF((((vvaa((((vv例如牛頓運(yùn)動(dòng)定律將質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律進(jìn)一步與力聯(lián)系起來(lái)，屬動(dòng)力學(xué)問(wèn)題。質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)中也有兩類(lèi)基本問(wèn)題已知已知求求質(zhì)量為的質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程mmrr(())ttrr所受合外力所受合外力FF(())aamm第一類(lèi)質(zhì)量為的質(zhì)量為的mm質(zhì)點(diǎn)受力情況質(zhì)點(diǎn)受力情況及初始條件及初始條件質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律vv(())rr等等(())ttrr,,vv(())tt或或第二類(lèi)求導(dǎo)求導(dǎo)22aaddddttrr22一般方法積分積分按具體情況按具體情況分離變量求積分離變量求積mmddttddvvFF((((vvmmFF((((vvddvvttdd00ttvv00vv求得vv((((ttvv((((ttttdd00ttrr00rrddrr續(xù)練習(xí)一已知已知平面上運(yùn)動(dòng)平面上運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)規(guī)律運(yùn)動(dòng)規(guī)律質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量mmXXYYyyxxBBttAAwwsinsincoscosttwwAABBww為常數(shù)為常數(shù)練習(xí)一練習(xí)一在在三、三、常用的分析方法與步驟定對(duì)象查受力看運(yùn)動(dòng)列方程四、四、隨堂練習(xí)xxaa22ddddttxx2222ddddtt22(())ttAAwwsinsinAAttwwsinsinww22yyaa22ddddtt2222ddddtt22(())yyttwwcoscosBBttwwww22BBcoscosmmxxaammAAttwwsinsinww22yyFFxxFFmmaammttwwww22yyBBcoscos求求作用于質(zhì)點(diǎn)的力作用于質(zhì)點(diǎn)的力FF((((rr解法解法提要提要))xxFFFFxxyyFFiijj++((mmww22ttwwsinsinAAii++ttwwcoscosBBjjmmww22((ii++yyjj))mmww22rrrrFFF

恒與

r

反向勻角速橢圓運(yùn)動(dòng)XXYYOOBBAAmmwwFFFFxxii++結(jié)果圖示結(jié)果圖示yyFFjj))((mmww22AA++ttwwcoscosBBjjttwwsinsiniixxmmww22((ii++yyjj))mmww22rr隨堂練習(xí)二練習(xí)二練習(xí)二mmvvXX00已知已知停機(jī)時(shí)船速停機(jī)時(shí)船速00，，阻力阻力kkFFrrvv問(wèn)問(wèn)船還能走多遠(yuǎn)？船還能走多遠(yuǎn)？xxddddttmmvvFFrrkkvvkkddddttxxddmmddvvkk得得xxddxx00vv00ddvvmmkk00止止mmkkvv00xx止止xx止止vv00vv00XXxxvvmmkkvv00xxvv停機(jī)后船沿X正向運(yùn)動(dòng)，阻力與船速方向相反。停機(jī)后船沿X正向運(yùn)動(dòng)，阻力與船速方向相反。關(guān)鍵是要找到船速與位置的關(guān)系，關(guān)鍵是要找到船速與位置的關(guān)系，vvxx即即從從vvvv0000xx從從00時(shí)時(shí)xx止止解法解法提要提要隨堂練習(xí)三需要將速度是時(shí)間的函數(shù)轉(zhuǎn)換成速度是坐標(biāo)的函數(shù)去求解d(0.5

v

)22dxdvdtdxdtdvdxvdvdxd(2.5+

0.5

v

)22dx即(())++vv0011225555220022d(2.5+

0.5

v

)22dx(())++vv0011225555220022d(2.5+

0.5

v

)22dxx02510積分得x102×ln(2.5+0.5v2)2510179(m)解法解法提要提要mmdvdt設(shè)列車(chē)質(zhì)量為FFFF總則總阻力dvdtFFFF單位質(zhì)量受總阻力FFFF總(())++vv0011225555220022mmmmtt00v=25m/s；關(guān)電門(mén)時(shí)x=0，00v=10m/s時(shí)x=？，行進(jìn)中的電氣列車(chē)，每千克受阻力與車(chē)速的關(guān)系為行進(jìn)中的電氣列車(chē)，每千克受阻力與車(chē)速的關(guān)系為FFFFXXXXvv已知已知FFFF(())++vv0011225555220022NN當(dāng)車(chē)速達(dá)25m/s時(shí)運(yùn)行多遠(yuǎn)，車(chē)速減至10m/s求求關(guān)電門(mén)F練習(xí)三練習(xí)三隨堂練習(xí)四xxvvddddttttddxxvvdd00xxddxx00FFmm22tttt2200ttddttxx00FF66mmtttt33ddddttFF由由mmvv有有tttt00FFmmddddttvvddvvtttt00FFmmddtt00ddvvtt00FFmmddttvv00ttttvv00FFmm22tttt22解法解法提要提要00FF00ttFFtttttt00FFmm22tt00xx66vvtttt00FFmm22tt00XXXX某電車(chē)啟動(dòng)過(guò)程某電車(chē)啟動(dòng)過(guò)程某電車(chē)啟動(dòng)過(guò)程某電車(chē)啟動(dòng)過(guò)程牽引力牽引力牽引力牽引力ttttFFFFtttt00FF00FFmm00FFtt啟動(dòng)時(shí)間啟動(dòng)時(shí)間及及均為常數(shù)均為常數(shù)tt00時(shí)時(shí)vvxx0000求求vv(())ttxxtt(()),,練習(xí)四練習(xí)四練習(xí)五：質(zhì)量為m=10Kg，長(zhǎng)l=40cm的鏈條，放在光滑的水平桌面上，其一端系一細(xì)繩，通過(guò)滑輪懸掛著質(zhì)量為m1=10Kg的物體，開(kāi)始時(shí)l1=l2=20cm<l3，速度為零。設(shè)繩不伸長(zhǎng)，輪、繩的質(zhì)量和輪軸及桌沿的摩擦不計(jì)，求當(dāng)鏈條全部滑到桌上時(shí)，系統(tǒng)的速度和加速度。l2圖2-5l1l3Tmmgy/lm1gTy解：選坐標(biāo)及受力分析如圖。據(jù)牛頓第二定律，有：由1，,代入2得由3，練習(xí)六：質(zhì)量m為10Kg的木箱放在地面上，在水平拉力F的作用下由靜止開(kāi)始沿直線運(yùn)動(dòng)，其拉力隨時(shí)間是變化關(guān)系如圖2—4所示。已知木箱與地面間的摩擦系數(shù)

為0.2，求t為4s和7s時(shí)，木箱的速度大小。（g=10m/s2）F（N）70430t(s)Ff解：本章習(xí)題2.2.1慣性參考系人站在沿路面加速運(yùn)動(dòng)的火車(chē)上觀察此物體，發(fā)現(xiàn)物體向汽車(chē)后方做加速運(yùn)動(dòng)，合力仍然為零，但加速度不為零，顯然不符合牛頓定律。a因此，相對(duì)于地面做加速運(yùn)動(dòng)的火車(chē)參考系，牛頓運(yùn)動(dòng)定律不成立。地面上有一靜止物體，人站在地面上觀察此物體，物體靜止，加速度為零，因?yàn)樽饔迷谒厦娴暮贤饬榱愕木壒剩@符合牛頓定律。舉例：2.2慣性系力學(xué)相對(duì)性原理

相對(duì)于慣性系做勻速直線運(yùn)動(dòng)的參考系也都是慣性系，而相對(duì)于慣性系做變速運(yùn)動(dòng)的參考系不是慣性系。

牛頓運(yùn)動(dòng)定律不是對(duì)任意參考系都適用的。我們把牛頓運(yùn)動(dòng)定律適用的參考系，稱(chēng)為慣性參考系，簡(jiǎn)稱(chēng)慣性系；反之，叫做非慣性系。2.2.2力學(xué)相對(duì)性原理也就是說(shuō)在兩個(gè)慣性系中，牛頓第二定律具有相同表達(dá)式。

可見(jiàn)質(zhì)點(diǎn)在兩個(gè)慣性系中加速度是相同的，又因?yàn)樵诮?jīng)典力學(xué)范圍內(nèi)，物體的質(zhì)量是一個(gè)與參考系無(wú)關(guān)的不變量，所以

依次可以進(jìn)一步推斷牛頓第一、第三定律在慣性系中也有相同的表達(dá)式，并且可以推斷建立在牛頓運(yùn)動(dòng)定律基礎(chǔ)上的其它力學(xué)規(guī)律在不同慣性系中也有相同的表達(dá)式。

系是慣性系，系以恒定速度相對(duì)系做勻速直線運(yùn)動(dòng)，則也是慣性系。

力學(xué)相對(duì)性原理：在一切慣性系中，力學(xué)定律具有相同的表達(dá)式。2.3.1功

在力的持續(xù)作用下，物體移動(dòng)了一段位移，則力對(duì)物體做了功，用數(shù)學(xué)式子表示為（恒力對(duì)直線運(yùn)動(dòng)物體所做功）式中為與之間的夾角，按照矢量標(biāo)積定義寫(xiě)為：2.變力的功對(duì)變力或物體沿曲線運(yùn)動(dòng)，以微積分思想給出功的普適定義：元功定義功的一般定義一質(zhì)點(diǎn)在力作用下，發(fā)生一無(wú)限小位移此力對(duì)它做的功定義為力在位移方向上的分量與該位移大小乘積，以表示元功則：1．恒力的功2.3功和能功的定義是功等于力和位移的標(biāo)積。功是標(biāo)量，沒(méi)有方向，有正負(fù)。從式中可以看出，當(dāng)功為負(fù)值，即力對(duì)物體做正功。從式中可以看出，當(dāng)功為正值，即力對(duì)物體做負(fù)功。合力對(duì)質(zhì)點(diǎn)所做功，等于每個(gè)分力所做功代數(shù)和，即：功的單位，叫做焦耳用表示，功的量綱若質(zhì)點(diǎn)在變力作用下沿圖示路徑從運(yùn)動(dòng)到，求在這過(guò)程中力所做功，要將路徑分成很多段位移元，在每一個(gè)微小位移元上，力可近似為恒力，質(zhì)點(diǎn)在這一過(guò)程中變力所做功等于在每一段位移上所做元功代數(shù)和：功率：力在單位時(shí)間內(nèi)所做的功即力對(duì)質(zhì)點(diǎn)的瞬時(shí)功率等于作用力與質(zhì)點(diǎn)在該時(shí)刻速度的標(biāo)積。單位瓦特，用W表示。例2-6把10kg水從水面勻速提升10米到井口，若每升高1m漏去水。求把水從水面勻速提高到井口，外力所做的功？圖2-7解：建立坐標(biāo)系如圖2-7，井中水平面為坐標(biāo)原點(diǎn)，向上為Y軸正方向.

當(dāng)水桶升到Y(jié)坐標(biāo)處，水桶中水的重力為由于勻速上升,外力與水的重力始終相等,即外力：

上升dY外力需做的功：整個(gè)過(guò)程中外力的功：圖2-8例2-7設(shè)有質(zhì)量為m，長(zhǎng)為l的均勻細(xì)棒，其延長(zhǎng)線上距棒端距離為a處有一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)。今把質(zhì)點(diǎn)從A處移往B處，求萬(wàn)有引力作的功。解：建立坐標(biāo)系如圖2-8，在x處取dx質(zhì)元可視為質(zhì)點(diǎn)，其質(zhì)量與質(zhì)點(diǎn)m之間的萬(wàn)有引力為：整個(gè)細(xì)棒對(duì)質(zhì)點(diǎn)的萬(wàn)有引力為（即細(xì)棒無(wú)限多個(gè)質(zhì)元對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力之和，注意到方向均相同，所以直接疊加。）即當(dāng)質(zhì)點(diǎn)m移動(dòng)時(shí)，F(xiàn)是變化的（a用變量x代替，實(shí)際上啟用另一坐標(biāo)系，變更了坐標(biāo)系原點(diǎn)）即x為質(zhì)點(diǎn)m至棒端的距離，移動(dòng)的一個(gè)微過(guò)程萬(wàn)有引力作的功負(fù)號(hào)表示F的方向與位移方向相反。整個(gè)移動(dòng)過(guò)程作的功視作無(wú)限多個(gè)微過(guò)程作的功的代數(shù)和，即：

2.3.2動(dòng)能定理1.質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理

：

一個(gè)物體在運(yùn)動(dòng)中如果受力的持續(xù)作用，則其速度不斷改變，力對(duì)質(zhì)點(diǎn)所作的功與質(zhì)點(diǎn)的速度變化之間的關(guān)系可用質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理來(lái)表示。在曲線上任一點(diǎn)，力在元位移上所做元功為由牛頓第二定律及切相加速度的定義質(zhì)點(diǎn)從運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，合外力做總功為得：為質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能用表示合外力對(duì)質(zhì)點(diǎn)做的功等于質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能增量，這就是動(dòng)能定理。適用于慣性系。2.質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理由兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能變化和它們受的力所做功的關(guān)系

、和、分別表示它們所受到的外力和內(nèi)力；、和、分別表示它們始末態(tài)的速度，由質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理得對(duì)：對(duì)：兩式相加得：方程左邊前兩項(xiàng)是外力對(duì)質(zhì)點(diǎn)系所做功之和，后兩項(xiàng)是質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)力所做功之和方程右邊前兩項(xiàng)為系統(tǒng)末態(tài)動(dòng)能，后兩項(xiàng)為系統(tǒng)初態(tài)動(dòng)能，即質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能的增量等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的所有外力和內(nèi)力做功總和。這一結(jié)論可以推廣到由任意多個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的系統(tǒng)，這就是質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理。注意：質(zhì)點(diǎn)系的內(nèi)力雖成對(duì)出現(xiàn)大小相等方向相反，但內(nèi)力功的代數(shù)和一般不為零，原因是成對(duì)力的位移可能不同。例2.8：一質(zhì)量為10kg的質(zhì)點(diǎn)在力的作用下沿x軸無(wú)摩擦運(yùn)動(dòng)，t=0時(shí)，質(zhì)點(diǎn)靜止于原點(diǎn)處，求x=3m處物體的速度？解：由動(dòng)能定理得

，則可得1.保守力如果力所做的功與路徑無(wú)關(guān)，而只決定于物體的始末相對(duì)位置，這樣的力稱(chēng)為保守力。這也是保守力的另外一種定義。例如重力、萬(wàn)有引力、彈性力、電場(chǎng)力等都是保守力。作功與路徑有關(guān)的力稱(chēng)為非保守力。例如:摩擦力保守力沿閉合路徑一周所做的功為零。

abcd不是一種新的力，是以作用效果定義的2.3.3保守力、非保守力、勢(shì)能幾種常見(jiàn)力的功重力的功重力mg在曲線路徑M1M2上的功為重力所作的功等于重力的大小乘以質(zhì)點(diǎn)位置高度的變化。(1)重力的功只與始、末位置有關(guān)，而與質(zhì)點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路徑無(wú)關(guān)（與路徑無(wú)關(guān)）

。(2)質(zhì)點(diǎn)上升時(shí)，重力作負(fù)功；質(zhì)點(diǎn)下降時(shí)，重力作正功。

結(jié)論②xyzOmG①萬(wàn)有引力做的功質(zhì)量為的物體，自遠(yuǎn)離地球表面的點(diǎn)由靜止開(kāi)始朝著地心方向自由落體到點(diǎn)，求萬(wàn)有引力對(duì)物體做的功。取地心為坐標(biāo)原點(diǎn)，以地心向上為正方向，在任意位置處，萬(wàn)有引力大小為（其中M為地球質(zhì)量），方向指向地心。在這一元位移內(nèi)萬(wàn)有引力所做的元功為物體從運(yùn)動(dòng)到，萬(wàn)有引力做功為總結(jié)：因?yàn)?，所以，物體下落時(shí)，萬(wàn)有引力做正功。若物體運(yùn)動(dòng)路線為曲線，同樣有以上結(jié)果。由結(jié)果知道，萬(wàn)有引力對(duì)物體做的功只與物體始末位置有關(guān)。彈性力的功(1)彈性力的功只與始、末位置有關(guān)，而與質(zhì)點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路徑無(wú)關(guān)（與路徑無(wú)關(guān)）

。(2)彈簧的變形減小時(shí)，彈性力作正功；彈簧的變形增大時(shí)，彈性力作負(fù)功。彈簧彈性力由x1到x2路程上彈性力的功為彈性力的功等于彈簧勁度系數(shù)乘以質(zhì)點(diǎn)始末位置彈簧形變量平方之差的一半。

結(jié)論xO摩擦力的功在這個(gè)過(guò)程中所作的功為

摩擦力的功，不僅與始、末位置有關(guān)，而且與質(zhì)點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路徑有關(guān)（與路徑有關(guān)）。

結(jié)論摩擦力固定的水平面2.勢(shì)能在保守力場(chǎng)中，物體在某處（A）具有的勢(shì)能值等于把物體從該處移到零勢(shì)能點(diǎn)時(shí)，保守力做的功稱(chēng)為物體在該處的勢(shì)能，記為規(guī)定：物體在某點(diǎn)所具有的勢(shì)能等于將物體從該點(diǎn)移至勢(shì)能零點(diǎn)保守力所做的功。

幾種常見(jiàn)的勢(shì)能1.萬(wàn)有引力勢(shì)能

勢(shì)能零點(diǎn)為

2.重力勢(shì)能

勢(shì)能零點(diǎn)為

3.彈性勢(shì)能

勢(shì)能零點(diǎn)為

統(tǒng)一寫(xiě)為

單位焦耳

保守力的功等于相應(yīng)勢(shì)能增量負(fù)值

由質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能原理內(nèi)力中既有保守力也有非保守力，因此內(nèi)力做功可分為保守內(nèi)力做的功和非保守內(nèi)力做的功保守力的功等于相應(yīng)勢(shì)能增量的負(fù)值，則得到系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì)能之和叫做系統(tǒng)機(jī)械能，用表示，則2.4功能原理機(jī)械能守恒定律以和分別表示系統(tǒng)初態(tài)和末態(tài)的機(jī)械能，則物理學(xué)中常討論的重要情況為：質(zhì)點(diǎn)系運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，只有保守內(nèi)力做功，外力的功和非保守內(nèi)力的功都是零或是可以忽略不計(jì)得到或外力和非保守內(nèi)力做功的總和等于系統(tǒng)機(jī)械能的總量。這一結(jié)論為功能原理。當(dāng)外力和非保守內(nèi)力都不做功或所做的總功為零時(shí)，系統(tǒng)內(nèi)各物體的動(dòng)能和勢(shì)能可以互相轉(zhuǎn)換，但系統(tǒng)的機(jī)械能保持不變。這就是機(jī)械能守恒定律。例2-9如圖2-12所示，用一彈簧把質(zhì)量分別為和

的兩塊木板連接在一起，放在地面上，彈簧質(zhì)量忽略不計(jì)，且。問(wèn)（1）對(duì)上面的木板必須施加多大的正壓力F，以便在力F突然撤去而上面的木板跳起來(lái)的時(shí)候，恰好使下面的木板提離地面？圖2-12（2）如果和交換位置，結(jié)果如何？解：（1）設(shè)彈簧的彈性系數(shù)為K，上面的木塊在F及作用下，彈簧壓縮量為如圖2-12(a)所示；彈簧自然長(zhǎng)度時(shí)的位置為彈性勢(shì)能的零點(diǎn)，同時(shí)取作的零勢(shì)能點(diǎn)，如圖2-12(b)所示。撤力后上跳過(guò)程必須使彈簧伸長(zhǎng)才能使下面的木板恰能提起，如圖2-12(c)所示。即把和代入上式，化簡(jiǎn)可得：所以得注意：因?yàn)椴缓项}意，故舍去。和交換位置結(jié)果不會(huì)改變。(2)把兩個(gè)木塊、彈簧、地球做系統(tǒng)，只有重力和彈力做功，所以系統(tǒng)機(jī)械能守恒，初終狀態(tài)動(dòng)能均為零，故初始狀態(tài)的彈性勢(shì)能和重力勢(shì)能之和與終了狀態(tài)的彈性勢(shì)能和重力勢(shì)能之和相等。2.5.1沖量質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理1.由牛頓第二定律來(lái)考慮力對(duì)時(shí)間積累的效果積分左側(cè)積分表示在到這段時(shí)間內(nèi)合外力的沖量，用表示沖量的物理意義：在給定時(shí)間內(nèi)，外力作用在質(zhì)點(diǎn)上的沖量，等于質(zhì)點(diǎn)在此時(shí)間內(nèi)動(dòng)量的增量，即質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理。

表示力在時(shí)間內(nèi)的積累量，叫做在時(shí)間內(nèi)合外力的微沖量。2.5動(dòng)量定理與動(dòng)量守恒定律1.沖量為矢量，方向與動(dòng)量增量的方向相同。3.在直角坐標(biāo)系中2.質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理:幾點(diǎn)說(shuō)明：2.沖量是過(guò)程量,動(dòng)量是狀態(tài)量。例2.10如圖，一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)，在光滑的水平面上以角速度做半徑為的勻速圓周運(yùn)動(dòng).試分別從沖量的定義式和動(dòng)量定理。求出

從0到

的過(guò)程中合外力對(duì)質(zhì)點(diǎn)的沖量。圖2-13

解：（1）用沖量定義式求：

（2）用動(dòng)量定理求：

兩方法比較應(yīng)用動(dòng)量定理求解簡(jiǎn)單些。例2-11：一輛裝煤車(chē)以每秒5噸的速率垂直注入車(chē)廂，如果車(chē)廂的速率保持不變，軌道的速率從煤斗下面通過(guò)，煤粉通過(guò)煤斗以摩擦忽略不計(jì)，求牽引力的大小.解：以m表示t時(shí)刻已落入火車(chē)的煤和煤車(chē)的總質(zhì)量，在此后，

dt時(shí)間內(nèi)又有dm的煤落入車(chē)廂，取m和dm為系統(tǒng)，則此系統(tǒng)