浙江省錢塘聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

2023學(xué)年第二學(xué)期錢塘聯(lián)盟期中聯(lián)考高一年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科試題考生須知：1．本卷共4頁(yè)滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2．答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級(jí)、姓名、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)及準(zhǔn)考證號(hào)并填涂相應(yīng)數(shù)字.3．所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無(wú)效.4．考試結(jié)束后，只需上交答題紙.選擇題部分一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知復(fù)數(shù)滿足，則為（）A. B. C.1 D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)，再根據(jù)復(fù)數(shù)模的公式計(jì)算可得.【詳解】，，.故選：D2.將水平放置的用斜二測(cè)畫(huà)法得到的直觀圖如圖所示，已知，，則邊的實(shí)際長(zhǎng)度為（）A. B.6 C.5 D.【答案】C【解析】【分析】利用斜二測(cè)畫(huà)法，確定的特征，求出即可.【詳解】依題意，在中，，所以.故選：C3.已知，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.充分必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示，求得的充要條件，結(jié)合集合之間的包含關(guān)系，判斷即可.【詳解】根據(jù)題意，等價(jià)于，解得或；又是的真子集，故“”是“”的充分不必要條件.故選：A.4.在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)的圖象可能是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】通過(guò)分析正比例函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的特征可得解.【詳解】函數(shù)，由對(duì)數(shù)函數(shù)可知，且，當(dāng)時(shí)，為過(guò)原點(diǎn)的減函數(shù)，為減函數(shù)，則B錯(cuò)誤，D正確；當(dāng)時(shí)，為過(guò)原點(diǎn)的增函數(shù)，為增函數(shù)，則A錯(cuò)誤，C錯(cuò)誤；故選：D.5.如圖所示，在矩形中，，點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)（包含端點(diǎn)），則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，設(shè)，得，根據(jù)的范圍即可求出的范圍.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示直角坐標(biāo)系，因?yàn)樵诰匦沃?，，則，又點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)（包含端點(diǎn)），設(shè)，則，，則，因?yàn)椋?，故選：D.6.已知向量在的投影向量為，且，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)投影向量的定義及模長(zhǎng)公式的坐標(biāo)表示求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，在的投影向量為，所以，即，解?故選：B.7.在中，三個(gè)內(nèi)角對(duì)應(yīng)的邊為，且．若僅有唯一解，則下列關(guān)于的取值不一定成立的是（）A.或 B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由正弦定理得，因?yàn)閮H有唯一解，所以的值確定，進(jìn)而通過(guò)討論的值，得到的取值范圍，則可得到關(guān)于的取值不一定成立的選項(xiàng).【詳解】由正弦定理得：，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)閮H有唯一解，所以的值確定，當(dāng)時(shí)，僅有唯一解，此時(shí)，則，當(dāng)時(shí)，，僅有唯一解，此時(shí)，當(dāng)，且時(shí)，有兩解，不符合題意，綜上：若僅有唯一解，則或.故選：B．8.如圖，一個(gè)正三棱臺(tái)的上、下底面邊長(zhǎng)分別為和，高是，則正三棱臺(tái)的側(cè)面積及外接球體積分別為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合正三棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征求出斜高，進(jìn)而求出側(cè)面積；利用球的截面小圓性質(zhì)求出球半徑，再求出球的體積.【詳解】在正三棱臺(tái)中，分別是上、下底面中心，則cm，連接并延長(zhǎng)交于，連接并延長(zhǎng)交于，連接，過(guò)作于，，在中，，，三棱臺(tái)斜高，所以正三棱臺(tái)的側(cè)面積（）；顯然正三棱臺(tái)的外接球球心在射線上，令球半徑為，球截平面、平面所得圓半徑，設(shè)，顯然，則球心在正三棱臺(tái)外，，于是，解得，所以正三棱臺(tái)的外接球體積（）.故選：C二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列四個(gè)結(jié)論正確的有（）A.用一個(gè)平面去截圓錐，圓錐底面和截面之間的部分為圓臺(tái)；B.斜棱柱的側(cè)面可能有矩形；C.正棱錐的底面是正多邊形；D.球面可以看作一個(gè)半圓繞著它的直徑所在的直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面．【答案】BCD【解析】【分析】對(duì)A，根據(jù)圓臺(tái)的定義可判斷；對(duì)B，根據(jù)斜棱柱的結(jié)構(gòu)特征，舉例說(shuō)明；對(duì)C，根據(jù)正棱錐的定義可判斷；對(duì)D，根據(jù)球的定義判斷.【詳解】對(duì)于A，根據(jù)圓臺(tái)的定義，用一個(gè)平行于底面的平面去截圓錐，圓錐底面和截面之間的部分為圓臺(tái)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，斜棱柱的側(cè)面是平行四邊形，也有可能是矩形，如圖三棱柱，側(cè)面為矩形，故B正確；對(duì)于C，根據(jù)正棱錐的定義，正棱錐的底面是正多邊形，故C正確；對(duì)于D，球面可以看作一個(gè)半圓繞著它的直徑所在的直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面，故D正確．故選：BCD.10.已知的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，下列四個(gè)命題中正確的是（）A若，則一定有；B.若是銳角三角形，則一定有成立；C.若，則一定是直角三角形；D.若，則一定是銳角三角形．【答案】ABC【解析】【分析】利用正弦定理邊角互化可以判斷出A正確；由三角形內(nèi)角和為，結(jié)合誘導(dǎo)公式可推得B正確；利用正弦定理及余弦定理即可判斷出C正確；利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式及正弦定理及余弦定理結(jié)合三角形知識(shí)判斷出D.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)椋杂烧叶ɡ淼茫橥饨訄A的半徑），所以，所以A正確；對(duì)于B，若為銳角三角形，可得且，可得，且，即，根據(jù)正弦函數(shù)在上單調(diào)遞增，可得，所以，又，所以，所以，所以，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)?，由正弦定理可得，即，所以，所以，因?yàn)?，，則，所以，則，所以為直角三角形，故C正確；對(duì)于D，若，則，由正弦定理得，由余弦定理，所以角為銳角，但不一定是銳角三角形，故D錯(cuò)誤；故選：ABC.11.已知函數(shù)．則下列說(shuō)法正確的是（）A.若，則為偶函數(shù)；B.若，則單調(diào)遞增；C.若，則函數(shù)的最小值為2；D.若時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，則．【答案】AC【解析】【分析】對(duì)于A，利用奇偶性的定義即可判斷；對(duì)于B，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)即可判斷；對(duì)于C，化簡(jiǎn)后利用基本不等式即可判斷；對(duì)于D，利用函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，得到不等式組，求解即可.【詳解】若，，則，所以為偶函數(shù)，故A正確；若，，因?yàn)椋院瘮?shù)和都是減函數(shù)，所以是減函數(shù)，故B錯(cuò)誤；若，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)等號(hào)成立，故C正確；若時(shí)，，，函數(shù)和均為減函數(shù)，所以為減函數(shù)，則在區(qū)間上為減函數(shù)，要函數(shù)在區(qū)間上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，則或由，即，即，即，解得，由，即，即，解得，則無(wú)解，由上可知，時(shí)，，時(shí)，則無(wú)解，故D錯(cuò)誤.故選：AC.非選擇題部分三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則=______.【答案】1【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的分類求解．【詳解】由題意，解得．故答案為：－1【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的分類，屬于基礎(chǔ)題．13.若，則的值為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】根據(jù)條件求出，再將所求式子弦化切代入運(yùn)算得解.【詳解】因?yàn)?，所以?故答案為：.14.如圖，在中，是的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)．設(shè)，則______；若，則______．【答案】①.##0.5②.【解析】【分析】利用平面向量的線性運(yùn)算，結(jié)合共線向量定理、平面向量基本定理求出即可；再利用數(shù)量積的運(yùn)算律結(jié)合已知求出.【詳解】由是的中點(diǎn)，得，而在上，即，于是，又，則，又E，O，C三點(diǎn)共線，因此，解得，則，而，不共線，所以，；顯然，則，因此，解得，所以．故答案為：；四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.已知向量.（1）已知，求向量與的夾角；（2）若，求實(shí)數(shù)的值.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）利用向量坐標(biāo)夾角公式進(jìn)行求解；（2）先計(jì)算得到，，再利用向量垂直，數(shù)量積為0列出方程，求出的值.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，所以，故，因?yàn)?，所以向量與的夾角；【小問(wèn)2詳解】，，由于，所以，解得：或，從而或16.如圖所示，在邊長(zhǎng)為的正三角形中，E、F依次是、的中點(diǎn)，，，，D、H、G為垂足，若將繞旋轉(zhuǎn)，（1）求陰影部分形成的幾何體的表面積.（2）求陰影部分形成的幾何體的體積.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】旋轉(zhuǎn)后幾何體是一個(gè)圓錐，從上面挖去一個(gè)圓柱，根據(jù)數(shù)據(jù)利用面積公式和體積公式，可求其表面積與體積.【詳解】由題意知，旋轉(zhuǎn)后幾何體是一個(gè)圓錐，從上面挖去一個(gè)圓柱，且圓錐的底面半徑為4，高為，圓柱的底面半徑為2，高為，所求旋轉(zhuǎn)體的表面積由三部分組成：圓錐的底面、側(cè)面，圓柱的側(cè)面.圓錐的底面積為，圓錐的側(cè)面積為，圓柱側(cè)面積為，故所求幾何體的表面積為.陰影部分形成的幾何體的體積為.【點(diǎn)睛】本題考查組合體的面積問(wèn)題，考查空間想象能力、運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題.17.中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且．（1）求角；（2）若點(diǎn)為邊上靠近的三等分點(diǎn)，且，求面積的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理將角化邊，再由余弦定理計(jì)算可得；（2）依題意可得，在中利用余弦定理及基本不等式求出的最大值，從而求出面積的最大值.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，由正弦定理可得，即，由余弦定理，又，所?【小問(wèn)2詳解】因?yàn)辄c(diǎn)是邊上靠近的三等分點(diǎn)，即，所以，在中、，由余弦定理，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即面積的最大值.18.已知平面向量．設(shè)函數(shù)．（1）求的最小正周期；（2）若函數(shù)的圖象可由函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍得到，且關(guān)于的方程在上恰有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍和的值．【答案】（1）；（2），.【解析】【分析】（1）利用數(shù)量積的坐標(biāo)表示求出，再利用二倍角公式、輔助角公式化簡(jiǎn)并求出周期.（2）求出函數(shù)的解析式，作出函數(shù)在上的圖象及直線，數(shù)形結(jié)合求出實(shí)數(shù)的范圍及的值.【小問(wèn)1詳解】由，得，所以的最小正周期.【小問(wèn)2詳解】由（1）知，，則，關(guān)于的方程在上恰有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，于是直線與函數(shù)在上的圖象有3個(gè)不同的公共點(diǎn)，在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出直線與函數(shù)在上的圖象，如圖，顯然，當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)在上的圖象有3個(gè)不同的公共點(diǎn)，且點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，因此，，，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是，.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：涉及給定函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍問(wèn)題，可以通過(guò)分離參數(shù)，等價(jià)轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)，數(shù)形結(jié)合推理作答.19.杭州世紀(jì)中心是杭州最高樓，同時(shí)是浙江省最高的雙子塔樓，建筑高度310米，以杭州拼音首字母“”為外形藍(lán)本，被稱為杭州之門，雙塔的設(shè)計(jì)像一對(duì)翅膀，結(jié)合了杭州文化的城市之形，拱橋之意。某位高中生想運(yùn)用所學(xué)知識(shí)測(cè)量驗(yàn)證一下高度，通過(guò)查閱資料獲取了兩種測(cè)量方案．方案一（“兩次測(cè)角法”）：如圖一，在雙子塔附近廣場(chǎng)上的點(diǎn)測(cè)得雙子塔頂部的仰角為，正對(duì)雙子塔前進(jìn)了米后，到達(dá)點(diǎn)，在點(diǎn)測(cè)得雙子塔頂部的仰角為，然后計(jì)算出雙子塔的高度.方案二（“鏡面反射法”）：如圖二，在雙子塔附近廣場(chǎng)上，進(jìn)行兩個(gè)操作步驟：①將平面鏡置于地面上，人后退至從鏡中能看到雙子塔的頂部位置，測(cè)量出人與鏡子的距離為米；②正對(duì)雙子塔，將鏡子后移米，重復(fù)①中的操作，測(cè)量出人與鏡子的距離為米．然后計(jì)算出雙子塔的高度.實(shí)際操作中，方案一測(cè)量