湖南省邵陽(yáng)市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷

20232024學(xué)年湖南省邵陽(yáng)市高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．（5分）已知集合，，則（）A． B． C． D．2．（5分）已知復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位），則（）A．8 B．9 C．10 D．1003．（5分）若，則（）A． B． C． D．4．（5分）已知m，n是兩條不同的直線，，是兩個(gè)不同的平面（）A．若，，則B．若，，則C．若，，，則D．若，，，，則5．（5分）某大橋的一側(cè)依次安裝有13盞路燈，因環(huán)保節(jié)能的需求，計(jì)劃關(guān)掉其中的5盞．如果兩端的路燈不能關(guān)，則不同關(guān)燈方式的種數(shù)是（）A．21 B．35 C．70 D．1266．（5分）已知公差不為0的等差數(shù)列滿足，則的最小值為（）A． B．1 C． D．27．（5分）已知奇函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，．若，，則a，b，c的大小關(guān)系正確的是（）A． B． C． D．8．（5分）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，，，則的最小值為（）A．1 B． C． D．2二、多選題（本大題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）（多選）9．（6分）下列說(shuō)法正確的有（）A．的展開式的第4項(xiàng)的系數(shù)是280B．對(duì)于隨機(jī)變量X，若，則C．已知隨機(jī)變量，若，則D．一組數(shù)據(jù)8，9，9，11，13，14，15，18，20，21的第60百分位數(shù)為14.5（多選）10．（6分）已知橢圓E：的左、右焦點(diǎn)分別為，，左、右頂點(diǎn)分別為A，B，P是E上異于A，B的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．若，則下列說(shuō)法正確的有（）A．橢圓E的離心率為B．若，則C．直線PA的斜率與直線PB的斜率之積等于D．符合條件的點(diǎn)P有且僅有2個(gè)（多選）11．（6分）已知A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，直線，且直線AM的斜率與直線BM的斜率之和是2，則下列說(shuō)法正確的有（）A．點(diǎn)M的軌跡關(guān)于y軸對(duì)稱 B．點(diǎn)M的軌跡關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱C．若且，則恒成立 D．若且，則恒成立三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12．（5分）有甲、乙兩個(gè)工廠生產(chǎn)同一型號(hào)的產(chǎn)品，甲廠生產(chǎn)的次品率為2%，乙廠生產(chǎn)的次品率為3%，60%，從中任取一件產(chǎn)品______．13．（5分）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示．若在中，，______．14．（5分）祖暅在數(shù)學(xué)上做出了突出貢獻(xiàn)，他提出了體積計(jì)算原理：“冪勢(shì)既同，則積不容異”．這就是“祖暅原理”，被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所截，如果截得的兩個(gè)截面的面積總相等，，共同圍成的圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的體積為V，則______．四、解答題（本大題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）15．（13分）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．（1）求A；（2）若，E是邊BC的中點(diǎn)，且16．（15分）如圖所示，AB是的直徑，點(diǎn)C是上異于A，PC⊥平面ABC，E，F(xiàn)分別為PA（1）求證：EF⊥平面PBC；（2）若，，二面角的正弦值為，求BC．17．（15分）已知?jiǎng)狱c(diǎn)到直線的距離比它到定點(diǎn)的距離多1（1）求的方程；（2）若過(guò)點(diǎn)的直線l與相交于A，B兩點(diǎn)，求直線l的方程．18．（17分）已知函數(shù)，，其中．（1）求函數(shù)在處的切線方程；（2）討論函數(shù)的單調(diào)性；（3）當(dāng)時(shí)，令函數(shù)，證明：．19．（17分）我們把公差不為0的等差數(shù)列稱為“一階等差數(shù)列”，若數(shù)列是“一階等差數(shù)列”，則稱數(shù)列是“二階等差數(shù)列”．定義：若數(shù)列是“k階等差數(shù)列”，則稱數(shù)列為“階等差數(shù)列”．例如：1，3，7，13，21后項(xiàng)與前項(xiàng)的差值：2，4，6，8，10，…這些差值構(gòu)成的數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，則稱數(shù)列1，3，7，13，31…為“二階等差數(shù)列”．（1）若數(shù)列的通項(xiàng)公式為，試判斷數(shù)列是否為“二階等差數(shù)列”，并說(shuō)明理由；（2）若數(shù)列為“二階等差數(shù)列”，且，對(duì)應(yīng)的“一階等差數(shù)列”首項(xiàng)為1，公差為；（3）若“三階等差數(shù)列”的前4項(xiàng)依次為1，4，10，，求．

20232024學(xué)年湖南省邵陽(yáng)市高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．【分析】先求出集合A，B，再利用集合的交集運(yùn)算求解．【解答】解：集合，則．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了一元二次不等式的解法，考查了集合的交集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．2．【分析】利用復(fù)數(shù)模的公式求解即可．【解答】解：，則．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了復(fù)數(shù)模的求法，是基礎(chǔ)題．3．【分析】直接利用三角函數(shù)的關(guān)系式的變換求出函數(shù)的值．【解答】解：由于，故，故．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)：三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，三角函數(shù)值的求法，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題．4．【分析】根據(jù)空間中各要素的位置關(guān)系逐一判斷即可．【解答】解：若，，∴A選項(xiàng)錯(cuò)誤；若，，∴B選項(xiàng)錯(cuò)誤；若，，又，∴C選項(xiàng)正確；若，，，則不一定成立．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間中各要素的位置關(guān)系，屬基礎(chǔ)題．5．【分析】根據(jù)題意，采用插空法完成，先將保留的8盞燈排成一排，在8盞燈形成的7個(gè)空位中，選出5個(gè)空插空即可得解．【解答】解：因?yàn)閮啥说穆窡舨荒荜P(guān)，且相鄰的路燈不能同時(shí)關(guān)，即先將保留的8盞燈排成一排，進(jìn)而在8盞燈形成的2個(gè)空位中，所以共有（種）不同的關(guān)燈方式．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了排列組合知識(shí)，考查了插空法的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．6．【分析】根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)可得，從而，進(jìn)而，由此能求出的最小值．【解答】解：∵公差不為0的等差數(shù)列滿足，∴根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)可得，∴，∴當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取“＝”號(hào)，∴的最小值為1．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)、基本不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．7．【分析】構(gòu)造函數(shù)，判斷的單調(diào)性及奇偶性，結(jié)合單調(diào)性及奇偶性即可比較a，b，c的大?。窘獯稹拷猓涸O(shè)，若為奇函數(shù)，則，所以，即函數(shù)為偶函數(shù)，因?yàn)椋之?dāng)時(shí)，，所以，則函數(shù)在，故在（上為增函數(shù)．則，，且．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性及奇偶性在函數(shù)值大小比較中的應(yīng)用，屬于中檔題．8．【分析】由平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得P的軌跡方程，由條件可得Q的軌跡方程，再求圓上一點(diǎn)到直線上一點(diǎn)的距離的最小值即可．【解答】解：因?yàn)?，，設(shè)，，，所以點(diǎn)P的軌跡方程為：，又由，得點(diǎn)Q的軌跡方程為：，所以為圓上一點(diǎn)到直線上一點(diǎn)的距離，所以．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，點(diǎn)到直線的距離求法，屬于基礎(chǔ)題．二、多選題（本大題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）（多選）9．【分析】根據(jù)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式可判斷A；由期望的性質(zhì)即可判斷B；根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性即可判斷C；由百分位數(shù)的定義求解即可判斷D．【解答】解：對(duì)于A，的展開式的第4項(xiàng)為，所以第4項(xiàng)的系數(shù)為280，故A正確；對(duì)于B，對(duì)于隨機(jī)變量X，則，故B正確；對(duì)于C，已知隨機(jī)變量，若，則，則，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，數(shù)據(jù)從小到大排列為8，5，9，13，15，20，因?yàn)?，所以?0百分位數(shù)為．故選：ABD．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二項(xiàng)式定理，正態(tài)分布，期望的性質(zhì)，百分位數(shù)的定義，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．（多選）10．【分析】由橢圓的定義、方程和性質(zhì)，結(jié)合直線的斜率公式和向量數(shù)量積的性質(zhì)，對(duì)選項(xiàng)分析即可得到結(jié)論．【解答】解：由，可得，可得；設(shè)，則，，若，可得，，，故B錯(cuò)誤；設(shè)，則直線PA的斜率與直線PB的斜率之積為；由，可得以O(shè)為圓心，則符合條件，故D錯(cuò)誤．故選：AC．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的定義、方程和性質(zhì)，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于中檔題．（多選）11．【分析】由直線的斜率公式可得，，且，判斷函數(shù)的奇偶性可判斷AB；由不等式的性質(zhì)和恒成立思想可判斷CD．【解答】解：由直線AM的斜率與直線BM的斜率之和是2，可得，化為，，可得函數(shù)y為奇函數(shù)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故A錯(cuò)誤；當(dāng)且時(shí)，，故C正確；當(dāng)且時(shí)，可取，由，故D錯(cuò)誤．故選：BC．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線的斜率公式和函數(shù)的性質(zhì)、不等式恒成立問(wèn)題，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于中檔題．三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12．（5分）【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合全概率公式，即可求解．【解答】解：由題意可知，從中任取一件產(chǎn)品．故答案為：0.026．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查全概率公式，屬于基礎(chǔ)題．13．（5分）【分析】結(jié)合周期先求出，結(jié)合特殊點(diǎn)求出，結(jié)合最值求A，進(jìn)而可得及B，然后結(jié)合余弦定理及三角形面積公式即可求解．【解答】解：∵，∴，又，，∴．又，∴．∵，∴，又，∴，設(shè)角B，C，D的對(duì)邊為b，c，，當(dāng)且僅當(dāng)．∴，∴，∴面積最大值為．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了函數(shù)性質(zhì)在的解析式求解中的應(yīng)用，還考查了余弦定理及三角形面積公式的應(yīng)用，屬于中檔題．14．（5分）【分析】令，分別代入=和中，求得，，由點(diǎn)，繞y軸旋轉(zhuǎn)一周得到的圓的半徑分別，計(jì)算圓環(huán)的面積，根據(jù)祖暅原理求出該幾何體的體積．【解答】解：令，分別代入和中，解得：，．記點(diǎn)，繞y軸旋轉(zhuǎn)一周得到的圓的半徑分別為R，r．則，，此圓環(huán)的面積，恒為定值．根據(jù)祖暅原理該幾何體的體積與底面圓半徑為，高為6的圓柱的體積相等，所以．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了空間幾何體的體積計(jì)算問(wèn)題，也考查了推理與運(yùn)算能力，是中檔題．四、解答題（本大題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）15．【分析】（1）利用三角變換即可求解；（2）根據(jù)，得到，再結(jié)合余弦定理求c，利用勾股定理求AE即可．【解答】解：（1）∵，由正弦定理得，∴，由余弦定理可得，∴，又，∴；（2）∵，∴，∴，∴在中，由余弦定理得，∴，由勾股定理得．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角變換，余弦定理以及三角形的面積公式，屬于中檔題．16．（15分）【分析】（1）根據(jù)已知條件，結(jié)合線面垂直的判定定理即可得證；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面PAC和平面PAB的一個(gè)法向量，利用向量夾角公式即可求解．【解答】解：（1）證明：由PC⊥平面ABC，知，由AB是的直徑，知，∵，∴AC⊥平面PBC，由E，F(xiàn)分別是PA，知，∴EF⊥平面PBC．（2）以C為原點(diǎn)，CA，CP所在直線分別為x軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，b，，易知平面PAC的一個(gè)法向量，設(shè)平面PAB的一個(gè)法向量，則則，即，∴．取，得，則，∵二面角的正弦值為，則其余弦值為，∴，又，（，解得，．故．【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面垂直的判定以及空間向量的應(yīng)用，屬于中檔題．17．【分析】（1）由題意，根據(jù)拋物線的定義進(jìn)行求解即可；（2）設(shè)直線l的方程為，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理以及向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出t的值，再進(jìn)行驗(yàn)證即可得到直線方程．【解答】解：（1）因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)到直線的距離比它到定點(diǎn)所以動(dòng)點(diǎn)到直線的距離等于它到定點(diǎn)則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以，為準(zhǔn)線的拋物線，故Γ的方程為；（2）設(shè)直線l的方程為，，，聯(lián)立，消去x并整理得，此時(shí)，由韋達(dá)定理得，，因?yàn)?，所以，解得或，則．當(dāng)時(shí)，直線l的方程為；當(dāng)時(shí)，直線l的方程．故直線l的方程為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查軌跡方程以及直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題，考查了邏輯推理和運(yùn)算能力，屬于中檔題．18．（17分）【分析】（1）先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義先求出切線斜率，進(jìn)而可求切線方程；（2）對(duì)求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性關(guān)系對(duì)a的范圍進(jìn)行分類討論即可求解；（3）先對(duì)求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性關(guān)系，不等式恒成立與最值的轉(zhuǎn)化關(guān)系即可證明．【解答】解：（1）由題意得，，，∴．∴切線方程為：，即；（2）由題意得，，①當(dāng)時(shí)，上單調(diào)遞減；②當(dāng)時(shí)，時(shí)，．時(shí)，．綜上，當(dāng)時(shí)，上單調(diào)遞減．當(dāng)時(shí)，在，在上單調(diào)遞增．（3）證明：當(dāng)時(shí)，，∴，令，則．構(gòu)建函數(shù)，∴．∴當(dāng)時(shí)，，∴函數(shù)單調(diào)遞增．∴當(dāng)時(shí)，，∴．∵，，∴在（40．∴當(dāng)，，∴函數(shù)單調(diào)遞減．當(dāng)，，∴函數(shù)單調(diào)遞增．∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最小值．∵，∴．∴，．構(gòu)造函數(shù)，∴．令，∴．∴當(dāng)時(shí)，．∴當(dāng)時(shí)，．∴，∴．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性及最值關(guān)系的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．19．（17分）【分析】（1）結(jié)合已知定